Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n-а} является бесконечно малой. При этом число называется пределом последовательности {x_n}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно казать номер N такой, что при n³N все элементы x_n этой последовательности довлетворяют неравенству:

|x_n-a|<e.

При этом число называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b - пределы сходящейся последовательности {x_n}. Тогда, используя специальное представление для элементов x_n сходящейся последовательности {x_n}, получим x_n=а+a_n, x_n=b+b_n, где a_n и b_n - элементы бесконечно малых последовательностей {a_n} и {b_n}.

Вычитая данные соотношения, найдем a_n-b_n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a_n-b_n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - сходящаяся последовательность и - ее предел. Представим ее в следующем виде:

x_n=а+a_n,

где a_n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a_n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a_n|£А. Поэтому | x_n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x_n}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, Е - ограничена, но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностейа {x_n-a} и {x_n+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x_n-a) - (x_n+1-a)}={x_nЦ x_n+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x_nЦ x_n+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть и b - соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) - бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть и b - соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}.Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) - бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n) - (а - b) =a_n-b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть и b - соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}, то x_n=а+a_n, y_n=b+b_n и x_n×y_n=a×b+a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. Следовательно,

x_n×y_n-а×b=a×b_n+b×a_n+a_n×b_n.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×b_n+b×a_n+a_n×b_n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x_n×y_n-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x_n×y_n} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {y_n} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность

Доказательство: Пусть ¹0, то e>0. Пусть N - номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:

|y_n-b|<e или |y_n-b|<

из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |y_n|>³N имеем

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при словии, что предел {y_n} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y_n} отличны от ноля и последовательность аограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность _n} и {y_n}. Докажем, что последовательность абесконечно малая. В самом деле, так как x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, то

Так как последовательность аограничена, а последовательность абесконечно мала, то последовательность абесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, довлетворяют неравентству x_n³b (x_n£b), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).

Доказательство: Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, довлетворяют неравенству x_n³b. Предположим, что а<b. Поскольку - предел последовательности {x_n}, то для положительного e=b-a можно казать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство

|x_n-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<x_n-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим x_n<b, это противоречит словию теоремы. Случай x_n£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут довлетворять строгому неравенству x_n>b, однако при этом предел может оказаться равным b. Например, если x_n=1/n, то x_n>0, однако

Следствие 1: Если элементы x_n и у_n у сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, довлетворяют неравенству x_n £ у_n, то их пределы довлетворяют аналогичному неравенству

Элементы последовательности {y_n-x_n} неотрицательны, поэтому неотрицателен и ее предел

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£x_n£b, то a£c£b.

ТЕОРЕМА: Пусть {x_n} и {z_n}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n}удовлетворяют неравенствам x_n£y_n£z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {y_n-a} является бесконечно малой. Обозначим через NТ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, казанные в словии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x_n-а £ y_n-а £ z_n-а. Отсюда следует, что при n³NТ элементы последовательности {y_n-a} довлетворяют неравенству

|y_n-a| £ max {|x_n-a|, |z_n-a|}.

Так как аи e>0 можно казать номера N₁а и N₂ такие, что при n³N₁а |x_n-a|<e, при n³N₂а |z_n-a|<e. Итак последовательность {y_n-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым довлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

1.      Последовательность асходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n_e, что n_e>адля всех n³n_e, это означает, что

2.      Последовательность асходится и

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, Е довлетворяет словию

(m, n = 1, 2, 3, Е ),

тогда последовательность

должна либо расходиться к

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, Е, или m-1. Полагая единообразие а₀=0, имеем:

a_n=a_qm+r£a_m+a_m+Е+a_m+a_r=qa_m+a_r,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, Е довлетворяет словию

тогда существует конечный предел

причем

а (n = 1, 2, 3, Е ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2a_m-1<a_2m<2a_m+1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a₁|+2^-1+2^-2+2^-3+Е

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2^m+e₁2^m-1+e₂2^m-2+Е+e_m (e₁, e₂, Е, e_m = 0 или 1)

согласно предположению

Применяя теорему (1) для данных:

s₀=0, а s₁= s_m-1= s_m= p_n0=0, p_n1=_{n, m-1}=а

p_{n, m+1}=0, Е,

заключаем, что

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s₁, s₂, Е, s_n, Е ограничены. Пусть а целое положительное число, l>2 и

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-¥, m+d, m+2d, Е, M-2d, M-d, +¥.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s_n-s_n+1|<d. Пусть, далее, s_n1 (n₁>N)а лежит в первом интервале и s_n2 (n₂> n₁) - в последнем. Тогда числа конечной последовательности ане смогут Уперепрыгнуть ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не лмедленно восходящей, лмедленно нисхожящей.

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t₁, t₂, Е, t_n, Е существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел

Тогда числа t₁, t₂, Е, t_n, Ележат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь годно большом удалении конечные последовательности

ЗАДАЧА № 5

Пусть v₁, v₂, Е, v_n, Е - положительные числа, v₁ £ v₂ £ v₃ Е Совокупность предельных точек последовательности

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l₁, l₂, l₃, Е, l_m, Е - последовательность положительных чисел и _n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l₁, l₂, l₃, Е, l_n-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и h - наименьшее из чисел l₁, l₂, l₃, Е, l_m; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n - наименьший номер, для которого l_n<h. Тогда:

n>m;а l_n<l₁, l_n<l₂, Е, l_n<l_n-1.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l₁, l₂, l₃, Е, l_m, Е - последовательность положительных чисел и _n превосходит все следующие за ним члены l_n+1, l_n+2, l_n+3,Е

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l₁, l₂, l₃, Е, l_m, Е (l_m>0),

s₁, s ₂, s ₃, Е, s _m, Е (s₁>0, s_m+1>s_m, m=1, 2, 3, Е)

обладают тем свойством, что

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l_n>l_n+1, l_n>l_n+2, l_n>l_n+3, Е

l_ns_n>l_n-1s_n-1, l_ns_n>l_n-2s_n-2, Е l_ns_n>l₁s_1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть l_m лвыступающим членом последовательности, если l_m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

Каждый невыступающий член l_v заключается (для v>n₁) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n_r-1<v<n_r. Имеем последовательно:

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае
l₁s₁, l₂s₂, Е были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h - наименьшее из чисел h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательностиа существуют члены, меньше чем h. Пусть k - наименьший номер, для которого h. Тогда:

k>m;а

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность аи А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений

все не больше А, бесконечное множество отношений

все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, Е

Будет L_n-nA; тогда

L_n-u-(n-u)A³ L_n-nA; L_n+v-(n+v)A³ L_n-nA,

u=1, 2, Е, n; v=1, 2, 3, Е; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l₁, l₂, l₃, Е, l_m, Е предполагается лишь, что

Пусть, далее, А>l₁. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

Если Ао¥, то также nо¥.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l₁+l₂+l₃+Е+l_m=L_m, m=1, 2, 3, Е; L₀=0.

Так как L₁-A<0, то L₀-0 не является минимумом в предыдущем решении. l_n+1³A; поэтому l_n+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l₁, l₂, l₃, Е, l_m, Е довлетворяет словиям

Пусть, далее, l₁>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

Если Ао0, то также nо0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l₁+l₂+l₃+Е+l_m=L_m, m=1, 2, 3, Е; L₀=0.

Тогда

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, Е, L_m-mA, Е

стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет L_n-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L₀, L₁, Е, L_m, Е содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L_s будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L_n) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.