Треугольник РЕЛО (Трикутник Рьоло)
Н
ЩЕНКО СЕРГ
Й ОЛЕКСАНДРОВИЧ
Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)
ЗМ
СТ
Стор.
Вступ................................................................................Е.....2
1. Кнематична властивсть трикутника Рьоло...............................5
1.1. Окреслення чотирикутника складеним обертанням
трикутника Рьоло..................................................................... 5
1.2. Окреслення n-кутника складеним обертанням
m-кутника Рьоло.......................................................................6
1.3. Розрахунок контурв n-кутникв, що окреслен
трикутником Рьоло........................................................7
1.4. Окреслення правильного чотирикутника складеним
обертанням трикутника Рьоло..................................................10
1.5. Окреслення правильного чотирикутника складеним
обертанням сочевицеподбного контуру...................................11
2. Практичне застосування трикутника Рьоло................................13
Висновки..................................................................................16
Лтература................................................................................17
ВСТУП
Ще з часв Древнього Сходу, вд цивлзацÿ кгипту Вавилона дйшли до нас древн математичн тексти, що свдчать про ту велику вагу, що придляли наш предки розвитку геометрÿ [1]. У кгипт Вавилон не було великих земельних площ, господарча дяльнсть вимагала проведення значних ригацйних робт, земельного упорядкування, зокрема становки границь длянок псля повеней, що приносили рчковий мул, який руйнував границ земельних надлв.
Змцнення централзованих держав сприяло створенню мст, розвитку торгвл. Виникали математичн задач, зв'язан з вимром площ полв, об'
мв гребель зерносховищ т. д. Термнв трикутник, чотирикутник, фгура тод ще не було. У папрусах, що дйшли до нас, мова йшла про пряме, косе чи кругле поле, длянку з границею, довжиною шириною. Площ прямокутникв, трикутникв трапецй древн люди вже тод обчислювали за точними правилами, що зайвий раз доводило, наскльки важливими для повсякденного життя були ц прост геометричн фгури.
У Древнй Грецÿ протягом трьох столть чен створили теорÿ, глибину яких змогли по-справжньому зрозумти й оцнити лише математики XIX-XX столть. Слава засновника давньогрецько
З часом знання людства в галуз геометрÿ розширювалися й досконалювалися, але не вгасав науковий практичний нтерес до найпростших геометричних фгур, зокрема до трикутника - плоско
- педальнийа трикутник (щодо даного трикутника АВС) - трикутник, вершини якого
основами перпендикулярв, опущених з довльно
- ортоцентральнийа трикутник - окремий випадок педального трикутника, при якому довльна точка
точкою перетину висот трикутника АВС;
- серединний трикутник (щодо трикутника АВС) - трикутник, побудований шляхом з'
днання середин сторн даного трикутника АВС;
- рзницевий трикутник - трикутник, довжини сторн якого складають арифметичну прогресю;
- бсектральний трикутник - трикутник, вершинами якого
точки перетину бсектрис даного трикутника АВС з протилежними сторонами.
З розвитком науки про трикутники в побут чених (та й не тльки
- чевана - вдрзок, що з'
дну
вершину трикутника з деякою точкою на протилежнй сторон;
- висота - чевана, опущена пд прямим кутома на протилежну сторону трикутника;
- бсектриса - чевана, що подля
навпл кут при данй вершин, з яко
- медана - чевана, що з'
дну
вершину трикутника з серединою протилежно
- центр кола, описаного навколо трикутника, - точка перетину трьох перпендикулярв, що подляють навпл сторони трикутника;
- центр кола, вписаного в трикутник, - точка перетину бсектрис трикутника;
- ортоцентр трикутника АВС - центр кола, вписаного в ортоцен-тричний трикутник вдносно трикутника АВС;
- центро
- пряма Ейлера - пряма, що з'
дну
ортоцентр, центро
- коло дев'яти точок (коло Ейлера) - коло, на якому лежали основи трьох висот довльного трикутника, середини трьох його сторн середини трьох вдрзкв, що з'
днують його вершини з ортоцентром.
Потреба в дослдженн характерних точок нй трикутникв виникла як з науково
 |
Цей криволнйний трикутник А1В1С1 (див. рис.1) названий на честь нмецького математика та нженера Франца Рьоло, який найбльш повно вивчив його властивост.
Рис.1. Схема окреслення чотирикутника
обертанням трикутника Рьоло
Побудувати трикутник Рьоло досить просто. З кожно
1.1. Окреслення чотирикутника складеним
обертанням трикутника Рьоло
Але найбльш вдома кнематична властивсть трикутника Рьоло. Якщо обертати трикутник А1В1С1 навколо центра О1 описаного навколо нього кола з радусом О1А1, центр трикутника О1 обертати в протилежну сторону в три рази швидше по колу з центром N, то трикутник окреслить фгуру, що незначно вдрзня
ться за формою вд чотирикутника (рис.1). Зокрема, за один оберт центра О1 направо по колу з радусом О1N два кути чотирикутника будуть оформлен вершиною А трикутника Рьоло по одному - вершинами В С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А2В2С2, А3В3С3 А4В4С4.
Однак виконан на рис.1 побудови показують невелику кривину сторн чотирикутника, про яку також вказують нженери-експери-ментатори [4, 5]. За
Тясу
мо, як обчислити це вдхилення. Позначимо: R - радус описаного бля трикутника Рьоло кола; r = O1N. Тод
А1В1=А2В2=А3В3=А4В4=
R
,
ND= r Ц
R + R (1)
З трикутника А1NA4 одержу
мо
А1N = r + R
NE = 
а(r + R) / 2 (2)
З рахуванням, що DE = ND = NE, за рвнянь (1) (2) визначимо
DE = r + R(а - 1) - (r + R) /,
бо
DE = R( - 1 - ()/2) + r(1 - ()/2) ~ 0,025R +
0,293r (3)
Таким чином, вдхилення DE сторони квадрата вд деально
1.2. Окреслення n-кутника складеним
обертанням m-кутника Рьоло
ерунтуючись на отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо бльш загальну задачу обертання m-кутника Рьоло з рзними швидкостями навколо центрв обертання для окреслення замкнуто
Розглянемо кнематику творення трикутником Рьоло кутв А1В2С3 А4А1В2. Для того, щоб кут А1В2С3 абув творений вершиною В трикутника Рьоло, необхдно за час t перемстити трикутник по годинниковй стрлц на кут 2π/n навколо центра N, але при цьому прокрутити його проти годинниково
α = (2π/nt) Ц (2π/mt) = 2π(m - n) / (tmn),
β = 2π/nt,
де α - кутова швидксть обертання трикутника Рьоло навколо центра О1 описаного бля нього кола;
β - кутов швидксть обертання центр О1а навколо центра N.
становимо, чому дорвню
спввдношення швидкостей:
α / β = 1 - (n / m). (4)
Таким чином, у результат аналзу творення чотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес
окремим випадком творення n-кутника в результат складеного обертання m-кутника. Спввдношення (4) показу
, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процес обертання центра О1 m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежну сторону m-кутника навколо його центра О1 з кутовою швидкстю α, що вдрзня
ться в n/m раз вд кутово
Формула (4) також показу
:
1) оскльки n > m, то кутов швидкост α β завжди будуть протилежн за знаком;
2) трикутник Рьоло при обертанн з рзними швидкостями α β може окреслювати будь-який правильний n-кутник (n > m), наприклад, шестикутник, якщо α = - β, девТятикутник, якщо α = -2 β т.д.;
3) можна замсть трикутника Рьоло використовувати нш фгури з m-ним числом кутв;
4) з практичною метою, на наш погляд, замсть трикутника Рьоло можна застосовувати сочевицеподбний контур (m=2); нструменти детал, що мають цей контур, простш у виготовленн, менш за габаритами, , як наслдок, дешевш.
1.3. Розрахунок контурв n-кутникв,
що окреслен трикутником Рьоло
Науковий практичний нтерес виклика
не тльки необхднсть обчислювання вдхилення DE, але й встановлення координат контурв n-кутникв, що окреслен m-кутниками на зразок трикутника Рьоло.
Спочатку визначимо координати будь-яко
Рис.2. Схема для визначення координат
контуру трикутника Рьоло.
Задамо кутом γ точку G на контур трикутника Рьоло (при подальшому оберт трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимо центральний ∟ACG=φ. Тод ∟ABG=φ/2. Хай OG=Rγ. Визначимо Rγ. З трикутникв АСЕТ та АОЕТ: а
ЕТ2=6R2-6R2cosφ,
ЕТ2=R2+ Rγ2-2Rrγcosγ,
звдки
cosφ=(5R2+2RRγcosγ- Rγ2)/6R2
З трикутника ЕТСВ за теоремою косинусв:
За теоремою синусв з трикутника ОВЕТ ма
мо:
Rγ=(BEТ sin(30o+φ/2))/ sin(120o-γ),
звдки
Нехай трикутник АВС оберта
ться навколо центру О з кутовою швидкстю α. У систем координат, що звТязана з центром О, визначимо координати точки G:
XG=Rγsin(γ-α)
YG=Rγcos(γ-α)
Якщо центр О оберта
ться навколо центру N з кутовою швидкстю β, то точка G перемщу
ться у точку ЕТ у систем координат, що звТязана з центром N, набува
координати, як можна обчислити за формулами:
XG=rcosβ+ Rγsin(γ-α) (5)
YG=rsinβ+ Rγcos(γ-α). (6)
Визначимо в загальному вигляд вдхилення DТEТ (див рис.3).
Рис.3 Схема для визначення вдхилення DТEТ.
Рвняння прямо
Y=kX+(R+r). (7)
Як вдомо, коефцúнт k=tg(ω), де ω - кут мж прямою v та вссю х. В нашому випадку для окреслення чотирикутника ω=45о, для n-кутника - ω=180о/n.
Визначимо рвняння прямо
Y=k1X+b1, (8)
k1=tg(ψ)=tg(ω+90o)=-ctg(ω)=-1/k.
Координати точки ЕТ дозволяють обчислити b1:
b1=YEТ-kXEТ.
Рвняння (7) та (8) творюють систему, ршенням яко
XD=(kYEТ+ XEТ+k(R+r))/(k2+1),
YD=(k2YEТ+kXEТ+k(R+r))/(k2+1).
Таким чином за вдомими координатами точока DТ EТ можемо обчислити вдхилення DТEТ за формулою:
1.4. Окреслення правильного чотирикутника
складеним обертанням трикутника Рьоло
Францем Рьоло вказувалося, що при окресленн трикутником Рьоло чотирикутника твориться невелика неперекрита трикутником площа чотирикутника. У данй робот цей висновок був сформульований у вигляд формули (3). Я взяв соб за мету: що потрбно зробити для сунення кривини сторн чотирикутника. Один з варантв передбача
(рис.4) творення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що ма
радус кривини ρ ≠ R. Оскльки на рис.1 чотирикутник ма
опукл сторони, вважа
мо, що радус кривини сторн трикутника Рьоло, що дорвню
, 
анедостатнй для забезпечення паралельност сторн чотирикутника. З цього виплива
ρ
> .
Рис.4. Схема окреслення правильного чотирикутника обертанням трикутника Рьоло аз змненим радусом кривини сторн
Для сегмента А2LB2M запишемо:
ρ = [(LA2)2 + LM2] / 2LM. (9)
З трикутника O2B2L визначимо LA2:
LA2 = () / 2 (10)
Висота сегмента LM
частиною катета прямокутного трикутника A1NM:
LM = NM - NL,
для якого
NM = A1Ncos45º,
тобто NM = а(r + R) / 2 (11)
NL = NO2 + O2L
Враховуючи, що NO2 = r, з трикутника O2B2L O2L = R / 2, одержимо:
NL = r + R/2 (12)
Таким чином, з рахуванням формул (11), (12)
LM = r[()/2 - 1] + R(а - 1)/2 (13)
Пдставляючи вирази (10) (11) у формулу (9), визначимо необхдний радус кривини:
ρ=[3R2+(R2+2Rr+2r2)(3-2) + 2Rr(1-)] / {4[R(Ц1) + r(Ц2)]} (14)
Знаменник формули (14) буде позитивною величиною при виконанн нервност:
R > [r(2 - 
)] / ( - 1)
1.5. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподбного контуру
Для визначення оптимальних спввдношень параметрв, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника, окресленого обертанням сочевицеподбного контуру, звернемося до рис.5.
Рис.5. Схема окреслення чотирикутника обертанням сочевицеподбного контура
З прямокутного трикутника NCB з урахуванням позначення NO2 = r спввдношення мж висотою O2C шириною a сочевиц дорвню
:
(r + a/2)cos π/n = r + O2C (15)
Для сочевиц АВ справедлив рвност:
a/2ρ = sin φ,
O2C = ρ (1 Ц cos φ),
звдки
a2 / 4ρ2 = 1 Ц cos2 φ,
пдставляючи значення О2С в формулу (15), одержимо:
ρ={acos(π/n)Ц2r[Цcos(π/n)]}/4 + a2/ {4acos(π/n) - 8r[1 -cos(π/n)]},
де a - ширина сочевиц, при цьому a ≤ 2ρ cos (π/n).
Практичне застосування трикутника Рьоло
Властивост трикутника Рьоло, як виявив Франц Рьоло, а потм нш чен, широко використовуються у всляких областях технки. На вдмну вд математикв нженери технки надали трикутнику Рьоло власну назву - рвновсний контур чи скорочено - РК.
Окреслення чотирикутника при обертанн РК було використано в конструкцях натирача пдлоги (для ефективного миття натирання пдлог у кутах кмнат), щльнювача бетонних сумшей при виготовленн квадратних бетонних стйок. Виготовлено нструменти для свердлння фрезерування квадратних отворв. РК використовують у кулачках грейферних механзмв кноапаратв, насосах, редукторах, роторно-поршневих двигунах. Наприклад, у вигляд РК виконаний ротор двигуна Ванкеля [4, 6].
Кулачок у вигляд РК-контура, якщо його закрпити з ексцентриситетом, при обертанн може створювати вбрацÿ. Враховуючи незалежнсть даметра вд кута повороту в ряд кулачкв, що обертаються, можна забезпечити
Найбльш повно розглянуту нами вище кнематичну властивсть РК застосували в технологях [5] пристроях (авт. свд. 1375383, 1426676, 1516191) для виготовлення розтрубв на кнцях цилндричних труб. В результат були удосконален токарськ верстати пристосування до них, що забезпечили яксну роздачу квадратних шестигранних розтрубв, необхдних для з'
днання труб рзно
У промисловост сльському господарств спшно працюють пристро
Для передач крутильного моменту з вала на шестрню використовують головним чином шлцов чи шпонков з
днання. Коли форму розтину валв отворв насаджених на них шестерень виготовили у вигляд РК, то встановили, що:
1) для передач того ж самого крутильного моменту площа
2) знос таких з'
днань у 3 рази менше;
3) крутильна жорстксть - у 3 рази вище;
4) вал шестрня автоматично центруються, що зменшу
вбрацю шум.
З'
днання вал-шестрня з РК у розтин широко застосовують на автомобльних, тракторних, комбайнових верстатобудвних заводах.
Здатнсть деталей з РК у розтин до самоцентрування при контакт з ншими деталями, ефективнй передач зусиль меншого зносу використана в конструкцÿ нструмента для гвинтового прошивання труб (авт. свд. 1279690), що використовувався в трубопрокатному цеху ММК м.
ллча.
Для виготовлення труби треба було спочатку виготовити порожню заготвку з круглого зливку металу. Отвр у зливку роблять за допомогою нструмента, що ма
форму подовжено
а
лише коли носок виготовили з розтином у вигляд рвновсного контуру, стйксть нструмента зросла, нструмент при прошиванн не змщався бк вд центра зливка, порожн заготвки стали мати бльш рвномрну товщину стнок.
Якщо корпус плавучо
При вирубц отворв у металевих аркушах використовують нструмент: матриц вирубн пуансони з спецальними формами крайок, що ржуть, наприклад, навкруги, елпсом, чи прямокутником трикутником. Якщо в пуансона крайку, що рже, виконати рвновснима контуром, то знижу
ться зусилля деформування, зменшуються вдходи металу створю
ться бльш яксна поверхня [14, авт.свд. 376186].
Трикутник Рьоло - фгура стало
Варто також згадати про поки що фантастичн можливост використання РК для виготовлення Еколс. досконалювання форми цього великого винаходу людства вдбува
ться в тепершнй час [8].
нженери установили, що на твердих дорогах колеса автомоблв повинн бути круглими, при рус по пухкому снгу чи пску - квадратними,
Так нверсальн колеса були б корисними мсячному всюдиходов,
болотоходам, тягачам, що працюють в мовах вчно
Висновки
1. Вивчено трикутник Рьоло (рвновсний контур) його складене обертання бля двох центрв. Теоретично розрахован кутов швидкост обертання α, β трикутника Рьоло коло центра описаного навколо нього кола (α) ншого довльно обраного центра (β), що дозволяють трикутнику окреслювати фгури, близьк за формою до правильних багатокутникв. Визначено погршност розмрв багатокутникв, що окреслюються.
2. На пдстав виведено
3. Запропоновано з практичною метою замсть трикутника Рьоло використовувати сочевицеподбний контур (m = 2).
нструменти та детал, що риси б контур сочевиц, простше було б виготовити, тому що вони б риси меншу вагу, дв замсть трьох криволнйних поверхонь, що обробляються,, як наслдок, були б дешевш.
4. Отриман формули, як дозволяють обчислити координати довльно обрано
5. Теоретичним шляхом отриман формули, що визначають необхдн радуси кривини сторн трикутника Рьоло (m=3) соче-вицеподбного контура (m=2), як забезпечують прямолнйнсть сторн багатокутникв, що окреслюються.
6. Надан приклади практичного використання трикутника Рьоло, заснованого на його властивост окреслювати правильн багатокутники при складеному обертанн, а також ефективно передавати моменти, що крутять, самоцентруватися при контактах деклькох деталей.
Лтература
1. А. Г. Конфорович. Визначн математичн задач. - Ки
2.
. А. Кушнр. Трикутник у задачах. - Ки
3. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Нов зустрч з геометрúю. - М., Наука, 1978. - 223с.
4. Технка наука, 1982, №7, с.14-15.
5. Суднобудвна промисловсть, 1990, вип.13, с.46-50.
6. Правила гри без правил. /а Скл. А. Б. Селюцький.-а Петрозаводськ,
Кареля, 1989.-280с
7. Д. А. Вайнтрауб, Ю. М. Клепков. Холодне штампування в дрбносерйному виробництв. Довдковий посбник. - М., Машино-будування, 1975.- 240с.
8. Технка наука, 1983, №10, с.19-21.