Geum.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НИВЕРСИТЕТ

(ГОУ ВПО ИГУ)

Физический факультет

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Выполнил студент гр. 1322

Конусов Н.Ю.

Иркутск 2007


Проводилось статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии в течение каждого часа в дневное время на протяжении пяти дней в двухкомнатной квартире. Объем выборки n=90.


1

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30122,84

6:00

30122,93

0,09

7:00

30123,01

0,08

8:00

30123,19

0,18

9:00

30123,35

0,16

10:00

30123,75

0,40

11:00

30124,12

0,37

12:00

30124,67

0,55

13:00

30124,77

0,10

14:00

30124,97

0,20

15:00

30125,31

0,34

16:00

30125,48

0,17

17:00

30125,71

0,23

18:00

30126,23

0,52

19:00

30126,72

0,49

20:00

30127,34

0,62

21:00

30127,66

0,32

22:00

30128,17

0,51

23:00

30128,49

0,32

2

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30130,26

6:00

30131,31

1,05

7:00

30131,86

0,55

8:00

30131,91

0,05

9:00

30131,97

0,06

10:00

30132,16

0,19

11:00

30132,58

0,42

12:00

30132,95

0,37

13:00

30133,58

0,63

14:00

30133,92

0,34

15:00

30134,17

0,25

16:00

30134,34

0,17

17:00

30134,55

0,21

18:00

30135,02

0,47

19:00

30135,40

0,38

20:00

30135,94

0,54

21:00

30136,56

0,62

22:00

30136,86

0,30

23:00

30136,88

0,02

3

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30137,17

6:00

30137,25

0,08

7:00

30137,31

0,06

8:00

30137,58

0,27

9:00

30137,74

0,16

10:00

30137,86

0,12

11:00

30138,12

0,26

12:00

30138,82

0,70

13:00

30139,49

0,67

14:00

30139,82

0,33

15:00

30140,20

0,38

16:00

30141,77

1,57

17:00

30143,12

1,35

18:00

30143,57

0,45

19:00

30144,32

0,75

20:00

30145,00

0,68

21:00

30145,53

0,53

22:00

30145,84

0,31

23:00

30147,17

1,33

4

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30148,61

6:00

30148,68

0,07

7:00

30148,80

0,12

8:00

30148,88

0,08

9:00

30149,40

0,52

10:00

30150,32

0,92

11:00

30150,95

0,63

12:00

30151,10

0,15

13:00

30151,30

0,20

14:00

30151,67

0,37

15:00

30151,77

0,10

16:00

30152,16

0,39

17:00

30152,38

0,22

18:00

30153,00

0,62

19:00

30153,56

0,56

20:00

30154,29

0,73

21:00

30155,14

0,85

22:00

30155,66

0,52

23:00

30155,96

0,30




5

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30157,52

6:00

30157,55

0,03

7:00

30158,01

0,46

8:00

30158,15

0,14

9:00

30158,67

0,52

10:00

30159,59

0,92

11:00

30160,79

1,20

12:00

30161,20

0,41

13:00

30161,40

0,20

14:00

30161,77

0,37

15:00

30162,23

0,46

16:00

30162,57

0,34

17:00

30162,79

0,22

18:00

30163,41

0,62

19:00

30163,97

0,56

20:00

30164,70

0,73

21:00

30165,55

0,85

22:00

30165,98

0,43

23:00

30166,28

0,30

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1. Точечный вариационный ряд. Распределение xi по частотам ni.

xi

0

0,02

0,03

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,12

0,14

0,15

0,16

0,17

ni

0

1

1

1

2

1

3

1

2

2

1

1

2

2

0,18

0,19

0,2

0,21

0,22

0,23

0,25

0,26

0,27

0,3

0,31

0,32

0,33

0,34

0,37

1

1

3

1

2

1

1

1

1

3

1

2

1

3

4

0,38

0,39

0,4

0,41

0,42

0,43

0,45

0,46

0,47

0,49

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

4

1

1

2

0,56

0,62

0,63

0,67

0,68

0,7

0,73

0,75

0,85

0,92

1,05

1,2

1,33

1,35

1,57

2

4

2

1

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

1

Переход к группированным выборочным данным.

xmin = 0,02 xmax = 1,57. Диапазон [xmin ; xmax] разбиваем на k равных интервалов. Воспользуемся формулой аk = log 2 n + 1. k = 7.

Вариационный размах R = xmax - xmin = 1,55. Длина интервала h = R / k = 0,221.

Интервальный ряда

Ci - C i+1

0,02 - 0,241

0,241 - 0,463

0,463 - 0,684

0,684 - 0,906

0,906 - 1,127

1,127 - 1,349

1,34Ц 1,570

n*i

29

27

21

6

3

2

2

Равноточечный ряд по частотам

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

n*i

29

27

21

6

3

2

2

Равноточечный ряд по относительным частотам ;

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

w i

29/90

27 / 90

21 / 90

6 / 90

3 / 90

2 / 90

2 / 90

w i

0,3

0,3

0,2

0,0667

0,0

0,0

0,0

Равноточечный ряд по накопительным частотам

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

m*i

29

56

77

83

86

88

90

ГРАФИКИ

x*i

n*i

n*i

m*i

x*i

3. Построение эмпирической функции распределения

F* = nx / n , где nx Ц число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.

x*i

0,130714

0,352143

0,573571

0,795

1,016429

1,237857

1,459286

F*

0,3

0,6

0,86

0,9

0,96

0,98

1

4. Числовые характеристики выборки по ряду

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

n*i

29

27

21

6

3

2

2

)а Выборочные среднее и дисперсия

< xв > = (1 / n) ´ å( xi ´ ni ) = 0,43

Dв = (1 / n) ´ å( xi - < xв >)2 ´ niа = 0,0955 sn = 0,309 = Dв2

б)а Мода - значение, которое чаще всего встречается в данном вариационном ряду.

xmod = 0,370

в)а Медиана - средневероятное значение.

xmed = 0,385

г)а Асимметрия

1,297

д)а Эксцесс

5. Оценка близости выборочных наблюдений к нормальному закону

Положительная асимметрия говорит о том, что длинная часть кривой распределения расположена справа от математического ожидания, положительный эксцесс - о том, что кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая нормального распределения.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

1. Несмещенная оценка математического ожидания - выборочное среднее.

_

M X = x = 0,4284

Несмещенная дисперсия - исправленная выборочная дисперсия.

0,096541


2. Построение доверительных интервалов для матожидания и дисперсии при неизвестных параметрах нормального закона с доверительной вероятностью, равнойа γ = 0,95 и 0,99.

а) γ=0,95 n = 90

МХ

0,3633 а< MX < 0,4953

Дисперсия

α=1-γ=0,05;

а64,793

116,989

0,073< < 0,133

б) γ=0,99 n = 90

МХ

0,3420 < MX < 0,515

Дисперсия

α=1-γ=0,01;

а

116,989

0,068 < < 0,147


3. Используя таблицу случайных чисел получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (0; 10) X~R(a,b)

Вариационный ряд

1

2

Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

2

ni

6

11

7

5

4

3

2

8

4

2

5

 

4

6

 

1

5

 

2

1

 

5

2

 

2

8

 

3

3

 

8

1

 

8

3

 

8

9

 

1

4

 

2

9

 

4

6

 

9

3

 

5

9

 

2

3

 

4

7

 

3

2

 

6

8

 

1

2

 

8

3

 

7

8

 

8

4

 

Интервальный ряд

Ci-Ci+1

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

ni*

17

12

7

10

4

Точечный ряд

xi*

1

3

5

7

9

ni*

17

12

7

10

4

xi*ni*

17

36

35

70

36

(xi*)2ni*

17

108

175

490

324

Методом моментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного распределения:

Метод моментов заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим моментам.

X~R(a,b)

f(x) = 1 / (b - a), если x Î [a; b]

f(x) = 0, в противном случае

Þ ,

Получим систему равнений

b=7,76-a

a2+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a2=66.84

a2+7.76a-a2-15.52a+a2-6.6224=0

a2-7.76a-6.6224=0

D=60.2176-26.489633.728

Возможна пара решений

a = 6,7838 b = 0,9762

a = -0,9762 b = 8,7362

4. Методом максимального правдоподобия найдем точечную оценку параметра λ распределения Пуассона

X ~ П (λ)а

P(X=k) =

Функция правдоподобия:

L=

Ln L(λ)=

Уравнение правдоподобия:

а=> а=>

Докажем несмещенность:

Докажем сосотоятельность:а

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

1. Пусть случайная величина X~N(a,), причем параметры распределения неизвестны.

а)а Проверим нулевую гипотезу H0: для , если альтернативная гипотеза H1: .

Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

По словию конкурирующая гипотеза имеет вид первого случая, поэтому критическая область правостороння, по ровню значимости равному 0,05 и числу степеней свободы, находим критическую точку , при . Так как Ц есть основание отвергнуть гипотезу.

б) Далее проверим следующую нулевую гипотезу если альтернативная гипотеза . ровень значимости принимается

Для этого вычислим наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стъюдента имеем :

Т.е. получилось, что , следовательно, нулевая гипотеза