Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте
Расчет автокореляционной функции и энергетического спектра кодового сигнала (Теория электрической связи)
ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ СЕРВИСА И ДИАГНОСТИКИ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ»
Выполнил: студент гр. ЗРТ-314 Бурдин А.Н.
Проверил: к.т.н., доцент
Омск 2007
Реферат
В данной курсовой работе проведены следующие расчёты: анализ сигнала, расчет спектральных характеристик сигнала, расчёт практической ширины спектра, расчет интервала дискретизации и разрядности кода, расчет автокорреляционной функции кодового сигнала, его энергетического спектра, расчет спектральных характеристик модулированного сигнала, его мощности, расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума. Объём пояснительной записки составляет 32 страниц.
Содержание
- Введение 4стр.
- Анализ задания 6стр.
- Расчет спектральных характеристик сигнала 7 стр.
- Расчет практической ширины спектра сигнала 10стр.
- Расчет интервала дискретизации и разрядности кода 12стр.
- Расчет автокорреляционной функции сигнала и энергетического спектра 18стр.
- Расчет спектральных характеристик модулированного сигнала 20стр.
- Расчет мощности модулированного сигнала 25 стр.
- Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума 26 стр.
- Заключение 31 стр.
- Литература 32 стр
1. Введение.
Структурная схема системы электросвязи представлена на рис. 1. Источник сообщения ИС œ это некоторый объект или система, от которого передается информация в виде ее физического представления, например в виде изменяющегося во времени тока или
t a )
напряжения (. t a )ФНЧ предназначен для фильтрации сигнала с целью ограничения спектра сигнала сообщения (
верхней частотой F в. t X )
Дискретизатор позволяет представить отклик ФНЧ ( в виде последовательности отсчетов Xk= X ( tk = kT ), k = 2,1, 0...
.
Xk
Квантователь осуществляет нелинейное преобразование отсчетов в квантованные ровни
k ( n )
n =,0 L − 1
,. k ( n ) Кодер осуществляет кодирование квантованных ровней двоичным безизбыточным кодом,
т. е. образует последовательность кодовых комбинаций Bk( n ), т. е. сигнал ИКМ. b t S )
Модулятор формирует канальный сигнал (, i , электрическое колебание, параметр которого ( амплитуда, частота или фаза) изменяется по закону модулирующего сигнала ИКМ. Выходное стройство ПДУ осуществляет фильтрацию и силение модулированного колебания
b t S )
(,
i для предотвращения внеполосных излучений и для становления требуемого отношения
(
сигнал/ шум на входе приемника. силенный сигнал t S ) передается в линию связи.
(
Линия связи œ среда, по которой распространяется сигнал t S ) с выхода ПДУ до входа ПРУ. В t S ) t N )
линии связи на сигнал ( накладывается помеха (. Входное стройство ПРУ осуществляет фильтрацию принятого сигнала, смеси переданного сигнала
t Z ) = t S ) + t N )
и помехи (( (. b t S )
Детектор позволяет выделить из принятого сигнала (, i закон изменения информационного параметра, пропорционального сигналу ИКМ.
Для опознания переданных двоичных символов bi
db
d
на выход детектора подключается решающее
( m )
на выходе которого присутствует принятая кодовая комбинация
устройство РУ,
.
( m )
db
Декодер служит для восстановления L
( m )
ичных ровней
X
k
,
m =
, 0
Lk
−,1
=
2,1, 0
,...
из двоичных
кодовых комбинаций
.
X ⁄ m ( t )
Интерполятор производит восстановление непрерывного сигнала из последовательности
L -ичных ровней X ⁄ k ( m ). Получатель сообщения œ это некоторый объект или система, которому передается информация в
(
виде ее физического представления, т. е. в виде изменяющегося во времени сигнала t a ).
4
| -фильтр низкой частоты | |||
|---|---|---|---|
| -передающее стройство | ИП | -источник помех | |
| ЛС | -линия связи | ПРУ | -приемное стройство |
| -детектор | РУ | -решающее стройство | |
| -получатель сообщения |
Рис.1.
2. Анализ задания.
Введем исходные данные :
мплитуда Um := 1 volt τ1 := 0.75 10 − 3 ⋅sj := 
−1N := 100 k := 0.. NR := 1 ⋅ 1 31
Коффициент затуханияα:= α= 1.× 10s
τ1 Коффициент от полной мощности сигналаγ := 0.95 − 32π
Период T :=2 10 − 3 ⋅s, T2 × 10 s. гловая частота 1-ой гармоники ω1 :=, причем частота 1-ой гармоники T
f1 := ( f1 =500Hz ) и ω1 :=2π ⋅ ⋅f1 ( ω1 = 3.142× 103 1 rad).Ts
⋅=
Математическая модель сигнала:
α − ⋅t
() :=
Um ⋅e if0t≤ T
≤
Sи t
0 otherwise
экспоненциальный импульс
1
0.75 () 0.5
Sи t
0.25 0
1 .10 4 4.25 .104 9.5 .10 4 0.00148 0.002 t
налоговый периодический сигнал может быть получен из импульсного аналового сигнала путем суммирования его задержанных копий через равные интервалы времени:
10
−⋅
() := Sи(tk T)
Sпер t∑ k = 0
периодический экспоненциальный сигнал
1
()0.5
Sпер t
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
t
3. Расчет спектральных характеристик сигнала.
Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье
∞∞
x(t) = a0 +∑ (ak coskω 1t + bk k sin ω 1t) = a0 +∑ Ak cos(kω 1t + k ) (3.1)
==
1 k 1 k
0,
где ω= 2π 
T – гловая частота 1-й или основной гармоники; aa и b– коэффициенты
kk
разложения, вычисляемые по формулам:
t + T
1 н a = Tt ∫+ Txt dt ; ak = 2 н ∫ xt () sinkω tdt ;
() t + T() coskω tdt; b = 2 н ∫ xt
0 T 1kT1 tt t
нн н
b
2k
a2 + b
kk
k ,,... =− arctg, k = 12 3
;
A
=
,
k
a
k
где Ak – амплитуда k-й гармоники; k – фаза k-й гармоники; a0 – среднее значение сигнала (постоянная составляющая); kω =ω – гловая частота k-й
1k
гармоники; t – момент времени, соответствующий началу периода.
н
Зависимости A и от частоты ω – это спектры амплитуд и фаз соответственно.
kk k
В некоторых случаях более добна комплексная форма ряда Фурье
1 ∞
∑
jkω 1t . (3.2)
"
(t)
A
x
=
k
e
2
k=−∞
Коэффициенты
" Ak
ряда (1.2) вычисляются по формуле
+ T
tн
2
" A
k
=
x(t)e− jkω 1t dt. (3.3)
∫
T
tн
Формулы (1.2) и (1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов
"
j – комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность
A e A
k
k
=
k
"
спектр амплитуд.
действительных величин
k
в зависимости от частоты
–
A
A
=
k
Совокупность величин в зависимости от частоты – спектр фаз.
k
Ряд (1.2) добно представлять в форме
∞
∑
"
e C
k jkω
1t
(t)
x
=
,
k =−∞
+ T
tн
"
Ak 1
"
− jkω
1tdt
где
∫
C
(t)
==
x
e
.
k
2T
tн
В нашем случае:
Спектр аналового периодического сигнала определяется разложением в ряд Фурье:
1 T
T ()dt S:= 2 ⋅ Sи(t) ⋅ exp (− j⋅ω1⋅ t) dt
S:= ⋅ Sи tk⋅ T kT
00
спектр сигнала при комплексной форме ряда Фурье
k
11
k⋅
() := S0 +∑ (Sk ⋅ exp ( j⋅ω1⋅ t))
Sфур t
k = 1
восстановленный сигнал компл. рядом Фурье
| 0.006 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t | ||||||||||||||||
| a0 | := | 2 T 0 T ⋅ | Sи t() | td | ak | := | 2 T 0 T ⋅ | Sи t( ) cos⋅ | k ω1⋅ t⋅( ) | td | b k | := | 2 T 0 T ⋅ | Sи t( ) sin k ω1⋅ t⋅( )⋅ | td | |
| := | a0 2 | |||||||||||||||
| 20 | ||||||||||||||||
| Sfur t() | := | A 0 | + | ∑ | ak cos⋅( | k ω1⋅ t⋅( ) | + | b k sin k ω1⋅ t⋅( )⋅ ) | ||||||||
| k | = | 1 |
восстановленный сигнал тригоном. рядом Фурье
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
t
Для построения амплитудного спектра определяем амплитуду и частоту k-ой гармоники (k>0)
⋅
fk := kf1
Значения амплитуд гармоник сводим в таблицу при k := 10 и i := 0.. k С четом постоянной составляющей спектр амплитуд принимает вид : Ci
:=
A0ifi0 Aifi0
≠
Ci = fi =
i
V
Hz
0.698
0
спектр сигнала при тригонометрической форме ряда Фурье
1
0.5
0
0 500 1 1500 2 2500 3 3500 4 4500 5 fi
4. Расчет практической ширины спектра сигнала.
Сигналы, как правило, имеют конечную длительность и поэтому бесконечный спектр. Для практических расчетов ширину спектра можно ограничивать частотой среза ω. Тогда
под практической шириной спектра понимают интервал [0, ω c ], внутри которого
сосредоточена основная часть энергии (или мощности) сигнала, например 90% или 99%. Ограничение спектра соответствует сечению ряда или интеграла Фурье. Оно ведет к t( () сеченной оценкой
погрешности δ() =x t) −x ∗(t) представления исходного сигнала xt∗
xt
(). Наиболее добно эту погрешность оценивать с помощью среднеквадратичного критерия приближения. В зависимости от вида сигнала среднеквадратичная погрешность за счет ограничения спектра будет
t
2 tdt =P ⇒для мощностных сигналов
σ2 = 1 ∫ m δ()
t
m0
(например, периодических);
t
2 tdt =E ⇒для энергетических сигналов (4.1)
σ2 = 1 ∫ m δ()
tt
m
m0
(например, импульсных), где P =−γ)P и E =−γ)E-соответственно средняя мощность и энергия отброшенной
(1 (1
высокочастотной части спектра; γ-коэффициент, равный 0,9÷0,99; t -длительность
m
сигнала (например, его период). словие для выбора практической ширины спектра принимает вид:
n
c
a2 +1 ∑A2 =⋅ P-для тригонометрического ряда ; (4.2)
γ
k
02
k =1
nc
2
2
"
=γ⋅P-для комплексного ряда ; (4.3)
C0 +2∑
Ck
1 k
= ω
1 ⋅ cA2()d =⋅ E-для интегрального преобразования Фурье, (4.4)
ωω γ
π∫
0
где ω-частота среза (ограничения) спектра; n-число учитываемых гармоник спектра,
cc
причем ω=n ⋅ω.
с c1
В нашем случае:
2Um
+
1
2α ⋅
⋅
2
:
Um
(− 2)
⋅
Tα ⋅
1
:=
⋅
−1
e
Полная энергия импульса на сопротивлении R1 Практическая ширина спектра определяется частотой среза :
=
будет иметь вид E
⋅
⋅ α
R
2
:=
ωc α tan γ⋅E
⋅
⋅
π R
⋅α
2Um
⋅
ωc
=
1.551
×
4
10
ω
1
c
fc :=
2π
s
ωc
Таким образом, при γ= 0.95 частота среза спектра сигнала fc := и составит fc =2.469KHz, что 2π соответствует 5-ой гармонике сигнала n := 5
− 5
10
J
При этом энергия, отбрасываемая при ограничении спектра составляеE
:=
(
1 γ −
)
⋅E E
=
1.866
×
Относительная среднеквадратичная погрешность при ограничении сигнала по времени составляет
E
:=
⋅100 σотн =22.361 %
σотн E
или
T
R
0
2
W
W
:=
()
Sи td
t
P
γ⋅P = 0.17727W
:=
T
Пусть число учитываемых гармоник n := 5 и i :=1.. n. Согласно спектральной теории мощность этих гармоник
2i
2
A
1
1
0
⋅
(
)
A
k
∑
+
Pci Pc= 0.17866W
:=
⋅
R
2
2
n
k
=
1
2 1 Um
Eп
Eп
:=
− 3
10
⋅
Pmin
Pmin
=
1.031
W
:=
×
⋅
TR2
2
T
αω+
c
⋅
бсолютный ровень P0 0.001 watt
:=
P
⋅
Верхняя граница динамического диапазона LС 10 log
LС = 22.709
:=
P0
Pmin
⋅
Нижняя граница динамического диапазона LП 10 log
LП = 0.134
:=
P0
5. Расчет интервала дискретизации и разрядности кода.
В зависимости от модели детерминированного сигнала можно выделить два подхода к определению шага РВД:
1) по частотным характеристикам сигнала;
2) по производным сигнала.
В данном случае шаг РВД выбирается по теореме В. А. Котельникова. Здесь в качестве модели сигнала принимается функция, ограниченная по частоте. Такая функция не ограничена по времени и полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени
π 1
t =
ω C = 2fC ,
где f œ граничная частота спектра функции xt
() или частота среза. Эту функцию можно
описать без погрешности полиномом Котельникова Kt
(), т.е. с помощью функций отсчетов (ФО)
∞−
C
() = K t (sin ω (ttk) ∞ ()Sa [ω (t − t)] ,
xt () =∑ xt) (tt) K =−∞ k
Ck k =−∞ k ω C − k =∑ xt
k () œ функция отсчетов.где tk = t; Sa x
В нашем случае:
Граничная частота спектра сигнала fc := n ; fc = 2.5KHz T
1
Шаг дискретизации t:= ; t= 0.2ms
p
2fc p
⋅
T
Число отсчетов N:= ; N= 10
p
tp
p
График дискретизированного по времени сигнала
Ступенчатая аппроксимирующая функция S0j ( оценка )
j := 0.. Np t := j⋅tp S0j := Sи t
j ()
j
дискретизированный по времени сигнал
1
S0j
Sи t j0.5
()
0
02 .104 4 .104 6 .104 8 .10 4 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.002
tj
Цифровое преобразование сигнала заключается в том, что функция непрерывного аргументаStставится в соответствие порядоченная последовательность целых чисел,
()то есть целочисленная функция целочисленного аргумента Zn. Существует множество
()способов аналого-цифрового преобразования. Среди получили широкое распространение методы импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), дифференциальной импульсно-кодовой модуляции (ДИКМ) и дельта-модуляции (ДМ). Цифровое преобразование сигнала состоит из трех отображений-дискретизации, квантования и кодирования. Существуют различные способы выбора функции квантования. В простейшем случае, когда используется квантование с постоянным шагом =
SSi−Si−1, функция
квантования имеет вид:
S1 приSn t )
( ≤(S +S1)/2
2
(
Z =Si при (Si+Si−1)/2 <Sn t ) ≤(S +Si)/2
ni−1
(
SN при (SN +SN−1)/2 <Sn t )
Каждый из ровней квантования кодируется числом. Обычно используются двоичные символы (0 и 1). Квантованные отсчетыZn кодируются двоичными числами с m
()разрядами. Число ровней квантования N и наеименьшее число разрядов mдвоичных чисел, кодирующих эти ровни, связаны соотношением:
m=[lg2 N]
Квантованием называется отображение множества {}S на конечное множество
Z . Отображение {} {} выражается формулой:
целых чисел {}S → Z
SZ=S
S
Правая часть выражения означает округление величины до ближайшего целого
S
числа. Если величина Sпостоянна, то квантование называется равномерным.
∈Z
Кодированием называется представление каждого числа Z {}в виде конечной последовательности символов, называемой кодовым словом.
При правильно выбранной частоте дискретизации точность преобразования аналового сигнала в цифровой код определяется исходя из теоремы Котельникова величиной шага квантования S. Погрешность преобразования тем меньше, чем меньше шаг квантования. Разность между исходным и квантованным значениями сигнала в дискретные моменты времени называется шумом квантования (ошибкой квантования). При фиксированном максимальном ровне входного сигнала шум квантования определяется числом ровней квантования œ разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).
При кодировании двоичными числами и длине кодового слова в mразрядов количество двоичных кодовых слов rсоставляетr=2m . Так, при m=16 получим r=256.
При линейной импульсно-кодовой модуляции мощность шума квантования определяется только шагом квантования:
2
S 1 Umax 2
==
шкв m
.. 12 12 2
где U -общий динамический диапазон сигнала.
max
Эффективное значение ошибки квантования
1 S 1 U
max
(= 
=
εS)
m+1
32 3 
Поскольку Pшкв не зависит от ровня входного сигнала, то с величением мощности
..
P
входного сигнала P отношение c линейно растет до тех пор, пока не возникают
c
..
шкв
шумы ограничения.
Уровень ограничения по входу АЦП определяется его максимальным входным рабочим напряжением. Шумом ограничения называется разность между исходным и ограниченным сигналами. Аналого-цифровой преобразователь расчитывается таким способом, чтобы ограничения не возникали, то есть:
; S . =2RS с ср .
...
смакс ≤Uвх АЦП макс с макс .
Где R -пик-фактор сигнала, Sсср -среднеквадратическое значение сигнала. В
..
моем курсовом проекте Uвх АЦП макс =U , то есть напряжению экспоненциального
.. m
сигнала. С четом приведенных формул находим мощность шума:
1 RSсср 2
.. шкв
.. ≈3 N
2
Мощность сигнала при сопротивлении Ом PSсср . Тогда
=
.
2
P 3N
c
=
R2..
шкв
или
PN
c
10 lg =20 lg +4.8 [дБ ]
R
..
шкв
В нашем случае:
Число уровней квантования и разрядность двоичного кода
Отношение сигнал-шум СШ:= 50 Коэффициент аплитуды KA := 38 
СШ
Число ровней квантования L := ceil KA ⋅
L = 156 3
((,=
Разрядность кода n := ceil log L 2)) n8
Так как разрядность кода n8, то число ровней квантования будет L := 2n L = 256
=
Ширина спектра F := n fc Длительность импульса τ:= tp n 1
F = 20 KHz τ= 25.× 10− 6s b
⋅
Шаг квантования b := b = 0.004 = 0.002 L12
−
Динамический диапазон цифрового сигнала в дБ оценивается величиной Dц := 6n − 1) Dц = 42
(
()
j
02 .104 4 .104 6 .104 8 .10 4 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018
tj
С помощью трассировки найдем точки пересечения ровней квантования и дискретизации по времени :
КВ:= (1 0.766 0.587 0.449 0.344 0.264 0.202 0.155 0.118 0.091) КВ
УК:= К -уровни квантования b
УК =
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | 255 | 195 | 150 | 114 | 88 | 67 | 52 | 40 | 30 | 23 |
Перевод в двоичный код
ln X
()
Binary X) :=
( z ← floor
ln 2
()
form0.. z
∈
b −← mod floor X , 2
zm 2m
bT
| Binary К00,( ) | = | 11 11 ( ) | Binary К05,( ) | = | 10 1 1 ( ) |
| Binary К01,( ) | = | 11 11 ( ) | Binary К06,( ) | = | 11 0011 ( ) |
| Binary К02,( ) | = | 10 0101 01 ( ) | Binary К07,( ) | = | 10 0 ( ) |
| Binary К03,( ) | = | 11 1001 0 ( ) | Binary К08,( ) | = | 11 110 ( ) |
| Binary К04,( ) | = | 10 1011 1 ( ) | Binary К09,( ) | = | 10 ( ) |
Так как код 8-ми разрядный в недостающие старшие разряды запишем нули и получим вектор :
M 001010100010010100111001100110010010)T
:=(
Запишем функцию кодового сигнала
| S код t() := | 0 | if | t 0≤ |
| 1 | if | 0 t< 10 τ≤ | |
| 0 | if | 10 τ t< 14 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 14 τ t< 17 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 17 τ t< 19 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 19 τ t< 20 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 20 τ t< 21 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 21 τ t< 22 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 22 τ t< 23 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 23 τ t< 24 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 24 τ t< 25 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 25 τ t< 28 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 28 τ t< 30 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 30 τ t< 31 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 31 τ t< 33 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 33 τ t< 34 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 34 τ t< 35 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 35 τ t< 36 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 36 τ t< 37 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 37 τ t< 40 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 40 τ t< 41 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 41 τ t< 42 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 42 τ t< 46 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 46 τ t< 48 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 48 τ t< 50 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 50 τ t< 52 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 52 τ t< 54 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 54 τ t< 56 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 56 τ t< 58 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 58 τ t< 59 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 59 τ t< 61 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 61 τ t< 64 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 64 τ t< 67 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 67 τ t< 71 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 71 τ t< 75 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 75 τ t< 76 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 76 τ t< 77 τ ⋅ ≤ | |
| 1 | if | 77 τ t< 80 τ ⋅ ≤ | |
| 0 | if | 80 τ t< |
кодовый сигнал
1.5
1
()
Sкод t
0.5
0
t
6. Расчет автокоореляционной функции и энергетического спектра кодового сигнала.
Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов œ ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.
В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.
КФ (correlation function, CF) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время τ:
∞
Bs(τ) = ∫s(t) s(t+τ) dt = ⟨s(t), s(t+τ)⟩ = ||s(t)|| ||s(t+τ)|| cos (τ).
∞ −
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига τ. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, при τ = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:
∞
Bs(0) = ∫s(t)2 dt = Es.
∞ −
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (8.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сиг-нала и его копии, сдвинутой на интервал τ, при -∞ < τ < ∞: Bs(τ) = ⟨s(t), s(t-τ)⟩. Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:
∞ ⟨s(t), s(t-τ)⟩ = (1/2π) S(ω)Sτ*(ω) dω.
∫∞ − Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал τ отображается в спектральном представлении множе-нием спектра сигнала на exp(-jωτ), для сопряженного спектра на множитель exp(jωτ): Sτ*(ω) = S*(ω)⋅exp(jωτ). С четом этого получаем:
∞
Βs(τ) = (1/2π) ∫∞ − S(ω) S*(ω)⋅exp(jωτ) dω =
∞
= (1/2π) |S(ω)|2 exp(jωτ) dω. (8.3.1)
∫∞ −
Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреля-ционная функция связаны преобразованием Фурье:
Bs(τ) ⇔ |S(ω)|2 = Ws(ω). (8.3.2)
налогичный результат может быть получен и прямым преобразованием Фурье автокорреляционной функции:
∞ ∞∞
Bs(τ) exp(-jωτ) dτ = ∫s(t) s(t-τ) exp(-jωτ) dt dτ =
∫∞ − ∞ −∫∞ − ∞∞
s(t) exp(-jωτ)∫s(t-τ) exp(jω(t+τ)) d(t+τ) dτ = S(ω) S*(ω) = Ws(ω).
= ∫∞ − ∞ − Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:
∞
|S(ω)|2 = Bs(τ)⋅exp(-jωτ) dτ. (8.3.3)
∫∞ −
В нашем случае:
Расчет автокорреляционной функции и энергетического спектра
T k := 0.. 160 τk := −T+ τ⋅k S2:= ⋅ Sкод t⋅
1 ()Sкод(t + τk) dtkT
0
КФ кодового сигнала
0.6
0.4 S2k
0.2
0
0.0015 0.001 5 .104 05 .10 4 0.001 0.0015 τ k
( (
A := lspline(τ, S2) Bx) := interp A τ,, S2, x) Df := 100 Hz N := 20 n := 0.. Nf := Df n
T
W := 4⋅ Bx)⋅cos (2π⋅f ⋅x) dx
(n
n
0
энергетический спектр
0.0015
0.001 Wn
5 .10 4
0
0 200 400 600 800 1 1200 1400 1600 1800 2 fn
7. Расчет спектральных характеристик модулированного сигнала
В широком смысле модуляция œ это отражение или нанесение информации на носитель или переносчик информации. В переводе с латинского —модуляция“ œ это мерность. Ее понимают как задание некоторого размера носителю.
В технике носителем информации является физический сигнал, например ток или напряжение. В теории рассматривают математическую модель сигнала-носителя. В общем (,
случае это некоторая функция времени xt a,a,...,a ), где a ÷a œ параметры
н 12n 1n
носителя.
Простейший носитель œ это постоянная величина, характеризуется только одним параметром —x“ (рис.7.1а). Информация здесь может быть отражена изменением параметра —x“ (7.1б). Этот процесс отражения называют прямой модуляцией ПМ. В результате прямой модуляции получают сигнал xt
(), несущий информацию.
x(t)
x = var
xн(t,x) = x
xt
t 0
а)0 б)
Рис.7.1
Прямая модуляция характерна для этапа восприятия информации. Ее осуществляют первичные измерительные преобразователи и различные датчики. Прямую модуляцию обычно не рассматривают. Считают, что исходной информацией является сигнал xt
(). Далее решают задачу: путем модуляции нанести эту информацию на носитель xt a,a,...,a ). Для этого с помощью сигнала xt() изменяют один или
н (,12 n
несколько параметров носителя. В результате, например, имеем: x н (a, a, t + a2 (a,...), t ) œ
12 n
модулированный сигнал; at () œ переменная составляющая параметра; xt
2() =kx t ()œ
модулирующий сигнал (информационный).
Таким образом, в зком смысле модуляция œ это изменение одного или нескольких параметров носителя с помощью сигнала, несущего информацию. Обратная операция, т.е. выделение информационного сигнала xt
() из модулированного сигнала, называется демодуляцией. Манипуляция œ это разновидность непрерывной модуляции. Под манипуляцией понимают скачкообразное изменение параметров носителя. Такое изменение имеет место, когда информационный сигнал xt
() дискретен, именно имеет вид последовательности прямоугольных импульсов. Различают амплитудную (Мн), частотную (Мн) и фазовую (Мн) манипуляции (рис7.2).
Видео-импульсы
1) ДАМ
Радио-или
импульсы Мн
2) ДЧМ или Мн
3) ДФМ или Мн
Рис.7.2
При гловой модуляции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = Umcos(ωt+) значение амплитуды колебаний Um остается постоянным, информация s(t) переносится либо на частоту ω, либо на фазовый гол. И в том, и в другом случае текущее значение фазового гла гармонического колебания u(t) определяет аргумент ψ(t) = ωt+, который называют полной фазой колебания.
Фазовая модуляция (ФМ, phase modulation - PM). При фазовой модуляции значение фазового гла постоянной несущей частоты колебаний ωo пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Соответственно, равнение ФМ œ сигнала определяется выражением:
u(t) = Um cos[ωot + k⋅s(t)], (7.2.1) где k œ коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ œ сигнала приведен на рис.7.2.1.
При s(t) = 0, ФМ œ сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией uo(t). С величением значений s(t) полная фаза колебаний ψ(t)=ωot+k⋅s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание ωot. Соответственно, при меньшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига ψ между ФМ œ сигналом и значением ωot немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы (вверх в = k⋅smax(t), или вниз н = k⋅smin(t) с четом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).
Для колебаний с гловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:
ω(t) = ψ(t)/dt = ωo + k ds(t)/dt. Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:
tt
ψ(t) = ∫∞ − ω(t) dt, или ψ(t) = ∫ ω(t) dt +o.
0
Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation - FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигналас мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания ωo со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности:
ω(t) = ωo + k⋅s(t). (7.2.2) Соответственно, полная фаза колебаний:
tt
ψ(t) = ωo(t) + k ∫∞ − s(t) dt, или ψ(t) = ωo(t) + k ∫ s(t) dt +o.
0
Уравнение ЧМ œ сигнала:
t u(t) = Um cos(ωot+k ∫ s(t) dt +o). (7.2.3)0
налогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх ωв = k⋅smax(t), и вниз ωн = k⋅smin(t).
Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием гловой модуляции (УМ). По форме колебаний с гловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.
Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний. Начальная фаза колебаний:
(t) = β sin(t), где β -индекс гловой модуляции (modulation index), которым задается интенсивность колебаний начальной фазы. Полная фаза модулированного сигнала с четом несущей частоты ωо:
ψ(τ) = ωot + β sin(t). равнение модулированного сигнала: u(t) = Um cos(ωot + β sin(t)). (7.2.4) Мгновенная частота колебаний: ω(t) = dψ(t)/dt = ωo + β cos(t).
Как следует из этих формул, и начальная фаза, и мгновенная частота изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение от среднего значения ωоравно ωd = β, и получило название девиации частоты (frequency deviation). Отсюда, индекс гловой модуляции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала:
β = ωd/. (7.2.5) Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиация частоты прямо пропорциональна, индекс гловой модуляции от частоты
модулирующего сигнала не зависит:
β = const, ωd = β.
Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала: ωd = const, β = ωd/.
Спектры сигналов с угловой модуляцией.
Формулу (9.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду: u(t) = Umcos(β⋅sin(t)) cos(ωot) -Umsin(β⋅sin(t)) sin(ωot). (7.2.6) При малых значениях индекса гловой модуляции (β<<1, зкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства: cos(β⋅sin(t)) ≈ 1, sin(β⋅sin(t)) ≈ β⋅sin(ωot). При их использовании в (9.2.6), получаем: u(t) ≈ Umcos(ωot) + (βUm/2)cos[(ωo+)t] + (-βUm/2)cos[(ωo-)t]. (7.2.7)
Сравнение данного выражения с формулой АМ œ сигнала (9.1.4) позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при β<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты ωo+ и ωo-. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 1800 относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180оначальной фазы одной из боковых
Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции β в общем случае получается разложением функции (9.2.4) в следующий ряд:
∞
u(t)=Um ∑ Jk(m) cos[(ωo+k)t],
k ∞ − =
где Jk(m) œ функция Бесселя k-го индекса от аргумента m=β. Из этого равнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих -нижних и верхних боковых колебаний, с частотами ωo±k, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям Jk(m). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при Um=1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 7.2.2.
При малой величине индекса β значимые амплитудные
значения имеют только первые гармоники. С ростом величины β количество значимых боковых составляющих величивается, энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при далении от несущей частоты ωоспадает немонотонно. На рис. 9.2.2 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота ωo в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рис. 7.2.3.
С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигналас гловой модуляцией определяется по формуле:
Ппракт = 2(β+1), (7.2.8) т.е. спектральными составляющими с номерами k>(β+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при β>>1, при этом эффективная ширина спектра равна двоенной девиации частоты:
Ппракт ≈ 2β = 2ωd. (7.2.9)
(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)
Отсюда следует, что по сравнению с АМ œ сигналами, полоса частот которых равна 2, для передачи сигналов с гловой модуляцией требуется полоса частот, в β раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.
Для функций Бесселя имеет также место: J-k(m) = (-1)kJk(m). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами ωo+k и ωo-k совпадают при четных k, и отличаются на 180опри нечетных k.
| Расчет фазомодулированного сигнала | ||||
|---|---|---|---|---|
| Um 0.05 V ⋅:= | f 0.45 MHz ⋅:= | ω 2π⋅f:= | mд:= 1.5 | t 0 T 1005,.. T:= |
ФМ кодового сигнала в пределах 16 разрядов
0.05
0 5 .105 1 .104 1.5 .104 2 .104 2.5 .104 3 .104 3.5 .10 4 0 
t16τ
В моменты экстремальных значений Sкод(t)абсолютное значение фазового сдвига между ФМ-сигналом и значением ω⋅t немодулированного колебания также является максимальным и носит название - фазы.
Расчет спектрамодулированного сигнала
:= 5i := 0.. n
Am:= Um⋅
Jn i mд)
(,
fспектр:=ω + i⋅ω1 f1спектр:=ω − i⋅ω1
i
i i
Am= fспектр= f1спектр=
ii i
V
1
1
2.827106
2.827106
s
s
Спектр модулированного сигнала
Расчет фазоманипулированного сигнала
Расcчитаем спектр фазоманипулированного сигнала при передаче цифрового сообщения при дискрете фазы φ π
| Φ t( ) := | U cos ω⋅t( )⋅ | if | Sкод t() | 1 | t 0 T 1,.. 4T:= |
|---|---|---|---|---|---|
| if | Sкод t() | 0 |
ФМ в пределах 16-ти разрядов
t
ORIGIN:= 1m := 10 N := 20 k := 1.. N Ak := U⋅ 2 sin(m − k)⋅0.5π sin(m + k)⋅0.5π
⋅ +
−+
π mkmk A = 0V
m
Спектр ФМ-сигнала
20
π спектральная
8. Расчет мощности модулированного сигнала
Количество гармоник n := 5i := 0.. n
Полную среднюю мощность ФМ-сигнала можно определить как сумму мощностей его спектральных составляющих
((,P := 0.5Um2 ⋅ J0 mд)2 + 2⋅ n Jn i mд) P = 1.25 × 10− 3 V2
∑ 2
i = 1
Расчеты показывают, что не менее 99% энергии ФМ-сигнала при модуляции тональным сигналом частотой F
сосредоточено в полосе f 2 1 + mд)⋅F и не менее 99,8% в полосе f 2 2 + mд)⋅F
((
8. Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума
Оптимальное различение полностью известных сигналов
Для задач различения обоснованным является применение критерия идеального наблюдателя. Пусть принятое колебание представляет собой сумму:
Здесь n(t) œ гауссовский белый шум, s1(t), s 2(t) œ детерминированные сигналы. Параметр λможет принимать одно из двух значений: λ=1 œ присутствует только сигнал s1(t) , λ=0 œ присутствует только сигнал s2(t) . Априорные вероятности присутствия каждого из сигналов известны. По принятой реализации нужно решить, какое именно значение имеет параметр λ, т.е. какой из сигналов присутствует в реализации.
Если алгоритм обнаружения полностью известного сигнала на фоне белого гауссовского шума состоит в вычислении
корреляционной функции 
и сравнения ее с порогом, то в случае задачи различения приемник, работающий по критерию идеального наблюдателя, должен состоять из двух корреляторов, вычисляющих значение
и, вычитающего стройства, определяющего разность
и порогового стройства, на выходе которого принимаются решения: если q>0, то на выходе есть сигнал s1(t), если q<0, то есть сигнал s2(t) (см. рис. 3).
Сам алгоритм принятия решения можно записать следующим образом:
Если в u(t) присутствует сигнал s1(t), то
где 
-мощность сигнала s1(t) на интервале 0,T. Если в принятом сигнале u(t) присутствует s2(t), то
где 
-мощность сигнала s2(t) на интервале 0, Т. Интеграл 
характеризует коэффициент взаимной корреляции при нулевом сдвиге сигналов s1(t) и s2(t).
Как показывает анализ, при равных мощностях сигналов E1=E2=E, равных вероятностях наличия первого или второго сигнала, плотности вероятности p1(q) и p2(q) имеют нормальный закон распределения с математическими ожиданиями m1, m 2 и дисперсиями D1 и D2, причем
Графики p1(q) и p2(q) изображены на рис. 4
Общий часток значений q (заштрихованная область) определяет словные вероятности принятия решения о наличии одного сигнала, когда в действительности присутствует другой. Они определяют вероятность ошибки в принятом решении.
Величина h=m 1-m 2 определяет порог принятого решения. Вероятность суммарной ошибки будет равна:
где Ф(x) интеграл вероятности.
Меньшей вероятностью ошибки pl обладают сигналы, для которых интервал взаимной корреляции минимален. Если rs=0, то сигналы ортогональны, при rs=1 имеет место равенство s1(t)=s2(t), при rs=-1, œ s1(t)=-s2(t). Лучше всего различать сигналы, имеющие rs=-1. В этом случае говорят, что сигналы обладают наибольшей помехоустойчивостью при заданном отношении сигнал/шум (E/N0 ). Ясно, что чем меньше высота перекрытия, определяющего область неправильного принятия решения, тем больше вероятность ошибки. Линиями потенциальной помехоустойчивости называют кривые, характеризующие зависимость вероятности ошибки pl от отношения сигнал/шум в оптимальном приемнике. На рис. 5 показаны такие кривые для детерминированных амплитудно-, частотно-, и фазо-манипулированных сигналов.
Для амплитудно-манипулированных сигналов
В этом случае на основе критерия идеального наблюдателя нужно решить задачу обнаружения сигнала s1(t) на фоне шума. При этом
При априорных вероятностях наличия и отсутствия сигнала, равных 0.5, порог принятия решения 
При таком пороге вероятность ошибки минимальна и равна
Для частотно -манипулированных сигналов
Коэффициент взаимной корреляции при этом равен
На практике величина
поэтому можно принять 
. Тогда вероятность ошибки будет равна
Для фазоманипулированных сигналов используются сигналы
В этом случае 
и вероятность ошибки равна
Сравнивая графики на рис. 5, видим, что при одной и той же энергии сигналов из трех рассмотренных видов манипуляции наибольшей потенциальной помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция.
Смысл рассмотрения оптимального приема детерминированных сигналов на фоне белого шума состоит в том, что результаты решения таких задач можно использовать в качестве теоретических «эталонов», позволяющих получить максимально возможную (потенциальную) помехоустойчивость. Результаты оптимальной обработки сигналов с неизвестными параметрами целесообразно сравнивать с соответствующими результатами для аналогичных сигналов с известными параметрами.
Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума
− 13 watt 1
⋅Спектральная плотность помехи Wп := 10 ⋅ f3 := 0.45 106 ⋅Hz Tпом := Kоссиг := 0.014
Hz f3
Мощность помехи Pп := Wп Pп = 4.5 × 10− 8W
Tпом
22
⋅Um
Мощность сигнала на выходе фазового детектора Pс := Kоссиг Pс = 1.225× 10− 7W 4R
⋅
Pс
(
Отношение сигнал-шум Sw := Sw = 2.722 qd := 10 log S) qd = 4.349 Pп
zqd
() :=
Вероятность ошибки при фазовой модуляции ΨФ := 1 − pnorm z qd,
(() 0, 1) ΨФ = 9.8153× 10− 3
Расcчитаем вероятность ошибки для трех видов манипуляции: амплитудной, частотной и фазовой, сш выражен в дБ.
0.1⋅сш
⋅ (( (
x(сш) := 0.5 10FАсш) := pnorm (сш), 0, 1) PошА(сш) := 1 − FАсш)
y(сш) :=
(( (
FЧсш) := pnorm (сш), 0, 1) PошЧ(сш) := 1 − FЧсш)
z(сш) :=
(( (
FФсш) := pnorm (сш), 0, 1) PошФ(сш) := 1 − FФсш)
вероятность ошибки
1
0.1
0.01
1 .10 3
PошА(сш)
- 1 .10 4 PошЧ(сш)
- 1 .10 5 PошФ(сш)1.10 6
- 1 .10 7
- 1 .10 8
- 1 .10 9
- 1 .10 10
- 1 .10 5 PошФ(сш)1.10 6
1050 5101520
сш
сигнал-шум, дБ
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы: Амплитудная телеграфия по помехоустоичивости существенно ступает двум другим методам манипуляции. Этот проигрыш выражается в том, что для получения одной и той же вероятности ошибки в случае АТ требуется иметь на входе блока обработки сигнала большее отношение сигнал-помеха
10. Заключение
В данной курсовой работе было произведено преобразование
налогового сигнала в цифровую форму и передача его посредством фазовой модуляции, был произведен расчет спектральных характеристик аналогового сигнала, практической ширины его спектра, его мощности, расчет интервала дискретизации и разрядности кода, расчет АКФ и энергетического спектра кодового сигнала, расчет спектральных характеристик модулированного сигнала и его мощности, также расчет вероятности ошибки при его приеме.
11. Литература
Хазан В. Л. Х 12 Компьютерный лабораторный практикум по курсу —Радиотехнические цепи и сигналы“: учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. 95 с
Каганов В.И. Радиотехнические цепи и сигналы (компьютеризированный курс) ИД Форум, 2005 432стр.
Румянцев К.Е. Прием и обработка сигналов, изд.центр —Академия“ 2004г., 528стр.
.В. авчук
Издательство Таганрогского государственного радиотехнического ниверситета 97г.