Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте
Составление и решение нестандартных равнений графоналитическим методом
Фрунзенский район
Технологическая гимназия №13 г. Минска
вторы:
Кравченко Арсений Борисович
ученик ФДФ класса
ул. Горецкого 69-263
д.т. 215-84-33
Ермолицкий Алексей Александрович
ученик ФДФ класса
ул. Сухаревская 7-46
д.т. 215-62-23
Тема:
Составление и решение нестандартных равнений графоналитическим методом
Секция: математика
Научный руководитель:
Кайданова Татьяна Юрьевна
учитель высшей категории
Минск 2003
Содержание
Теоретическая часть научной работы..3
Цель и задача научной работы...4
Примеры решения нестандартных равнений...6
Трехуровневый тест на решение нестандартных равненийЕ20
Ответы на тест.21
Список литературы22
Составление равнения данной задачи есть основной прием, посредством которого математика применяется к естествознанию и технике. Без равнения нет математики как средства познания природы.
П.С. Александров
Теоретическая часть
Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.
Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом, переменную у - зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.
Пусть Х и Y - два произвольных множества.
Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.
Задать функцию - это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
Графический способ. пусть на координатной плоскости изображена некоторая линия АВ, пересекаемая любой прямой, перпендикулярной к оси абсцисс, не более чем в одной точке. Каждому значению абсциссы х поставим в соответствие значение ординаты у точки К этой линии. Следовательно, с помощью линии АВ определена функция y = f (x), где х и у - координаты точки К линии АВ.
Часто самопишущие приборы на экране осциллографа, дисплея вычерчивают кривые, которые изображают графически функциональную зависимость. Например, в медицине электрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы во времени.
Графическое задание добно тем, что по графику функции можно становить общее впечатление о том, как протекает моделируемый процесс.
Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат хОу и рассмотрим функцию y = f (x), определенную на некотором числовом множестве Х. Придавая х последовательно значения х1, х2, Е, хn из множества Х, получим соответствующие значения у1, у2, Е, уn. Отметим на плоскости точки с координатами (х1; у1), (х2; у2), Е, (xn; yn).
Множество таких точек называют графиком данной функции.
Определение. Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек {(x, f (x) | x 
(f)} координатной плоскости.
На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x аD(f) одно число f (x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.
Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.
В общем случае равнение с одной переменой х можно записать в виде:
f (x) = g (x)
где f (x) и g (x) - некоторые функции. Функция f (x) называется левой частью, g (x) - правой частью равнения.
Определение. Корнем (решением) равнения f (x) = g (x) называется такое число, при подстановке которого в обе части уравнения вместо х получается верное числовое равенство.
Решить данное равнение - значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.
На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения равнений. Он заключается в следующем: для решения равнения f (x) = 0 строят график функции y = f (x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью х; эти абсциссы и являются корнями равнения.
С графическим методом решения равнения f (x) = g (x) связан функциональный метод решения равнения, основанный на том, что если одна из функций f (x) или g (x) возрастает, другая бывает, то равнение f (x) = g (x) либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.
Стандартный способ решения равнений и неравенств в отдельных случаях приводит к сложным и томительным преобразованиям. Процесс может быть тогда упрощен и, если применять так называемый графоналитический метод.
x2-6x+6=2{x}
Ответ:
x1=4-2Ö2
x2=4-Ö10
Ö2x=[x]+3
Ответ:
3{x}=|0.5x+0.5|
Ответ:
x1=1/6
x2=1 1/3
x3=2.5
x4=3 2/3
x5=4 5/6
(Öx)2=[x]
xÎ[0;+¥)ÇZ =>
Ответ:
{0;N}
|x2-6x+6|=-|(x-3)3|+3
Ответ:
x1=2
x2=3
х3=4
|x/2+x|=2x+Öx
Ответ:
x=1
√(5-x)√(5+x)=-x+5
 |
Ответ:
x1=0
x2=5
|x2+6|x|+2|-3=5x2
Ответ:
x2-4x+5=√|x-2|+1
Ответ:
x1=1
x2=2
x3=3
-√(4-x2)=|x|-2
Ответ:
x1=-2
x2=0
x3=2
при а=3 х=0
при а>3 Æ
при а<3 один корень
Öх³=Ö|х|+а
 |
Ответ:
 |
при а=2 хÎ [3;+¥)
при а<0 Æ y2=Ö-x+1
-x+|y|=1
Ответ:
(0;1)
1-x2=y
|x|+|y|=5
Ответ:
(-2;-3)
(2;-3)
|x+1|=1-y
-2y=x2y+2xy-y2
Ответ:
(-2;2)
(-1;1)
(0;2)
TECT
I ypoвень
1.Корень равнения х2+4х=√х3 равен:
) Ц2 Б) Ц1 В)0 Г) 1 Д) 2
2.Сумма корней равнения x2-x-3=3 равна:
) 4 Б) 2 В) Ц4 Г) 0 Д) Ц2
3.Произведение корней равнения Ц0.5х2+3=х2-3
) 2 Б) 1 В)6 Г) -2 Д) Ц4
4.Корни равнения 2√x=2x принадлежат промежутку:
) [0;1] Б) [Ц1;1] В)(0;1] Г) [1;3) Д) (2;5)
5.Система равненийа х2+у2=2х имеет:
аÖy=|x|
)0 решений Б)1 решение В)2 решения Г)3 решения Д)4 решения
6.Система равнений y2-|x|=0 не имеет решения:
а|y+1|=|x+1|
)(-4;-2) Б)(-1;-1) В)(0;0) Г)(4;-2) Д)(1;-1)
II ypoвень
1.Больший корень равнения 2/х+1=х³+2 равен:
) -3 Б) 4 В) 2 Г) 1 Д) Ц1
2.Сумма квадратов корней равнения|х²-3|=|х³|+1 равна:
) 4 Б) 8 В) 2 Г) 3 Д) 10
3.Сумма корней равнения Ц0.25х²+1=|х²-6|х|+8| равна:
) 0 Б) Ц1 В) 5 Г) 16 Д) -5
4.Разность большего и меньшего корней равнения
|√|х-2|+1|=2 равна:
) 8 Б) 1.5 В) 4 Г) 0 Д) 2
5.Уравнение -|х-1|³+2=а+1 имеет один корень при а, равном:
) 2 Б) 0 В)5 Г) 1 Д) Ц3
ypoвень
1. Произведение корней равнения |x-2|-1=[x] равно:
) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8
2. Корни равнения 4{x}=2 принадлежат множеству:
) Z Б) N+0.2 В) Z+0.5 Г) R Д) D
3. Сумма модулей корней равнения-(√(5-x)√(5+x))+2=-1
равна:
) 4 Б) 8 В)7 Г) 5 Д) 9
4. Корни равнения x4=|(-|x|+1)2-1| принадлежат множеству:
)(-1;1) Б) [-1;1] В){4;11} Г){-1;0;1} Д) (0;2]
5.Значение а, при котором уравнение 2/Öх=|а-|х|| имеет три корня, относится к промежутку:
) (3;+¥) Б) [Ц1;12] В)(-¥;1) Г) [1;3) Д) (-¥;+¥)
ОТВЕТЫ:
|
☻☻☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻☻☻☻ |
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
|
1-й ровень |
В |
Б |
Д |
А |
В |
|
2-й ровень |
Г |
В |
|
Д |
Г |
|
3-й ровень |
|
В |
Б |
Б |
|