Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò ïî âûñøåé øêîëå

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè è Ìàòåìàòèêè

(Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò)

ÐÅÔÅÐÀÒ ÍÀа ÒÅÌÓ

ÐÀÇÂÈÒÈÅ È ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÂËÈßÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ, ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
аÈ
ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

Êàôåäðà êóëüòîðîëîãèè.

Ñòóäåíò: Ôåðåíåö Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷

Ãðóïïà: ÀÏ-41

Ïðåïîäàâàòåëü: Òåðåõîâ Àíàòîëèé Ñåðãååâè÷

Ìîñêâà, 1995

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Âîïðîñ îа âçàèìîñâÿçèа ìàòåìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà âïåðâûå áûë çàäàí äîâîëüíî äàâíî. Àðèñòîòåëü, Áýêîí, Ëåîíàðäî äà Âèí÷è - ìíîãèå âåëèнêèå óìû ÷åëîâå÷åñòâà çàíèìàëèñü ýòèì âîïðîñîì è äîñòèãàëè âûäàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ. Ýòî íå óäèâèòåëüíî:а âåäü îñíîâó âçàèìîäåéñòâèÿ ôèëîñîнôèè ñа êàêîé-ëèáî èç íàóê ñîñòàâëÿåò ïîòðåáíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ àïïàнðàòà ôèëîñîôèè äëÿ ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèé â äàííîé îáëàñòè; ìàòåìàнòèêà æå, íåñîìíåííî, áîëåå âñåãî ñðåäè òî÷íûõ íàóê ïîääàåòñÿ ôèëîнñîôñêîìó àíàëèçó (â ñèëó ñâîåé àáñòðàêòíîñòè). Íàðÿäó ñ ýòèìа ïðîãнðåññèðóþùàÿ ìàòåìàòèçàöèÿа íàóêèа îêàçûâàåòа àêòèâíîå âîçäåéñòâèå íà ôèëîñîôñêîå ìûøëåíèå. Èñêóññòâî æå, âî âñå âðåìåíà ñëóæèâøåå ÷åëîâå÷åñòâó êàê ïóòü íðàâñòâåííîãî, ýìîöèîíàëüíîãî ìèðîîùóùåíèÿ è ìèðîïîíèìàíèÿ, êîíå÷íî æå, îêàçûâàëî è ïðîäîëæàåò îêàçûâàòü íà ðàçâèòèå íàó÷íîé ìûñëè ñàìîå íåïîñðåäñòâåííîå âëèÿíèå. Âñïîìíèì, ê ïðèìåðó, òîãî æå âåëèêîãî õóäîæíèêà è ó÷åíîãî - Ëåîíàðäî äà Âèí÷è.

Ñîâìåñòíûé ïóòüа ìàòåìàòèêèа è ôèëîñîôèè íà÷àëñÿ â Äðåâíåé Ãðåнöèè îêîëî VI âåêà äî í.ý. Íå ñòåñíåííîå ðàìêàìè äåñïîòèçìà, ãðå÷åñнêîå îáùåñòâî òîé ïîðû áûëî ïîäîáíî ïèòàòåëüíîìó ðàñòâîðó, íà êîòîðîì âûðîñëî ìíîãîå, ÷òî äîøëî äî íàñ â ñèëüíî èçìåíåííîì âðåìåíåì âèäå, îäíàêî ñîõðàíèâ îñíîâíóþ, çàëîæåííóþ ãðåêàìè èäåþ:а òåàòð, ïîýçèÿ, äðàìàòóðãèÿ, ìàòåìàòèêà, ôèëîñîôèÿ.

 ýòîé ðàáîòå ÿ ïîïûòàëñÿ ïðîñнëåäèòü çà ïðîöåññîì ôîðìèðîâàíèÿ, ðàçâèòèÿ è âçàèìíîãî âëèÿíèÿ ìàòåнìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà â èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà, à òàêæå ïðèâåñòè ðàçëè÷íûå òî÷êè çðåíèÿ íà äâèæóùèå ñèëû è ðåçóëüòàòû ýòîãî ïðîöåññà.  òî æå âðåìÿ, íå ïûòàÿñü îáúÿòü íåîáúÿòíîå, ìíå ïîêàçàëîñü èíòåðåñíûì ðàññìîòðåòü ëèøü УêîðíèФ è УâåðøèíûФ: çàðîæäåíèå åñòåñòâåííî-ôèëîñîâñêîãî ìûøëåíèÿ â Äðåâíåé Ãðåöèè è ýñòåòè÷åñêèå è îáùåôèëîñîâñêèå âîïðîñû, âîçíèêàþùèå íà ïåðåäíåì êðàå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè - òåîðèè ôðàêòàëîâ è ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè.

×ÀÑÒÜ ÏÅÐÂÀß..

ÈÑÒÎÊÈ

Ãëàâà 1

ÇÀÐÎÆÄÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Èçâåñòíî, ÷òî ãðå÷åñêàÿ öèâèëèçàöèÿ íà íà÷àëüíîìа ýòàïåа ñâîåãî ðàçâèòèÿ îòòàëêèâàëîñüа îòа öèâèëèçàöèè äðåâíåãî Âîñòîêà. Êàêîâî æå áûëî ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäñòâî, ïîëó÷åííîå ãðåêàìè?

Èç äîøåäøèõа äîа íàñ ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêóìåíòîâ ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â Äðåâíåì Åãèïòå áûëè ñèëüíî îòðàñëè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûå ñ ðåнøåíèåì ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷. Ïàïèðóñ Ðàéíäà (îê. 2 ã. äî í.ý.) íàн÷èíàëñÿ ñ îáåùàíèÿ íàó÷èòü Уñîâåðøåííîìó è îñíîâàòåëüíîìó èññëåäîâàнíèþ âñåõ âåùåé, ïîíèìàíèþ èõ ñóùíîñòåé, ïîçíàíèþ âñåõ òàéíФ. Ôàêòèн÷åñêè èçëàãàåòñÿ èñêóññòâî âû÷èñëåíèÿ ñ öåëûìè ÷èñëàìè è äðîáÿìè, â êîòîðîå ïîñâÿùàëèñü ãîñóäàðñòâåííûå ÷èíîâíèêè äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåòü ðåøàòü øèðîêèé êðóã ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, òàêèõ, êàê ðàñïðåäåëåíèå çàнðàáîòíîé ïëàòû ìåæäó èçâåñòíûì ÷èñëîì ðàáî÷èõ, âû÷èñëåíèå êîëè÷åñòâà çåðíà äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ òàêîãî-òî êîëè÷åñòâà õëåáà, âû÷èñëåíèåа ïîнâåðõíîñòåé è îáúåìîâ è ò.ä. Äàëüøå óðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè è ïðîñнòåéøèõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé åãèïòÿíå, ïî-âèäèìîìó, íå ïîøëè. Âñå ñîнäåðæàíèå èçâåñòíîéа íàì åãèïåòñêîé ìàòåìàòèêè óáåäèòåëüíî ñâèäåòåëüнñòâóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ åãèïòÿí ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿа óäîâнëåòâîðåíèÿ êîíêðåòíûõа ïîòðåáíîñòåéа ìàòåðèàëüíîãî ïðîèçâîäñòâà è íå ìîãëè ñêîëüêî-íèáóäü ñåðüåçíî áûòü ñâÿçàííûìè ñ ôèëîñîôèåé.

Ìàòåìàòèêà Âàâèëîíà, êàêа èа åãèïåòñêàÿ, áûëà âûçâàíà ê æèçíè ïîòðåáíîñòÿìè ïðîèçâîäñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó ðåøàëèñü çàнäà÷è, ñâÿçàííûåа ñ íóæäàìè îðîøåíèÿ, ñòðîèòåëüñòâà, õîçÿéñòâåííîãî ó÷åòà, îòíîøåíèÿìè ñîáñòâåííîñòè, èñ÷èñëåíèåì âðåìåíè. Ñîõðàíèâøèåñÿ äîêóìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî, îñíîâûâàÿñü íà 60-ðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåнíèÿ, âàâèëîíÿíå ìîãëè âûïîëíÿòü ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ, èìåнëèñü òàáëèöûа êâàäðàòíûõа êîðíåé, êóáîâа è êóáè÷åñêèõ êîðíåé, ñóìì êâàäðàòîâ è êóáîâ, ñòåïåíåé äàííîãî ÷èñëà, áûëèа èçâåñòíûа ïðàâèëà ñóììèðîâàíèÿ ïðîãðåññèé. Çàìå÷àòåëüíûåа ðåçóëüòàòûа áûëè ïîëó÷åíû â îáëàñòè ÷èñëîâîé àëãåáðû. Õîòÿ âàâèëîíÿíå è íå çíàëè àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèêè, íî ðåøåíèå çàäà÷ ïðîâîäèëîñü ïî ïëàíó, çàäà÷è ñâîäèëèñü ê åäèíîìó УíîðìàëüíîìóФ âèäó è çàòåì ðåøàëèñü ïî îáùèì ïðàâèëàì, ïðèн÷åì èñòîëêîâàíèåа ïðåîáðàçîâàíèéа УóðàâíåíèÿФ íå ñâÿçûâàëîñü ñ êîíêнðåòíîé ïðèðîäîé èñõîäíûõ äàííûõ. Âñòðå÷àëèñü çàäà÷è, ñâîäÿùèåñÿа ê ðåøåíèþ óðàâíåíèéа òðåòüåéа ñòåïåíè è îñîáûõ âèäîâ óðàâíåíèé ÷åòâåðнòîé, ïÿòîé è øåñòîé ñòåïåíè.

Åñëè æåа ñðàâíèâàòüа ìàòåìàòè÷åñêèåа íàóêè Åãèïòà è Âàâèëîíà ïî ñïîñîáó ìûøëåíèÿ, òî íåòðóäíî áóäåò óñòàíîâèòü èõ îáùíîñòü ïî òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì, êàêа àâòîðèòàðíîñòü, íåêðèòè÷íîñòü, ñëåäîâàíèå çà òðàäèöèåé, êðàéíå ìåäëåííàÿ ýâîëþöèÿ çíàíèé. Ýòè æå ÷åðòû îáíàðóæèнâàþòñÿ è â ôèëîñîôèè, ìèôîëîãèè, ðåëèãèè Âîñòîêà. Êàê ïèñàë ïî ýòîìó ïîâîäó Ý.Êîëüìàí, Уâ ýòîì ìåñòå, ãäå âîëÿ äåñïîòà ñ÷èòàëàñü çàêîíîì, íå áûëî ìåñòà äëÿ ìûøëåíèÿ, äîèñêèâàþùåãîñÿ äî ïðè÷èí è îáîñíîâàíèé ÿâëåíèé, íè òåì áîëåå äëÿ ñâîáîäíîãî îáñóæäåíèÿФ.

Àíàëèç äðåâíåãðå÷åñêîéа ìàòåìàòèêè è ôèëîñîôèè ñëåäóåò íà÷àòü ñ ìèëåòñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû, çàëîæèâøåé îñíîâû ìàòåìàòèêè êàê äîнêàçàòåëüíîé íàóêè.

Ãëàâà 2

ÌÈËÅÒÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ìèëåòñêàÿ øêîëà - îäíà èç ïåðâûõ äðåâíåãðå÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, îêàçàâøàÿ ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ôèëîñîôñêèõа ïðåäñнòàâëåíèé òîãîа âðåìåíè. Îíà ñóùåñòâîâàëà â Èîíèè â êîíöå V - IV ââ. äî í.ý.;а îñíîâíûìè äåÿòåëÿìè åå ÿâëÿëèñü Ôàëåñ (îê. 624-547 ãã. äî í.ý.), Àíàêñèìàíäðа (îê. 610-546а ãã. äîа í.ý.)а èа Àíàêñèìåí (îê. 585-525 ãã. äî í.ý.). Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ìèëåòñêîé øêîëû îñíîâíûå îòëè÷èÿ ãðå÷åñêîé íàóêè îò äîãðå÷åñêîé è ïðîàíàëèçèðóåì èõ.

Åñëè ñîïîñòàâèòü èñõîäíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ ãðåêîâ ñ äîñòèнæåíèÿìè åãèïòÿí è âàâèëîíÿí, òî âðÿä ëè ìîæíî ñîìíåâàòüñÿ â òîì, ÷òî òàêèå ýëåìåíòàðíûå ïîëîæåíèÿ, êàê ðàâåíñòâî óãëîâ ó îñíîâàíèÿ ðàâíîнáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îòêðûòèåа êîòîðîãîа ïðèïèñûâàþò Ôàëåñó Ìèнëåòñêîìó, íå áûëè èçâåñòíû äðåâíåé ìàòåìàòèêå. Òåì íå ìåíåå, ãðå÷åñнêàÿ ìàòåìàòèêàа óæå â èñõîäíîì ñâîåì ïóíêòå èìåëà êà÷åñòâåííîå îòëèн÷èå îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.

Åå ñâîåîáðàçèå çàêëþ÷àåòñÿ ïðåæäå âñåãî â ïîïûòêå ñèñòåìàòè÷åñнêè èñïîëüçîâàòü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà. Ôàëåñ ñòðåìèòñÿа äîêàçàòüа òî, ÷òî ýìïèðè÷åñêè áûëî ïîëó÷åíî è áåç äîëæíîãî îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçîâàнëîñü â åãèïåòñêîé è âàâèëîíñêîé ìàòåìàòèêå. Âîçìîæíî, â ïåðèîä íàèнáîëåå èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ äóõîâíîé æèçíè Âàâèëîíà è Åãèïòà, â ïåнðèîä ôîðìèðîâàíèÿ îñíîâ èõ çíàíèé èçëîæåíèå òåõ èëèа èíûõа ìàòåìàòèн÷åñêèõ ïîëîæåíèéа ñîïðîâîæäàëîñüа îáîñíîâàíèåì â òîé èëè èíîé ôîðìå. Îäíàêî, êàê ïèøåò Âàí äåð Âàðäåí, Уâî âðåìåíà Ôàëåñàа åãèïåòñêàÿа è âàâèëîíñêàÿ ìàòåìàòèêà äàâíî óæå áûëè ìåðòâûìè çíàíèÿìè. Ìîæíî áûëî ïîêàçàòü Ôàëåñó, êàê íàäî âû÷èñëÿòü, íî óæå íåèçâåñòåí áûë õîä ðàñнñóæäåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå ýòèõ ïðàâèëФ.

Ãðåêè ââîäÿò ïðîöåññ îáîñíîâàíèÿ êàê íåîáõîäèìûé êîìïîíåíòа ìàнòåìàòè÷åñêîé äåéñòâèòåëüíîñòè, äîêàçàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòнñÿ îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé èõ ìàòåìàòèêè. Òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà ðàíнíåé ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê â ãåîìåòðèè, òàê è â àðèôìåòèêå ïåðâîнíà÷àëüíî ÿâëÿëàñü ïðîñòàÿ ïîïûòêà ïðèäàíèÿ íàãëÿäíîñòè. Êîíêðåòíûìè ðàçíîâèäíîñòÿìè òàêîãîа äîêàçàòåëüñòâà â àðèôìåòèêå áûëî äîêàçàòåëüнñòâî ïðè ïîìîùè êàìåøêîâ, â ãåîìåòðèè - ïóòåì íàëîæåíèÿ. Íî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ äîêàçàòåëüñòâàа ãîâîðèòа îа òîì, ÷òîа ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ âîñïðèíèìàþòñÿ íå äîãìàòè÷åñêè, à â ïðîöåññåа ðàçìûøëåíèÿ. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáíàðóæèâàåò êðèòè÷åñêèé ñêëàä óìà, óâåðåííîñòü (ìîæåò áûòü, íå âñåãäà îñîçíàííóþ), ÷òî ðàçìûøëåíèåì ìîæíî óñòàíîâèòü ïðàнâèëüíîñòü èëè ëîæíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëîæåíèÿ, óâåðåííîñòü â ñèнëå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ãðåêè âа òå÷åíèè îäíîãî-äâóõ ñòîëåòèÿ ñóìåëè îâëàäåòü ìàòåìàòèн÷åñêèì íàñëåäèåì ïðåäøåñòâåííèêîâ, íàêîïëåííîãî â òå÷åíèè òûñÿ÷åëåнòèé, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá èíòåíñèâíîñòè, äèíàìèçìå èõ ìàòåìàòè÷åñнêîãî ïîçíàíèÿ. Êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå èññëåäîâàíèé Ôàëåñà è åãî ïîñëåнäîâàòåëåé îòа äîãðå÷åñêîéа ìàòåìàòèêè ïðîÿâëÿåòñÿ íå ñòîëüêî â êîíêнðåòíîì ñîäåðæàíèè èññëåäîâàííîé çàâèñèìîñòè, ñêîëüêî â íîâîì ñïîñîáå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ. Èñõîäíûé ìàòåðèàë ãðåêè âçÿëè ó ïðåäøåñòнâåííèêîâ, íî ñïîñîá óñâîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà áûë íîнâûé. Îòëè÷èòåëüíûìèа îñîáåííîñòÿìè èõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ ÿâëÿнþòñÿ ðàöèîíàëèçì, êðèòèöèçì, äèíàìèçì.

Ýòè æåа ÷åðòû õàðàêòåðíû è äëÿ ôèëîñîôñêèõ èññëåäîâàíèé ìèëåòñнêîé øêîëû. Ôèëîñîôñêàÿ êîíöåïöèÿ è ñîâîêóïíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîнæåíèé ôîðìèðóåòñÿ ïîñðåäñòâîì îäíîðîäíîãî ïî ñâîèì îáùèì õàðàêòåðèñнòèêàì ìûñëèòåëüíîãîа ïðîöåññà, êà÷åñòâåííîа îòëè÷íîãîа îòа ìûøëåíèÿ ïðåäøåñòâóþùåé ýïîõè. Êàê æå ñôîðìèðîâàëñÿ ýòîò íîâûé ñïîñîá âîñïðèнÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè? Îòêóäà áåðåò ñâîå íà÷àëî ñòðåìëåíèå ê íàó÷íîнìó çíàíèþ?

Ðÿä èññëåäîâàòåëåéа îáúÿâëÿåòа îòìå÷åííûåа âûøåа õàðàêòåðèñòèêè ìûñëèòåëüíîãî ïðîöåññàа Уâðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè ãðå÷åñêîãî äóõàФ. Îäíàêî ýòà ññûëêà íè÷åãî íå îáúÿñíÿåò, òàê êàê íåïîíÿòíî, ïî÷åìó òîò æå Уãðå÷åñêèé äóõФ ïî ïðîøåñòâèè ýïîõè ýëëèíèçìà òåðÿåò ñâîè êà÷åñòнâà. Ìîæíî ïîïðîáîâàòü ïîèñêàòü ïðè÷èíû òàêîãî ìèðîïîíèìàíèÿ âа ñîöèнàëüíî-ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðå.

Èîíèÿ, ãäå ïðîõîäèëà äåÿòåëüíîñòü ìèëåòñêîé øêîëû, áûëà äîñòàнòî÷íî ðàçâèòîéа âа ýêîíîìè÷åñêîì îòíîøåíèè îáëàñòüþ. Ïîýòîìó èìåííî îíà ïðåæäå ïðî÷èõ âñòóïèëà íà ïóòü íèçâåðæåíèÿа ïåðâîáûòíî-îáùèííîãî ñòðîÿ è ôîðìèðîâàíèÿ ðàáîâëàäåëü÷åñêèõ îòíîøåíèé.  V-VI ââ. äî í.ý. çåìëÿ âñå áîëüøå ñîñðåäîòà÷èâàëàñü â ðóêàõ êðóïíîé ðîäîâîé çíàнòè. Ðàçâèòèå ðåìåñëåííîãî ïðîèçâîäñòâà è òîðãîâëè åùå â áîëüøåé ìåðå óñêîðÿëî ïðîöåññ ñîöèàëüíî-èìóùåñòâåííîãî ðàññëîåíèÿ. Îòíîøåíèÿ ìåæнäó àðèñòîêðàòèåé è äåìîñîì ñòàíîâÿòñÿ íàïðÿæåííûìè;а ñî âðåìåíåì ýòà íàïðÿæåííîñòü ïåðåðàñòàåò â îòêðûòóþ áîðüáó çàа âëàñòü. Êàëåéäîñêîï ñîáûòèé âî âíóòðåííåé æèçíè, íå ìåíåå èçìåí÷èâàÿ âíåøíÿÿ îáñòàíîâêà ôîðìèðóþò äèíàìèçì, æèâîñòü îáùåñòâåííîé ìûñëè.

Íàïðÿæåííîñòü âа ïîëèòè÷åñêîé è ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðàõ ïðèâîäèò ê ñòîëêíîâåíèÿì â îáëàñòè ðåëèãèè, ïîñêîëüêó äåìîñ, åùå íå ñîìíåâàÿñü â òîì, ÷òî ðåëèãèîçíûå è ñâåòñêèå óñòàíîâëåíèÿ âå÷íû, òàê êàê äàíû áîãàìè, òðåáóåò, ÷òîáû îíè áûëè çàïèñàíû è ñòàëè îáùåäîñòóïíûìè, èáî ïðàâèòåëè èñêàæàþò áîæåñòâåííóþ âîëþ è òîëêóþò åå ïî-ñâîåìó. Îäíàêî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå ðåëèãèîçíûõ è ìèôîëîнãè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé (ïîïûòêà òàêîãî èçëîæåíèÿ áûëà äàíà Ãåñèîäîì) íå ìîãëî íå íàíåñòè ñåðüåçíîãî óäàðà ðåëèãèè. Ïðè ïðîâåðêå ðåëèãèîçнíûõ èçìûøëåíèé ëîãèêîé ïåðâûå, íåñîìíåííî, ïîêàçàëèñü áû êîíãëîìåðàнòîì íåëåïîñòåé.

УÒàêèì îáðàçîì, ìàòåðèàëèñòè÷åñêîåа ìèðîâîççðåíèå Ôàëåñà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé íå ÿâëÿåòñÿ êàêèì-òî çàãàäî÷íûì, íå îò ìèðà ñåãî ïîнðîæäåíèåìа Уãðå÷åñêîãî äóõàФ. Îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòîì âïîëíå îïðåäåнëåííûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ óñëîâèé è âûðàæàåòа èíòåðåñûа èñòîðèн÷åñêè-êîíêðåòíûõ ñîöèàëüíûõа ñèë, ïðåæäåа âñåãî òîðãîâî-ðåìåñëåííûõ ñëîåâ îáùåñòâàФ - ïèøåò Î.È.Êåäðîâñêèé.

Íà îñíîâàíèè âñåãî âûøåïåðå÷èñëåííîãî åùå íåëüçÿ ñ áîëüøîé óâåнðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî èìåííî âîçäåéñòâèå ìèðîâîççðåíèÿа ÿâèëîñü ðåøàþùèì ôàêòîðîìа äëÿа âîçíèêíîâåíèÿа äîêàçàòåëüñòâà;а íå èñêëþ÷åíî âåäü, ÷òî ýòî ïðîèçîøëî â ñèëó äðóãèõа ïðè÷èí:а ïîòðåáíîñòåéа ïðîèçнâîäñòâà, çàïðîñîâ ýëåìåíòîâ åñòåñòâîçíàíèÿ, ñóáúåêòèâíûõ ïîáóæäåíèé èññëåäîâàòåëåé. Îäíàêî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ïðè÷èí íå èçìåíèëà ïðèíöèïèàëüíîа ñâîåãîа õàðàêòåðà ïî ñðàâíåíèþ ñ äîãðå÷åñêîé ýïîõîé íåïîñðåäñòâåííî íå ïðèâîäèò ê ïðåâðàùåíèþ ìàòåìàòèêè âа äîêàнçàòåëüíóþ íàóêó. Íàïðèìåð, äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïîòðåáíîñòåé òåõíèêè áûëî âïîëíå äîñòàòî÷íî ïðàêòè÷åñêîé íàóêè äðåâíåãî Âîñòîêà, â ñïðàнâåäëèâîñòè ïîëîæåíèéа êîòîðîé ìîæíî áûëî óáåäèòüñÿ ýìïèðè÷åñêè. Ñàì ïðîöåññ âûÿâëåíèÿ ýòèõ ïîëîæåíèé ïîêàçàë, ÷òî îíè äàþòа äîñòàòî÷íóþ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ íóæä òî÷íîñòü.

Ìîæíî ñ÷èòàòü îäíèì èç ïîáóäèòåëüíûõ ìîòèâîâ âîçíèêíîâåíèÿа äîнêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòüа îñìûñëåíèÿ è îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðåäнøåñòâåííèêîâ. Îäíàêî è ýòîìó ôàêòîðó íå ïðèíàäëåæèòа ðåøàþùàÿа ðîëü, òàê êàê, íàïðèìåð, ñóùåñòâóþò òåîðèè, âîñïðèíèìàåìûå íàìè êàê î÷åнâèäíûå, íî ïîëó÷èâøèåа ñòðîãîåа îáîñíîâàíèåа âа àíòè÷íîéа ìàòåìàòèêå (íàïðèìåð, òåîðèÿ äåëèìîñòè íà 2).

Ïîÿâëåíèå ïîòðåáíîñòè äîêàçàòåëüñòâà â ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêå ïîнëó÷àåò óäîâëåòâîðèòåëüíîå îáúÿñíåíèå, åñëè ó÷åñòü âçàèìîäåéñòâèå ìèнðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè.  ýòîì îòíîøåíèè ãðåêèа ñóùåñòнâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.  èõ ôèëîñîôñêèõ è ìàòåнìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ïðîÿâëÿþòñÿ âåðà â ñèëó ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóнìà, êðèòè÷åñêîåа îòíîøåíèå ê äîñòèæåíèÿì ïðåäøåñòâåííèêîâ, äèíàìèçì ìûøëåíèÿ. Ó ãðåêîâ âëèÿíèå ìèðîâîççðåíèÿ ïðåâðàòèëîñü èçа ñäåðæèâàþнùåãî ôàêòîðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ â ñòèìóëèðóþùèé, â äåéñòâåííóþ ñèëó ïðîãðåññà ìàòåìàòèêè.

 òîì, ÷òî îáîñíîâàíèå ïðèíÿëî èìåííî ôîðìó äîêàçàòåëüñòâà, à íå îñòàíîâèëîñü íà ýìïèðè÷åñêîé ïðîâåðêå, ðåøàþùèì ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëåнíèå íîâîé, ìèðîâîççðåí÷åñêîé ôóíêöèè íàóêè. Ôàëåñ è åãî ïîñëåäîâàòåнëè âîñïðèíèìàþò ìàòåìàòè÷åñêèåа äîñòèæåíèÿа ïðåäøåñòâåííèêîâа ïðåæäå âñåãî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ òåõíè÷åñêèõ ïîòðåáíîñòåé, íî íàóêà äëÿ íèõ - íå÷òî áîëüøåå, ÷åì àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Îòнäåëüíûå, íàèáîëååа àáñòðàêòíûåа ýëåìåíòû ìàòåìàòèêè âïëåòàþòñÿ â íàнòóðôèëîñîôñêóþ ñèñòåìó è çäåñü âûïîëíÿþò ðîëü àíòèïîäàа ìèôîëîãè÷åñнêèì è ðåëèãèîçíûì âåðîâàíèÿì. Ýìïèðè÷åñêàÿ ïîäòâåðæäàåìîñòü äëÿ ýëåнìåíòîâ ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû áûëà íåäîñòàòî÷íîé â ñèëó îáùíîñòè èõ õàнðàêòåðà è ñêóäíîñòè ïîäòâåðæäàþùèõ èõ ôàêòîâ. Ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ æå ê òîìó âðåìåíè äîñòèãëè òàêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ, ÷òî ìåæäó îòäåëüнíûìè ïîëîæåíèÿìè ìîæíî áûëî óñòàíîâèòü ëîãè÷åñêèå ñâÿçè. Òàêàÿ ôîðìà îáîñíîâàíèé îêàçàëàñü îáúåêòèâíî ïðèåìëåìîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîнæåíèé.

Ãëàâà 3

ÏÈÔÀÃÎÐÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Íà îñíîâàíèèа äàííîãîа âûøåа èññëåäîâàíèÿ ìèëåòñêîé øêîëû ìîæíî ëèøü óáåäèòüñÿ â àêòèâíîì âëèÿíèè ìèðîâîççðåíèÿ íà ïðîöåññ ìàòåìàòèн÷åñêîãî ïîçíàíèÿ òîëüêî ïðè ðàäèêàëüíîì èçìåíåíèè ñîöèàëüíî-ýêîíîìèн÷åñêèõ óñëîâèé æèçíè îáùåñòâà. Îäíàêî îñòàþòñÿ îòêðûòûìè âîïðîñûа î òîì, âëèÿåò ëè èçìåíåíèå ôèëîñîôñêîé îñíîâû æèçíè îáùåñòâà íà ðàçâèнòèå ìàòåìàòèêè, çàâèñèò ëè ìàòåìàòè÷åñêîå ïîçíàíèå îò èçìåíåíèÿ èäåнîëîãè÷åñêîéа íàïðàâëåííîñòèа ìèðîâîççðåíèÿ, èìååò ëè ìåñòî îáðàòíîå âîçäåéñòâèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé íà ôèëîñîôñêèå èäåè. Ìîæíîа ïîïûнòàòüñÿ îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû, îáðàòèâøèñü ê äåÿòåëüíîñòè ïèôàãîðåéñêîé øêîëû.

Ïèôàãîðåèçì êàêа íàïðàâëåíèå äóõîâíîé æèçíè ñóùåñòâîâàë íà ïðîнòÿæåíèè âñåé èñòîðèè Äðåâíåé Ãðåöèè, íà÷èíàÿ ñ VI âåêà äî í. ý. è ïðîøåëа â ñâîåì ðàçâèòèè ðÿä ýòàïîâ. Âîïðîñ î èõ âðåìåííîé äëèòåëüнíîñòè ñëîæåí è äî ñèõ ïîð íå ðåøåí îäíîçíà÷íî. Îñíîâîïîëîæíèêîì øêîнëû áûë Ïèôàãîð Ñàìîññêèé (îê. 580-500 äî í.ý.). Íè îäíà ñòðîêà, íàнïèñàííàÿ Ïèôàãîðîì, íå ñîõðàíèëàñü;а âîîáùå íåèçâåñòíî, ïðèáåãàë ëè îí ê ïèñüìåííîé ïåðåäà÷å ñâîèõ ìûñëåé. ×òî áûëî ñäåëàíî ñàìèì Ïèôàãîнðîì, à ÷òî åãî ó÷åíèêàìè, óñòàíîâèòü î÷åíü òðóäíî. Ñâèäåòåëüñòâà î íåì äðåâíåãðå÷åñêèõ àâòîðîâ ïðîòèâîðå÷èâû; â êàêîé-òî ìåðå ðàçëè÷íûå îöåíêè åãî äåÿòåëüíîñòè îòðàæàþò ìíîãîîáðàçèå åãî ó÷åíèÿ.

 ïèôàãîðåèçìå âûäåëÿþò äâå ñîñòàâëÿþùèå:а ïðàêòè÷åñêóþ (Уïèôàнãîðåéñêèé îáðàç æèçíèФ) è òåîðåòè÷åñêóþа (îïðåäåëåííàÿа ñîâîêóïíîñòü ó÷åíèé).  ðåëèãèîçíîì ó÷åíèè ïèôàãîðåéöåâ íàèáîëåå âàæíîé ñ÷èòàëàñü îáðÿäîâàÿ ñòîðîíà, çàòåì èìåëîñü â âèäó ñîçäàòü îïðåäåëåííîå äóøåâнíîå ñîñòîÿíèå è ëèøü ïîòîì ïî çíà÷èìîñòè øëè âåðîâàíèÿ, â òðàêòîâêå êîòîðûõ äîïóñêàëèñü ðàçíûå âàðèàíòû. Ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðåëèãèнîçíûìè òå÷åíèÿìèа óа ïèôàãîðåéöåâ áûëè ñïåöèôè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå è ñóäüáå äóøè. Äóøà - ñóùåñòâî áîæåñòâåííîå, îíà çàêëþ÷åíà â òåëî â íàêàçàíèå çà ïðåãðåøåíèÿ. âûñøàÿ öåëü æèçíè - îñâîáîäèòü äóøó èç òåëåñíîé òåìíèöû, íå äîïóñòèòü â äðóãîå òåëî, êîòîðîå ÿêîáû ñîнâåðøàåòñÿ ïîñëå ñìåðòè. Ïóòåì äëÿ äîñòèæåíèÿ ýòîé öåëè ÿâëÿåòñÿ âûнïîëíåíèå îïðåäåëåííîãî ìîðàëüíîãî êîäåêñà, Уïèôàãîðåéñêèé îáðàç æèçнíèФ.  ìíîãî÷èñëåííîé ñèñòåìå ïðåäïèñàíèé, ðåãëàìåíòèðîâàâøèõ ïî÷òè êàæäûé øàã æèçíè, âèäíîå ìåñòî îòâîäèëîñü çàíÿòèÿì ìóçûêîé è íàó÷íûнìè èññëåäîâàíèÿìè.

Òåîðåòè÷åñêàÿ ñòîðîíàа ïèôàãîðåèçìàа òåñíîа ñâÿçàíàа ñа ïðàêòèн÷åñêîé.  òåîðåòè÷åñêèõ èçûñêàíèÿõ ïèôàãîðåéöûа âèäåëèа ëó÷øåå ñðåäñòâî îñâîáîæäåíèÿ äóøè èç êðóãà ðîæäåíèé, à èõ ðåçóëüòàòû ñòðåнìèëèñü èñïîëüçîâàòüа äëÿа ðàöèîíàëüíîãîа îáîñíîâàíèÿа ïðåäïîëàãàåìîé äîêòðèíû. Âåðîÿòíî, â äåÿòåëüíîñòè Ïèôàãîðà è åãî áëèæàéøèõ ó÷åíèêîâ íàó÷íûå ïîëîæåíèÿ áûëè ïåðåìåøàíû ñ ìèñòèêîé, ðåëèãèîçíûìè è ìèôîëîнãè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè. Âñÿ ýòà УìóäðîñòüФ èçëàãàëàñü â êà÷åñòâå èçðå÷åíèé îðàêóëà, êîòîðûìа ïðèäàâàëñÿа ñêðûòûé ñìûñë áîæåñòâåííîãî îòêðîâåíèÿ.

Îñíîâíûìè îáúåêòàìè íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ ó ïèôàãîðåéöåâ áûëè ìàòåнìàòè÷åñêèå îáúåêòû, â ïåðâóþ î÷åðåäü ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà (âñïîìнíèì çíàìåíèòîå У×èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåéФ). Âèäíîå ìåñòî îòâîнäèëîñü èçó÷åíèþ ñâÿçåé ìåæäó ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè ÷èñëàìè.  îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ çíàíèé âíèìàíèå àêöåíòèðóåòñÿ íà íàèáîëåå àáñòðàêòíûõ çàâèñèìîñòÿõ. Ïèôàãîðåéöàìè áûëà ïîñòðîåíà çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïëàíèнìåòðèè ïðÿìîóãîëüíûõа ôèãóð;а âûñøèìа äîñòèæåíèåì â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà, ÷àñòíûå ñëó÷àè êîòîðîé çà 1200 ëåò äî ýòîãî ïðèâîäÿòñÿ â êëèíîïèñíûõ òåêñòàõ âàâèëîíÿí. Ãðåêè äîêàнçûâàþò åå îáùèì îáðàçîì. Íåêîòîðûå èñòî÷íèêè ïðèïèñûâàþò ïèôàãîðåéнöàì äàæå òàêèå âûäàþùèåñÿ ðåçóëüòàòû, êàê ïîñòðîåíèå ïÿòè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.

×èñëà ó ïèôàãîðåéöåâ âûñòóïàþò îñíîâîïîëàãàþùèìè óíèâåðñàëüíûìè îáúåêòàìè, ê êîòîðûì ïðåäïîëàãàëîñü ñâåñòè íå òîëüêîа ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ, íî è âñå ìíîãîîáðàçèå äåéñòâèòåëüíîñòè. Ôèçè÷åñêèå, ýòèн÷åñêèå, ñîöèàëüíûå è ðåëèãèîçíûå ïîíÿòèÿ ïîëó÷èëè ìàòåìàòè÷åñêóþ îêнðàñêó. Íàóêå î ÷èñëàõ è äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòàõ îòâîäèòñÿ îñнíîâîïîëàãàþùåå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ, òî åñòü ôàêòè÷åñêè ìàнòåìàòèêà îáúÿâëÿåòñÿ ôèëîñîôèåé. Êàê ïèñàë Àðèñòîòåëü, У...ó ÷èñåë îíè óñìàòðèâàëè, êàçàëîñü áû, ìíîãî ñõîäíûõ ÷åðò ñ òåì, ÷òî ñóùåñòнâóåòа è ïðîèñõîäèò, - áîëüøå, ÷åì ó îãíÿ, çåìëè è âîäû... Ó íèõ, ïî-âèäèìîìó, ÷èñëî ïðèíèìàåòñÿ çà íà÷àëî è âа êà÷åñòâåа ìàòåðèèа äëÿ âåùåé, è â êà÷åñòâå âûðàæåíèÿ äëÿ èõ ñîñòîÿíèé è ñâîéñòâ... Íàïðèнìåð, òàêîå-òî ñâîéñòâî ÷èñåë åñòü ñïðàâåäëèâîñòü, à òàêîå-òî - äóøà è óì, äðóãîå - óäà÷à, è ìîæíî ñêàçàòü - â êàæäîì èç îñòàëüíûõ ñëó÷àнåâ òî÷íî òàêæå. У

Åñëè ñðàâíèâàòüа ìàòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ðàííåé ïèôàãîðåéñнêîé è ìèëåòñêîé øêîë, òî ìîæíî âûÿâèòü ðÿäа ñóùåñòâåííûõа ðàçëè÷èé. Òàê, ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ðàññìàòðèâàëèñü ïèôàãîðåéöàìè êàê ïåðâîнñóùíîñòü ìèðà, òî åñòü ðàäèêàëüíî èçìåíèëîñü ñàìî ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Êðîìå òîãî, ìàòåìàòèêà ïðåâðàùåíà ïèôàãîнðåéöàìè â ñîñòàâëÿþùóþ ðåëèãèè, â ñðåäñòâî î÷èùåíèÿ äóøè, äîñòèæåíèÿ áåññìåðòèÿ. È íàêîíåö, ïèôàãîðåéöû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñнêèõ îáúåêòîâ íàèáîëåå àáñòðàêòíûìè òèïàìèа ýëåìåíòîâа èа ñîçíàòåëüíî èãíîðèðóþò ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Íî ÷åì æå îáóñëîâëåíû òàêèå ãëîáàëüíûå ðàñõîæäåíèÿ â ïîíèìàíèèа ïðèнðîäûа ìàòåìàòè÷åñêèõа îáúåêòîâ ó øêîë, ñóùåñòâîâàâøèõ ïðàêòè÷åñêè â îäíî è òî æå âðåìÿ è ÷åðïàâøèõ ñâîþ ìóäðîñòü, ïî-âèäèìîìó, èç îäíîãî èа òîãî æå èñòî÷íèêà - êóëüòóðû Âîñòîêà?а Âïðî÷åì, Ïèôàãîð, ñêîðåå âñåãî, ïîëüçîâàëñÿ äîñòèæåíèÿìè ìèëåòñêîé øêîëû, òàê êàê ó íåãî, êàê è ó Ôàëåñà, îáíàðóæèâàþòñÿ îñíîâíûå ïðèçíàêè óìñòâåííîé äåÿòåëüíîñнòè, îòëè÷àþùèåñÿ îò äîãðå÷åñêîé ýïîõè;а îäíàêîа ìàòåìàòè÷åñêàÿа äåÿнòåëüíîñòü ýòèõ øêîë íîñèëà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé õàðàêòåð.

Àðèñòîòåëü áûë îäíèì èç ïåðâûõ, êòî ïîïûòàëñÿ îáúÿñíèòü ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè. Îí âèäåë èõ â ïðåäåëàõ ñàìîé ìàòåìàòèêè:а УÒàê íàçûâàåìûå ïèôàãîðåéöû, çàíÿâøèñü ìàòåìàòèн÷åñêèìè íàóêàìè, âïåðâûå äâèíóëè èõ âïåðåä è, âîñïèòàâøèñü íà íèõ, ñòàëè ñ÷èòàòü èõ íà÷àëàìè âñåõ âåùåé.Ф Ïîäîáíà òî÷êà çðåíèÿ íå ëèøåнíà îñíîâàíèÿа õîòÿа áûа â ñèëó ïðèìåíèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé äëÿ âûðàæåíèÿ îòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ÿâëåíèÿìè. Íà ýòîì îñíîâàнíèè ìîæíî, íåïðàâîìåðíî ðàñøèðèâ äàííûé ìîìåíò ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçнíàíèÿ, ïðèéòè ê óòâåðæäåíèþ î âûðàçèìîñòè âñåãî ñóùåãî ñ ïîìîùüþ ìàнòåìàòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé, à åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëîâûå îòíîøåíèÿ óíèâåðнñàëüíûìè, òî У÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåéФ. Êðîìå òîãî, êî âðåìåнíè äåÿòåëüíîñòèа ïèôàãîðåéöåâ ìàòåìàòèêà ïðîøëà äëèííûé ïóòü èñòîðèн÷åñêîãî ðàçâèòèÿ; ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ åå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé òåðÿëñÿ âî ìðàêå âåêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿëîñü èñêóøåíèå ïðåíåáðå÷ü èì è îáúÿâèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ÷åì-òî ïåðâè÷íûì ïî îòíîøåíèþ êа ñóнùåñòâóþùåìó ìèðó. Èìåííî òàê è ïîñòóïèëè ïèôàãîðåéöû.

 ñîâåòñêîé ôèëîñîôñêîé íàóêå ïðîáëåìà ïîÿâëåíèÿа ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè ðàññìàòðèâàëàñü, åñòåñòâåííî, ñ ïîçèöèé ìàðêñèñòñêî-ëåíèíñêîé ôèëîñîôèè. Òàê, Î.È.Êåäðîâñêèé ïèøåò: У...Âûнðàáîòàííàÿа èì (Ïèôàãîðîì) êîíöåïöèÿ îáúåêòèâíî îêàçàëàñü èäåîëîãèåé âïîëíå îïðåäåëåííûõ ñîöèàëüíûõ ñëîåâ îáùåñòâà. Ýòî áûëè ...ïðåäñòàнâèòåëè àðèñòîêðàòèè, òåñíèìûå äåìîñîì... Äëÿ íèõ õàðàêòåðíî ñòðåìëåнíèå óéòè îò òÿãîò çåìíîé æèçíè, îáðàùåíèå ê ðåëèãèè è ìèñòèêåФ. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ, êàê è ïåðâàÿ, íå ëèøåíà ñìûñëà; èñòèíà æå, âåðîÿòíî, íàõîäèòñÿ ãäå-òî ïîñåðåäèíå. Îäíàêî, íà ìîé âçãëÿä, êðàõ ïèôàãîðåéñнêîãîа ó÷åíèÿа ñëåäóåòа ñâÿçûâàòüа âа ïåðâóþ î÷åðåäü íå ñ âûðîæäåíèåì àðèñòîêðàòèè êàê êëàññà, à ñ ïîïûòêîé ïèôàãîðåéöåâа èçâðàòèòüа ñàìó ïðèðîäóа ïðîöåññàа ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ëèøèâ ìàòåìàòèêó òàêèõ âàæíûõ èñòî÷íèêîâ ïðîãðåññà, êàê ïðèëîæåíèÿ ê ïðîèçâîäñòâó, îòêðûòîå îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé, êîëëåêòèâíîå òâîð÷åñòâî, óäåðнæàòü ïðîãðåññ ìàòåìàòèêè â ðàìêàõ ðàôèíèðîâàííîãî ó÷åíèÿ äëÿа ïîñâÿнùåííûõ. Êñòàòè, ñàìèа ïèôàãîðåéöûа ïîäîðâàëè ñâîé îñíîâîïîëàãàþùèé ïðèíöèï У÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåéФ, îòêðûâ, ÷òî îòíîøåíèå äèàнãîíàëè è ñòîðîíû êâàäðàòà íå âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì öåëûõ ÷èñåë.

Òàêèì îáðàçîì, óæå â èñõîäíîì ïóíêòåа ñâîåãîа ðàçâèòèÿа òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêàа áûëàа ïîäâåðæåíàа âëèÿíèþ áîðüáû äâóõ òèïîâ ìèðîнâîççðåíèÿ - ìàòåðèàëèñòè÷åñêîãî è ðåëèãèîçíî-èäåàëèñòè÷åñêîãî. Ìû æå óáåäèëèñü, ÷òî íàðÿäó ñ âëèÿíèåì ìèðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèн÷åñêîãî ïîçíàíèÿ èìååò ìåñòî è îáðàòíîå âîçäåéñòâèå.

Ãëàâà 4

ÝËÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ýëåéñêàÿ øêîëà äîâîëüíî èíòåðåñíà äëÿ èññëåäîâàíèÿ, òàê êàê ýòî îäíà èç äðåâíåéøèõ øêîë, â òðóäàõ êîòîðîé ìàòåìàòèêà è ôèëîñîôèÿ äîнñòàòî÷íî òåñíî è ðàçíîñòîðîííå âçàèìîäåéñòâóþò. Îñíîâíûìè ïðåäñòàâèнòåëÿìè ýëåéñêîé øêîëû ñ÷èòàþò Ïàðìåíèäà (êîíåö VI - V â. äî í.ý.) è Çåíîíà (ïåðâàÿ ïîëîâèíà V â. äî í.ý.).

Ôèëîñîôèÿ Ïàðìåíèäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:а âñåâîçìîæíûå ñèñнòåìû ìèðîïîíèìàíèÿ áàçèðóþòñÿ íà îäíîé èç òðåõ ïîñûëîê: 1)Åñòü òîëüнêî áûòèå, íåáûòèÿ íåò;а 2)Ñóùåñòâóåò íå òîëüêî áûòèå, íî è íåáûòèå; 3)Áûòèå èа íåáûòèåа òîæäåñòâåííû. Èñòèííîé Ïàðìåíèä ïðèçíàåò òîëüêî ïåðâóþ ïîñûëêó. Ñîãëàñíî åìó, áûòèå åäèíî, íåäåëèìî, íåèçìåíÿåìî, âíåâðåìåííî, çàêîí÷åíî â ñåáå, òîëüêî îíî èñòèííî ñóùåå; ìíîæåñòâåíнíîñòü, èçìåí÷èâîñòü, ïðåðûâíîñòü, òåêó÷åñòü - âñå ýòî óäåë ìíèìîãî.

Ñ çàùèòîéа ó÷åíèÿа Ïàðìåíèäàа îò âîçðàæåíèé âûñòóïèë åãî ó÷åíèê Çåíîí. Äðåâíèå ïðèïèñûâàëè åìó ñîðîê äîêàçàòåëüñòâ äëÿ çàùèòû ó÷åíèÿ î åäèíñòâåа ñóùåãî (ïðîòèâ ìíîæåñòâåííîñòè âåùåé) è ïÿòü äîêàçàòåëüнñòâ åãî íåïîäâèæíîñòè (ïðîòèâ äâèæåíèÿ). Èç íèõ äî íàñ äîøëîа âñåãî äåâÿòü. Íàèáîëüøåé èçâåñòíîñòüþ âî âñå âðåìåíà ïîëüçîâàëèñü çåíîíîâû äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ äâèæåíèÿ; íàïðèìåð, Уäâèæåíèÿ íå ñóùåñòâóåò íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ïåðåìåùàþùååñÿ òåëî äîëæíî ïðåæäå äîéòè äî ïîëîнâèíû, ÷åì äî êîíöà, à ÷òîáû äîéòè äî ïîëîâèíû, íóæíî ïðîéòè ïîëîâèíó ýòîé ïîëîâèíû è ò.ä.Ф.

Àðãóìåíòû Çåíîíà ïðèâîäÿòа êа ïàðàäîêñàëüíûì, ñа òî÷êèа çðåíèÿ Уçäðàâîãî ñìûñëàФ, âûâîäàì, íî èõ íåëüçÿ áûëî ïðîñòî îòáðîñèòü êàê íåñîñòîÿòåëüíûå, ïîñêîëüêó è ïî ôîðìå, è ïî ñîäåðæàíèþ óäîâëåòâîðÿëè ìàòåìàòè÷åñêèìа ñòàíäàðòàì òîé ïîðû. Ðàçëîæèâ àïîðèè Çåíîíà íà ñîñнòàâíûå ÷àñòè è äâèãàÿñü îò çàêëþ÷åíèé ê ïîñûëêàì, ìîæíî ðåêîíñòðóèнðîâàòüа èñõîäíûå ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå îí âçÿë çà îñíîâó ñâîåé êîíöåïнöèè. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â êîíöåïöèè ýëåàòîâ, êàê è â äîçåíîíîâñêîé íàóêåа ôóíäàìåíòàëüíûåа ôèëîñîôñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñóùåñòâåííî îïèðàнëèñü íà ìàòåìàòè÷åñêèå ïðèíöèïû. Âèäíîå ìåñòîа ñðåäèа íèõа çàíèìàëè ñëåäóþùèå àêñèîìû:

1. Ñóììà áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ëþáûõ, õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî ìàëûõ, íî ïðîòÿæåííûõ âåëè÷èí äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé;

2. Ñóììà ëþáîãî, õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëàа íåïðîòÿнæåííûõ âåëè÷èíа âñåãäà ðàâíà íóëþ è íèêîãäà íå ìîæåò ñòàòü íåêîòîðîé çàðàíåå çàäàííîé ïðîòÿæåííîé âåëè÷èíîé.

Èìåííî âа ñèëó òåñíîé âçàèìîñâÿçè îáùèõ ôèëîñîôñêèõ ïðåäñòàâëåнíèé ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïîëîæåíèÿìè óäàð, íàíåñåííûé Çåíîíîì ïî ôèëîñîôñêèì âîççðåíèÿì, ñóùåñòâåííî çàòðîíóë ñèñòåìó ìàнòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé. Öåëûé ðÿä âàæíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ñ÷èòàâøèõñÿ äî ýòîãî íåñîìíåííî èñòèííûìè, â ñâåòå çåíîíîâñêèõ ïîñòнðîåíèé âûãëÿäåëè êàê ïðîòèâîðå÷èâûå. Ðàññóæäåíèÿ Çåíîíàа ïðèâåëèа ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåîñìûñëèòüа òàêèåа âàæíûå ìåòîäîëîãè÷åñêèå âîïðîñû, êàê ïðèðîäà áåñêîíå÷íîñòè, ñîîòíîøåíèå ìåæäó íåïðåðûâíûì èа ïðåðûâнíûì èа ò.ï. Îíè îáðàòèëè âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ íà íåïðî÷íîñòü ôóíäàнìåíòà èõ íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè è òàêèì îáðàçîì îêàçàëèа ñòèìóëèðóþùåå âîçäåéñòâèå íà ïðîãðåññ ýòîé íàóêè.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå è íà îáðàòíóþ ñâÿçü - íà ðîëü ìàòåìàнòèêè â ôîðìèðîâàíèè ýëåéñêîé ôèëîñîôèè. Òàê, óñòàíîâëåíî, ÷òî àïîðèè Çåíîíà ñâÿçàíû ñ íàõîæäåíèåì ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîéа ïðîãнðåññèè. Íàа ýòîìа îñíîâàíèè ñîâåòñêèé èñòîðèê ìàòåìàòèêè Ý. Êîëüìàí ñäåëàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî Уèìåííî íà ìàòåìàòè÷åñêèé ïî÷âå ñóììèðîâàнíèÿ òàêèõа ïðîãðåññèéа èа âûðîñëè ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå àïîðèè ÇåíîíàФ. Îäíàêî òàêîå ïðåäïîëîæåíèå, ïî-âèäèìîìó, ëèøåíî äîñòàòî÷íûõ îñíîâàнíèé, òàêа êàê îíî ñëèøêîì æåñòêî ñâÿçûâàåò ó÷åíèå Çåíîíà ñ ìàòåìàòèнêîé ïðè òîì, ÷òî èìåþùèå èñòîðè÷åñêèå äàííûå íå äàþò îñíîâàíèÿа óòнâåðæäàòü, ÷òî Çåíîí âîîáùå áûë ìàòåìàòèêîì.

Îãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîñëåäóþùåãîа ðàçâèòèÿа ìàòåìàòèêèа èìåëî ïîâûøåíèå óðîâíÿ àáñòðàêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ÷òî ïðîèçîøëî â áîëüøîé ñòåïåíè áëàãîäàðÿ äåÿòåëüíîñòè ýëåàòîâ. Êîíêðåòíîé ôîðìîé ïðîÿâëåíèÿ ýòîãîа ïðîöåññà áûëî âîçíèêíîâåíèå êîñâåííîãî äîêàçàòåëüнñòâà (Уîò ïðîòèâíîãîФ), õàðàêòåðíîé ÷åðòîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ äîêàçàнòåëüñòâî íå ñàìîãî óòâåðæäåíèÿ, à àáñóðäíîñòè îáðàòíîãî åìó. Òàêèì îáðàçîì áûë ñäåëàí øàã ê ñòàíîâëåíèþ ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé íàóнêè, ñîçäàíûа íåêîòîðûåа ïðåäïîñûëêè äëÿ åå àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåнíèÿ.

Èòàê, ôèëîñîôñêèå ðàññóæäåíèÿ ýëåàòîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿâèëèñü ìîùíûì òîë÷êîì äëÿ ïðèíöèïèàëüíî íîâîé ïîñòàíîâêè âàæíåéøèõ аìåòîäîнëîãè÷åñêèõ âîïðîñîâа ìàòåìàòèêè, àа ñ äðóãîé - ïîñëóæèëè èñòî÷íèêîì âîçíèêíîâåíèÿ êà÷åñòâåííîа íîâîéа ôîðìûа îáîñíîâàíèÿа ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Ãëàâà 5

ÄÅÌÎÊÐÈÒ

Àðãóìåíòû Çåíîíà âñêðûëè âíóòðåííèå ïðîòèâîðå÷èÿ, êîòîðûå èìåëè ìåñòî â ñëîæèâøèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Òåì ñàìûì ôàêò ñóùåñòâîнâàíèÿ ìàòåìàòèêè áûë ïîñòàâëåí ïîä ñîìíåíèå. Êàêèìè æå ïóòÿìè ðàçðåнøàëèñü ïðîòèâîðå÷èÿ, âûÿâëåííûå Çåíîíîì ?

Ïðîñòåéøèì âûõîäîìа èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áàë îòêàç îò àáñнòðàêöèé â ïîëüçó òîãî, ÷òî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ îùóùåíèé. Òàêóþ ïîçèöèþ çàíÿë ñîôèñò Ïðîòàãîð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî Уìû íå ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñåáå íè÷åãî ïðÿìîãî èëè êðóãëîãî â òîì ñìûñëå, êàê ïðåäñòàâëÿåò ýòè òåðìèíû ãåîìåòðèÿ; â ñàìîì äåëå, êðóã êàñàåòñÿ ïðÿнìîé íå â îäíîé òî÷êåФ. Òàêèì îáðàçîì, èç ìàòåìàòèêè ñëåäóåò óáðàòü êàê èððåàëüíûå:а ïðåäñòàâëåíèÿа îа áåñêîíå÷íîì ÷èñëå âåùåé, òàê êàê íèêòî íå ìîæåò ñ÷èòàòü äî áåñêîíå÷íîñòè; áåñêîíå÷íóþ äåëèìîñòü, ïîñнêîëüêó îíàа íåîñóùåñòâèìà ïðàêòè÷åñêè è ò.ä. Òàêèì ïóòåì ìàòåìàòèêó ìîæíî ñäåëàòü íåóÿçâèìîé äëÿ ðàññóæäåíèé Çåíîíà, íî ïðè ýòîì ïðàêòèн÷åñêè óïðàçäíÿåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà. Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå áûнëî ïîñòðîèòü ñèñòåìó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîëîæåíèé ìàòåìàòèêè, â êîòîðîé áû âûÿâëåííûå Çåíîíîì ïðîòèâîðå÷èÿ íå èìåëè áû ìåñòà. Ýòó çàäà÷ó ðåнøèë Äåìîêðèò, ðàçðàáîòàâ êîíöåïöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà.

Äåìîêðèò áàë, ïî ìíåíèþ Ìàðêñà, Уïåðâûì ýíöèêëîïåäè÷åñêèì óìîì ñðåäè ãðåêîâФ. Äèîãåí Ëàåðöèé ( â. í.ý.) íàçûâàåò 7Î åãî ñî÷èíåнíèé, â êîòîðûõ áûëè îñâåùåíû âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ìàòåìàòèêè, êîñìîëîãèè, ôèçèêè, áèîëîãèè, îáùåñòâåííîé æèçíè, ïñèõîëîãèè, ýòèêè, ïåäàãîãèêè, ôèëîëîãèè, èñêóññòâà, òåõíèêè è äðóãèå. Àðèñòîòåëü ïèñàë î íåì: УÂîîáùå, êðîìå ïîâåðõíîñòíûõ èçûñêàíèé, íèêòî íè÷åãî íå óñòàнíîâèë, èñêëþ÷àÿ Äåìîêðèòà. ×òî æå êàñàåòñÿ åãî, òî ïîëó÷àåòñÿ òàêîå âïå÷àòëåíèå, ÷òî îí ïðåäóñìîòðåë âñå, äà è â ìåòîäåа âû÷èñëåíèéа îí âûãîäíî îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõФ.

Ââîäíîé ÷àñòüþ íàó÷íîé ñèñòåìû Äåìîêðèòà áûëà УêàíîíèêàФ, â êîнòîðîé ôîðìóëèðîâàëèñü è îáîñíîâûâàëèñü ïðèíöèïû àòîìèñòè÷åñêîé ôèëîнñîôèè. Çàòåì ñëåäîâàëà ôèçèêà, êàê íàóêà î ðàçëè÷íûõ ïðîÿâëåíèÿõ áûнòèÿ, è ýòèêà. Êàíîíèêà âõîäèëà â ôèçèêó â êà÷åñòâå èñõîäíîãî ðàçäåнëà, ýòèêà æå ñòðîèëàñü êàê ïîðîæäåíèå ôèçèêè.  ôèëîñîôèè Äåìîêðèòà ïðåæäå âñåãîа óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó Уïîäëèííî ñóùèìФ è òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî â Уîáùåì ìíåíèèФ. Ïîäëèííîа ñóùèìèа ñ÷èòàëèñü ëèøü àòîìû è ïóñòîòà. Êàê ïîäëèííî ñóùåå, ïóñòîòà (íåáûòèå) åñòü òàнêàÿ æå ðåàëüíîñòü, êàê àòîìû (áûòèå). УÂåëèêàÿ ïóñòîòàФ áåçãðàíè÷íà è çàêëþ÷àåò â ñåáå âñå ñóùåñòâóþùåå, â íåé íåò íè âåðõà, íè íèçà, íè êðàÿ, íè öåíòðà, îíà äåëàåò ïðåðûâíîé ìàòåðèþ è âîçìîæíûì åå äâèæåнíèå. Áûòèåа îáðàçóþòа áåñ÷èñëåííûå ìåëü÷àéøèå êà÷åñòâåííî îäíîðîäíûå ïåðâîòåëüöà, ðàçëè÷àþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé ïî âíåøíèìа ôîðìàì, ðàçìåðó, ïîëîæåíèþ è ïîðÿäêó, îíè äàëåå íåäåëèìû âñëåäñòâèå àáñîëþòíîé òâåðнäîñòè è îòñóòñòâèÿ â íèõ ïóñòîòû è Уïîа âåëè÷èíåа íåäåëèìûФ. Àòîìàì ñàìèì ïî ñåáå ñâîéñòâåííî íåïðåñòàííîå äâèæåíèå, ðàçíîîáðàçèå êîòîнðîãî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ðàçíîîáðàçèåìа ôîðìа àòîìîâ. Äâèæåíèå àòîìîâ âå÷íîа èа â êîíå÷íîì èòîãå ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé âñåõ èçìåíåíèé â ìèðå.

Çàäà÷à íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ, ñîãëàñíî Äåìîêðèòó, ÷òîáû íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ ñâåñòè ê îáëàñòè Уèñòèííîãî ñóùåãîФ è äàòü èì îáúÿñíåíèå èñнõîäÿ èçа îáùèõ ïðèíöèïîâ àòîìèñòèêè. Ýòî ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïîñнðåäñòâîì ñîâìåñòíîé äåÿòåëüíîñòè îùóùåíèé è ðàçóìà. Ãíîñåîëîãè÷åñêóþ ïîçèöèþа Äåìîêðèòà Ìàðêñ ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì:а УÄåìîêðèò íå òîëüêî íå óäàëÿëñÿ îò ìèðà, à, íàîáîðîò, áûë ýìïèðè÷åñêèì åñòåñòнâîèñïûòàòåëåìФ. Ñîäåðæàíèå èñõîäíûõ ôèëîñîôñêèõ ïðèíöèïîâ è ãíîñåîнëîãè÷åñêèå óñòàíîâêè îïðåäåëèëè îñíîâíûå ÷åðòû íàó÷íîãîа ìåòîäàа Äåнìîêðèòà:

à)  ïîçíàíèè èñõîäèòü îò åäèíè÷íîãî;

á) Ëþáûåа ïðåäìåòа èа ÿâëåíèå ðàçëîæèìû äî ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòîâ (àíàëèç) è îáúÿñíèìû èñõîäÿ èç íèõ (ñèíòåç);

â) Ðàçëè÷àòü ñóùåñòâîâàíèå Уïî èñòèíåФ è Уñîãëàñíî ìíåíèþФ;

ã) ßâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè - ýòî îòäåëüíûå ôðàãìåíòûа óïîðÿäîн÷åííîãî êîñìîñà, êîòîðûéа âîçíèê è ôóíêöèîíèðóåò â ðåçóëüòàòå äåéñнòâèé ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîé ïðè÷èííîñòè.

Ìàòåìàòèêà ïîа ïðàâó äîëæíà ñ÷èòàòüñÿ ó Äåìîêðèòà ïåðâûì ðàçäåëîì ñîáñòâåííî ôèçèêè è ñëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííîа çàа êàíîíèêîé.  ñàìîì äåëå, àòîìû êà÷åñòâåííî îäíîðîäíû è èõ ïåðâè÷íûå ñâîéñòâà èìåнþò êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð. Îäíàêî áûëî áûа íåïðàâèëüíîа òðàêòîâàòü ó÷åíèå Äåìîêðèòà êàê ðàçíîâèäíîñòü ïèôàãîðåèçìà, ïîñêîëüêó Äåìîêðèò õîòÿ è ñîõðàíÿåò èäåþ ãîñïîäñòâà â ìèðå ìàòåìàòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñнòè, íîа âûñòóïàåò ñ êðèòèêîé àïðèîðíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ïèнôàãîðåéöåâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷èñëî äîëæíî âûñòóïàòü íå çàêîíîäàòåëåì ïðèнðîäû, à èçâëåêàòüñÿ èç íåå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü âûÿâëÿåòñÿ Äåìîêðèòîì èç ÿâëåíèé äåéñòâèòåëüíîñòè, è â ýòîì ñìûñëå îí ïðåäâîñнõèùàåò èäåè ìàòåìàòè÷åñêîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Èñõîäíûå íà÷àëà ìàòåðèнàëüíîãî áûòèÿ âûñòóïàþò ó Äåìîêðèòà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè êàê ìàòåнìàòè÷åñêèå îáúåêòû, èа âа ñîîòâåòñòâèèа ñ ýòèì ìàòåìàòèêå îòâîäèòñÿ âèäíîå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ êàê íàóêå î ïåðâè÷íûõ ñâîéñòâàõ âåùåé. Îäíàêîа âêëþ÷åíèåа ìàòåìàòèêèа âа îñíîâàíèå ìèðîâîççðåí÷åñêîé ñèñòåìû ïîòðåáîâàëî åå ïåðåñòðîéêè, ïðèâåäåíèÿ ìàòåìàòèêèа âа ñîîòнâåòñòâèå ñ èñõîäíûìè ôèëîñîôñêèìè ïîëîæåíèÿìè, ñ ëîãèêîé, ãíîñåîëîнãèåé, ìåòîäîëîãèåé íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ. Ñîçäàííàÿа òàêèìа îáðàçîì êîíöåïöèÿ ìàòåìàòèêè, íàçûâàåìàÿ êîíöåïöèåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçнìà, îêàçàëàñü ñóùåñòâåííî îòëè÷íîé îò ïðåäûäóùèõ.

Ó Äåìîêðèòà âñå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû (òåëà, ïëîñêîñòè, ëèíèè, òî÷êè) âûñòóïàþòа âа îïðåäåëåííûõа ìàòåðèàëüíûõа îáðàçàõ. Èäåàëüíûå ïëîñêîñòè, ëèíèè, òî÷êè â åãî ó÷åíèè îòñóòñòâóþò. Îñíîâíîé ïðîöåäóнðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõа òåë íà òîí÷àéøèåа ëèñòèêèа (ïëîñêîñòè), ïëîñêîñòåé - íà òîí÷àéøèå íèòêè (ëèíèè), ëèíèé - íà ìåëü÷àéøèå çåðíûøêè (àòîìû). Êàæäûé àòîìа èìååò ìàëóþ, íî íåíóëåâóþ âåëè÷èíó è äàëåå íåäåëèì. Òåïåðü äëèíà ëèíèè îïнðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ñîäåðæàùèõñÿ â íåé íåäåëèìûõ ÷àñòèö. Àíàëîãè÷íî ðåøàåòñÿ âîïðîñа î âçàèìîñâÿçè ëèíèé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â òåнëå. ×èñëî àòîìîâ â êîíå÷íîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà íå áåñêîíå÷íî, õîòÿ è íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî íåäîñòóïíî ÷óâñòâàì. Èòàê, ãëàâíûì îòëè÷èåì ó÷åíèÿ Äåìîêðèòà îò ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèå èì áåñêîнíå÷íîé äåëèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì îí ðåøàåò ïðîáëåìó ïðàâîìåðíîñòè òåнîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ìàòåìàòèêè, íå ñâîäÿ èõ ê ÷óâñòâåííî âîñïðèнíèìàåìûì îáðàçàì, êàê ýòî äåëàë Ïðîòàãîð. Òàê, íà ðàññóæäåíèÿ Ïðîòàнãîðà î êàñàíèè îêðóæíîñòè è ïðÿìîé Äåìîêðèòа ìîãа áûа îòâåòèòü, ÷òî ÷óâñòâà, ÿâëÿþùèåñÿа îòïðàâíûì êðèòåðèåì Ïðîòàãîðà, ïîêàçûâàþò åìó, ÷òî ÷åì òî÷íåå ÷åðòåæ, òåì ìåíüøå ó÷àñòîê êàñàíèÿ; â äåéñòâèòåëüíîñнòè æå ýòîò ó÷àñòîê íàñòîëüêî ìàë, ÷òî íå ïîääàåòñÿ ÷óâñòâåííîìó àíàнëèçó, à îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè èñòèííîãî ïîçíàíèÿ.

Ðóêîâîäñòâóÿñü ïîëîæåíèÿìèа ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà, Äåìîêðèò ïðîâîäèò ðÿä êîíêðåòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è äîñòèãàåòа âûнäàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ (íàïðèìåð, òåîðèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ïåðñïåêòèâû è ïðîåêöèè). Êðîìå òîãî, îí ñûãðàë, ïî ñâèäåòåëüñòâó Àðõèìåäà, íåìàëîнâàæíóþ ðîëüа â äîêàçàòåëüñòâå Ýâäîêñîì òåîðåì îá îáúåìå êîíóñà è ïèнðàìèäû. Íåëüçÿ ñ óâåðåííîñòüþ ñêàçàòü, ïîëüçîâàëñÿ ëè îí ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìåòîäàìè àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ. À.Î.Ìàêîâåëüñêèé ïèнøåò: УÄåìîêðèò âñòóïèë íà ïóòü, ïî êîòîðîìó äàëüøå ïîøëè Àðõèìåäа è Êàâàëüåðè. Îäíàêî, ïîäîéäÿ âïëîòíóþ ê ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî, Äåнìîêðèò íå ñäåëàë ïîñëåäíåãî ðåøèòåëüíîãî øàãà. Îí íå äîïóñêàåò áåçãнðàíè÷íîãî óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ñëàãàåìûõ, îáðàçóþùèõ â ñâîåé ñóììå äàíнíûé îáúåì. Îí ïðèíèìàåò ëèøü ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîå, íå ïîääàþùååñÿ èñн÷èñëåíèþ âñëåäñòâèå ñâîåé îãðîìíîñòè ÷èñëî ýòèõ ñëàãàåìûõФ.

Âûäàþùèìñÿ äîñòèæåíèåì Äåìîêðèòà â ìàòåìàòèêå ÿâèëàñü òàêæå åãî èäåÿ î ïîñòðîåíèè òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê ñèñòåìû.  çàðîäûøåнâîé ôîðìå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéа èäåþа àêñèîìàòè÷åñêîãîа ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ çàòåì áûëà ðàçâèòà â ìåòîäîëîãè÷åñêîì ïëàíå Ïëàнòîíîì è ïîëó÷èëà ëîãè÷åñêè ðàçâåðíóòîå ïîëîæåíèå ó Àðèñòîòåëÿ.

Ãëàâà 6

ÏËÀÒÎÍÎÂÑÊÈÉ ÈÄÅÀËÈÇÌ

Ñî÷èíåíèÿ Ïëàòîíà (427-347 ãã. äî í.ý.) - óíèêàëüíîå ÿâëåíèå â îòíîøåíèè âûäåëåíèÿ ôèëîñîôñêîé êîíöåïöèè. Ýòî âûñîêîõóäîæåñòâåííîå, çàõâàòûâàþùåå îïèñàíèå ñàìîãî ïðîöåññà ñòàíîâëåíèÿ êîíöåïöèè, ñ ñîìнíåíèÿìè è íåóâåðåííîñòüþ, ïîä÷àñ ñ áåçðåçóëüòàòíûìè ïîïûòêàìè ðàçðåнøåíèÿ ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà, ñ âîçâðàòîì ê èñõîäíîìó ïóíêòó, ìíîãîн÷èñëåííûìè ïîâòîðåíèÿìè è ò.ï. Âûäåëèòü âа òâîð÷åñòâåа Ïëàòîíàа êàнêîé-ëèáî àñïåêòа è ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæèòü åãî äîâîëüíî ñëîæíî, òàê êàê ïðèõîäèòñÿ ðåêîíñòðóèðîâàòü ìûñëè Ïëàòîíà èç îòäåëüíûõа âûñêàçûнâàíèé, êîòîðûåа íàñòîëüêîа äèíàìè÷íû, ÷òî â ïðîöåññå ýâîëþöèè ìûñëè ïîðîé ïðåâðàùàþòñÿ â ñâîþ ïðîòèâîïîëîæíîñòü.

Ïëàòîí íåîäíîêðàòíîа âûñêàçûâàëа ñâîåа îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå è îíà âñåãäà îöåíèâàëàñü èì î÷åíü âûñîêî:а áåçа ìàòåìàòè÷åñêèõа çíàíèé У÷åëîâåê ñ ëþáûìè ïðèðîäíûìè ñâîéñòâàìè íå ñòàíåò áëàæåííûìФ, â ñâîнåì èäåàëüíîì ãîñóäàðñòâå îí ïðåäïîëàãàë Уóòâåðäèòü çàêîíîì è óáåäèòü òåõ, êîòîðûåа íàìåðåâàþòñÿ çàíÿòü â ãîðîäå âûñîêèå äîëæíîñòè, ÷òîáû îíè óïðàæíÿëèñü â íàóêå ñ÷èñëåíèÿФ. Ñèñòåìàòè÷åñêîå øèðîêîå èñïîëüнçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãîа ìàòåðèàëà èìååò ìåñòî ó Ïëàòîíà, íà÷èíàÿ ñ äèàëîãà УÌåíîíФ, ãäå Ïëàòîí ïîäâîäèò ê îñíîâíîìó âûâîäóа ñа ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà. Èìåííîа âûâîäа ýòîãî äèàëîãà î òîì, ÷òî ïîçíàíèå åñòü ïðèïîìèíàíèå, ñòàë îñíîâîïîëàãàþùèì ïðèíöèïîì ïëàнòîíîâñêîé ãíîñåîëîãèè.

Çíà÷èòåëüíî â áîëüøåé ìåðå, ÷åì â ãíîñåîëîãèè, âëèÿíèå ìàòåìàнòèêè îáíàðóæèâàåòñÿа â îíòîëîãèè Ïëàòîíà. Ïðîáëåìà ñòðîåíèÿ ìàòåðèнàëüíîé äåéñòâèòåëüíîñòè ó Ïëàòîíà ïîëó÷èëà òàêóþ òðàêòîâêó:а ìèð âåнùåé, âîñïðèíèìàåìûé ïîñðåäñòâîì ÷óâñòâ, íå åñòü ìèð èñòèííî ñóùåñòнâóþùåãî; âåùè íåïðåðûâíî âîçíèêàþò è ïîãèáàþò. Èñòèííûì áûòèåì îáëàнäàåò ìèð èäåé, êîòîðûå áåñòåëåñíû, íå÷óâñòâåííû è âûñòóïàþò ïî îòíîнøåíèþ ê âåùàì êàê èõ ïðè÷èíû è îáðàçû, ïî êîòîðûì ýòè âåùè ñîçäàþòнñÿ. Äàëåå, ïîìèìî ÷óâñòâåííûõ ïðåäìåòîâ è èäåé îí óñòàíàâëèâàåò ìàнòåìàòè÷åñêèå èñòèíû, êîòîðûå îòа ÷óâñòâåííûõа ïðåäìåòîâа îòëè÷àþòñÿ òåì, ÷òî âå÷íû è íåïîäâèæíû, à îò èäåé - òåì, ÷òî íåêîòîðûå ìàòåìàнòè÷åñêèå èñòèíû ñõîäíà äðóã ñ äðóãîì, èäåÿ æå âñÿêèé ðàç òîëüêî îäнíà. Óа Ïëàòîíà â êà÷åñòâå ìàòåðèè íà÷àëàìè ÿâëÿþòñÿ áîëüøîå è ìàëîå, à â êà÷åñòâå ñóùíîñòè - åäèíîå, èáî èäåè (îíè æå ÷èñëà)а ïîëó÷àþòñÿ èç áîëüøîãîа èа ìàëîãîа ÷åðåçа ïðèîáùåíèå èõ ê åäèíñòâó. ×óâñòâåííî âîñïðèíèìàåìûé ìèð, ñîãëàñíî Ïëàòîíó, ñîçäàí Áîãîì. Ïðîöåññ ïîñòðîåнíèÿ êîñìîñà îïèñàí â äèàëîãå УÒèìåéФ. Îçíàêîìèâøèñü ñ ýòèì îïèñàíèнåì, íóæíî ïðèçíàòü, ÷òî Ñîçäàòåëü áûë õîðîøî çíàêîì ñ ìàòåìàòèêîé è íà ìíîãèõ ýòàïàõ òâîðåíèÿ ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàë ìàòåìàòè÷åñêèå ïîнëîæåíèÿ, à ïîðîé è âûïîëíÿë òî÷íûå âû÷èñëåíèÿ.

Ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îòíîøåíèé Ïëàòîí ïûòàëñÿ îõàðàêòåðèнçîâàòü è íåêîòîðûå ÿâëåíèÿ îáùåñòâåííîé æèçíè, ïðèìåðîì ÷åãîа ìîæåò ñëóæèòü òðàêòîâêàа ñîöèàëüíîãî îòíîøåíèÿ УðàâåíñòâîФ â äèàëîãå УÃîðнãèéФ è â УÇàêîíàõФ. Ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî Ïëàòîí ñóùåñòâåííî îïèðàëñÿ íà ìàòåìàòèêóа ïðèа ðàçðàáîòêå îñíîâíûõ ðàçäåëîâ ñâîåé ôèëîñîôèè:а â êîíöåïöèè Уïîçíàíèå - ïðèïîìèíàíèåФ, ó÷åíèè î ñóùíîñòè ìàòåðèàëüíîãî áûòèÿ, îá óñòðîéñòâå êîñìîñà, â òðàêòîâêå ñîöèàëüíûõ ÿâëåíèé è ò.ä. Ìàòåìàòèêà ñûãðàëà çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â êîíñòðóêòèâíîì îôîðìëåíèè åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû. Òàê â ÷åì æå çàêëþ÷àëàñü åãî êîíöåïöèÿ ìàòåìàнòèêè?

Ñîãëàñíî Ïëàòîíó, ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè (àðèôìåòèêà, ãåîìåòðèÿ, àñòðîíîìèÿ è ãàðìîíèÿ) äàðîâàíû ÷åëîâåêó áîãàìè, êîòîðûå Уïðîèçâåëè ÷èñëî, äàëèа èäåþа âðåìåíè è âîçáóäèëè ïîòðåáíîñòü èññëåäîâàíèÿ âñåнëåííîéФ. Èçíà÷àëüíîå íàçíà÷åíèå ìàòåìàòèêè â òîì, ÷òîáû Уî÷èùàëñÿ è îæèâëÿëñÿ òîò îðãàí äóøè ÷åëîâåêà, ðàññòðîåííûé è îñëåïëåííûé èíûìè äåëàìèФ, êîòîðûé Уâàæíåå, ÷åì òûñÿ÷à ãëàç, ïîòîìó ÷òî èì îäíèì ñîнçåðöàåòñÿ èñòèíàФ. УÒîëüêî íèêòî íå ïîëüçóåòñÿ åþ (ìàòåìàòèêîé) ïðàнâèëüíî, êàê íàóêîþ, аâëåêóùåé íåïðåìåííî ê ñóùåìóФ. УÍåïðàâèëüíîñòüФ ìàòåìàòèêè Ïëàòîíа âèäåëа ïðåæäå âñåãî â åå ïðèìåíèìîñòè äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òîáû îí âîîáùå îòðèнöàë ïðàêòè÷åñêóþ ïðèìåíèìîñòü ìàòåìàòèêè. Òàê, ÷àñòü ãåîìåòðèè íóæíà äëÿ Уðàñïîëîæåíèÿ ëàãåðåéФ, Уïðè âñåõ ïîñòðîåíèÿõ êàê âî âðåìÿ ñàìèõ ñðàæåíèé, òàê è âî âðåìÿ ïîõîäîâФ. Íî, ïî ìíåíèþ Ïëàòîíà, Уäëÿ òàêèõ âåùåé ...äîñòàòî÷íà ìàëàÿ ÷àñòü ãåîìåòðè÷åñêèõ è àðèôìåòè÷åñêèõ âûêнëàäîê, ÷àñòü æå èõ áîëüøàÿ, ïðîñòèðàþùàÿñÿ äàëåå, äîëæíà ...ñïîñîáñнòâîâàòü ëåã÷àéøåìó óñâîåíèþ èäåè áëàãàФ. Ïëàòîí îòðèöàòåëüíîа îòçûнâàëñÿ îа òåõ ïîïûòêàõ èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûå èìåëè ìåñòî â íàóêå òîãî âðåìåíè. Åãî íåóäîâëåòâîðåííîñòü âûçûâàëî òàêæå ïðèíÿòîå ñîâðåìåííèêàìè ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ðàññìàòðèâàÿ èäåè ñâîåé íàóêèа êàê îòðàæåíèå ðåàëüíûõ ñâÿçåé äåéñòâèòåëüíîñòè, ìàòåìàòèêè â ñâîèõ èñнñëåäîâàíèÿõ íàðÿäó ñ àáñòðàêòíûìè ëîãè÷åñêèìèа ðàññóæäåíèÿìèа øèðîêî èñïîëüçîâàëè ÷óâñòâåííûå îáðàçû, ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ. Ïëàòîí âñÿ÷åñêè ñòàðàåòñÿ óáåäèòü, ÷òî îáúåêòû ìàòåìàòèêè ñóùåñòâóþòа îáîнñîáëåííî îò ðåàëüíîãî ìèðà, ïîýòîìó ïðè èõ èññëåäîâàíèè íåïðàâîìåðíî ïðèáåãàòü ê ÷óâñòâåííîé îöåíêå.

Òàêèì îáðàçîì, â èñòîðè÷åñêè ñëîæèâøåéñÿ ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé Ïëàòîí âûäåëÿåò òîëüêî óìîçðèòåëüíóþ, äåäóêòèâíî ïîñòðîåííóþ êîìïîíåíòó è çàêðåïëÿåò çà íåé ïðàâî íàçûâàòüñÿ ìàòåìàòèêîé. Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè ìèñòèôèöèðóåòñÿ, òåîðåòè÷åñêèå ðàçäåëû ðåçêî ïðîòèâîïîñнòàâëÿþòñÿ âû÷èñëèòåëüíîìó àïïàðàòó, äî ïðåäåëà ñóæàåòñÿ îáëàñòü ïðèнëîæåíèÿ.  òàêîì èñêàæåííîì âèäå íåêîòîðûå ðåàëüíûå ñòîðîíûа ìàòåìàнòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿа èа ïîñëóæèëèа îäíèìа èç îñíîâàíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îáúåêòèâíîãî èäåàëèçìà Ïëàòîíà. Âåäü ñàìà ïî ñåáå ìàòåìàòèêà ê èäåàëèçìóа âîîáùåа íå âåäåò, è â öåëÿõ ïîñòðîåíèÿ èäåàëèñòè÷åñêèõ ñèñòåì åå ïðèõîäèòñÿ ñóùåñòâåííî äåôîðìèðîâàòü.

Âîïðîñ îа âëèÿíèè, îêàçàííîìа Ïëàòîíîì íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè, äîâîëüíî òðóäåí. Äëèòåëüíîåа âðåìÿа ãîñïîäñòâîâàëîа óáåæäåíèå, ÷òî âêëàä Ïëàòîíàа âа ìàòåìàòèêóа áûë çíà÷èòåëåí. Îäíàêî áîëåå ãëóáîêèé àíàëèç ïðèâåë ê èçìåíåíèþ ýòîé îöåíêè. Òàê, Î.Íåéãåáàóýð ïèøåò: УÅãî ñîáñòâåííûé ïðÿìîé âêëàä â ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ, î÷åâèäíî, áûë ðàнâåí íóëþ... Èñêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð ïðèìåðîâа ìàòåìàòèн÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, ïðèâîäèìûõ Ïëàòîíîì è Àðèñòîòåëåì, íå ïîäòâåðæнäàåò ãèïîòåçû î òîì, ÷òî Ýâäîêñ èëè Òåýòåòа ÷åìó-ëèáîа íàó÷èëèñüа ó Ïëàòîíà... Åãîа ñîâåò àñòðîíîìàì çàìåíèòü íàáëþäåíèÿ ñïåêóëÿöèåé ìîã áû ðàçðóøèòü îäèí èç íàèáîëåå çíà÷èòåëüíûõ âêëàäîâ ãðåêîâа âа òî÷íûå íàóêèФ. Òàêàÿа àðãóìåíòàöèÿа âïîëíå óáåäèòåëüíà;а ìîæíî òàêæå ñîãëàнñèòüñÿ è ñ òåì, ÷òî èäåàëèñòè÷åñêàÿ ôèëîñîôèÿ Ïëàòîíà â öåëîì ñûãðàнëà îòðèöàòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè. Îäíàêî íå ñëåäóåò çàáûнâàòü î ñëîæíîì õàðàêòåðå ýòîãî âîçäåéñòâèÿ.

Ïëàòîíó ïðèíàäëåæèòа ðàçðàáîòêà íåêîòîðûõ âàæíûõ ìåòîäîëîãè÷åñнêèõ ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ: àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ìàнòåìàòèêè, èññëåäîâàíèåа îòíîøåíèéа ìåæäóа ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè è äèàëåêòèêîé, àíàëèç îñíîâíûõ ôîðì ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ. Òàê, ïðîнöåññ äîêàçàòåëüñòâàа íåîáõîäèìî ñâÿçûâàåò íàáîð äîêàçàííûõ ïîëîæåíèé â ñèñòåìó, â îñíîâå êîòîðîé ëåæàò íåêîòîðûå íåäîêàçóåìûå ïîëîæåíèÿ. Òîò ôàêò, ÷òî íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Уñóòü ïðåäïîëîæåíèÿФ, ìîæåò âûçâàòü ñîìíåíèå â èñòèííîñòè âñåõа ïîñëåäóþùèõа ïîñòðîåíèé. Ïëàòîí ñ÷èòàë òàêîå ñîìíåíèå íåîáîñíîâàííûì. Ñîãëàñíî åãî îáúÿñíåíèþ, õîòÿ ñàìè ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, Уïîëüçóÿñü ïðåäïîëîæåíèÿìè, îñòàâëÿþò èõ â íåïîäâèæíîñòèа èа íå ìîãóò äàòü äëÿ íèõ îñíîâàíèÿФ, ïðåäïîëîæåíèÿ íàõîäÿò îñíîâàíèÿ ïîñðåäñòâîì äèàëåêòèêè. Ïëàòîí âûñêàçàë è ðÿä äðóнãèõ ïîëîæåíèé, îêàçàâøèõñÿа ïëîäîòâîðíûìèа äëÿ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè. Òàê, â äèàëîãå УÏèðФ âûäâèãàåòñÿа ïîíÿòèåа ïðåäåëà;а èäåÿа âûñòóïàåò çäåñü êàê ïðåäåë ñòàíîâëåíèÿ âåùè.

Êðèòèêà, êîòîðîé ïîäâåðãàëèñü ìåòîäîëîãèÿа èа ìèðîâîççðåí÷åñêàÿ ñèñòåìà Ïëàòîíàа ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ, ïðè âñåé ñâîåé âàæíîñòè íå çàòðàãèâàëà ñàìè îñíîâû èäåàëèñòè÷åñêîé êîíöåïöèè. Äëÿ çàìåíû ðàçðàнáîòàííîé Ïëàòîíîìа ìåòîäîëîãèèа ìàòåìàòèêè áîëåå ïðîäóêòèâíîé ñèñòåнìîé íóæíî áûëî ïîäâåðãíóòü êðèòè÷åñêîìó ðàçáîðó åãî ó÷åíèå îá èäåÿõ, îñíîâíûå ðàçäåëû åãî ôèëîñîôèè è êàê ñëåäñòâèå ýòîãî - åãî âîççðåíèå íà ìàòåìàòèêó. Ýòà ìèññèÿ âûïàëà íà äîëþ ó÷åíèêà Ïëàòîíà - Àðèñòîòåнëÿ.

Ãëàâà 7

ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÀÐÈÑÒÎÒÅËß

Ê.Ìàðêñ íàçâàë Àðèñòîòåëÿ (384-322 ãã. äî í.ý.) Уâåëè÷àéøèì ôèнëîñîôîì äðåâíîñòèФ. Îñíîâíûå âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ïñèõîëîãèè, åñòåñòâîçíàíèÿ, òåõíèêè, ïîëèòèêè, ýòèêè è ýñòåòèêè, ïîñòàâëåííûå â íàóêå Äðåâíåé Ãðåöèè, ïîëó÷èëè ó Àðèñòîòåëÿ ïîëíîåа èа âñåñòîðîííåå îñâåùåíèå.  ìàòåìàòèêå îí, ïî-âèäèìîìó, íå ïðîâîäèë êîíêðåòíûõ èñнñëåäîâàíèé, îäíàêî âàæíåéøèå ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãîа ïîçíàíèÿа áûëè ïîäâåðãíóòû èì ãëóáîêîìó ôèëîñîôñêîìó àíàëèçó, ïîñëóæèâøåìó ìåòîäîнëîãè÷åñêîé îñíîâîé äåÿòåëüíîñòè ìíîãèõ ïîêîëåíèé ìàòåìàòèêîâ.

Êî âðåìåíèа Àðèñòîòåëÿа òåîðåòè÷åñêàÿа ìàòåìàòèêà ïðîøëà çíà÷èнòåëüíûé ïóòü è äîñòèãëà âûñîêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ. Ïðîäîëæàÿ òðàäèöèþ ôèëîñîôñêîãî àíàëèçàа ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, Àðèñòîòåëü ïîñòàâèë âîïðîñ î íåîáõîäèìîñòè óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñàìîãî çíàíèÿ î ñïîñîáàõ óñâîнåíèÿ íàóêè, î öåëåíàïðàâëåííîé ðàçðàáîòêå èñêóññòâà âåäåíèÿ ïîçíàâàнòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, âêëþ÷àþùåãî äâà îñíîâíûõ ðàçäåëà: УîáðàçîâàíнíîñòüФ è Уíàó÷íîå çíàíèå äåëàФ. Ñðåäè èçâåñòíûõ ñî÷èíåíèé Àðèñòîòåëÿ íåò ñïåöèàëüíî ïîñâÿùåííûõ èçëîæåíèþ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåìа ìàòåнìàòèêè. Íî ïî îòäåëüíûì âûñêàçûâàíèÿì, ïî èñïîëüçîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñнêîãî ìàòåðèàëà â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèé îáùèõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïîëîæåнíèé ìîæíî ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàêîâ áûë åãî èäåàë ïîñòðîнåíèÿ ñèñòåìû ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Èñõîäíûì ýòàïîì ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, ñîãëàñíî Àðèñòîòåнëþ, ÿâëÿåòñÿ îáó÷åíèå, êîòîðîå Уîñíîâàíî íà (íåêîòîðîì)а óæåа ðàíåå èìåþùåìñÿ çíàíèè... Êàê ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, òàê è êàæäîå èç ïðî÷èõ èñêóññòâ ïðèîáðåòàåòñÿ (èìåííî) òàêèì ñïîñîáîìФ. Äëÿ îòäåëåíèÿ çíàнíèÿ îòа íåçíàíèÿ Àðèñòîòåëü ïðåäëàãàåò ïðîàíàëèçèðîâàòü Уâñå òå ìíåнíèÿ, êîòîðûå ïî-ñâîåìó âûñêàçûâàëè â ýòîé îáëàñòè íåêîòîðûå ìûñëèòåнëèФ è îáäóìàòü âîçíèêøèå ïðè ýòîì çàòðóäíåíèÿ. Àíàëèç ñëåäóåò ïðîâîнäèòü ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ ÷åòûðåõ âîïðîñîâ:а У÷òî (âåùü)а åñòü, ïî÷åìó (îíà) åñòü, åñòü ëè (îíà) è ÷òî (îíà) åñòüФ.

Îñíîâíûì ïðèíöèïîì, îïðåäåëÿþùèì âñþ ñòðóêòóðó Уíàó÷íîãî çíàíèÿ äåëàФ, ÿâëÿåòñÿа ïðèíöèïа ñâåäåíèÿ âñåãî ê íà÷àëàì è âîñïðîèçâåäåíèÿ âñåãî èç íà÷àë. Óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì ïðîèçâîäñòâà çíàíèé èçа íàн÷àë, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, âûñòóïàåò äîêàçàòåëüñòâî. УÄîêàçàòåëüñòâîì æå ÿ íàçûâàþ ñèëëîãèçì, - ïèøåò îí, - êîòîðûé äàåò çíàíèÿФ. Èçëîæåнíèþ òåîðèèа äîêàçàòåëüíîãî çíàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîñâÿùåí УÎðãàíîíФ Àðèñнòîòåëÿ. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü âа ðàçäåнëû, êàæäûéа èç êîòîðûõ ðàñêðûâàåò îäíó èç òðåõ îñíîâíûõ ñòîðîí ìàòåнìàòèêè êàê äîêàçûâàþùåé íàóêè:а Уòî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ, òî, ÷òîа äîêàçûâàåòñÿ è òî, íà îñíîâàíèè ÷åãî äîêàçûâàåòñÿФ. Òàêèì îáðàçîì, Àðèñòîòåëü äèôôåðåíöèðîâàííî ïîäõîäèë ê îáúåêòó, ïðåäìåòó è ñðåäñòâàì äîêàçàòåëüñòâà.

Ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçíàâàëîñüа çàäîëãîа äî Àðèñòîòåëÿ, îäíàêî ïèôàãîðåéöû, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàëè, ÷òî îíè íàнõîäÿòñÿ â ÷óâñòâåííûõ âåùàõ, ïëàòîíèêè æå, íàîáîðîò, ñ÷èòàëè èõ ñóнùåñòâóþùèìè îòäåëüíî. Ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ:

1.  ÷óâñòâåííûõ âåùàõ ìàòåìàòè÷åñêèåа îáúåêòûа íåа ñóùåñòâóþò, òàê êàê Уíàõîäèòüñÿ â òîì æå ñàìîì ìåñòå äâà òåëà íå â ñîñòîÿíèèФ;

2. УÍåâîçìîæíî è òî, ÷òîáû òàêèå ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàëèа îáîñîáëåííîФ.

Àðèñòîòåëü ñ÷èòàë ïðåäìåòîì ìàòåìàòèêè Уêîëè÷åñòâåííóþа îïðåäåнëåííîñòü èа íåïðåðûâíîñòüФ.  åãî òðàêòîâêå Уêîëè÷åñòâîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà ñîñòàâíûåа ÷àñòè, êàæäàÿ аèçа êîòîнðûõ ...ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îäíèì, äàííûì íàëèöî. Òî èëè äðóãîå êîëè÷åñòнâî åñòü ìíîæåñòâî, åñëè åãî ìîæíî ñ÷åñòü, ýòî âåëè÷èíà, åñëèа åãî ìîæíî èçìåðèòüФ. Ìíîæåñòâîì ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ òî, У÷òî â âîçìîæнíîñòè (ïîòåíöèàëüíî) äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåа íåïðåðûâíûå, âåëè÷èíîþа нòî, ÷òîа äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåïðåðûâíûåФ. Ïðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè, Àðèñòîòåëü ðàññìàòðèâàåòа ïîíÿòèåа áåñêîíå÷íîãî, òàê êàê Уîíî îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè êîëè÷åñòâàФ è ïðîÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñåнãî â íåïðåðûâíîì. У×òî áåñêîíå÷íîå ñóùåñòâóåò, óâåðåííîñòü âа ýòîì âîçíèêàåò óа èññëåäîâàòåëåéа èç ïÿòè îñíîâàíèé:а èç âðåìåíè (èáî îíî áåñêîíå÷íî); èç ðàçäåëåíèÿ âåëè÷èí..; äàëåå, òîëüêî òàêèì îáðàçîì íå èññÿêíóò âîçíèêíîâåíèå è óíè÷òîæåíèå, åñëè áóäåò áåñêîíå÷íîå, îòêóäà áåðåòñÿ âîçíèêàþùåå.

Äàëåå, èç òîãî, ÷òî êîíå÷íîå âñåãäà ãðàíè÷èò ñ ÷åì-íèáóäü, òàêа êàê íåîáõîäèìî, ÷òîáû îäíî âñåãäà ãðàíè÷èëî ñ äðóнãèì. Íî áîëüøå âñåãî -...íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ìûøëåíèå íå îñòàíàâнëèâàåòñÿ: èа ÷èñëî êàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì, è ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíûФ. Ñóùåñòâóåò ëè áåñêîíå÷íîå êàê îòäåëüíàÿ ñóùíîñòüа èëèа îíîа ÿâëÿåòñÿ àêöèäåíöèåé âåëè÷èíû èëè ìíîæåñòâà?а Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò âòîðîé âàнðèàíò, òàê êàê Уåñëè áåñêîíå÷íîå íå åñòü íè âåëè÷èíà, íè ìíîæåñòâî, à ñàìî ÿâëÿåòñÿ ñóùíîñòüþ..., òî îíî áóäåò íåäåëèìî, òàê êàê äåëèìîå áóäåò èëè âåëè÷èíîé, èëè ìíîæåñòâîì. Åñëè æå îíî íå äåëèìî, îíî íå áåñêîíå÷íî â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî äî êîíöàФ. Íåâîçìîæíîñòü ìàòåìàòèн÷åñêîãî áåñêîíå÷íîãî êàê íåäåëèìîãî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîа ìàòåìàòèн÷åñêèé îáúåêò - îòâëå÷åíèå îò ôèçè÷åñêîãî òåëà, à Уàêòóàëüíî íåäåëèнìîå áåñêîíå÷íîå òåëî íå ñóùåñòâóåòФ. ×èñëî Уêàê ÷òî-òî îòäåëüíîå è â òî æåа âðåìÿ áåñêîíå÷íîåФ íå ñóùåñòâóåò, âåäü У...åñëè âîçìîæíî ïåнðåñ÷èòàòü ñ÷èñëèìîå, òî áóäåò âîçìîæíîñòü ïðîéòè äî êîíöà èа áåñêîнíå÷íîåФ. Òàêèìа îáðàçîì, áåñêîíå÷íîñòü çäåñü â ïîòåíöèè ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî æå - íåò.

Îïèðàÿñü íà èçëîæåííîå âûøå ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî, Àðèñòîòåëü îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîñòü è ïðåðûâíîñòü. Òàê, Уíåïðåðûâíîå åñòü ñàìî ïî ñåáå íå÷òî ñìåæíîå. Ñìåæíîå åñòü òî, ÷òî, ñëåäóÿ çà äðóãèì, êàñàнåòñÿ åãîФ. ×èñëî êàê òèïè÷íî ïðåðûâíîå (äèñêðåòíîå) îáðàçîâàíèå ôîðнìèðóåòñÿ ñîåäèíåíèåì äèñêðåòíûõ, äàëåå íåäåëèìûõ ýëåìåíòîâ - åäèíèö. Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà;а ïðè ýòîì ñîåäèíåíèå òî÷åê íå ìîæåò îáðàçîâàòü ëèíèþ, òàê êàê Уòî÷êàì, èç êîòîðûõ áûëî áû ñîñòàâëåíî íåïðåðûâíîå, íåîáõîäèìî èëè áûòü íåïðåðûâíûìè, èëèа êàнñàòüñÿ äðóã äðóãàФ. Íî íåïðåðûâíûìè îíè íå áóäóò:а Уâåäü êðàÿ òî÷åê íå îáðàçóþò ÷åãî-íèáóäü åäèíîãî, òàê êàê ó íåäåëèìîãî íåò íèа êðàÿ, íè äðóãîéа ÷àñòèФ. Òî÷êè íå ìîãóò è êàñàòüñÿ äðóã äðóãà, ïîñêîëüêó êàñàþòñÿ Уâñå ïðåäìåòû èëè êàê öåëîå öåëîãî, èëè ñâîèìè ÷àñòÿìè, èëè êàê öåëîå ÷àñòè. Íî òàê êàê íåäåëèìîå íå èìååò ÷àñòåé, èì íåîáõîäèìî êàñàòüñÿ öåëèêîì, íî êàñàþùååñÿ öåëèêîì íå îáðàçóåò íåïðåðûâíîãîФ.

Íåâîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíîãî èç íåäåëèìûõ èа íåáõîäèìîñòü åãî äåëåíèÿ íà âñåãäà äåëèìûå ÷àñòè, óñòàíîâëåííûå äëÿ âåëè÷èнíû, Àðèñòîòåëü ðàñïðîñòðàíÿåò íàа äâèæåíèå, ïðîñòðàíñòâîа èа âðåìÿ, îáîñíîâûâàÿ (íàïðèìåð, â УÔèçèêåФ) ïðàâîìåðíîñòü ýòîãî øàãà. Ñ äðóнãîé ñòîðîíû, îí ïðèõîäèò ê âûâîäó, ÷òî ïðèçíàíèå íåäåëèìûõ âåëè÷èí ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíûìа ñâîéñòâàì äâèæåíèÿ. Âûäåëåíèå íåïðåðûâíîãî è ïðåðûâíîãî êàê ðàçíûõ ðîäîâ áûòèÿ ïîñëóæèëî îñíîâîé äëÿ ðàçìåæåâàíèÿ â ëîãèêî-ãíîñåîëîãè÷åñêîé îáëàñòè, äëÿ ðåçêîãî îòìåæåâàíèÿ àðèôìåòèнêè îò ãåîìåòðèè.

УÍà÷àëàìè... âа êàæäîì ðîäå ÿ íàçûâàþ òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî íå ìîæåò áûòü äîêàçàíî, ÷òî îíî åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, òî, ÷òî îáîçíà÷àåò ïåðâè÷íîå è èç íåãî âûòåêàþùåå, ïðèíèìàåòñÿ. Ñóùåñòâîâàíèå íà÷àë íåнîáõîäèìî ïðèíÿòü, äðóãîå - ñëåäóåò äîêàçàòü. Íàïðèìåð, ÷òîа òàêîå åäèíèöà èëè ÷òî òàêîå ïðÿìîå èëè ÷òî òàêîå òðåóãîëüíèê (ñëåäóåò ïðèнíÿòü); ÷òî åäèíèöà è âåëè÷èíàа ñóùåñòâóåò, òàêæåа ñëåäóåòа ïðèíÿòü, äðóãîå - äîêàçàòüФ.  âîïðîñå î ïîÿâëåíèè ó ëþäåé ñïîñîáíîñòè ïîçíàнíèÿ íà÷àë Àðèñòîòåëü íå ñîãëàøàåòñÿ ñ òî÷êîé çðåíèÿ Ïëàòîíà îа âðîæнäåííîñòè òàêèõ ñïîñîáíîñòåé, íî è íå äîïóñêàåò âîçìîæíîñòè ïðèîáðåнòåíèÿ èõ;а çäåñü îí ïðåäëàãàåò ñëåäóþùåå ðåøåíèå:а Уíåîáõîäèìî îáëàнäàòü íåêîòîðîé âîçìîæíîñòüþ, îäíàêî íå òàêîé, êîòîðàÿ ïðåâîñõîäèëà áû ýòè ñïîñîáíîñòè â îòíîøåíèè òî÷íîñòèФ. Íî òàêàÿ âîçìîæíîñòü, î÷åнâèäíî, ïðèñóùà âñåì æèâûì ñóùåñòâàì; â ñàìîì äåëå, îíè îáëàäàþò ïðèнðîæäåííîé ñïîñîáíîñòüþ ðàçáèðàòüñÿ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿа ÷óâñòâåííûì âîñïðèÿòèåì. Ôîðìèðîâàíèå íà÷àë èäåò Уîò ïðåäøåñòâóþùåãî è áîëåå èçнâåñòíîãî äëÿ íàñФ, òî åñòü îò òîãî, ÷òî áëèæå ê ÷óâñòâåííîìó âîñïðèнÿòèþ êа Уïðåäøåñòâóþùåìó è áîëåå èçâåñòíîìó áåçóñëîâíîФ (òàêèì ÿâëÿнåòñÿ îáùåå). Àðèñòîòåëü äàåò ðàçâåðíóòóþ êëàññèôèêàöèþ íà÷àë, èñõîäÿ èç ðàçíûõ ïðèçíàêîâ.

Âî-ïåðâûõ, îí âûäåëÿåò Уíà÷àëà, èç êîòîðûõ (÷òî-ëèáî) äîêàçûâàнåòñÿ, è òàêèå, î êîòîðûõ (äîêàçûâàåòñÿ)Ф. Ïåðâûå Уñóòü îáùèå (âñåì íà÷àëà)Ф, âòîðûå - Уñâîéñòâåííûå (ëèøü äàííîé íàóêå), íàïðèìåð, ÷èñнëî, âåëè÷èíàФ.  ñèñòåìå íà÷àë îáùèå çàíèìàþò âåäóùåå ìåñòî, íî èõ íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê Уñðåäè îáùèõ íà÷àë íå ìîæåò áûòü òàêèõ, èç êîнòîðûõ ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü âñåФ. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ñðåäè íà÷àë äîëæíû áûòü Уîäíè ñâîéñòâåííû êàæäîé íàóêå â îòäåëüíîñòè, äðóãèå - îáùèå âñåìФ. Âî-âòîðûõ, íà÷àëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî îíè ðàñêðûâàþò: ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòà èëè íàëè÷èå ó íåнãî íåêîòîðûõ ñâîéñòâ. Â-òðåòüèõ, êîìïëåêñ íà÷àë äîêàçûâàþùåé íàóêè äåëèòñÿ íà àêñèîìû, ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîñòóëàòû, èñõîäíûå îïðåäåëåíèÿ.

Âûáîð íà÷àëа ó Àðèñòîòåëÿ âûñòóïàåò îïðåäåëÿþùèì ìîìåíòîì ïîñòðîåíèÿ äîêàçûâàþùåé íàóêè;а èìåííî íà÷àëàа õàðàêòåðèçóþòа íàóêóа êàê äàííóþ, âûäåëÿþòа ååа èç ðÿäà äðóãèõ íàóê. УÒî, ÷òî äîêàçûâàåòñÿФ, ìîæíî òðàêòîâàòü î÷åíü øèðîêî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ýëåìåíòàðíûé äîнêàçûâàþùèé ñèëëîãèçì è åãî çàêëþ÷åíèÿ. Èç ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåñнñîâ ñòðîèòñÿ çäàíèå äîêàçûâàþùåé íàóêè â âèäå îòäåëüíîа âçÿòîéа òåîнðèè. Èç íèõ æå ñîçäàåòñÿ è íàóêà êàê ñèñòåìà òåîðèé. Îäíàêî íå âñÿнêèé íàáîð äîêàçàòåëüñòâ îáðàçóåò òåîðèþ. Äëÿ ýòîãî îí äîëæåíа óäîâнëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì, îõâàòûâàþùèì êàê ñîäåðæàíèå äîнêàçûâàåìûõ ïðåäëîæåíèé, òàê è ñâÿçè ìåæäó íèìè.  ïðåäåëàõ æå íàó÷нíîé òåîðèèа íåîáõîäèìîа èìååò ìåñòî ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïåðâè÷íûìè, íî ñëóæàò äëÿ ðàñêðûòèÿ ïðåäìåòà òåнîðèè.

Õîòÿ âîïðîñû ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ è íå áûëè èçнëîæåíû Àðèñòîòåëåìа â êàêîé-òî îòäåëüíîé ðàáîòå, íî ïî ñîäåðæàíèþ â ñîâîêóïíîñòè îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  îñíîâå ôèëîñîôèè ìàòåìàнòèêè Àðèñòîòåëÿа ëåæèò ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé êàê îòðàæåíèÿ îáúåêòèâíîãî ìèðà. Ýòà óñòàíîâêà ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â áîðüáå Àðèñнòîòåëÿ ñа ïëàòîíîâûì èäåàëèçìîì;а âåäü Уåñëè â ÿâëåíèÿõ ÷óâñòâåííîãî ìèðà íå íàõîäèòñÿ âîâñå ìàòåìàòè÷åñêîå, òî êàêèì îáðàçîìа âîçìîæíî, ÷òî ê íèì ïðèëàãàþòñÿ åãî ñâîéñòâà?Ф - ïèñàë îí. Ðàçóìååòñÿ, ìàòåðèнàëèçì Àðèñòîòåëÿ áûë íåïîñëåäîâàòåëüíûì, â öåëîìа åãîа âîççðåíèÿа â áîëüøåé ñòåïåíèа ñîîòâåòñòâîâàëè ïîòðåáíîñòÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàнíèÿ, ñåì âçãëÿäû Ïëàòîíà.  ñâîþ î÷åðåäü ìàòåìàòèêà áûëà äëÿ Àðèñòîнòåëÿ îäíèìа èç èñòî÷íèêîâ ôîðìèðîâàíèÿ ðÿäà ðàçäåëîâ åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû.

×ÀÑÒÜ ÂÒÎÐÀß.

ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÀß ÃÀÐÌÎÍÈß ÏÎÄÎÁÈß

Ãëàâà 1

ÁÅÑÑÈËÈÅ ÏÐßÌÎÉ

 êà÷åñòâå ââåäåíèÿ êî âòîðîé ÷àñòè ìíå áû õîòåëîñü ïðèâåñòè ñëîâà Ôðèäåíñðàéõà Õóíäåðòâàññåðà, îäíîãî èç òåõ çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñèëàìè êîòîðûõ ñîâðåìåííàÿ íàóêà ñòàíîâèòñÿ âñå áëèæå ê èñêóññòâó, à èñêóññòâî ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü àðñåíàë ñðåäñòâ, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ñåãîäíÿøíåé íàóêîé äëÿ âûðàæåíèÿ èäåé è õóäîæåñòâåííûõ çàìûñëîâ:

 1953 ãîäó ÿ ïîíÿë, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿа âåäåòа ÷åëîâå÷åñòâîа ê óïàäêó. Òèðàíèÿ ïðÿìîé ñòàëà àáñîëþòíîé. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ -а ýòî íå÷òî òðóñëèâîå, ïðî÷åð÷åííîå ïî ëèíåéêå, áåç ýìîöèé èа ðàçìûøëåíèé; ýòî ëèíèÿ, íå ñóùåñòâóþùàÿ â ïðèðîäå. È íàа ýòîìа íàñêâîçüа ïðîãíèâøåì ôóíäàìåíòå ïîñòðîåíà íàøà îáðå÷åííàÿ öèâèëèçàöèÿ. Åñëè äàæå è âîçнíèêàåò ãäå-òî ìûñëü, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàïðÿìèê âåäåò êа ãèáåëè, åå êóðñó âñå ðàâíî ïðîäîëæàþò ñëåäîâàòü äàëüøå... Ëþáîé äèçàéí, îñíîнâàííûé íà ïðÿìîé ëèíèè, áóäåò ìåðòâîðîæäåííûì. Ñåãîäíÿ ìû ÿâëÿåìñÿ ñâèäåòåëÿìè òðèóìôà ðàöèîíàëèñòè÷åñêèõ çíàíèé è îäíîâðåìåííî îáíàнðóæèâàåì, ÷òî îêàçàëèñü â ïóñòîòå. Ýñòåòè÷åñêèéа âàêóóì, ïóñòûíÿ îäíîîáðàçèÿ, ïðåñòóïíîå áåñïëîäèå, óòðàòà ñîçèäàòåëüíûõ âîçìîæíîñнòåé.

Ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ äàæå òâîð÷åñòâî. Ìû ñòàëèа áåññèëüíûìè. Ìû áîëüøå íå ñïîñîáíû òâîðèòü.  ýòîì íàøå íåâåæåñòâî.

Ôðàêòàëû âîêðóã íàñ ïîâñþäó, è â î÷åðòàíèÿõ ãîð, è â èçâèëèñнòîé ëèíèè ìîðñêîãî áåðåãà. Íåêîòîðûå èç ôðàêòàëîâ íåïðåðûâíî ìåíÿнþòñÿ, ïîäîáíî äâèæóùèìñÿ îáëàêàì èëè ìåðöàþùåìó ïëàìåíè, â òî âðåнìÿ êàê äðóãèå, ïîäîáíî äåðåâüÿìа èëèа íàøèìа ñîñóäèñòûìа ñèñòåìàì, ñîõðàíÿþò ñòðóêòóðó, ïðèîáðåòåííóþ â ïðîöåññåа ýâîëþöèè. ×åëîâåêó, íå ñâÿçàííîìó ñ íàóêîé, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûìа òî, ÷òîа òàêèå ïðèâû÷íûå âñåì âåùè ñ íåäàâíèõ ïîð îêàçàëèñü âа ôîêóñå èíòåíñèâíûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Íî ïðèâû÷íîñòü êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî ó÷åíûå ìîãóò ïðàâèëüíî åãî îáúÿñíèòü. Ðåáåíêóа òîæå ïðèâû÷íû è åãî ãîëóáàÿ êîëûáåëü, è ãîëóáîå íåáî çàäîëãîа äîа òîãî, êàê îí îñîçíàåò, ÷òî ãîëóáîé öâåò åñòü îáùåå êà÷åñòâîа ñîâñåì ðàçнíûõ âåùåé.  åãî ïîçíàâàòåëüíîì ðàçâèòèè íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà îí óæå ñìîæåò âîñïðèíÿòü ïîíÿòèå öâåòà; îí ñëûøèò, ÷òîа íåáî ÿâëÿåòñÿ ãîëóáûì è âäðóã УîòêðûâàåòФ, ÷òî è íåêîòîðûå äðóãèå âåùèа òîæå ÿâнëÿþòñÿ ãîëóáûìè.

Ðàçâèòèå íàøåãî íàó÷íîãî ïîíèìàíèÿ ìèðà ïðîèñõîäèòа ïîа òàêîé æå ñõåìå. Äà, ìíîãèå ôðàêòàëû íàì çíàêîìû, íî äî ñàìîãî ïîñëåäíåãî âðåìåíè â íàøåì íàó÷íîì ïðåäñòàâëåíèè î ìèðå èì íå íàõîäèëîñü ìåñнòà. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå âîñõîäèò åùå êа Ãàëèëåîа Ãàëèëåþ, ÷üå ìàñòнåðñòâî âëàäåíèÿ àáñòðàêöèåé, âñòóïàþùåé â ïðîòèâîðå÷èåа ñ èíòóèöèнåé, äàåò ïðèìåðа ñîâðåìåííîãîа íàó÷íîãîа ðàññóæäåíèÿ. Åãîа êðåäî, ñôîðìóëèðîâàííîå èì ñàìèì â 1623 ãîäó, ãëàñèò:

Âñÿ íàóêà çàïèñàíà à ýòîé âåëèêîé êíèãå - ÿ èìåþ âа âèäó Âñåнëåííóþ, - êîòîðàÿ âñåãäà îòêðûòà äëÿ íàñ, íîа êîòîðóþа íåëüçÿ ïîнíÿòü, íå íàó÷èâøèñü ïîíèìàòü ÿçûê, íà êîòîðîì îíà íàïèñàíà. À íàнïèñàíà îíà íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè, è åå áóêâàìèа ÿâëÿþòñÿ òðåóãîëüíèнêè, îêðóæíîñòè è äðóãèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, áåç êîòîðûõ ÷åëîâåнêó íåâîçìîæíî ðàçîáðàòü íè îäíîãî åå ñëîâà;а áåçа íèõа îíа ïîäîáåí áëóæäàþùåìó âî òüìå. Ïîíàäîáèëîñü ïî÷òè 350 ëåò, ÷òîáûа âûéòèа çà ðàìêè ãàëèëååâñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ - äî òåõа ïîð, ïîêàа Áåíóà Ìàíнäåëüáðîò íå ðàçðàáîòàë ïîíÿòèå ôðàêòàëà. Áðîñàÿ âçãëÿäа â ïðîøëîå, îí ðàçìûøëÿë â 1984 ãîäó:

Ïî÷åìó ãåîìåòðèþ ÷àñòî íàçûâàþò õîëîäíîéа èа ñóõîé?а Îäíàа èç ïðè÷èí çàêëþ÷àåòñÿ â åå íåñïîñîáíîñòè îïèñàòü ôîðìóа îáëàêà, ãîðû, äåðåâà èëè áåðåãà ìîðÿ. Îáëàêà - ýòî íå ñôåðû, ãîðû - ýòî íå êîíóнñû, ëèíèè áåðåãà - ýòî íå îêðóæíîñòè, è êîðà íåа ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, è ìîëíèÿ íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïîа ïðÿìîé... Ïðèðîäàа äåìîíñòðèðóåò íàì íå ïðîñòî áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü, à ñîâñåì äðóãîé óðîâåíü ñëîæнíîñòè. ×èñëî ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ äëèí âа ñòðóêòóðàõ аâñåãäà áåñêîнíå÷íî.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ôðàêòàëà âûäåëÿåòа îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñòðóêòóðàìè ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ, êàê áîëüøèõ, òàê è ìàëûõ, è, òàнêèì îáðàçîì, îòðàæàåò èåðàðõè÷åñêèé ïðèíöèï îðãàíèçàöèè.  îñíîâå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîäåðæèòñÿ îäíà âàæíàÿ èäåàëèçàöèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè: ôðàêòàëüíûå îáúåêòû ñàìîïîäîáíû, ò. å. èõ âèä íåа ïðåòåðïåâàåò ñóнùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïðè ðàçãëÿäûâàíèè èõ ÷åðåç ìèêðîñêîïа ñ ëþáûì óâåëè÷åíèåì. Õîòÿа ýòàа èäåàëèçàöèÿа èа ìîæåòа îêàçàòüñÿа ñëèøêîì áîëüøèì óïðîùåíèåì äåéñòâèòåëüíîñòè, îíàа íàа ïîðÿäîêа óâåëè÷èâàåò ãëóáèíó íàøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðèðîäû. Èññëåäîâàíèÿ Ìàíнäåëüáðîòà ïîëó÷èëè øèðîêóþ èçâåñòíîñòü ïîñëå îòêðûòèÿа èìа âа 1980 ãîäó ìíîæåñòâà, íîñÿùåãî òåïåðü åãî èìÿ. Îí îáíàðóæèëа ïðèíöèï, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íåñêîëüêî íåîæèäàííûì ïóòåì îáðàçóåòñÿа öåëûé ìèð ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð.

Ýòà ïðè÷óäëèâàÿ ôîðìà (ñì. ðèñ.1) ìîæåòа îêàçàòüñÿа îäíèìа èç êëþ÷åâûõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé íîâîé УíàòóðàëüíîéФа ìàòåìàòèêè, òàê æå, êàê ïðÿìàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ åâêëèäîнâîé ãåîìåòðèè.

Âîçìîæíî, íàèáîëåå óáåäèòåëüíûé àðãóìåíòа âа ïîëüçóа èçó÷åíèÿ ôðàêòàëîâ - ýòî èõ áðîñàþùàÿñÿ â ãëàçà êðàñîòà.

Ãëàâà 2

ÌÛØËÅÍÈÅ Â ÎÁÐÀÇÀÕ

Ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü ïðîöåññû âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñнêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Âñå îíè èìåþò îäíî îáøåå -а ýòî êîíнêóðåíöèþ íåñêîëüêèõ öåíòðîâ çà äîìèíèðîâàíèå íà ïëîñêîñòè. Ïðîñòûå ãðàíèöû ìåæäó òåððèòîðèÿìè â ðåçóëüòàòå òàêîãîа ñîïåðíè÷åñòâà âîçнíèêàþò ðåäêî. ×àøå èìååò ìåñòî íåñêîí÷àåìîå ôèëèãðàííîå ïåðåïëåòåнíèå è íåïðåêðàùàþùàÿñÿ áîðüáà äàæå çà ñàìûå ìàëûå ó÷àñòêè.

Èìåííî â ýòîé ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò îäíîé ôîðìû ñóùåñòâîâàíèÿ ê äðóãîé: îò ïîðÿäêà ê áåñïîðÿäêó, îò íàìàãíèн÷åííîãî ñîñòîÿíèÿ ê íåíàìàãíè÷åííîìó â çàâèñèìîñòèа îò èíòåðïðåòàнöèè òåõ ñóùíîñòåé, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ãðàíèöå. Ïîãðàíè÷íûå îáëàñнòè â áîëüøåé èëè ìåíüøåé ìåðå çàìûñëîâàòî çàâèñÿò îòа óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Ïîðîé âîçíèêàåò òðåòèé êîíêóðåíò, êîòîðûé ïîëüçóåòñÿ ðàçíîãëàñèÿìè äâóõ äðóãèõ è íàñàæäàåòа ñâîþ îáнëàñòü âëèÿíèÿ. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî îäèí öåíòð çàõâàòèò âñþ ïëîñêнîñòü, íî è åãî âëàñòü èìååò УãðàíèöûФ â âèäåа èçîëèðîâàííûõ òî÷åê, êîòîðûå íåïîäâëàñòíû åãî ïðèòÿæåíèþ. Ýòî, òàêа ñêàçàòü, УäèññèäåíнòûФ, íå æåëàþùèå УïðèíàäëåæàòüФ.

Ðèñóíêè ïðåäñòàâëÿþò ïðîöåññû, ÿâëÿþùèåñÿ, êîíå÷íî, âåñüìà óïðîøåííîé èäåàëèçàöèåé äåéñòâèòåëüíîñòè. Îíè ïðåóâåëè÷èâàþò íåêîнòîðûå ñâîéñòâà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ áîëåå ÿñíûìè. Íàïðèìåð, íåòа íè îäíîé ðåàëüíîé ñòðóêòóðû, êîòîðóþ ìîæíîа áûëîа áûа ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è êîòîðàÿ âûãëÿäåëà áûа ïðè ýòîì íåèçìåííîé. Òåì íå ìåíåå ïðèíöèï ñàìîïîäîáèÿ âа ïðèáëèæåííîìа âèäå èìååòñÿ â ïðèðîäå: â ëèíèÿõ áåðåãîâ ìîðåé è ðåê, âа î÷åðòàíèÿõ îáнëàêîâ è äåðåâüåâ, â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå æèäêîñòè è â èåðàðõè÷åñêîé îðãàíèçàöèè æèâûõ ñèñòåì. À îòêðûë íàì ãëàçàа íàа ýòóа ôðàêòàëüíóþ ãåîìåòðèþ ïðèðîäû Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîò. Íàа ñàìîìа äåëåа ïðîöåññû, ïîðîæäàþùèå òàêèå ñòðóêòóðû, äîâîëüíî äàâíî èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Ýòî îáû÷íûå ïðîöåññû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðûõ îäíà è òà æå îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà, êîãäàа ðåçóëüòàòа îäíîé èòåðàöèè ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì äëÿ ñëåäóþùåé:

C

è

è

Åäèíñòâåííîå, ÷òî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ - íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ðåçóëüòàòîì è íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ò. å. äèíàìè÷åñêèé çàêîí аäîëæåí áûòü áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ïðîñòàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü а íàа òî, ÷òîа ïðàâèëîаçàâèñèò îò ïàðàìåòðà c, âëèÿíèå êîòîðîãîа áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå.

Åñëè íà÷àòü èòåðàöèîííûé ïðîöåññ óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ а åãîа ðåçóëüòàòîìа áóäåò ïîñëåäîâàнòåëüíîñòüа èñòå÷åíèèа äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïåðèîäà âðåìåíè è áóäåò ñîñòàâëÿòü ïðåäìåò íàøåãî èíòåðåñà. Áóäåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòüñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ Õ, ñòðåìÿñü ê ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ? Ïðèäåò ëè îíà ê íåêîòîðîìó öèêëó çíà÷åíèé, êîòîðûå áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ âíîâü è âíîâü?а Èëèа ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñå âðåìÿ âåäåò ñåáÿ áåñïîðÿäî÷íî, õîòÿ è îïðåнäåëåíà äèíàìè÷åñêèì çàêîíîì è êîíêðåòíûì íà÷àëüíûìа çíà÷åíèåì, íî òåì íå ìåíåå íåïðåäñêàçóåìà?

Ïðîöåññû óêàçàííîãî âèäà îáíàðóæèâàþòñÿ â ëþáîé òî÷íîé íàóêå. Òàê, îïèñàíèå ÿâëåíèé ïðèðîäû ñа ïîìîùüþа äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåнíèé, êîòîðîå ââåëè îêîëî 300 ëåò íàçàä Èñààê Íüþòîí èа Ãîòòôðèä Â. Ëåéáíèö, îñíîâàíî íà ïðèíöèïå îáðàòíîé ñâÿçè. Äèíàìè÷åñêèéа çàêîí îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ÷àñòèöû âа äàííûéа ìîìåíòа âðåìåíè ÷åðåç èõ çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò. Äâèæåíèå ÷àñòèöû ïîíèìàåòñÿ êàê ðåàëèçàöèÿ ýòîãî çàêîíà. Íåñóùåñòâåííî, áóäåò ëè ïðîöåññ äèñêнðåòíûì, ò. å. îñóùåñòâëÿåìûì ïî øàãàì, ëèáîа íåïðåðûâíûì. Ôèçèêàì íðàâèòñÿ ìûñëèòüа âа òåðìèíàõа èíôèíèòåçèìàëüíûõа åäèíèöа âðåìåíè: Natura non facit saltus (УÏðèðîäàа íåа äåëàåòа ñêà÷êîâФ). Áèîëîãè, íàïðîòèâ, ÷àñòî ïðåäïî÷èòàþò ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèÿ îò ãîäà ê ãîнäó èëè îò ïîêîëåíèÿ ê ïîêîëåíèþ. Î÷åâèäíî, äîïóñòèìûа îáåа òî÷êè çðåíèÿ, à âûáîð ïîäõîäÿùåãî îïèñàíèÿа îïðåäåëÿåòñÿ îáñòîÿòåëüñòâàнìè.

Ãëàâà 3

ÑÖÅÍÀÐÈÉ ÏÐÎÍÈÊÍÎÂÅÍÈß Â ÕÀÎÑ

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ðîñò íåêîòîðîé ïîïóëÿöèè çàа íåñêîëüêî ëåò îáû÷íî îïèñûâàþò ïðè ïîìîùè êîýôôèöèåíòà ïðèðîñòà, ò. å. îòíîøåíèÿ åæåãîäíîãî ïðèðîñòà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ê ååа îáùåé ÷èñëåííîñòè. Åñëè ýòà âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà âðåнìåíè, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàêîí ðîñòà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, àа ñàìа ðîñò íàçûâàþò ýêñïîíåíöèàëüíûì. Íàïðèìåð, ïðè êîýôôèöèåíòåа ïðèðîñòàа â 5% ïîïóëÿöèÿ óäâàèâàåò ñâîþ ÷èñëåííîñòü êàæäûå 14 ëåò. Çàêîíû òàнêîãî òèïà, îäíàêî, ïðèìåíèìû òîëüêîа íàа îãðàíè÷åííûõа ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Äëÿ ðîñòà âñåãäà ñóùåñòâóþò ïðåäåëû.

Îäíèì èç ïåðâûõ îáðàòèë íàа ýòîа âíèìàíèåа Ï. Ô. Ôåðõþëüñò, ñôîðìóëèðîâàâ â 1845 ãîäó çàêîí, ñîäåðæàùèé îãðàíè÷åíèåа íàа ðîñò. Îí îáúÿñíèë ýòî òåì, ÷òî ëþáàÿ ýêîëîãè÷åñêàÿ íèøà ìîæåò îáåñïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ïîïóëÿöèè òîëüêî îïðåäåëåííîãî ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà Õ è ÷òî êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà äîëæåí ñíèæàòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû ïîïóнëÿöèè ïðèáëèæàþòñÿ ê Õ. Òàêèì îáðàçîì, îí ïðèøåëа êа íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü ïåðåìåííûé êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà. Âа ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîöåññ ñòàíîâèëñÿ íåëèíåéíûì, ÷òî êîðåííûì îáðàçîìа èçìåíèëîа åãî äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.

Ïðîøëî áîëåå ñòà ëåò, ïðåæäå ÷åì áûëè îñîçíàíû âñå âûòåêàþùèå èç ýòîãî ïðîáëåìû. Ïðè ìàëûõ êîýôôèöèåíòàõ ïðèðîñòà, î÷åâèäíî, íèн÷åãî îñîáåííîãî íå ïðîèçîéäåò: ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèèа áóäåò ïðîñòî ðåãóëèðîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû äîñòè÷ü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿа Õ, óâåëèн÷èâàÿñü êîãäà îíà ìåíüøå åãî, è óìåíüøàÿñü, êîãäà аáîëüøå. Îäíàêî, êàê òîëüêî êîýôôèöèåíò ïðåâûñèò 200%, íàñ îæèäàþò ñþðïðèçû.

Ñóùåñòâóþò ëè â ïðèðîäå òàêèå áîëüøèåа êîýôôèöèåíòû ïðèðîñòà? Êîíå÷íî, ÷åëîâå÷åñêàÿ ïîïóëÿöèÿ òàê áûñòðî íå ðàñòåò, íî äëÿ îïðåнäåëåííûõ âèäîâ íàñåêîìûõ òàêîé êîýôôèöèåíò íåа ÿâëÿåòñÿ íåîáû÷íûì. Âàæíî òî, ÷òî â ïîñëåäíèå 20 ëåò çàêîí Ôåðõþëüñòà íàøåë ïðèìåíåíèå äëÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîãî êðóãà ÿâëåíèé, ÷åì ïðåäñòàâëÿë ñåáå ñàì Ôåðõþëüñò.

Ýäâàðä Í. Ëîðåíö, ìåòåîðîëîã èç Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñнêîãî èíñòèòóòà, îáíàðóæèë â 1963 ãîäó, ÷òî èìåííî ýòîòа çàêîí îïèнñûâàåò íåêîòîðûå ñâîéñòâà òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, âа ÷àñòíîñòè êîãäà êîýôôèöèåíò âåëèê. Çàòåì òåîðåòè÷åñêèåа èññëåäîâàíèÿа ïîа ëàçåðíîé ôèçèêå, ãèäðîäèíàìèêå è êèíîòèêå õèìè÷åñêèõа ðåàêöèé ïðîäåìîíñòðèнðîâàëè ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð ýòîãî çàêîíà, èа ïðåäñêàçàííûåа èì ñöåíàðèè áûëè îáíàðóæåíû â ýêñïåðèìåíòàõ.

Íî êàê æå âåäåò ñåáÿ ïðîöåññа Ôåðõþëüñòà, êîãäàа êîýôôèöèåíò ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì? Ïîäðîáíûé àíàëèç î÷åíü ñëîæåí.

Óïîìÿíåì òîëüêî íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû. Êîãäàа ïàðàìåòðû ðîñòà ïðåâûñÿò 200%, ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì äîñòèæåíèå îïòèìàëüíîé ÷èñëåííîñòè X. Êîãäà ïîïóëÿöèÿа ìàëà, ýíåðãè÷íûéа ðîñòа íåèçìåííî ïðèâîäèò ê ïðåâûøåíèþ îïòèìàëüíîãî ðàçìåðà, ÷òîа âûçûâàåò îòâåòíóþ ðåàêöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîïóëÿöèÿ óìåíüøàåòñÿа äî ðàçìåðîâ, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ X. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå êîëåáàíèÿ ìåæäó äâóìÿ ðàçìåðàìè, áîëüøèì è ìåíüøèì.

Êîãäà ïàðàìåòð ðîñòà ïðåâûñèò 245%, ïðîèñõîäèò äàëüíåéøåå óñнëîæíåíèå ïîâåäåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñíà÷àëà ìåæäó 4, çàòåì 8, çàòåì 16 ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè èа òàê äàëåå, äî òåõ ïîð ïîêà äëÿ ïàðàìåòðîâ, áîëüøèõ 257%, íå âîçíèêàåò õàîñ.

×òî ìû ïîíèìàåì ïîä õàîñîì? Ïîïðîñòó ãîâîðÿ, ñèñòåìà âûõîäèò èç ïîä êîíòðîëÿ. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà ïðåäñêàçàòü ååа ïîâåäåíèå íà äëèòåëüíîå âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå ñêà÷êè ââåðõ è âíèç óïîðíî ïðîäîëнæàþòñÿа èа íèêîãäàа íåа ïðåâðàòÿòñÿа â óïîðÿäî÷åííóþа ïîñëåäîâàнòåëüíîñòü. ×òîáû ïîíÿòü óäèâëåíèå, êîòîðîå èñïûòàë Ëîðåíö ïðè ýòîì îòêðûòèè, íàïîìíèì, ÷òî íèêàêîé íåîïðåäåëåííîñòèа íå ïðåäïîëàãàåòнñÿ. Ïðîöåññ ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Ôåðõþëüñòà, ïîñëåäîâàнòåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì - è âñå æå åå ïîâåнäåíèå íåâîçìîæíî ïðåäñêàçàòü, îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòüа ïðîöåññó ðàçнâèâàòüñÿ ñàìîìó ïî ñåáå.

Ýòà î÷åíü òîíêàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò íåêîòîðîãî áîëåå ïîäðîáíîãî îáúÿñíåíèÿ. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òîа ïîñëåäîâàòåëüíîñòüа îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ïîäðàçóìåâàåòа âîçìîæíîñòüа îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Ýòîа ÿâëÿåòñÿ âåðíûì òîëüêî Уâ ïðèíöèïåФ. Ëþáîå ðåàëüíîå îïèñàíèåа íà÷àëüíîéа âåëè÷èíû, íàïðèìåð åå ïðåäñòàâëåíèå â êîìïüþòåðå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ êîнíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Èçó÷àåìûé ïðîöåññ ìîæíîа ñðàâíèòüа ñа ïîëó÷åíèåì èíôîðìàöèè: ÷åì äîëüøå ìû åãî áóäåìа íàáëþäàòü, òåìа ëó÷øåа áóäåì çíàòü â ðåòðîñïåêòèâå òî÷íóþ âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.

È âñå æå íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèì â äèíàìèêå Ôåðõþëüñòà ÿâëÿåòñÿ íå õàîñ êàê òàêîâîé, à ñöåíàðèé, ïî êîòîðîìóа ïîðÿäîê ïðåâðàùàåòñÿ â õàîñ. Èìååò ëè ñìûñë òî÷íî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðîñòà, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè îò êîëåáàíèé ïåðèîäà ê êîëåнáàíèÿì ïåðèîäà

Íî ïåäàíòè÷íîñòü ÷àñòî ñòîÿëà ó êîëûáåëè âàæíûõ îòêðûòèé. Èîнãàíí Êåïëåð íå îòêðûë áû ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìûа îðáèòа äâèæåíèÿ ïëàнíåò, åñëè áû íå áûë îáåñïîêîåí íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì âа 8а óãëîâûõ ìèíóòа îðáèòûа Ìàðñàа îòа ïðåäñêàçàíèéа òåîðèèа Ïòîëîìåÿ. Ôðèäðèõ Âèëüãåëüì Áåññåëü íå ñìîã áû îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèåа îòа Ñîëíöàа äî áëèæàéøèõ íåïîäâèæíûõ çâåçä, íå íàó÷èâøèñü аòî÷íåéøåìó èñïîëüçîâàнíèþ ÷èñåë è òàáëèö âî âðåìÿ ñâîåãî ó÷åíè÷åñòâàа óа îäíîãîа èç áðåнìåíñêèõ òîðãîâöåâ. Íàó÷íàÿ ðàáîòà âñåãäà çàâèñèò îò ñàìîãî ñêðóïóнëåçíîãî âíèìàíèÿ ê äåòàëÿì äàæå òîãäà, êîãäà ñòàíîâèòñÿа ÿñíîé êàн÷åñòâåííàÿ ñòîðîíà. À êàê èçâåñòíî âñåì, êîìóа ïðèõîäèëîñüа èñêàòü îøèáêè â êàêîé-ëèáî ïðîãðàììå, äëÿ ýòîãî íåòа ëó÷øåãî èíñòðóìåíòà, ÷åì êîìïüþòåð.

Ïðè òî÷íîì àíàëèçå òî÷åê áèôóðêàöèè â ïðîöåññå Ôåðõþëüñòà îáнíàðóæèâàåòñÿ çàêîíîìåðíîñòü, èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â ìèнðå íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé. Çàêîíîìåðíîñòüа êàñàåòñÿа äëèíа èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óñòîé÷èâûìа ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ïåðèîäîì. Ýòè èíòåðâàëû ñîêðàùàнþòñÿ ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà, ïðè÷åìа ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþнùèé ñîêðàùåíèå, ïðèáëèæàåòñÿ ê óíèâåðñàëüíîìó çíà÷åíèþ

êîãäà ïåðèîä ðàñòåò.

Ýòî ÷èñëî, ïåðâûåа äåñÿòè÷íûåа çíàêèа êîòîðîãîа áûëèа âïåðâûå îïóáëèêîâàíû Ãðîññìàííîì è Òîìý â 1977 ãîäó, ïîÿâëÿåòñÿа ñíîâàа è ñíîâà âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññàõ. Îíî ÿâëÿåòñÿа òàêîéа æå õàðàêòåнðèñòèêîé äëÿ ñöåíàðèåâ óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ, êàê ÷èñëî äëÿ îòíîнøåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Ýòîа ÷èñëîа íàçûâàþòа òåïåðü У÷èñëîì ÔåéãåíáàóìàФ. Ìèò÷åëа Ôåéãåíáàóìа ïðîäåëàëа âû÷èñëåíèÿа íà ñâîåì êàëüêóëÿòîðå â Ëîñ Àëàìîñå äëÿ öåëîãî ðÿäà ðàçëè÷íûõ ïðîöåñнñîâ è ïîëó÷èë â êàæäîì ñëó÷àå îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü. Îíа îòêðûë óíèâåðñàëüíîñòü ýòîãî ÷èñëà.

Ýòî îòêðûòèå âûçâàëî íåâåðîÿòíóþ àêòèâíîñòü ó÷åíûõа âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè. Áûëî ïîñòàâëåíî îãðîìíîå ÷èñëîа ýêñïåðèìåíòîâ, ïîнêàçàâøèõ, ÷òî ñöåíàðèé óäâîåíèÿ ïåðèîäàа äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåìàõ. Ýòî è íà÷àëî òóðáóëåíòíîñòè â ïîнòîêå æèäêîñòè, è íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â õèìè÷åñêèõ èëè ýëåêòðè÷åñнêèõ ñåòÿõ, è äàæå ïåðåõîä íîðìàëüíîãî ðèòìàа ñåðäöàа âа óãðîæàþùóþ æèçíè ôèáðèëëÿöèþ. È ìû ïðîñòîа íåа âа ñîñòîÿíèèа ïåðå÷èñëèòüа âñå ãðóïïû â ÑØÀ, Ôðàíöèè, ÔÐà èëè ãäå-ëèáî åùå, ïðîäåìîíñòðèðîâàâøèå, ÷òî ñóùåñòâåííûå àñïåêòû äèíàìèêè ñëîæíûõ ñèñòåìа ìîæíîа ñâåñòèа ê ïîâåäåíèþ, ïðèìåð êîòîðîãî äàåò óðàâíåíèå Ôåðõþëüñòà.

Íà òåîðèþ ýòî îêàçàëî íå ìåíåå ñèëüíîå âîçäåéñòâèå. Ìàòåìàòèнêè âñåа åùåа ïûòàþòñÿа äîа êîíöàа ïîíÿòüа ýòóа íåîæèäàííóþ óíèâåðнñàëüíîñòü. Íî, ïî-âèäèìîìó, áîëåå âàæíî, ÷òî îíàа ïîðîäèëàа íàäåæäó íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå ÿâëåíèÿ íå ëåæàò çà ïðåäåëàìè ñèñòåìàòèçàöèè è íàó÷íîé êëàññèôèêàöèè.

Îäíèì èç ïåðâûõ, êòî îñîçíàë âàæíîñòü èçó÷åíèÿа ïðîöåññà Ôåðнõþëüñòà, áûë áèîëîã Ðîáåðò Ì. Ìýé. Åùå â 1976 ãîäó îí ïèñàë:

Ïîýòîìó ÿ íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóþ, ÷òîáû ëþäèа çíàêîìèëèñü, ñêàнæåì (ñ óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà), íà ðàííåì ýòàïå ñâîåãî îáó÷åíèÿ ìàнòåìàòèêå. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî èçó÷àòüа ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, èòåðèðóÿ åãî íà êàëüêóëÿòîðå èëè äàæå âðó÷íóþ. Åãî èçó÷åíèå äàæå íå òðåáóåò âñåãî ìíîæåñòâà ñëîæíûõ ïîíÿòèé, êàêèå èñïîëüçóþòñÿ â ýëåìåíòàðíîì àíàëèçå. Òàêîå èçó÷åíèå î÷åíü îáîãàùàëî áû èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåнíèÿ ó÷àùåãîñÿ î íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ.

Äëÿ âñåõ íàñ áûëî áû ëó÷øå, åñëè áû íå òîëüêî â íàó÷íîé ðàáîнòå, íî è â ïîâñåäíåâíîé ïîëèòè÷åñêîéа èа ýêîíîìè÷åñêîéа æèçíèа êàê ìîæíî áîëüøå ëþäåé ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû íå âñåãнäà îáëàäàþò ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.

Ãëàâà 4

ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ

Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðèнîáðåòàåòа ôóíäàìåíòàëüíîåа çíà÷åíèå. Àíàëèçа ïðîöåññàа Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûéа ïðåäìåò îáñóæäåнíèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷нíî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëîнâà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.

Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîåа ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêàа ñðåäèа âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.

Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîîòнíîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè. Áåíóàа Á. Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íîнñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòîа ïðè÷óäëèâàÿа ôèãóðà, êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé;а ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé, ÷åìа óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéнãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñнòî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçüа ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëåнêàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.

Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì, ñîñòîÿëàа âа òîì, ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòüа êîìïëåêñíûåа èа íàáëþäàòü ïðîöåññ а íå çíàнêîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòàнòî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëîа óêàçûâàåò, êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó, êàêа ìûа óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëàа ìîãóòа ïîðîæäàòüа òîа æåа ñàìîåа ìíîæåñòâî Ìàíнäåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàîнñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðåа âíèìàíèÿ îêàнçàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìèа îáëàñòÿìè. Ìîæíî ïðåäñòàнâèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû - êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà аëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõîнäèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöåа èа íåа ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðàа èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìîнæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿа âа ïûëü, èа òàêîéа ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.

Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåðнõþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:

Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî аè ò. ä. Ýòî ïîäа ñèëó êàæнäîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òîа âа òàêîìа èòåðèðîâàíèèа ìîæåò ñêðûнâàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.

Ãëàâà 5

ÍÀÓÊÀ È / ÈËÈ ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ?

Çà ãîäû ïîïûòîê ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòûа çàèíòåðåñîâàííîé îáнùåñòâåííîñòè ó÷åíûå ïîíÿëè, ÷òî õóäîæåñòâåííàÿа äåÿòåëüíîñòüа òîæå ìîæåò ïðèíåñòè íàó÷íûå ïëîäû. Èëè âñå êëÿòâåííûå çàâåðåíèÿ ìàòåìàнòèêîâ è ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ îá ýñòåòè÷åñêîé êîìïîíåíòå èõа íàóêèа нýòî ëèøü ñëîâà? Àìåðèêàíñêèå ìàòåìàòèêè Ôèëèïï Äæ. Äýâèñа èа Ðþáåí Õåðø ïèñàëè:

Ñëåïîòà ê ýñòåòèêå ìàòåìàòèêè ðàñïðîñòðàíåíà øèðîêîа è èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòèêà ñ÷èòàåòñÿ ñóõîé, êàêа ïûëü, âîëнíóþùåé, êàê òåëåôîííàÿ êíèãà, äàëåêîé îò æèçíè, êàê çàêîíîóëîæåíèå Øîòëàíäèè XV â. Íàîáîðîò, ïîíèìàíèå ýñòåòèêè ìàòåìàòèêè çàñòàâëÿåò ïðåäìåò æèòü ïðåêðàñíîé æèçíüþ è ãîðåòü, êàê, ïî-âèäèìîìó, íèêàêîå äðóãîå òâîðåíèå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ìîæåò ëè ýòà ýñòåòèêà ïðîÿâèòüñÿ èíà÷å ÷åì â ñàìîì ïîèñêå ìàнòåìàòè÷åñêîãî è åñòåñòâåííî-íàó÷íîãî çíàíèÿ?

Ìíîãèå îòçûâû âûñòàâêè ôðàêòàëüíûõ êàðòèí óáåäèëèа ìíîãèõа èõ àâòîðîâ ó÷åíûõ â òîì, ÷òî ñáëèæåíèå èñêóññòâàа èа íàóêèа ìîãëîа áû ïðèíåñòè îãðîìíóþ ïîëüçó. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñáëèæåíèÿа íå ñëåäóåò ïîíèìàòü, êàê ñëåïîå óâëå÷åíèå âñåì íîâûì è íåîáû÷íûì, àа ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü âïîëíå ðåàëèñòè÷åñêè â ôîðìàõ Уíîâûõ ñðåäñòâ ïåðåäàн÷è èíôîðìàöèèФ, ïðåæäå âñåãî êîìïüþòåðà. Êîìïüþòåð áîëüøå íå ÿâëÿнåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòüþ èñêëþ÷èòåëüíî íàóêè è òåõíèêè; ïîäðàñòàåò ìîнëîäîå ïîêîëåíèå êîìïüþòåðíûõ àêðîáàòîâ, êîòîðûåа îáÿçàòåëüíî áóäóò ðàçâèâàòü ñâîè õóäîæåñòâåííûå àìáèöèè. Ïîêà íå ÿñíî, êóäà çàâåäåò òàêîåа ðàçâèòèå, èа íåа ÿñíî, ìîæåòа áûòü, êàêа ðàçа â ñìûñëå êîìïëåêñíîé äèíàìèêè: âïîëíå îïðåäåëåííîå èа äåòåðìèíèðîâàííîå, íî íåïðåäñêàçóåìîå, áóðëÿùåå â ñâîåé ïîâîðîòíîé òî÷êå, ïîäîáíî Ôàóñòó âî âðåìÿ îìîëîæåíèÿ â êîëäîâñêîì ëîãîâå:

Ãîòîâèòü âûòÿæêó èç òðàâ -н

Òðóä íåïîìåðíîãî òåðïåíüÿ.

Íåîáõîäèì ñïîêîéíûé íðàâ,

×òîá âûæäàòü ìíîãî ëåò áðîæåíüÿ.

Òóò ê ìåñòó êðîïîòëèâûé äàð,

Ïðåäìåò ïî-æåíñêè ùåïåòèëåí.

Õîòü ÷åðò ó÷èë âàðèòü îòâàð,

Íî ñàì ñâàðèòü åãî áåññèëåí.

È. Â. Ãåòå

(Ïåðåâîä Á. Ë. Ïàñòåðíàêà)

Ãëàâà 6

ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÍÀÓÊÈ Â ÈÑÊÓÑÑÒÂÅ

Èçâåñòíûé íåìåöêèé ôàíòàñò è ïóáëèöèñò Ãåðáåðòа Ôðàíêå ïèñàë, ÷òî èñêóññòâîâåäû ãðÿäóùèõ ñòîëåòèé, îãëÿíóâøèñüа íàа íàøåа âðåìÿ, ïðèäóò ê âûâîäàì, âåñüìà îòëè÷íûì îò òåõ, ê êîòîðûìа ïðèõîäÿò íàøè ñîâðåìåííèêè. Ïî÷èòàåìûå íûíå õóäîæíèêè è ñêóëüïòîðûа áóäóò ñêîðåå âñåãî ïî÷òè çàáûòû, çàòî ïîÿâëåíèå ýëåêòðîííûõ ñðåäñòâа áóäåò ïðîнâîçãëàøåíî íàèáîëåå çíà÷èòåëüíîé ïåðåìåíîéа âа èñòîðèèа èñêóññòâà. Ïåðâûå ïîïûòêè, âíà÷àëå ðîáêèå è íåóâåðåííûå, äîñòè÷üа öåëè, êîòîнðàÿ êàêа èçâåñòíîа ñòîèòа ïåðåäа èñêóññòâîìа -а æèâîïèñíîé âûðàçèнòåëüíîñòè è òî÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà -а íîа ñ ïîнìîùüþ íîâûõ ñðåäñòâ, óâåí÷àþòñÿ â êîíöåа êîíöîâа çàñëóæåííûì óñïåнõîì.

Ïðè ýòîì Ôðàíêå óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà, Уâа ïðîøëîìФа (ò. å. ñåé÷àñ!), âïåðâûå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü òðåõìåðíûå èçîáнðàæåíèÿ ôàíòàñòè÷åñêèõ ïåéçàæåé è äðóãèå àíàëîãè÷íûå êàðòèíû ñ ôîнòîãðàôè÷åñêîé òî÷íîñòüþ. À âìåñòåа ñа êàðòèíàìèа ïîÿâèëàñü âîçìîæнíîñòü íå ëîâèòü îòäåëüíûå ìãíîâåíèÿ, à îõâàòûâàòü äåéñòâèòåëüíîñòü â äâèæåíèè è èçìåíåíèÿõ. Ýòî, âîçìîæíî, âàæíåéøèé àñïåêò íîâîé ïåнðåìåíû: âðåìÿ íà ýòèõ êàðòèíàõа íåа çàôèêñèðîâàíîа èа ëåãêîа ìîæíî ïîñòðîèòü ïëîñêèå èëè òðåõìåðíûå (â ïåðñïåêòèâå)а äâèæóùèåñÿ èçîáнðàæåíèÿ äàæå ñ òåõ òî÷åê çðåíèÿ, êîòîðûåа íåäîñòóïíû ÷åëîâå÷åñêîìó ãëàçó èëè êàìåðå.

Ñåãîäíÿ, âïðî÷åì, õóäîæíèêè, èñïîëüçóþùèåа êîìïüþòåð, îòîäâèнíóòû íà ïåðèôåðèþ УñöåíûФ èñêóññòâà. ×àñòè÷íî ýòîа ñâÿçàíîа ñ ôîðнìàëüíûìè êðèòåðèÿìè, ÷àñòè÷íî - ñ íåîäîáðåíèåì, âûçâàííûì êîíêðåòнíûìè êîììåð÷åñêèìè èíòåðåñàìè.

Ãëàâà 7

ÂÅÊ ÍÀÃËßÄÍÎÑÒÈ

Êîìïüþòåð - ýòî óñòðîéñòâî äëÿа îáðàáîòêèа äàííûõ, àа òåðìèí УäàííûåФ (èíôîðìàöèÿ), êàçàëîñü áû, îçíà÷àåò ÷èñëà, àа íå ðèñóíêè. Îäíàêî ðèñóíêè - ýòî â ñóùíîñòè äðóãîé ñïîñîá îïèñàòü ðåàëüíûå ñîнáûòèÿ - ôàêòû.

Êðîìå òîãî, ðèñóíêè ìîæíî çàêîäèðîâàòü ÷èñëàìè, à çàòåì îáðàнáîòàòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Ãðàôè÷åñêèåа èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, áóäåì äàëåå íàçûâàòü äëÿ êðàòêîñòèа êîìïüþòåðíîé ãðàнôèêîé. Çíà÷åíèå ýòîãî (êîãäà-òî ïîáî÷íîãî)а ñïîñîáàа èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ ÷ðåçâû÷àéíî âîçðîñëî â ïîñëåäíåå âðåìÿ.

Êîíå÷íî æå, âíà÷àëå íèêòîа íåа äóìàëа ðàçâèâàòüа êîìïüþòåðíóþ ãðàôèêó êàê èñêóññòâî; îíà âîçíèêëà â ðåçóëüòàòå ÷èñòî ïðàêòè÷åñêнèõ íàó÷íûõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ è êîììåð÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ðèñóíêè çíà÷èòåëüíî óäîáíåå äëÿ âîñïðèÿòèÿ, ÷åì äëèííûå ïåðå÷íè ÷èñåë, ïðèâåëî ê òîìó, ÷òî âîа âñåõа ýòèõа îáëàñòÿõа ÷èñëà ïîñòåïåííî âûòåñíÿëèñü ãèñòîãðàììàìè, êðèâîëèíåéíûìèа ãðàôèêàìèа è ò. ï.

Ýòîò ïðîöåññ è ïðèâåë êа ïîÿâëåíèþа èа ðàçâèòèþа êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè. Ïåðâûì, íî ñîâåðøåííîа íåïîäõîäÿùèìа ñðåäñòâîìа ïîëó÷åíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè áûë ïðèíòåð, êîòîðûé òåì íå ìåíåå äîêàçàë ýôнôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ íàãëÿäíûõ èçîáðàæåíèé ñòîëü óáåäèòåëüíî, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ðèñóþùèå ïðèáîðû, íàçâàííûåа ãðàôîïîñòðîèòåëÿìè, ïîÿâèëèñü êàê íå÷òî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùååñÿ. Âа ãðàôîïîñòðîèòåëÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ïåðà ñ ñåðâîêîíòðîëåìа (ñëåäÿùèìа êîíòðîëåì), ðèñóþùåãî íà ïëîñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Îíè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ñ ïîìîùüþ ìàøèíû ÷åðòåæè, òî÷íîñòü êîòîðûõа âïîëíå äîñòàнòî÷íà äëÿ öåëåé, ñêàæåì àðõèòåêòóðû, êàðòîãðàôèè è ò. ï. Íî ñëåäóнåò îòìåòèòü è îäèí íåäîñòàòîê - êðàéíå ìåäëåííóþ ðàáîòó ìåõàíè÷åñнêèõ ñèñòåì ïîа ñðàâíåíèþа ñîа ñêîðîñòüþа ýëåêòðîííûõа ïðîöåññîâа â êîìïüþòåðå. Òàê, äëÿ òîãî ÷òîáûа èçîáðàçèòüа êîíôèãóðàöèè, ðàññ÷èнòàííûå êîìïüþòåðîì çà äîëè ñåêóíäû, òðåáóþòñÿ ìèíóòû, à èíîãäà äàнæå ÷àñû.

Ïåðâûé ñåðüåçíûé ïðîðûâ â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå ñâÿçàíа ñ ñîçнäàíèåì ýëåêòðîííîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ - äèñïëåÿ, íàа êîòîðîì âèçóнàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ âîçíèêàåò òåì æå ñïîñîáîì è ñ òîéа æå ñêîðîñòüþ, ÷òî è â ýëåêòðîííîëó÷åâîé òðóáêå òåëåâèçîðà. Ïîÿâèëîñü, òàêèì îáнðàçîì, ñðåäñòâîа ïîñòðîåíèÿа ãðàôè÷åñêèõа èçîáðàæåíèé, äîñòàòî÷íî áûñòðîå, ÷òîáû ïîñïåâàòü çàа êîìïüþòåðîì. Êðîìåа òîãî, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü äâèæóùèåñÿ è äàæåа âçàèìîäåéñòâóþùèå èçîáðàнæåíèÿ.

Íîâûå ñïîñîáû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûëèа ðàçâèòûа íàа îñíîâå áîëåå ñòàðûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ðèñóíêîâ è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îñнíîâîé êîòîðûõ â ñâîþ î÷åðåäü ïîñëóæèëè ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå аâ ôîнòîãðàôèè. Ýòè ñïîñîáû ïîçâîëÿþò çíà÷èòåëüíî ëåã÷åа îöåíèâàòü îáðàнçû, âîçíèêàþùèå â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè, òåõíîëîãèè è ìåäèöèíû, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî áëàãîäàнðÿ èì.

Íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû èñïîëüçîâàëè ýñòåòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ. Áîëüøèíñòâî èç íèõ ñòàðàëèñü íå óïîòðåáëÿòü ñëîâî УèñêóññòâîФ âа îòíîøåíèèа ñâîèõ ðàáîò, óõîäÿ òåì ñàìûì îò êîíôëèêòà ñа äåÿòåëÿìèа èñêóññòâà. Ëèøü íåêîòîðûåа ðåøàëèñüа ìóæåñòâåííîа ïðîòèâîñòîÿòüа êðèòèêàì, ñ÷èòàÿ êîìïüþòåðû íîâûì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé èçîáðàçèòåëüíîãî èñêóññòâà. Ñâîé ìåòîä îíè íàçâàëèа Уêîìïüþòåðíîåа èñêóññòâîФ, ÷òî âûçâàëî ìíîæåñòâî îæåñòî÷åííûõ äèñêóññèéа îа âîçìîæíîñòèа ñîçäàíèÿ (õîòÿ áû â ïðèíöèïå) ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà ñ ïîìîùüþа ìàøèíû. Ïðè ýòîì ïðèâîäèëàñü ìàññà òåîðåòè÷åñêèõ àðãóìåíòîâ ïðîòèâа ýòîé èäåè. Ê ñ÷àñòüþ, ýòè äèñêóññèè ìàëî âëèÿëè íà ïðåäñòàâèòåëåé íîâîãî íàïнðàâëåíèÿ, è îíè ïðîäîëæàëè ñâîþ ðàáîòó, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà òåнîðåòè÷åñêèå âîçðàæåíèÿ. È íà ñåãîäíÿ óæå ñîáðàíà âïå÷àòëÿþùàÿ êîëнëåêöèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, îòðàæàþùàÿ òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññа - îò ïðîñòîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ äî ãðàôè÷åñêèõ äèñïëååâ ñ âûñîêîé ðàçðåнøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ.

Ãëàâà 8

ÐÈÑÓÍÎÊ ÊÀÊ ÑÐÅÄÑÒÂÎ ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Íåêîòîðûå ñïåöèàëèñòû ñîìíåâàþòñÿ â òîì, ÷òî âîçìîæåí ïåðåâîä ñ ÿçûêà ñëîâ íà ÿçûê ðèñóíêîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî êà÷åñòâî âèçóàëüíîé èíнôîðìàöèè íèæå ÷åì êà÷åñòâî ñëîâåñíîé. Ýòà ïîçèöèÿа íåëîãè÷íà, íàïнðîòèâ, ïîñëîâèöà: УËó÷øå îäèí ðàç óâèäåòü, ÷åì ñòîа ðàçа óñëûøàòüФ ïîäêðåïëåíà àðãóìåíòàìè èç îáëàñòè ïñèõîëîãèè âîñïðèÿòèÿ.

Âèçóàëüíûå ñèñòåìû ìîãóò íå òîëüêî îïåðèðîâàòü ñ èíôîðìàöèîíнíûì ïîòîêîì ïðèáëèçèòåëüíî â 10 ðàç áîëåå èíòåíñèâíûì, ÷åì âñå îñнòàëüíûå ñåíñîðíûå ñèñòåìû âìåñòå âçÿòûå, íî èа îáðàáàòûâàòü èíôîðнìàöèþ, êîòîðàÿ èìååò äâóìåðíóþ è äàæå (â èçâåñòíîéа ñòåïåíè) òðåõнìåðíóþ ñòðóêòóðó. Çàìåíà ñëîâ ðèñóíêàìè - ýòî ïåðåõîä íåа òîëüêî ê íîâîé ñèñòåìå êîäèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, íî è ê íîâûìа ìåòîäàì îïèñàнíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà.

Èñïîëüçóÿ êàê ñðåäñòâî îáùåíèÿ ÿçûê, ò. å. ëèíåéíûìè óïîðÿäîн÷åííûå ïî âðåìåíè â âèäå ðÿäà ñòðóêòóðû, ìûа àâòîìàòè÷åñêèа îòäàåì ïðåäïî÷òåíèå ïðèíöèïàì ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ. Ïðèìåðàìèа ìîãóò ñëóæèòü ïîíÿòèÿ ïðè÷èííîñòè èëè èñòîðè÷åñêîãî ïðîöåññà. Âа òîа æå âðåìÿ ÿçûê èçîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü è äðóãèåа î÷åíüа âàæíûå âèäû âçàèìîñâÿçè ÿâëåíèé, íàïðèìåðа ïåòëåâèäíûåа ïðîöåññû, âçàèìîнäåéñòâèÿ, ñåòè êîììóíèêàöèé è ò. ï. Âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî íàøà íåñнïîñîáíîñòü ìûñëèòü êàòåãîðèÿìè ñåòåé â íåìàëîé ñòåïåíèа ñâÿçàíàа ñ òåì, ÷òî ìû ïðèâÿçàíû ê îïèñàòåëüíîé ñèñòåìå ÿçûêà ñëîâ.

Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óòâåðæäåíèÿа ìíîãèõ ïðîòèâíèнêîâ èñïîëüçîâàíèÿ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ ñîâñåì íåа îáÿçàíûа áûòü ñïðàâåäëèâûìè. Íî åñëè îíè ñ÷èòàþò, ÷òî ðèñóíêèа îñòàâëÿþò ãîðàçäî ìåíüøå ìåñòà äëÿ ôàíòàçèè, ÷åì íàïèñàííûé òåêñò, òî èõ ìîæíî îïðîнâåðãíóòü. Äàæå êîìèêñû òðåáóþò òâîð÷åñêîãî äîîñìûñëåíèÿ ÷èòàòåëÿìè (ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî íåêîòîðûå ðîäèòåëè íåа ïîíèìàþò èõ ;). Ðèñóíêè äåéñòâèòåëüíî ôèêñèðóþò îäèí èç âèäîâ èíôîðìàöèè áîëåå æåñòêî, ÷åì ñëîâà, íî îñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî ïðîáåëîâ, êîòîðûå äîëнæåí çàïîëíèòü ñàì çðèòåëü.  êîìèêñàõ, íàïðèìåð, ëîãèêàа ñþæåòà, ñîöèàëüíûå îòíîøåíèÿ äåéñòâóþùèõ ëèö, ýìîöèîíàëüíûé ôîí -а âñå ýòî âîñïîëíÿåòñÿ ôàíòàçèåé çðèòåëÿ. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî èа â îòíîнøåíèè äðóãèõ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ: ôèëüìîâ, òåëåâèçîðà, âèäåî è äð.

Ê ñîæàëåíèþ, â äèñêóññèÿõ, êàñàþùèõñÿ íîâûõа êîìïüþòåðíûõ ðèнñóíêîâ, ñëèøêîì çàìåòíîå ìåñòî çàíÿëè áàíàëüíûå êîììåð÷åñêèå èíòåнðåñû. Îñíîâíàÿ æå ïðîáëåìà, áîëåå âàæíàÿ ñåãîäíÿ, ÷åìа êîãäà-ëèáî ðàíüøå, íå óïîìèíàëàñü â ýòèõ äèñêóññèÿõ, àа èìåííî, êàêа ïðèäàòü äîñòóïíóþ äëÿ ïîíèìàíèÿ ôîðìóа âñåìа ñëîæíûìа âçàèìîñâÿçÿìа íàøåãî ñîâðåìåííîãî ìèðà, êàê ñäåëàòü èõ îïèñàíèå ïîíÿòíûì è îäíîâðåìåííî èñ÷åðïûâàþùèì. ×åì ñëîæíåå ñèòóàöèÿ, òåìа áîëååа ïîäõîäÿùèì ñòàíîнâèòñÿ íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå.

Îäíà èç îñíîâíûõ âîçìîæíîñòåé äëÿа èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, è, â ÷àñòíîñòè, âçàèìîäåéñòâóþùèõ èçîáðàæåíèé îòêðûâàåòñÿ â íàóêå è îáðàçîâàíèè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîа èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, ïîçâîëÿþò äàòü ñàìîå óäèâèòåëüíîå èа îäíîâðåìåííî ñàнìîå ïîëíîå èç âñåõ èçâåñòíûõ îïèñàíèå îãðîìíîãîа ìíîæåñòâà ìàòåìàнòè÷åñêèõ ôîðìóë. Ïðè ýòîì åùå ðàç ïîäòâåðæäàåòñÿ èäåÿ, ÷òî êîäèðîнâàíèå èíôîðìàöèè â äâóìåðíîé èа (âа íåêîòîðîìа ñìûñëå)а òðåõìåðíîé ôîðìàõ ïîçâîëÿåò óâèäåòü âçàèìîñâÿçè, êîòîðûå äàæå ïðåäñòàâèòü ñåнáå áûëî íåâîçìîæíî, ãëÿäÿа íàа îòäåëüíûåа ôîðìóëû. Ïîìèìîа ýòîãî êîìïüþòåð äàåò âîçìîæíîñòüа ýêñïåðèìåíòèðîâàòü;а ìàòåìàòèêа ìîæåò, íàïðèìåð, èññëåäîâàòü âëèÿíèå ïàðàìåòðà íà ðåøåíèå çàäà÷è, êîíòðîнëèðîâàòü ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèé èëè íàõîäèòüа ïðåäåëüíûå çíà÷åнíèÿа áåñêîíå÷íûõа èòåðàöèîííûõа ïðîöåññîâ;а ôèçèê, ñêàæåì, ìîæåò èññëåäîâàòü, êàê âëèÿþò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ ôèнçè÷åñêèõа çàäà÷, àа õèìèêа -а ïðîàíàëèçèðîâàòüа ïðîñòðàíñòâåííûå ñòðóêòóðû àãðåãàòîâ ìîëåêóë.

Ãëàâà 9

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ËÈ ÝÒÎ?

Êàêèì æå îáðàçîì äîñòèãàþòñÿ ýòà äîñòóïíîñòü äëÿа ïîíèìàíèÿ è ÿñíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ? Ïóòåâîäíóþ íèòü äàþò ïñèõîëîãèÿа è ýñòåòèêà òåîðèè èíôîðìàöèè. Ñâîé âêëàä â äîñòèæåíèå ýòîé öåëè âíîñÿò è ãàðнìîíè÷åñêîå ðàçìåùåíèå, è áàëàíñ, è ñèììåòðèÿ - âñå ïðèíöèïû óïîðÿнäî÷èâàíèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå â òåîðèè èíôîðìàöèè.

ßñíî, ÷òî ýòè ïîíÿòèÿ ïðèìåíèìû è ê âèçóàëüíî íàáëþäàåìûì ÿâнëåíèÿì, ïîñêîëüêó çäåñü èñïîëüçóþòñÿ òå æå ïðèíöèïû îáðàçíîãî ìûøнëåíèÿ, ÷òî èа ïðèа ðàñïîçíàâàíèÿ, àíàëèçåа èа îïèñàíèèа ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ ÷åëîâå÷åñêèì ìîçãîì. Êðîìåа òîãî, èìåííîа ñа ýòèìè ôîðнìàëüíûìè ïîíÿòèÿìè ìû ñâÿçûâàåì êëàññè÷åñêèé èäåàëа êðàñîòû. Åñëè ïðîèçâîëüíûé íàáîð äàííûõ ïðåäñòàâèòü, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåнðà â îïòèìàëüíîì äëÿ âèçóàëüíîãî âîñïðèÿòèÿ âèäå, òîа ìû îäíîâðåнìåííî ïðèáëèçèìñÿ è ê õàðàêòåðèñòèêå Ïðåêðàñíîãî.

Îäíàêî èçó÷åíèå ñîâðåìåííîãî èñêóññòâà ïîêàçàëî, ÷òîа îäíîãî ëèøü ñîîòâåòñòâèÿ êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþа êðàñîòûа íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Íàðÿäóа ñа ýòèìа äîëæíîа áûòü íå÷òî âûçûâàþùåå èíòåðåñ, òðåáóþùåå ñîïðè÷àñòíîñòèа è çàñòàâëÿþùåå äóìàòü.

Èç ïñèõîëîãèè òåîðèè èíôîðìàöèè èçâåñòíî, ÷òî ïîäîáíûå ñòèìóнëû âîçíèêàþò â îñíîâíîì áëàãîäàðÿ УíîâèçíåФ, ò. å. òîãäà, êîãäà ïåðåä íàøèìè ãëàçàìè ïðåäñòàåò íå÷òî, êàê íàì êàæåòñÿ, íîâîå, ÷åãî ìû ðàíüøå íå âñòðå÷àëè.

Ïðîèçâîäèìîå ýñòåòè÷åñêîå âïå÷àòëåíèå èа âûçûâàåìîåа íîâèçíîé óäèâëåíèå - âîò ÷òî ðîäíèò ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà ñ èçîáðàæåíèÿìè, ñîçäàâàåìûìè íàóêîé. Íàïðèìåð, íàó÷íàÿ ôîòîãðàôèÿ - ýòîа îòíþäü íå ïðÿìîå îòðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîñòè, à ñêîðåå ðåçóëüòàòа ñëîæíûõ îïнòè÷åñêèõ èëè äàæå ýëåêòðîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé, öåëü êîòîðûõ ñîçäàòü íàèáîëåå óçíàâàåìûé è çàïîìèíàþùèéñÿ çðèòåëüíûéа îáðàç. Èñïîëüçóÿ êðàñèòåëè èëè ïîëÿðèçàöèîííûå ôèëüòðû â ìèêðîñêîïèè, ìûа ïîëó÷àåì íå÷òî, íè÷åãî îáùåãî íå èìåþùåå ñ ðåàëüíîé îêðàñêîéа îáúåêòà. Ýòè ñðåäñòâà ñëóæàò òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòüа íåêîòîðûåа îáëàñòè áîëåå ðàçëè÷èìûìè.

Êîíå÷íî æå, îáúåêòûа èññëåäîâàíèÿ, íàïðèìåðа êðèñòàëëè÷åñêèå ñòðóêòóðû, è ñàìè ïî ñåáå ñîäåðæàò âñå íåîáõîäèìîå äëÿ ðàñïîçíàâàнíèÿ èõ õàðàêòåðíûõ ÷åðò. Íî ëèøü ïðåîáðàçîâàíèå ñа ïîìîùüþ ñðåäñòâ ìèêðîñêîïèè ïîçâîëÿåò ñîçäàòü èçîáðàæåíèÿ, ñòîëüа ïîðàçèòåëüíî ïîнõîæèå íà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Ïðèðîäíûå ôîðìû êàê аèñêóññòâîа нýòà êîíöåïöèÿ Ýðíñòà Õåêêåëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéа âûðàæåíèå ïîðàçèнòåëüíîé âçàèìîñâÿçè ìåæäó, êàçàëîñü áû, ñîâåðøåííî ðàçíûìè îáëàñòнÿìè çðèòåëüíîãî îïûòà. Âèäèìî, íàñòîÿùåå ýñòåòè÷åñêîå óäîâîëüñòâèå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïóòåøåñòâóÿ, ñêàæåì, ïîа ïîâåðõíîñòèа êðèñòàëëàа ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.  ïîëå çðåíèÿ ïîïàäàþò âñå íîâûåа îáëàñòè, íàнïîìèíàþùèå êàêèå-òî ëàíäøàôòû, è âñåãäà ìîæíî åùå áîëüøå óâåëè÷èòü èçîáðàæåíèå, ÷òîáû èññëåäîâàòü áîëåå ãëóáîêèåа ïëàñòûа ñòðóêòóðíûõ âîçìîæíîñòåé.

Âî ìíîãèõ ôðàêòàëüíûõ êàðòèíàõа -а УïåéçàæàõФа îáíàðóæèâàåòñÿ óäèâèòåëüíîå ñõîäñòâî ñ êàðòèíàìè, íàáëþäàåìûìèа ïîäа ìèêðîñêîïîì. Ãðóïïà èññëåäîâàòåëåé, çàíèìàþùàÿñÿ èõа ñîçäàíèåì, íîñèòа íàçâàíèå УÊîìïëåêñíàÿа äèíàìèêàФ, ÷òîа îòðàæàåòа íàó÷íóþа ñòîðîíóа åå äåÿнòåëüíîñòè, íî, è ýòî î÷åíü âàæíî, ñâîè ãðàôè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ îíè íàçâàëè íîâûì, ñîçäàííûì èìè òåðìèíîì УÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßФ. Ýòî ñèíòåòè÷åñêîå íàçâàíèå âûðàæàåò îäíîâðåìåííî èа àíàëîãè÷íûéа îïûò, íàêîïëåííûé âíà÷àëå áèîëîãàìèа èа êðàñòàëëîãðàôàìè, èñïîëüçóþùèìè ìèêðîñêîïû, è âïîñëåäñòâèè ó÷åíûìè, ðàáîòàþùèìè â ðàçëè÷íûõ îáëàñнòÿõ åñòåñòâåííûõ íàóê - îò ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèöа ïî àñòðîíîнìèè.

Íî ìåæäó ìàòåìàòèêîé è åñòåñòâåííûìè íàóêàìèа åñòü ñóùåñòâåíнíîå îòëè÷èå. Âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü, ÷òîа ó÷åíûéа ôîòîãðàôèðóåò ðåнàëüíî ñóùåñòâóþùèå â ïðèðîäå ñòðóêòóðû è âûäàåò, âа êàêîì-òî ñìûñнëå, êîïèè ïðèðîäíûõ îáúåêòîâ çà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Íîа òàêîå îáâèíåíèå íåâîçìîæíî ïðåäúÿâèòü ìàòåìàòèêó. Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà ìîæåò âíåøíå è íàïîìèíàåò èñïîëüçîâàíèåа ìèêðîñêîïà, íî òî, ÷òî ìû ñ åãî ïîìîùüþ ïîëó÷àåì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ÷èñòîì âèнäå ïðîäóêò ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà è íå îáÿçàòåëüíî èìååòа àíàëîãèа â ïðèðîäå. Ïîýòîìóа êàðòèíû, êîòîðûå óäàëîñü ïîëó÷èòü ãðóïïå УÊîìïëåêñíàÿ äèíàìèêàФ - ýòî âîâñå íåа èñêëþ÷èòåëüíîа óäà÷íûé çðèнòåëüíûé îáðàç ïðèðîäû, íàïðîòèâ, èõ îñíîâíîåа ñîäåðæàíèå ïðèäóìàíî àâòîðàìè. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòè ðèñóíêèа ïîðàæàþò ïîäëèííîé íîâèçíîé è îáîçíà÷àþò ïðîáëåìû, íàïðèìåð êîìïëåêñíîñòü, èññëåäîâàнíèå êîòîðûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîäîòâîðíûì è ïîëåçíûì. Ìîæíî, êîíå÷нíî, ãîâîðèòü, ÷òî òåìû êîìïüþòåðíûõ ðèñóíêîâ íåîáû÷íû äëÿ èñêóññòнâà, ÷òî îíè èíòåðåñóþò òîëüêî ó÷åíûõ è òåõíîëîãîâ è, ñòàëîа áûòü, ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èñêóññòâî ëèøü â ðàìêàõ íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ñóáêóëüòóðû. Íî âа ýòîìа îáâèíåíèèа íà÷èñòîа èãíîðèðóåòñÿа òîò ôàêò, ÷òî ïðîáëåìàòèêó êîìïëåêñíûõ ñèñòåì ìîæíî îáíàðóæèòü â ñàìîé îñíîâå áèîëîãè÷åñêîé æèçíè è ñîöèàëüíûõа ñèñòåì, âа ïðîèñõîæäåíèè Âñåëåííîé è äàæå â ôèëîñîôèè. Òî åñòü â ñàìîì äåëå èñêóññòâî, åñëè ñëåäîâàòü îáû÷íûì îïðåäåëåíèÿì. È åñëè åãî è ìîæíî ñ÷èòàòü íåíàñòнîÿùèì, òî ëèøü ïî òîéа ïðè÷èíå, ÷òîа îíîа ñîçäàâàëîñüа ñа ïîìîùüþ êîìïüþòåðà.

Ãëàâà 10

ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

Èñêóññòâî ïðåäïîëàãàåò îáùåíèå ìåæäó õóäîæíèêîìа è çðèòåëÿìè.  èäåàëüíîì ñëó÷àå - ýòîа çàìêíóòûéа öèêë:а õóäîæíèêа ïðåäñòàâëÿåò çðèòåëÿì ñâîþ ðàáîòó, âûçûâàåò èõ ðåàêöèþ è èñïîëüçóåò ååа êàê îáнðàòíóþ ñâÿçü, ó÷èòûâàÿ, ñ öåëüþ áûòü ëó÷øå ïîíÿòûì, îòêëèê çðèòåнëåé â ñâîåé äàëüíåéøåé ðàáîòå.

Åñòü ëè ïðåïÿòñòâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèþа êîìïüþòåðíîéа ãðàôèêèа è êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà? Ïîêà ýòîа áûëèа ëèøüа ðèñóíêè, ñîçäàííûå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, ãëàâíîé ïðîáëåìîé áûëèа ñîìíåíèÿа ñïåöèàëèñòîâ, èñòîðèêîâ èñêóññòâà, èñêóññòâîâåäîâ è, áîëåå âñåãî, âëàäåëüöåâ ãàнëåðåé. Ïðîáëåìà çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî êîìïüþòåð ìîæåò ñîçäàòü ëþнáîå ÷èñëî îäèíàêîâî ñîâåðøåííûõ УîðèãèíàëîâФ, ÷òîа ìîæåòа íàíåñòè óùåðá áèçíåñó, ñâÿçàííîìó ñ èñêóññòâîì. Çàòåì áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî íåêîòîðûå èç ïåðâûõ ðàáîò, ñîçäàííûõ êîìïüþòåðîì, âа ïîëíîéа ìåðå óíèêàëüíû è íåâîñïðîèçâîäèìû. È èõ äåéñòâèòåëüíî ñòîèëî êîëëåêöèîнíèðîâàòü.

Ñåé÷àñ ñèòóàöèÿ ñëîæíåå. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì, ÷òîа èçîáðàæåíèÿ ñîçäàþòñÿ íå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, à íà ýêðàíå äèñïëåÿ. Ñа ýêðàíà îíè äîëæíû áûòü УïåðåïèñàíûФ è çàôèêñèðîâàíû, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ íåèñêнàæàþùåé, êîíòðîëèðóåìîé êîìïüþòåðîì, ôîòîãðàôèè. Íî çäåñü ñðàçó æå âñïëûâàþò ñòàðûå îãîâîðêè, è âíîâü âîçíèêàåò äèñêóññèÿ îа òîì, ìîнæåò ëè ôîòîãðàôèÿ áûòü ïðîèçâåäåíèåì èñêóññòâà.

Åñòü è äðóãèå ñïîñîáû ïåðåíîñà èçîáðàæåíèé ñа ýêðàíàа äèñïëåÿ íà áóìàãó â íåèñêàæåííîì âèäå, â ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþа ñòðóéíûõа è ëàçåðíûõ ïðèíòåðîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþа ïîäîáíàÿ òåõíèêà åùå íåäàâíî áûëà äîñòóïíà ëèøü íåìíîãèì èññëåäîâàòåëÿì, è ïîýòîìó áîëüøèíñòâî íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, äàæå òåõ, â êîòîðûõа ïîëó÷åíû òðåõнìåðíûå îáðàçû ñ ïåðñïåêòèâîé, îñòàåòñÿ íà ñëàéäàõа èëè ôîòîáóìàãå. Ñàìûå áîëüøèå ñëîæíîñòè âîçíèêàþò ñ äâèæóùèìèñÿ èçîáðàæåíèÿìè, êîнòîðûå íåëüçÿ âûñòàâèòü â ãàëåðåÿõ è êîòîðûìè òðóäíî çàèíòåðåñîâàòü òåõ, êòî òîðãóåòа ïðîèçâåäåíèÿìèа òðàäèöèîííîãîа èñêóññòâà. ×òîáû ñäåëàòü ýòè ïðîèçâåäåíèÿ äîñòóïíûìè äëÿа ïóáëèêè, íóæíî èñïîëüçîнâàòü àáñîëþòíî íîâûå ñðåäñòâà, íàïðèìåðа òåа îðãàíèçàöèè, êîòîðûå èìåþò äåëî ñ òåëåâèçèîííûìè èçîáðàæåíèÿìè òèïà áèáëèîòåê âèäåîêàñнñåò èëè òåëåñòàíöèé. Íåïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò: òî ëè ïðîñòî ñëèøнêîì ìàë ñïðîñ íà ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì äâèæóùèåñÿа îáðàçû, òîа ëè âñåìó âèíîé ìåäëèòåëüíîñòü ñðåäñòâ ìàññîâîéа èíôîðìàöèè, íåæåëàíèå ïåðåêëþ÷èòüñÿ íà íîâûé ïóòü?

Êàêèì æå ñïîñîáîì ìîæåò УêîìïüþòåðíûéФа õóäîæíèêа ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû øèðîêîé ïóáëèêå? Ïðîñòåéøèé ìåòîä, êàêа ìíåа êàæåòñÿ, ñëåäîâàòü òðàäèöèÿì ãàëåðåé è âûñòàâëÿòü âíà÷àëåа ïåðåíåñåííûåа íà áóìàãó ñòàòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ. Àа êîãäàа ýòèа ïðîèçâåäåíèÿа áóäóò ïðèçíàíû, îòêðîþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè èа äëÿа äâèæóùèõñÿ èçîáðàæåнíèé. Âïðî÷åì, â ïîñëåäíåå âðåìÿ, â ñâÿçè ñ âíåçàïíûì âçðûâíûì ðîñнòîì ðàñïðîñòðàíåííîñòè ïåðñîíàëüíûõа êîìïüþòåðîâ, ïîÿâëÿþòñÿ âîçнìîæíîñòè ïåðåäà÷è ïîäîáíûõ ïðîèçâåäåíèéа èñêóññòâàа âа âèäå ñïåöèнàëüíûõ ôàéëîâ. Áîëåå òîãî, òàêèå ôàéëû ìîãóòа ñîäåðæàòüа íå îáÿçàнòåëüíî ãðàôè÷åñêóþ èíôîðìàöèþ, íî ïðîñòî Уíàáîð êîýôôèöèåíòîâФ äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ êàðòèíû ïî èçâåñòíîìó àëãîðèòìó.

Ãëàâà 11

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ È ÒÅÕÍÎËÎÃÈß ÑÅÃÎÄÍß

Ðàçóìíàÿ ñòðàòåãèÿ áèçíåñà è ïðåâîñõîäíîåа êà÷åñòâî ïðîäóêöèè íå ïîìîãóò, åñëè ïóáëèêà ýòó ïðîäóêöèþ îòâåðãàåò. Îäíîé èç ïðè÷èí, ïî êîòîðûì êîìïüþòåðíîå èñêóññòâî îòâåðãàåòñÿ, ìîæåòа ñëóæèòüа òî, ÷òî îíî ñîçäàíî ñ ïîìîùüþ òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíûõа óñòðîéñòâ, êîнòîðûå ñàìè ïîïàëè íûí÷å ïîä ñèëüíûé ïåðåêðåñòíûéа îãîíü. Âûñòóïëåнíèå â çàùèòó òåõíîëîãèè (ñ öåëüþ óçàêîíèòü ååа êàêа òâîð÷åñêèé ìåнòîä) íàòàëêèâàåòñÿ íà íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ âîïðîñà:а УÍåа ñëåäóåò ëè îãðàäèòü èñêóññòâî îò âìåøàòåëüñòâà ìàøèí âа ñîâðåìåííîìа ìèðå, òåì áîëåå, ÷òî è ñàì ïî ñåáå òåõíîëîãè÷åñêèé ïðîöåññа âûçûâàåò îïнðåäåëåííûå ñîìíåíèÿ?Ф Îòâåòа ïðîñò. Òåõíîëîãèÿ, íåîáõîäèìàÿа äëÿ êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îòа èñïîëüçóåìûõ â ýíåðãåòèêå è ïðîìûøëåííîñòè, êîòîðûå â îñíîâíîìа èа îêàçàëèñüа ïîä îãíåì êðèòèêè. Êîìïüþòåð - ýòî ïðîäóêòа èíôîðìàöèîííîé òåõíîëîãèè, ïîòðåáëÿþùèé ìèíèìóì ýíåðãèè è ìàòåðèàëüíûõ ðåñóðñîâ. È íåò ïðè÷èí îãðàíè÷èâàòü ïðèìåíåíèå ñèñòåì îáðàáîòêè äàííûõ ëèøüа íàóêîé, òåõнíîëîãèåé, áèçíåñîì è óïðàâëåíèåì, èñêëþ÷àÿ ñôåðó èñêóññòâà.

Âîïðîñ î çàìåíåа òðàäèöèîííûõа ìåòîäîâа òâîð÷åñòâàа õóäîæíèêà ýëåêòðîíèêîé èëè ìàøèíàìèа íåа ñòîèò. Íàïðîòèâ, èìååòа ñìûñë èñнïîëüçîâàòü âñå âîçìîæíûå ñðåäñòâà, ÷òîáû ðàñøèðèòü âîçìîæíîñòè äëÿ ñàìîâûðàæåíèÿ õóäîæíèêà. Èñêóññòâî êàæäîé ýïîõèа ïîëüçîâàëîñü ñîâнðåìåííûìè ñðåäñòâàìè, ÷òîáû ïðèäàòü ôîðìó òîìó íîâîìó, ÷òî ïîÿâëÿнëîñü â õóäîæåñòâåííîì òâîð÷åñòâå. Ïðè ýòîì íèêîãäà íå ðóêîâîäñòâîнâàëèñü òîëüêî òåõíè÷åñêèìè èëè ïðàêòè÷åñêèìèа öåëÿìè, ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàëè è ñïîñîáû îáùåíèÿа ëþäåéа äðóãа ñа äðóãîì. Ïî÷åìóа æå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð - ýòî óíèâåðñàëüíîå ñðåäñòâî îáùåíèÿ è ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè, êîòîðîå çàâîåâûâàåòа äàæåа íàøèа ñîáñòâåííûå äîìà - â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà?

ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ

1. Èíôîðìàöèîííûå êàíàëû ñåðâåðîâ 279.0 è 200.25 â ñèñòåìå 5020.

2. Õ.-Î. Ïàéòãåí, Ï.Õ.Ðèõòåð. Êðàñîòà ôðàêòàëîâ. Îáðàçû êîìïëåêñíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. УÌÈÐФ, 1993 ã.:

3. Ãåðáåðò Â. Ôðàíêå. Ïðåëîìëåíèå íàóêè â èñêóññòâå.