Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Разложение рациональной дроби на простейшие.

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное чреждение

высшего профессионального образования

Башкирский Государственный ниверситет

Нефтекамский филиал

Кафедра МиПОВМ

Курсовая работа

Тема: Разложение рациональной дроби на простейшие.

Выполнил студент

группы М-31

Остапов А. Б.

Принял:

Вильданов А. Н.

Нефтекамск 2006

Содержание.

        Введение.

        Часть 1. Теоретическая часть к курсовой работе.

        Часть 2. Практическая часть к курсовой работе.

o   з Реализация метода простых коэффициентов в MapleФ.

o   з Реализация метода простых коэффициентов на DelphiФ.

        Заключение.

        Список литературы.

Введение.

Этот вопрос же много раз изучен и рассмотрен. Казалось бы, что может быть проще для современного математика, чем разложить рациональную дробь на простейшие, разве что элементарные алгебраические операции. Однако, применение этого метода существенно облегчает жизнь - не будь метода - некоторые задачи было бы очень проблематично решить, некоторые вообще не решались.

Основные операции, в которых я применял этот метод, были:

) Разложение рациональной дроби на простейшие с целью дальнейшего интегрирования получившихся элементарных дробей (Матем. анализ);

б) Разложение рациональной дроби на простейшие для использования в процессе преобразования Лапласа, что иногда серьезно скоряет нахождение решения различных равнений и систем равнений в частных производных (Курс равнений мат. физики).

Разложение - это необходимость. Без нее нельзя обходиться, тем более на современном этапе развития математической мысли. Об этом и пойдет речь в моей курсовой работе.

Часть 1.

Теоретическая часть к курсовой работе.

Рациональной дробью назовем отношение двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами:

Дробь называется правильной, если степень P(x) меньше степени Q(x), и неправильной в противном случае. Простейшей называется правильная дробь, знаменатель которой представляет собой неприводимый (значит не имеющий корней) над некоторым полем (в нашем случае - поле действительных чисел) многочлен.

Для простых (правильных) дробей с действительными коэффициентами справедлива следующая теорема о разложении на сумму простейших:

Пусть (1) Ч правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

где индексированные переменные B, M, N - некоторые вещественные постоянные (может быть, равные нулю).

Для определения конкретных значений сих коэффициентов следует привести равенство к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе. Т.е. по сути дела решить систему линейных уравнений. Используется эта конструкция по большей части при вычислении интегралов, т.к. таким образом интеграл произвольной рациональной функции сводится, по сути дела, к сумме табличных интегралов.

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n≥m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n≤m), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

где R(x) - многочлен-частное (целая часть) дроби P_n(x) - остаток (многочлен степени n < m).

Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1)

2) а(n≥2);

3)

4) а(n≥2).

Здесь А, a, p, q, M, N - действительные числа, трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p²/4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

Интегрирование рациональных дробей.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь аможно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого - четвертого типов. Для разложения ана простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Q_m(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить равнение:

а- (5)

Теорема. Правильную рациональную дробь где можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

а- (6)

(A₁, A₂, Е, A_k, B₁, B₂, Е, B₁, M₁, N₁, M₂, M₂, Е, M_s, N_s - некоторые действительные числа).

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби апо формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Q_m(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену P_n(x).

Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему равнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби апросты и действительны. Тогда оказывается добным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1)                     если рассматриваемая рациональная дробь а- неправильная (k≥m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где n < m; R(x) - многочлен;

2)                     если рассматриваемая рациональная дробь а- правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);

3)                     интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

Интегрирование дробно-рациональных функций.

Пусть и некоторые полиномы степени m и n

Функция вида

называется дробно-рациональной функцией , или коротко-рациональной дробью.

При m<n эта рациональная дробь называется правильной.

Интегралы от дробно Црациональных функций всегда вычисляются. Однако мы не будем рассматривать полную теорию интегрирования таких функций, рассмотрим только два наиболее важных частных случая

Случай 1 Подынтегральная функция имеет вид

,

где все различны и m<n, т.е. рациональная дробь является правильной .

Основной результат который мы приведём без доказательства, тверждает, что f(x) в этом случае можно представить в виде:

Слагаемые вида называются простейшими, само приведённое разложение называется Уразложением рациональной дроби на простейшие.

Рассмотрим вопрос о нахождении коэффициентов . Рассмотрим, например, вычисления . Для этого

) множим обе части разложения на простейшие на

б) И положим x=b1. Так как при этом (x-b1)=0, то получи

(символ означает, что в написанном слева выражении надо положить )

налогично можно найти и все остальные . Этот метод получил название метода вычёркивания У. Он формулируется так : чтобы вычислить коэффициент нужно

) в выражении для f(x) вычеркнуть сомножитель

б) в оставшемся выражении положить .

Если все найдены, то дальнейшее очень просто

и получившиеся интегралы 1 типа легко вычисляются

Пример: Вычислить

) Разложим подынтегральную функцию на простейшие. Имеем

Поэтому

б)Интегрируем

а

Случай 2. Подынтегральная функция имеет вид

т.е. сомножитель вида даёт группу слагаемых вида

Если теперь найти все коэффициенты B_ij а, то метод разложения приведёт к интегралам 1 и 2 типов которые легко вычисляются.

Для нахождения коэффициентов B_ij можно использовать так называемый метод неопределённых коэффициентов.

Его алгоритм следующий.

) пишут разложение рациональной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами ;

б) написанное разложение на простейшие приводят к общему знаменателю и вновь сворачивают в правильную рациональную дробь ;

в) приравнивают коэффициенты при одинаковых степеняха x в числителях исходной дроби и получившейся дроби;

г) решают полученную систему линейных уравнений и определяют B_ij.

Продемонстрируем этот метод на примере.

Пример. Вычислить.

продемонстрируем алгоритм по пунктам

) пишем разложение на простейшие с неопределёнными коэффициентами

б) приводим разложение на простейшие к общему знаменателю.

и раскрываем получившийся в числителе полином

в) сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x аy исходной функции и получившегося выражения, получим

Решая эту систему, получим

A=2 B=3 C=-1 D=2

так что

г) интегрируем

Комбинированный метод

Метод неопределённых коэффициентов достаточно трудоёмок.Однако заметим что коэффициенты при старших степенях , т.е. при можно определять методом вычёркивания.

Поэтому реально комбинируют оба этих метода :коэффициенты при определяют методом вычёркивания, оставшиеся - методом неопределённых коэффициентов.

Пример. В том же самом примере

находим

так что

,

приводя к общему знаменателю получим

.

Случай 3. Подынтегральная функция имеет вид

Разложение этой функции на простейшие имеет вид.

т.е. от сомножителя идёт слагаемое вида . Оно при интегрировании даст интеграл третьего типа.

Коэффициенты при старших степенях , т.е. при находятся методом вычёркивания, остальные - методом неопределённых коэффициентов.

Пример. Вычислить

Так как , то

находим методом вычёркивания

N и M находим методом неопределённых коэффициентов

Так как это должно быть равно то имеем

при и при )

Отсюда

(В последнем интеграле N=2, M=1, p=1, q=1).

Общий случай правильной рациональной дроби мы рассматривать не будем.

В заключение отметим, что есть рациональная дробь неправильная, т. е. Степень полинома, стоящего в числителе, выше степени полинома, стоящего в знаменателе, то следует поделить эти полиномы друг на друга, выделить целую часть и затем интегрировать отдельно полученную целую часть и оставшуюся правильную рациональную дробь.

Пример. Вычислить

Решение. Делим полиномы друг на друга

1

Таким образом

и поэтому

Последний интеграл же вычислен выше.

Практическая часть к курсовой работе.

за Реализация метода простых коэффициентов в MapleФ.

Для определения конкретных значений сих коэффициентов следует привести равенство к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе. Т.е. по сути дела решить систему линейных равнений. Используется эта конструкция по большей части при вычислении интегралов, т.к. таким образом интеграл произвольной рациональной функции сводится, по сути дела, к сумме табличных интегралов. Этакая лекция по мат. анализу получилась.

Сразу скажу тем, кому вообще лень что-то делать по этому поводу. Maple делает все, что мы сейчас напишем, одной операцией:

> сonvert(rfun, parfrac, x);

И все. Спросите: зачем этот велосипед? Цель - не конечный результат, идея и методы ее реализации на Maple. Гораздо интереснее получается посмотреть на целую программу, реально работающий ниверсальный алгоритм, делающий конкретно нечто, чем просто читать обрывки help-ов под каждую команду языка на английском, не понимая в принципе, как это все связать воедино. Ясное дело, профессионалу, прочувствовавшему Maple, будет неинтересно читать подробные объяснения по поводу использованных функций языка, однако для изучающего систему не совсем новичка-математика это будет крайне полезно. Постараюсь в процессе показать читателю свое разумение философии пакета.

Как всегда первый вопрос: с чем работаем? Действительно, для отладки алгоритма необходимо создать хоть несколько рациональных дробей. Руками писать неудобно, поэтому даже этот этап сгрузим на машину.

> restart:

> readlib(randomize):

(а) > randomize():

(б) > d1:= rand(1..3):

> d2:= rand(2..7):

(в) > px:= randpoly(x, degree=21, coeffs=rand(-7..7), terms = 9):

(г) > for i from 1 to 3 do

> q[i]:= randpoly(x, degree=1, coeffs=rand(-7..7))^d1():

> q[i+3]:= (x^2 + x + d2())^d1():

> od:

(д) > rfun:= px/product(q[k], k=1..6);

Разберемся, что тут мы с вами наворотили. Итак, сначала подробно остановимся на генерации случайных целых чисел в системе Maple. (а) Ч здесь мы заставляем генератор случайных чисел привязаться к системному времени. Если этого не сделать, то генерируемая последовательность будет каждый раз одинаковой. Вызов просто функции rand() без аргументов возвратит двенадцатизначное случайное натуральное число. В большинстве случаев это ну совсем неудобно. Можно это дело исправить, передавая функции один аргумент: rand(n), что приведет к генерации числа из полуинтервала [0, n). Зачастую и этого недостаточно для решения поставленной задачи. Можно еще более сузить область значений - (б). Только в этом случае в d1 вернется отнюдь не число, а ссылка на процедуру, вызов которой приведет к генерации случайного числа из заданного отрезка. Произвольный полином максимальной степени 21 степени с коэффициентами из отрезка [-7,7] и девятью членами получим в (в). Дальше интереснее - нужно изготовить знаменатель. Сделаем его в виде произведения трех многочленов первой, и трех - второй степени. Причем по определению многочлены второй степени не должны иметь действительных корней. Реализующая эту задачу конструкция (г) очевидна и в пояснениях не нуждается. И наконец, собрав числитель и знаменатель в одно целое, в (д) получим нашу рациональную дробь. Выражение product(q[k], k=1..6); является формальным переводом на язык Maple записи:

Знаменатель полученной функции таким образом же будет разложен на множители. Для того чтобы задача приняла более правдоподобный характер, вместо (д) можно реализовать следующее:

> rfun:= px/expand(product(q[k], k=1..6), x);

Expand раскроет скобки и приведет подобные слагаемые относительно переменной x в знаменателе. В итоге получится настоящая рациональная дробь. То, что коэффициенты целые, Ч общности задачи не ограничивает - с таким же спехом мы могли сгенерировать их и иррациональными.

Если запустить все написанное, исключив строку (а) (генератор случайных чисел будет стандартно инициализирован), получится в точности:

Заметили? В знаменателе появилась не заказанная шестая степень. И вместо шести множителей получилось только пять. Ну и что? Просто два произвольных многочлена полностью совпали (и по степеням тоже). На что только ни способен генератор случайных чисел в Maple! Результат раскрытия можно посмотреть на рисунке - там он выглядит куда меньше.

Второй этап работы заключается в определении характера правильности дроби и выделении целой части (если нужно), т.е. представлению ее в виде:

где Z(x) - целая часть, R(x) не делится на Q(x). Сделаем это следующим образом:

> fracpart:= rem(numer(rfun), denom(rfun), x, 'zpart');

Заведем переменную fracpart и zpart соответственно для дробной и для целой части рациональной дроби. Процедура-функция rem возвращает остаток от деления многочленов как основной результат. Третий (необязательный) параметр - имя переменной, в которую будет вычислена целая часть. Совершенно аналогично действует функция quo, где основным результатом является целая часть от деления. Здесь функции numer и denom соответственно дают доступ к числителю и знаменателю дроби.

Сейчас начинается интересное, именно: попытка записать, собственно, само разложение с неопределенными коэффициентами. Для начала нужно пронализировать структуру знаменателя. Разложим его на множители:

> denomx:= factor(denom(rfun));

Разделим текущую подзадачу на два этапа: изготовление списка знаменателей будущих простейших дробей и запись самого разложения. Для реализации первого этапа нам понадобится написать процедуру-функцию, которая бы занималась преобразованием выражения вида A n в упорядоченный список вида [A, A 2, A 3,..., A n ].

(а) > transpol:= proc (p: polynom) local j;

(б) > if degree(p, x) <= 1 then

> p;

> else

(в) > if not type(op(2, p), numeric) then

> p;

> else

(г) > seq(op(1, p)^p, j=1.. op(2, p));

> fi;

> fi;

> end:

В (а) объявим имя функции, тип и количество передаваемых параметров, также локальные переменные в поле local. Результатом работы функции будет результат последней выполненной операции. Теперь опишем сам алгоритм. Если была передана константа либо многочлен первой степени, то вернется он же - (б). Дальше получим и пронализируем тип объекта op(2, p). Здесь я обращаюсь к многочлену p как к списку. Maple позволяет работать почти с любым из своих объектов как со списком. После проверки (б) у нас останется лишь три варианта для p : (x 2 +bx+c), (x 2 +bx+c) n, (ax+b) n. Их op(2, p) будет соответственно равен x 2, n, n. В первом случае (наш УopФ - не число) придется возвратить параметр в первозданном виде - это просто квадратный неприводимый трехчлен, в остальных Ч осуществляем разложение (г) - формируем нужную последовательность. Далее приготовим список знаменателей будущих простейших дробей, используя только что написанное:

> ds:= [seq(transpol(op(k, denomx)), k=1.. nops(denomx))];

В нашем конкретном случае результат с точностью до расположения элементов списка будет выглядеть следующим образом:

ds:= [2, 2x+3, 5x-4, 4x-1, (4x-1) 2, (4x-1) 3, x 2 +x+2, x 2 +x+4, (x 2 +x+4) 2,...,(x 2 +x+4) 6 ]

Записать разложение с неопределенными коэффициентами, имея такую прелесть, ничего не стоит:

> rxn:= 0:

> lastvar:= 1:

> for i from 1 to nops(ds) do

(а) > if degree(op(1, op(i, ds)), x) = 1 then

(б) > rxn:= rxn + (A[lastvar])/op(i, ds);

> else

(в) > rxn:= rxn + (A[lastvar]*x+A[lastvar + 1])/op(i, ds);

> lastvar:= lastvar + 1;

> fi;

> lastvar:= lastvar + 1;

> od:

Теперь все сначала и по порядку. Заведем переменную rxn, в которую после запишем разложение. Счетчик lastvar же использованных индексов коэффициентов становим в значение 1 (следующий, не использованный индекс). Далее, пробегая по списку ds знаменателей будущих простейших дробей, анализируем их степень. Собственно сама реализация такого анализа (а) может показаться довольно странной. Со встроенной функцией degree все понятно - она возвратит степень многочлена относительно переменной, переданной в качестве второго параметра. Что же значит запись op(1, op(i, ds))? Так как вариантов здесь только два, то их и рассмотрим. Если op(i, ds) - выражение вида (x 2 +bx+c) n либо (x+d) n, то op(1, op(i, ds)) вернет то, что находится в скобках. В другом случае Ч x 2 +bx+c либо x+d (скобок нет) - такая композиция возвратит высший член многочлена (он записан в лексикографическом виде). Таким образом реализуется определение степени знаменателя без чета кратности. А дальше, в зависимости от этого формируется числитель степени на единицу меньшей. За что люблю Maple, так это за (б) и (в). Ну где вы видели, чтоб вот так на ходу можно было собрать переменную? А здесь возможно и такое. Естественно, использовав очередной индекс, необходимо величить значение счетчика.

Итак, нечто весьма похожее на разложение, приведенное в теореме, мы получили. Теперь дело за малым - нужно вычислить эти самые A k -ые. Сделаем это так: приведем полученное разложение к общему знаменателю, разберемся с подобными и соберем коэффициенты перед x i, где i = 0... 21 (в нашем случае) в числителе:

> f:= collect(numer(rxn), x):

> for i from 0 to degree(f, x) do

> cundef[i]:= coeff(f, x, i):

> od:

Функция numer, вернув числитель, по дороге приведет rxn к общему знаменателю, collect как раз и повыносит за скобки x i. В переменные (не массив!) cundef i выделим с помощью функции coeff (третий параметр - степень переменной, остальные два очевидны) эти самые коэффициенты. Их количество будет равно степени f плюс один (нулевая). Зачем это надо? А что у нас во fracpart? Именно - то же самое, но коэффициенты определенные. Что делаем? Составляем систему линейных равнений и решаем относительно наших A k -ых. Единственность решения такой системы доказана до нас, посему спокойно пишем дальше:

> b:= collect(fracpart, x):

(а) > for i from 0 to degree(f, x) do

> cdef[i]:= coeff(b, x, i):

> od:

Снова собрали в cdef i коэффициенты при x i, но же из fracpart (определенные). Внимание на (а) - их должно быть столько же, сколько и в первом наборе, иначе система не получится. Сформируем набор переменных ( A k- ые), относительно которых будем решать нашу систему и ее саму:

> vars:= {seq(A[k], k=1..lastvar-1)}:

> eqns:= {seq(cundef[i]=cdef[i], i=0.. degree(f, x))}:

> assign(solve(eqns, vars));

Последняя строка заставит Maple пошевелить мозгами, решить нашу систему относительно наших переменных. Функция solve требует два параметра: первый - это набор равнений, второй - набор переменных. Результат работы будет представлен в виде опять же набора равенств. На этом этапе присвоения переменным, относительно которых решалась система, вычисленных значений не происходит. Чтобы это все-таки сделать, воспользуемся функцией assign в качестве параметра, которой передается набор равенств. Таким образом вычислены наши неопределенные A k -ые. Так как rxn через них выражается, то на результат можно посмотреть так (см. рисунок):

> zpart + rxn;

Это и есть разложение нашей rfun на сумму простейших дробей.

> simplify(zpart + rxn - rfun);

осуществит проверку тождественности (функция simplify как можно дальше простит выражение), возвратив 0. Другого и не должно быть, в противном случае алгоритм сработал некорректно, чего я от него никак не жду.

Приведенный пример лишний раз доказывает, что система Maple никак не является просто символьным калькулятором. В отличие от MathCad, где возможности программирования представлены не на высшем ровне, она позволяет реализовывать самые буйные фантазии по части построения сложнейших алгоритмов.

з Реализация метода простых коэффициентов на DelphiФ.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Spin, StdCtrls, Grids, MatUtilits;

type

signs = -1..1;

polinom = array of real;

fpolinoms = array of polinom;

TForm1 = class(TForm)

StringGrid1: TStringGrid;

Edit1: TEdit;

StringGrid2: TStringGrid;

Edit2: TEdit;

SpinEdit1: TSpinEdit;

SpinEdit2: TSpinEdit;

Button1: TButton;

Memo1: TMemo;

Edit3: TEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Edit4: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure SpinEdit1Change(Sender: TObject);

procedure SpinEdit2Change(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

procedure Polinommul(a:polinom;n:byte;b:polinom;m:byte;var ab:polinom;var nm:byte);

procedure GetPolinom(r:fpolinoms;step:byte;flag:boolean;numdrob:byte;var res:polinom);

procedure Calculate(mass1:polinom;n:integer;var formula:string);

end;

const

n10 =10;

var

Form1: TForm1;

n1,n2,s1,s2:shortint;

roots1,roots2,znamen,matr:fpolinoms;

pol1,pol2,chislit:polinom;

matr1,koef:matdouble;

mass1:array of real;

elem:array[0..n10] of string[10];

equation,eq1,eq2,eq3:string;

implementation

{$R *.dfm}

Процедура перемножения объектов типа polinom, т. е. массивов с коэффициентами многочленов и получения результата их перемножения:

procedure TForm1.Polinommul(a:polinom;n:byte;b:polinom;m:byte;var ab:polinom;var nm:byte);

var

temp:real;

i,j,t:shortint;

p1:polinom;

begin

setlength(p1,m+n+1);

setlength(ab,m+n+1);

temp:=0;

for i:=0 to m+n doа p1[i]:=0;

for i:=0 to n do

for j:=0 to m do

begin

temp:=a[i]*b[j];

p1[i+j]:=p1[i+j]+temp;

end;

nm:=n+m;

ab:=p1;

{ t:=0;

for i:=0 to m+n do

if p1[i]=0 then

begin

t:=i+1;

continue;

end

else break;

setlength(ab,m+n-t);

for i:= 0 to m+n-t+1 do

ab[i]:=p1[i+t];

nm:=m+n-t+1;а }

end;

Процедура, которая из массива многочленов делает многочлен - или результат их перемножения - или произведение, но без i-го члена, в зависимости от flag.

procedure TForm1.GetPolinom(r:fpolinoms;step:byte;flag:boolean;numdrob:byte;var res:polinom);

var

buffer,buffer1,temp:polinom;

i,j,p,p1:byte;

flag1:boolean;

begin

if not(flag) then

begin

setlength(buffer,2);

setlength(buffer1,2);

setlength(temp,2);

buffer[0]:=r[0,0];

buffer[1]:=r[0,1];

p:=1;

p1:=1;

for i:=1 to step do

begin

setlength(temp,p1+1);

for j:=0 to 1 doа buffer1[j]:=r[i,j];

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

setlength(buffer,p1);

buffer:=temp;

p:=p1;

end;

end

else

begin

setlength(buffer,2);

setlength(buffer1,2);

setlength(temp,2);

buffer[0]:=0;

buffer[1]:=1.0;

p:=0;

p1:=0;

for i:=0 to step do

begin

if numdrob = i then

begin

buffer1[0]:=0;

buffer1[1]:=1.0;

end;

if numdrob<>i then inc(p);

if numdrob<>i then for j:=0 to 1 doа buffer1[j]:=r[i,j];

if numdrob=i then

begin

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

continue;

end;

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

if numdrob<>i then setlength(buffer,p1);

buffer:=temp;

end;

end;

setlength(res,p1);

res:=buffer;

end;

Основной текст программы, вбирающий в себя процедуры и реализовающий сам процесс разложения на простые множители. Его я повесил на кнопку: а

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i,j,k:byte;

temp:polinom;

st1,st2,st3,stt:string;

begin

Form1.Edit1.Text:='';

Form1.Edit2.Text:='';

Form1.Edit3.Text:='';

Form1.Edit4.Text:='';

n1:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text);

n2:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text)-1;

setlength(chislit,n1+1);

setlength(roots2,n2+1,2);

setlength(znamen,n2,n2);

for i:=0 to n1 do

begin

chislit[i]:=strtofloat(Form1.StringGrid1.Cells[i,0]);

end;

for i:=0 to n2 do

begin

roots2[i,0]:=1.0;

roots2[i,1]:=-strtofloat(Form1.StringGrid2.Cells[i,0]);

end;

form1.GetPolinom(roots2,n2,false,0,pol2);

setlength(temp,n2+1);

for i:=0 to n2 do

begin

for k:=0 to n2 do temp[k]:=0;

form1.GetPolinom(roots2,n2,true,i,temp);

for j:=0 to n2 do

Form1.Edit3.Text:= Form1.Edit3.Text+getfstring(temp[j+1],1)+' ';

for k:=0 to n2 do temp[k]:=0;

end;

form1.Calculate(chislit,n1+1,st1);

form1.Calculate(pol2,n2+2,st2);

Form1.Edit1.Text:=st1;

Form1.Edit2.Text:=st2;

{for i:=0 to n1 do

Form1.Edit1.Text:=Form1.Edit1.Text+getfstring(chislit[i],1)+' ';

for i:=0 to n2+1 do

Form1.Edit2.Text:=Form1.Edit2.Text+getfstring(pol2[i],1)+' ';}

Setlength(matr,n2+2,n2+1);

for i:=0 to n2 do

begin

form1.GetPolinom(roots2,n2,true,i,temp);

for j:=1 to n2+1 do matr[i,j-1]:=temp[j];

end;

i:=0;

for j:=0 to n2 do

matr[n2+1,j]:=0;

for j:=n2-n1 to n2 do

begin

matr[n2+1,j]:=chislit[i];

inc(i);

end;

setlength(matr1,n2+1,n2+2);

setlength(koef,n2+1,1);

for i:=0 to n2 do

for j:=0 to n2+1 do

matr1[i,j]:=matr[j,i];

korni(matr1,n2+1,n2+2,koef);

for i:=0 to n2 do

form1.Edit4.Text:=form1.Edit4.Text+getfstring(koef[i,0],3)+' ';

end;

procedure TForm1.SpinEdit1Change(Sender: TObject);

begin

Form1.StringGrid1.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text)+1;

end;

procedure TForm1.SpinEdit2Change(Sender: TObject);

begin

Form1.StringGrid2.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

var i:shortint;

begin

Form1.StringGrid1.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text)+1;

Form1.StringGrid2.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text);

end;

Чтобы вид был более нагляден и информативен, я использовал процедуру преобразования массива коэффициентов:

procedure TForm1.Calculate(mass1:polinom;n:integer;var formula:string);

var

i,j,k1:byte;

sign:array of signs ;

first,flag:boolean;

odin:array of boolean;

s:integer;

begin

k1:=n-1;

for i:=0 to n-1 do

begin

elem[i]:='x^'+inttostr(k1);

dec(k1);

end;

first:=true;

setlength(odin,n);

setlength(sign,n);

setlength(mass1,n);

equation:='';

for i:=0 to n-1 do //calculating and building

begin

if abs(mass1[i])=1 then odin[i]:=true; //esli ediniza

if mass1[i]>0 then sign[i]:=1 //check sign

else

if mass1[i]=0 then sign[i]:=0

else sign[i]:=-1;

if odin[i] thenа //esli ediniza

begin

if i<n-1 then

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+elem[i];

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+elem[i];

0:

continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - '+elem[i];

end;

end

else

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+'1';

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + 1';

0:

continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - 1';

end;

end;

continue;

end;

if i = n-1 then

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+getfstring(abs(mass1[i]),3);

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+getfstring(abs(mass1[i]),3);

0:а continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - '+getfstring(abs(mass1[i]),3);

end;

end

else

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

0:

continue;

-1:

begin

equation:=equation+' - '+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

if first then first:=false;

end;

end;

end;

s:=0;

{ for i:=0 to n-1 do

s:=s+abs(mass1[i]);

if s=0 then equation:='0';а }

formula:=equation;

end;

end.

Пример:

Заключение.

В моей курсовой работе я рассмотрел подробно метод простых коэффициентов и реализовал программу на Delphi, которая вычисляет значения коэффициентов для случая простых действительных корней знаменателя. В Maple эта процедура тоже есть и вычисляет коэффициенты для любой дробно - рациональной функции. Нехватка времени не позволила мне довести мою программу до полной функциональности: вычисление коэффициентов для любого знаменателя, т. е. знаменателя с любыми корнями. В дальнейшем, может быть, я это осуществлю. Однако, даже в таком варианте она полезна для практического использования - быстрого вычисления коэффициентов.

Список литературы.

1.Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Физматлит, 2001.

2.Волков Е.А. Численные методы. - Петербург, изд - во Лань, 2004.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.

4.Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные равнения. - М.: Высшая школа, 2.

5.Бахвалов Н.С., Лапин А.В. Численные методы в задачах и пражнениях. - М.: Высшая школа, 2.

6.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - Петербург, изд Цво Лань, 2002.

7.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. - М.: Научный мир, 2003.

8.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. - М.: Мир, 2001.

9.Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. - М.: изд Цво МФТИ, 2.

10. Лобанов А.И., Мещеряков М.В., Чудов Л.А. Задачи для самостоятельного исследования в курсе вычислительной математики. - М.: изд Цво МФТИ, 2001