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GFS im Fach Mathematik
Der Grenzwert einer Funktion
on Ilya Gufan, 4G5
Selbstverlag 2006
Heilbronn
Inhaltsverzeichnis
erlauf der Arbeit 3
Einführung 4
Definition des Grenzwertes 5
Schreibweise 6
Beispiele 6
Eindeutigkeit des Grenzwertes 6
Einseitige Grenzwerte 7
Undendliche Grenzwere 8
Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung 9
Bedeutende Grenzwerte 9
Quellennachweis 10
erlauf der Arbeit
- 2.11.2006, von 12:00 bis 20:00
Suche nach dem Material, Erarbeitung des Projekts, Fertigung des Entwurfs.
- 26.11.2006, von 12:00 bis 14:00
Endkorrektur.
Hilfsmittel: PC mit Internetanschluss.
Programme: MS Word, Math Type 5.2c, MS Paint, Opera, Advanced Grapher 2.11.
Die Hauptquelle dieser Arbeit war die Seite.college.ru, aus der die Darstellungsweise stammt.
Limes einer Funktion
Einführung
Das Wort Limes[1] stammt aus dem Lateinischen und bedeuten ДGrenzwallУ. Es gibt von Römern gebauten Limen auch in Württemberg.
Der Ausdruck Limes (Grenzwert) bezeichnet in der Mathematik
- den Grenzwert einer Folge;
- den Grenzwert bzw. die Summe einer unendlichen Reihe;
- den Grenzwert eines Netzes in Topologie;
- einen Begriff aus der Kategorientheorie;
- den Grenzwert einer Funktion. Das ist das Thema meiner Arbeit.
In der Mathematik
bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, dem sich
die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher
Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Der Grenzwertbegriff
wurde im 19. Jahrhundert von Augustin Louis Cauchy und Heinrich Eduard Heine
formalisiert und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Auf diesem
Begriff basiert sich die ganze Integral- und Differenzialrechnung. Mithilfe von
Limen definiert man die Stetigkeit der Funktion.[2]
Der Grenzwert lasst uns mit ДunbegrenztУ großen und kleinen Werten arbeiten
und solche Unbestimmtheiten wie 
аund 
аmithilfe von Regel von
L'Hospital lösen.
Definition des Grenzwertes
Definition nach Cauchy.
Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn
- diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss
und
- für jedes ε > 0 gibt es so ein δ > 0, dass für alle x, die der Voraussetzungen |x - a| < δ und x ≠ a entsprechen, gilt:
|f (x) - L| < ε.
Formelle Schreibweise:
Wir können es auch mit den Umgebungen beschreiben:
аmit 
аist 
Erklärung:
Bei dem Herannahen des Arguments zu a kann die Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Limes L beliebig klein sein. Hier sprechen wir immer von dem Betrag der jeweiligen Werte, weil das Argument von beiden Seiten zum a Herannahen kann.
Definition nach Heine.
Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle, wenn:
- diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss
und
für jede
solche Reihenfolge {xn}, dass 
, die zu a
konvergiert, die entsprechende Reihenfolge der Funktionswerte {f(xn)}
zu L konvergiert.
Die Definition nach Heine finde ich nicht so geschickt, weil der Begriff ДKonvergierenУ definiert werden muss. Also bezieht man sich auf Folgenlehre.
Anmerkung 1. Man spricht von Limes an der Stelle a auch dann, wenn die Funktion an der Stelle a definiert ist.
Anmerkung 2. Die Definitionen nach A. L. Cauchy und H. E. Heine sind äquivalent. D. h., ein Grenzwert nach Cauchy ist immer ein Grenzwert nach Heine und umgekehrt.
Schreibweise
Wenn L Limes (Grenzwert) der Funktion f(x) an der Stelle a ist, so schreibt man:
Man liest: Der Grenzwert (Limes) der Funktion f von x bei x gegen a ist gleich L.
Beispiele
Bild 1. 
Bild 2.
Eindeutigkeit des Grenzwertes.
Hat eine Funktion f(x) einen Grenzwert L an der Stelle a, so ist er der einzige Grenzwert an der Stelle a.
So hat die Funktion sgn x keinen Grenzwert an der Stelle 0.
Hier kann man aber von einem Grenzwert links bzw. rechts sprechen.
Bild 3. Signum von x.
Einseitige Grenzwerte
Definition.[3]
Die Zahl L bezeichnet man als Limes (Grenzwert) der
Funktion f(x) 
аan der Stelle a, wenn
es für jedes ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für alle 
аа
аgilt.
Schreibweise.
Grenzwert links: 
Grenzwert rechts:
Ist a=0, so lässt man oft die erste 0 weg:
Diese Grenzwerte werden oft als einseitige Grenzwerte bezeichnet.
Manchmal lässt man die Null weg:а
Im deutschspachigen Raum bezeichnet man die einseitigen Grenzwerte oft mit Indizien l für links und r für rechts.[4]
Grenzwert links: 
Grenzwert rechts:
Für die
Signumfunktion gilt: 
Unendliche Grenzwerte
Wenn für jeden ε > 0 so eine δ-Umgebung der Stelle a gibt, dass für alle x | (|x - a| < δ, x ≠ a) gilt: |f (x)| > ε, so spricht man von einem unendlichen Grenzwert an der Stelle a.
Manche Autoren
lehnen solche Bezeichnung ab, weil 
аkeine Zahl ist.
Richtig sei es, so zu schreiben[5]:
Man unterscheidet
hier auch zwischen 
аund 
Wenn für jeden ε > 0 so ein δ > 0, dass für jedes x > δ die Ungleichung |f (x) - L| < ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich L ist.
Wenn für jeden ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für jedes x > δ f (x) > ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich plus unendlich ist (oder gegen plus unendlich strebt, weil ДunendlichУ keine Zahl ist).
Analog formuliert man die Limen für Дminus unendlichУ.
Beispiel.
Für die
Funktion f(x)=
аgilt:
а
Bild 4.
Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung
- Wenn die Funktionen f(x) und g(x) endliche
Grenzwerte an der Stelle A haben und
аund 
a.
- Regel von L'Hospital[6]
Bedeutende Grenzwerte
In der Mathematik haben manche Werte eine besondere Bedeutung.
Das ist in der ersten Reihe die Zahl e. In deutschsprachigem Raum bezeichnet man sie oft als EulerТsche Zahl, wobei es nicht ganz richtig ist. Die Zahl wurde von Jakob Bernoulli als Grenzwert beschrieben, wobei Euler den Buchstaben ДeУ eingeführt hat.[7]
Ein anderer
bedeutender Grenzwert ist 
Quellennachweis
- Wikipedia
- ссылка более недоступнаwiki/Предел_функции 02.11.2006
- ссылка более недоступнаwiki/Правило_Лопиталя 02.11.2006
- ссылка более недоступнаwiki/Limes_(Mathematik) 02.11.2006
- ссылка более недоступнаwiki/E_(математическая_константа) 26.11.2006
- .college.ru (Открытый колледж)
http://.college.ru/mathematics/courses/function/design/index.htm 02.11.2006
- Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби. Seite 47. Moskau, 1961
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. МатематикУ, Seiten 211-216, Moskau, 1990, ISBN 5-09-002693-9
- G.Korn, T. Korn, УMathematical Handbook for scientists and engineers. Definitions, Theorems and Formulas for Reference and Review.Фа New-York, Toronto, London 1961. Seite 99-101. Russische Übersetzung: Moskau, 1968.
Bemerkung. Alle Quellen außer 1c sind russischsprachig. Darüber hinaus benützte ich das im Unterricht Herrn Koch angeignete Wissen.
[1] Quelle 1c
[2] Quelle 3
[3] Quelle 5
[4] Unterricht von Herrn Koch
[5] Unterricht von Herrn Koch; Quelle 4
[6] Quelle 1b
[7] Quelle 1d