Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Общая характеристика аксиоматики Гильберта

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА

Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той постанновки, которая имела место до него.

Евклид в своих Началах наметил идеал строго логического изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить миннимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и отнчётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть вывендено из аксиом исключительно логическим путём без всяких обранщений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития геонметрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько было труднно осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности пренодоления влияния очевидности, наглядных представлений на логический процесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.

Наше пространственное воображение, наглядные представленния и конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутником нашего мышления. Они в логическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительной ориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по которому следует направить логические рассуждения для оконнчательного доказательства истины и проверки фактов, добытых при помощи наблюдения и опыта.

Короче говоря, созерцание намечает, логика проверяет; сонзерцание предсказывает, логика станавливает; созерцание открынвает, логика доказывает (В. Ф. Каган).

Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем.для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при вынборе аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция, наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логического доказательства, в построении той цепи мозаключений и аргументов, которые обоснновывают доказываемое предложение. Одна логика не может объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, не другие. Здесь мы имеем широкое поле дейнствия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).

Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными нагляднными представлениями, то это ведёт к потере общности и к сужению поля применимости геометрических истин и логинческих рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реального мира, которые отражаются в наших наглядных преднставлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении объекнтов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.

Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в геонметрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые являются существенными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакой роли в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представленниями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многими другими несущественными для логиченских выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков и установление их логинческих зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется вынделение минимума исходных предпосылок геометрии и проверка их на непротиворечивость, независимость и полноту.

Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный перечень аксиом геометрии, также разработать принципы пронверки их на непротиворечивость и независимость и сохранить общность геометрических истин, мы прежде всего должны позанботиться о максимальном странении влияния наглядных преднставлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного и безразличного для логического построения геонметрии, добиваясь наибольшей общности и применимости полунчаемых выводов к изучению объектов реального мира.

И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на.основные' понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались сонвершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к вполне определённым конкретным объектам - точкам, прямым, плоскостям и т. Д., которые связаны с вполне определёнными пронстранственными представлениями, то для Гильберта основные поннятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без п р я м ы х определений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильберта являются в этом смысле косвенными оп ре делениями основных понятий.

Гильберт, начиная изложение своих Оснований геометрии, предполагает существование трёх различных систем вещей, принрода которых безразлична: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С,...; вещи второй системы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их а, р, 7, '. точки называются также аэ л е ментами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плоснкости называются элементами пространственной геометрии или элементами пространств а.

Далее, предполагается, что точки, прямые, плоскости нахондятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти отноншения словами лежат, лмежду, лпараллельный, конгруэнтный и лнепрерывный)⁴; точное и для математических целей полное опинсание этих отношений даётся аксиомами геометрии.

Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и аксиномы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами с перемеым содержанием. Теперь же слова точка, прямая, плоскость и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, могут обозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними лежит, лмежду, конгруэнтный, также понимаемые определённым обнразом, довлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются все аксиомы Гильнберта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаются справедливыми, независимо от природы раснсматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимость повторять доказательства теорем для каждой системы объектов.

Это приводит нас к возможности различных истолкований однной и той же геометрии. даляя из геометрии всё, что связано с обычными пространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет, мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.

Пространственное представление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оно определяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и казывает путь, на ко контором могут быть получены новые результаты, новые абстрактные формулировки.

Однако в готовой же системе ссылки на ту или иную конкретнную интерпретацию не должны иметь место. Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необнходимыми при постройке аксиоматического здания, но которые бираются, когда оно закончено (Р. Б л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).

Обычное понимание геометрических элементов и отношений межнду ними является лишь одним из таких возможных истолкований. Так, например, аксиома Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимая под точками пары вещественных чисел (х, у), под прямой - равнение ах + + by +£==0, а под термином прямая проходит через точку - тот факт, что числа х, у довлетворяют указанному равнению. Можно также под лточками понимать обычные прямые, проходянщие через данную точку О, а под прямой - плоскость, проходянщую через две такие прямые, и опять казанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.

Другим примером может служить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Понинмая под плоскостью орисферу, под прямой ЧХ орицикл на оринсфере, под точкой - точку на орисфере, мы получаем новое иснтолкование всех аксиом Евклида.

Этот процесс совершенно аналогичен процессу абстрагирования, в алгебре, когда, например, под символом + Ь сперва понимаетнся лишь обычное сложение двух конкретных чисел, затем сложенние любых чисел, затем под а, Ь и + понимаются объекты и отнношения другой природы, как, например, сложение векторов, матнриц, тензоров и т. д.

Однако не нужно думать, что при таком абстрактном пониманнии геометрия теряет реальную почву. Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретных истолкований геометрии расширяет область её приложений.

Если раньше геометрия развивалась применительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах не сообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объекты выступают, мы в геометрии изучаем свойнства количественных отношений и пространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометрия была изобретена и развита с той целью, чтобы изучить свойства физического пространства, но её истины имеют, однако, более общее значение и остаются в силе и для многих объектов, которые каченственно отличны от объектов, связанных с обычными нашими геонметрическими представлениями.

Огромная степень абстракции не меньшает, неизмеримо множает возможности применения геометрии к изучению законномерностей реального мира. Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит,Ч если оно правильное, от истины, подходит к ней... Все научные (правильные, серьезные, не вздорнные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее (В. И. Ленин).

Таковы общие замечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которые читатель должен иметь постоянно в виду.

С казанной точки зрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрической абстрактно-логической системы чернтежи и обычные пространственные представления являются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь лонгических рассуждений и позволяют проверить правильность лонгического вывода на конкретном материале.

Изучение аксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых, читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно очерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий пендагог должен в результате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьный курс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он видит, что целый ряд предложений, которые со всей тщательностью, до тонких денталей доказываются при строго логическом изложении, в школьнном преподавании принимаются без доказательства.просто как санмо собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треугольнника и т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для чителя. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям чащихся, к требованиям практики и психологии, поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросов геометрии предостережёт педагога от ряда ошибок и слепого следования учебнику; учитель будет понимать, где даётся мнимое доказательнство," где действительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, где настоящее определение; он не будет видеть полного доказательства там, где имеется неизбежный пробел, и будет отнкрыто и сознательно, а не слепо допускать в случае необходимости 1акие отступления.

ксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:

Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания) (8аксиом).

Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4 аксиомы).

Группа. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).

Группа IV. Аксиома непрерывности (1 аксиома).

Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).

Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношении порядка и содернжания аксиом групп IV и V мы допускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).

з 3. ГРУППА I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ

Как же говорилось, у Гильберта основными элементами геонметрии являются неопределяемые понятия лточка, прямая, плоскость. Между этими элементами в первой группе аксиом устанавливается некоторое отношение, выражаемое неопределяенмым понятием лежать на, связывающим точку и прямую, также точку и плоскость. Так, мы говорим: Точка лежит на прянмой или на плоскости. Но то же отношение выражается словами: прямая проходит через точку или плоскость проходит через точку. Для единообразия терминологии вводится единый термин принадлежности или ли н ц и д е н т н о с т и. Мы говорим: Точка и прямая принадлежат друг другу или инцидентны друг другу. При этом никакого конкретного смысла в понятие принадлежности или линцидентности мы не вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно довлетворяло аксиомам первой группы. Аксиомы соединнения представляют собой косвенное определение "понятия инциндентности.

Мы всё же наряду с этими терминами будем потреблять принвычные выражения, связанные с обычными наглядными представнлениями: точка лежит на прямой, прямая проходит через точку и т. д. Будем также говорить: на прямой существует точка Л. Если точка А принадлежит прямой и прямой Ь, то мы также будем говорить: Прямые и d имеют общую точку Л или Прянмые и d пересекаются в точке A. Если прямая принадлежит двум точкам А и В, то мы будем говорить: Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки A и В.

Формулируем теперь аксиомы первой группы.

I.1. Д л я любых двух точек А и В с у щ е с т в у е т прямая, принадлежащая каждой иза них.

(В обычной терминологии: через любые две точки А и В прохондит прямая.)

I.2. С у щ е с т в у е т не более одной прямой, принадлежа щ е и каждой иза двух данн ы ха

т о ч е к А и В.

Если аксиома I.1 тверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 тверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюда непосредственно следует теорема: Через любые две точки проходит одна и только одна прянмая, т. е. прямая вполне определяется двумя точками. Эту прямую.можно обозначать через АВ или В А.

I.3. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежанщие одной прямой.

ксиомы 1_{1 3} станавливают связь между понятиями точка и прямая. Следующие аксиомы выражают связи между этими понятиями и понятием плоскость.

I₄. Для любых трёх точек А, В, С, к е принаднлежащих одной прямой, существует плоснкость, принадлежащая каждой из этих тончек; каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, сущестнвует не более одной плоскости, принадленжащей каждой из трёх точек А, В, С.

Из аксиом I₄ и I₅ непосредственно вытекает предложение:

Теорема. Через всякие три точки А, В, С, не лежащие на однной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Эту плоснкость можно обозначить через"ABC.

I₆. Если две точки A и В прямой а апринаднлежат п л о с к о с т и, т о и каждая точка прянмой апринадлежит плоскости а.

Определение. Относительно прямой а, каждая точка которой принадлежит плоскости а, будем говорить, что прямая принаднлежит плоскости или что прямая лежит на плоскости или что плоскость проходит через прямую а.

Таким образом, понятие принадлежности в отношении прямой и плоскости является определяемым понятием.

I₇. Если две плоскости и (3 имеют общую
точку A,то они имеют по меньшей мере ещё
одну общую точку В.

I₈. Существуют по меньшейа мере четыре
точки, не апринадлежа щ и е аодной плоскости.

ксиомы 1₁-₃а называются плоскостными, аксиомы

I₄_₈ Чпространственными.

Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспенчивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки, лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскости чрезвычайно бедны точками. Если бы мы иснходили из наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомы требование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотного множества точек. Теперь же, поскольнку это требование отсутствует, существование бесконечного мнонжества точек на прямой должно быть строго доказано.

Заметим ещё, что аксиомы 1_Ч4 соответствуют первому постунлату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.

Следствия аксиом соединения

Рассмотрим теперь несколько теорем, которые могут быть донказаны с помощью лишь одних аксиом первой группы.

Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.

Доказательство:

Предположим, что две различные прямые и Ь имеют две общие точки А и В. Но по аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки A и В. Следовательно, прямые и Ь сонвпадают, что противоречит словию. Таким образом, две прямые и d либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.

Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точнки, или имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

Доказательство:

Пусть две различные плоскости M и Vа имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиома I₇). Точки A и В определяют единственную прямую, пронходящую через эти точки (аксиомы I.ЧI.2). Эта прямая AВ принаднлежит каждой из плоскостей аир (аксиома I₆). Никаких других общих точек плоскости M и V не имеют, ибо если предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостей V и M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I ₄_₅ существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящая через точки A, В, С, понтому плоскости VиM должны совпасть, что противоречит словию.

Теорема 3.3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Доказательств о:

Если предположить, что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней две общие точки A и В, то по аксиоме I₆ каждая точка прямой должна лежать в плоскости M, т. е. прямая лежит в плоскости M, что противоречит словию.

Теорема 3.4. Через прямую и не лежащую на ней точку пронходит одна и только одна плоскость.

Доказательств о:

Пусть дана прямая a и не лежащая на ней точка А, На прямой a существуют по меньшей мере две точки В и С (аксиома 1₃). Точки А, В и С не лежат на одной прямой.

В самом деле, если допустить противное, то проходящая через них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через точки В и С. Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит словию. Итак, точки А, В и С не лежат на однной прямой, потому через них проходит единственная плоскость (аксиома 1₄ и 1₅). Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит через прямую (аксиома 1₆). Итак, плоскость пронходит через прямую и точку А.

Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, прохондит одна и только одна плоскость.

Доказательство:

Пусть и Ь - две прямые с общей точкой С. На прямой Ь сунществует по меньшей мере ещё одна точка В, отличная от С (акнсиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае прямые и Ь, имея общие точки В и С, совпадали бы в силу аксином Ii_2. На основании теоремы 3.4 через прямую и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Эта плоскость проходит через точки С и В, следовательно, и через прямую Ь (аксиома 1_6/).

По аксиоме I₄ на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости трёх точек.

Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство:

Пусть дана плоскость M. По аксиоме I₄ на плоскости существует точка А. По аксиоме I₃ существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат на плоскости M, то теонрема доказана. Если С не лежит, В лежит на плоскости M, то найдена вторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости V (аксиомы I₄_₅). Плоскость, имея с плоскостью общую точку A, имеет с ней ещё одну общую точку D (аксиома 1₇). Остаётся доканзать существование ещё одной точки на плоскости а.

По аксиоме I₈ существует точка М, не лежащая в плоскости V.

Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежит в плоскости аV (aксиома I₆), точка М не лежит в этой плоснкости. Если точка М лежит на плоскости M, то теорема доказана. Если точка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, B и М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоснкость I (аксиомы 1₄-₈), имеющая с плоскостью одну общую точку А. По аксиоме 1₇ плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, D и F плоскости M не лежат на одной прянмой. Действительно, если бы A, D и F принадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки A и D плоскости I.3, эта прямая по аксиоме I₆ лежала бы в плоскости V, проходя через точки A и F, ока принадлежала бы плоскости у, т. е. эта прямая была бы общей прямой плоскостей V и M. Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и адолyна на совпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает, что точки A, D и F не лежат на. одной прямой.

Как впоследствии будет доказано, при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами понрядка, то это окажется возможным.

з 4. ГРУППА II АКСИОМЫ ПОРЯДКА

В аксиомах второй группы описываются основные свойства ненопределяемого понятия лежать м е ж д у, выражающего ненкоторое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного сондержания и наглядного представления мы с термином ллежать между не связываем.

II₁. Если точка В лежит между точкой A и точкой С, то A,В,С Ч различные точки одной прямой и В лежит также между С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, даётся условно (лесли...). В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.

II ₂. Если A и В - две точки, то на прямой в всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.

II ₃. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

Эта аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между A и С, A ленжала между В и С и С лежала между A и В. Может иметь место не более одного из казанных положений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не говонрится и будет впоследствии доказано.

Заметим, что аксиома II₃ означает незамкнутость прямой. Если точки A, В и С лежат, например, на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.

Определение. Система двух точек прямой A и В называется отрезком AB или ВA; точки A и В называются концами отрезка; точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют), нанзываются точками отрезка АВ или внутренними точками отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются в н е шн нимии точками к отрезку АВ.

Заметим, что аксиомы II.1-3 не тверждаюта существования

внутренних точек отрезка, но из аксиомы П₂ вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.

ксиомы.1-3 называются линейными аксиомами порядка;

следующая аксиом является плоскостной.

П₄. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С - т р и т о ч к и, не лежащие на одной прямой, и - прянмая в плоскости ABC, н е п р о х о д я щ я ни ченрез одну из то ч е к А, В, С. Тогда если прямая проход и через внутреннюю точку отрезнка АВ, то она проходит также через внутнреннюю точку одного и только одного из двух других отрезков, АС или ВС).

Напомним, что в Началах Евклида совершенно отсутствуют аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта. Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся становлением существования бесконечного множества точек на отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт приннимается без доказательства.

Теорема 4. 2. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит "между двумя другими.

Доказательство:

Пусть A, В, С Ч точки одной прямой, причём А не лежит между В и С и С не лежит между A и В. Докажем, что обязательнно В лежит между A и С. По аксиоме I₃ существует точка D, не ленжащая на прямой АС (черт 102). По аксиноме П₂ на прямой BD существует такая точка G, что D лежит между В.и G. По аксиоме Паша П₄, применённой к точнкам В, С, G и прямой AD, последняя перенсекает отрезок GC в точке Е, лежащей мгжду G и С. Аналогично докажем, что прямая "CD пересекает отрезок AG в точнке F. Применяя аксиому П₄ к точкам Л, G, Е и прямой CF, убедимся, что точка D лежит между А и Е. Наконец, применяя аксиому П₄ к А, Е, С и прямой BG, докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы П₃ теоренма 4.2 полностью доказана.

Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два полупространства

Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений, которые в школьном преподавании всегда считаются само собой разумеющимися,Ч предложений о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости и пространства на два полупронстранства. Введём следующую терминологию.

Определение. Пусть А, В, О - три точки прямой. Если О ленжит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой по разные стороны от О, если О не лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой с одной стороны от точки О.

Теорема 4.6. Каждая точка О прямой делит все остальные точнки этой прямой на два класса так, что любые две точки, принаднлежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О, любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.

Доказательство этой теоремы является простым, но громозднким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной прянмой произвольную точку A, отличную от О, и разобьём все точки прямой на два класса: к первому классу отнесём точку A и все те точки, каждая из которых лежит вместе с A по одну сторону от О, ко второму классу - все те точки, из которых каждая ленжит с точкой A по разные стороны от О. Далее доказываем, что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3 и 4.4, доказываем, что если В и Са точки одного и того же класса, то точка О не лежит между В и С, если же точки В и С принадлежат разным классам, то О лежит между В и С.

Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.

Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по однну и ту же сторону от точки О, т. е, принадлежащих к одному классу, называется лучом или полупрямой, исходящей из точки О, называемой началом или вершиной луча.

Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая точнка прямой делит её на два луча.

Определение. Пусть в плоскости к дана прямая и две точки А и В, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не пересенкает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от а; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4. 7. Каждая прямая в плоскости делит все точки этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным класнсам,, лежат по разные стороны от а.

Доказательство:

Пусть А точка плоскости а, не лежащая на прямой а. Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на два класса. К первому, классу отнесём точку А и все те точки,

которые вместе с А лежат по одну стонрону от а. Ко второму классу отнесём все те точки, которые с точкой А лежат по разные стороны от а.

Каждая точка плоскости а, не приннадлежащая а, попадает в один и тольнко один из указанных классов, ибо какова бы ни была точка В плоскоснти а, возможны лишь два случая: либо отрезок АВ пересечёт прямую а, либо не пересечёт.

Покажем, что любые две точки одного класса лежат с одной стороны от а.

Пусть В и В'Чдве произвольные точки первого класса (черт. 104), т. е. отрезки А В и АВ' не пересекают а. Если точки А, В, В' не лежат на одной прямой, то отрезок ВВ' не пересекает а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по аксиоме П₄, что прямая пересекает один из отрезков: АВ или АВ', что противоречит словию.

Если точки А, В, В' лежат на одной прямой /, то возможны лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если / пересекает в некоторой точке S, то точки А и В, также А и В' лежат с одной стороны от 5, потому и точки В и В' лежат с одной стороны от S, т. е. отрезок ВВ' не пересекает а, значит, В и В' лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то и отрезок ВВ' не пересекает а, и снова точки В и В' лежат с однной стороны от а.

Пусть теперь С и С' - точки второго класса. Докажем, что они также лежат с одной стороны от а.

Если A, С, С' не лежат на одной прямой, то прямая а, пересенкая отрезки АС и АС', по аксиоме П₄ не может пересечь отрензок СС'.

Если А, С, С' лежат на одной прямой /, то эта прямая пересенкает в некоторой точке S, причём S лежит между A и С, также между А и С', т. е. А и С, также Л и С' лежат на / по разнные стороны от S, поэтому по теореме 4.6 точки С и С' лежат по одну сторону от S и, следовательно, отрезок СС' не пересекает а.

Пусть, наконец, В - точка первого класса, С - второго класса, Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, отрезок АС перенсекает а. Докажем, что В и С лежат по разные стороны от а.

Если А, В, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П₄ прямая пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС, но не пересекает отрезка АВ.

Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, точки A и С - по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С ленжат по разные стороны от S, т. е. отрезок ВС пересекает а, это значит, что В и С лежат по разные стороны от а.

, Каждый из двух рассмотренных классов точек называется

п о луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая прямая делит плоскость на две полуплоснкости.

Сформулируем ещё аналогичную теорему для пространства.

Определение. Пусть - некоторая плоскость и точки Л и В не лежат в плоскости а. Если отрезок AВ не пересекает а, то гонворят, что точки A и В лежат по одну сторону от плоскости а, если отрезок AВ пересекает а, говорят, что точки A и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4.8. Каждая плоскость а. разделяет все точки пронстранства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две точнки А и В одного и того же класса лежат по одну сторону от а, люнбые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.

Таким образом, каждая плоскость разделяет пространство на две области, называемые полупространствами.

Определение. П a p л у ч е йа h, k, выходящих из точки О и не при надлежащих одной прям о и, называется углом, который обозначается знаком < (h, k) и л и < (k,h). Если A и В - т о ч к и, лежащие соответственно на лучах h и k, то гол обозначается т к ж е < AОВ и л и < ВОA

Точк О аназывается вершинойа гла, лучи h и k сторонами гла ).

Определение. Пусть дан гол (h, k). Дополним лучи h и k до полных прямых лучами h и k (черт. 105). Все точки плоскости, проходящей через эти прямые (теорема 3.5), отличные от точки О и не лежащие на лучах h и k, делятся глом на две области: все точки, которые лежат с той же стороны от прямой h, h, что и точнки луча k, и с той же стороны от прямой k, k, что и точки луча h,

называются внутренними точнками гла (h, k}, их совокупность называется внутренней обласнтью гла; все остальные точки плосконсти называются внешними, их совокупность - внешней областью. Можно показать, что прямые h, k и

h, k плоскость на 4 области, по-

парно не имеющие общих точек, это внутренние области глов (h, k), (k, h),

(h, k), (k, h).

Сформулируем без доказательства следующую теорему. Теорема 4. 9. Если А и В - внутренние точки гла, то отрензок А В не пересекает сторон гла и не проходит через вершину гла; если А Ч точка луча h, В - точка луча k, то все точки отрезка АВ - внутренние точки гла, если А - внутренняя, В - внешняя точка гла, то отрезок АВ пересекает одну сторону гла или проходит через вершину гла О.

Определение. Пусть h, k, L Ч три луча с общей вершиной О, лежащие в одной плоскости. Будем говорить, что луч L лежит между лучами h и k или что L проходит внутри гла (h, k), если все точки луча L являются внутренними точками этого угла.

Теорема 4.10. Всякий луч I, проходящий внутри гла КВа ченрез его вершину О, пересекает отрезок KB; обратно, всякий луч, проходящий через вершину гла и точку отрезка KB, соединяюнщего две точки К и В, лежащие на сторонах гла, есть внутренний' луч гла КОВ.

Теорема 4. 11. Из трёх лучей h, k, I с общей вершиной О, раснположенных в общей полуплоскости относительно прямой, прохондящей через О, один и только один лежит, между двумя другими.

Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.

Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС, CD,..., KL с общими концами В, С,..., К называется л о м н о й, составляющие отрезки называются звеньями ломанной, начальная точка А и конечная L называются концами

ломаной. Если А и L совпадают, то ломаная называется многонугольником, причём А, В,..., L называются вершиннами многоугольника, звенья ломаной - сторонами многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в однной плоскости, то многоугольник называется плоским. Плоснкий многоугольник называется просты м, если: 1) все его вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри канкой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не пенресекаются.

Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107, не являются простыми.

Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.

Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области: любые две точки первой области (внутренней) всегда можно соединнить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует прямой, целиком лежащей внутри этой области; любые две точки второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и существует пряная, целикои лежанщая в этой области; если две точки принадлежат разньм областям, то всякая ломаная, их соединяюш₁ая, пересекает многоугольник.

з 5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ

В Началах Евклида в чении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с преднставлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, также предполагает раснсмотрение всех промежуточных положений фигуры.

В первой главе мы же говорили о неприменимости такого поннимания движения к геометрическим фигурам.

В чении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное полонжение фигуры.

Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.

В современном научном изложении чение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является пронизводным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.

Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гильнберта понятие движения является производным и может быть сонвершенно исключено из геометрии, так каково используется в геонметрии только для становления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает никанкого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и глами, довлетворяющее аксиомам третьей группы.

Что касается терминов лравенство или конгруэнтность, то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматринваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при раснсмотрении плоских или пространственных фигур мы не можем тверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут коннгруэнтны и целые фигуры*).

Итак, вводим неопределяемое понятие лконгруэнтный в принменении к отрезкам и глам, свойства которого выражаются в слендующих аксиомах:

Ш.1 Если А и В - две точки прямой и А' - точка н той же или другой прямой а' , то существует на прямой а' по данную сторону от точки A' такая точка В', что отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', что обозначаетнся знаком АВ=А'В'. Всегда АВ =ВА.

Короче говоря: Каждый отрезок может быть лотложен на люнбой прямой в ту или другую сторону от любой её точки.

Заметим, что в аксиоме П^ тверждается лишь существование точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.

Ш₂. Если АВ = А'В'а и АВ^А"В", то А'В' = А"В".

Ш₃. Пусть АВ и BC - Два отрезка прямой без общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С' Ч два отрезка прямой а' (отлично и от а' или с ней совпандающей) также без общих внутренних точек. Если

В=А'В', ВС^В'С', то АС = А'С'.

Короче: суммы соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.

Ш₄. Пусть дан гол (h, k) в плоскости а, также определённая относительно прямой а' полуплонскость плоскости а', пусть Члуч прямой а', вынходящий из точки О'. Тогда на плоскости к' сущенствует один и только один луч k', такой, что <(h, k) конгруэнтен гол (h', k') и при этом все внутреннее точки гол а(h', k') лежат в данной полуплоскости а'.

Короче говоря: Каждый гол может быть однозначно отлонжен в' данной плоскости по данную сторону при данном луче.

Ш_.5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют место конгруэнции: АВ=А'В', AC=A'C', ^ ВАС == ^ В^Т А'С', т о ^ ABC = ^ А'В'С',

Теоремы о конгруэнтности отрезков, глов и треугольников

Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме Ш.1, также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.

Теорема 5. 1. Точка В', о существовании которой говорится е аксиоме ₁Чединственная.

Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
AB=BA (свойство рефлективности).
Доказательство:

По аксиоме.3 AB^ВA и ВA=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ', где В'Чточка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш₂ из AВ=ВA и АВ=АВ' следует, что ВA=AВ'. Но так как ВA=АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.

Теорема 5.3. Если АВ=А'В', то и А'В'^АВ (свойство симнметричности).

Доказательство:

Пусть AВ=A'В'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,

т.о аксиоме ₂ A'В'=AВ.

Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и Д'В' конгруэнтнны друг другу.

Теорема 5. 4. Если AВ=A'В' и A'В'=A"В", то ДВ=A"В". (свойство транзитивности в другой форме).

Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треугольнников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 109) AВ=A'В', AС=A'С', гол A=углуA', то AВС=A'В'С'

Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольнников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 110)

AВ=A'В', ^А=^А', ^В=^В', то AВС= A'В'С'.

Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике глы при оснонвании конгруэнтны.

Доказательство:

Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и A'В'С', причём вершины последнего соответственно совпадают с вершиннами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=A'С', ВС=В'С', ^AСВ=^А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=A'В'С', а поэтому ^ВAС=^В'A'С', т. е. ^ВAС=^AВС.

Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся наложением или вращением, т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгрунэнтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использованния понятия движения характерно и для всех прочих доказантельств.

Прежде чем получить доказательство третьего признака коннгруэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других теорем.

Определение. Два гла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два гла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.

Теорема 5. 9. Если гол ^ (h, k) конгруэнтен глу (h'. k'), то и гол, смежный первому глу, конгруэнтен глу, смежному c авторым глом.

Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9

Теорема 5. 11, Пусть h, k, I и h', k', I' - лучи, исходящие соответственно из точек О и О', и каждая из этих троек лучей расположена в одной плоскости; пусть при этом лучи h, k и h', k' расположены либо те и другие по одну сторону от луча I, соответственно /', либо те и другие - по разные стороны. Тогда из ^(h, l)==^(h', Г) и -4(/, k)=^(t', k) следует ^ (h, k) = = ^.(h', k').

Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треугольнников.) Если у треугольников ABC и А'В'С'

B = А'B', АС = А'С', ВС=В'С', то

треуг.ABC =треуг. A'B'C'

Теорема 5.13. Если ^(h. k) =^(h', k') иа ^ (h, k)=^(h", k"),

mo ^ (h', k') = ^ (h", k").

Теорема 5. 16. Прямой гол существует. Доказательство:

Возьмём произвольный гол (A, k). По аксиоме Ш₄ по друнгую сторону от луча А, нежели луч k, существует такой луч (черт. 116). Взяв на луче k некоторую точку A, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОА^=

В е Черт. 116.

= ОВ (аксиома Ш^. По теонреме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, котонрой принадлежит луч А. При этом возможны 3 слунчая: либо точка перенсечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу h, донполнительному к А.

Теорема 5. 17.

Теоремы о делении отрезка и гла пополам и другие

Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:

Теорема 5. 19. Каждый гол можно разделить пополам и принтом единственным образом.

Вводя далее обычные определения биссектрисы гла, такнже медианы и высоты треугольника, мы можем доказать слендующие теоремы:

Теорема 5.20. В равнобедренном треугольнике биссектриса гла при вершине есть медиана и высота.

Теорема 5.21. Через всякую точку плоскости проходит единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой плоскости.

Далее можно доказать теоремы.

Теорема 5.22. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются между собой.

Теорема 5.23. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответственные или внутренние нанкрест лежащие глы, то они не пересекаются.

Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая и не ленжащая на ней точка А, то в плоскости через точку А пронходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.

Сравнение отрезков и глов

Для отрезков и углов можно ввести соотношения больше и лменьше при помощи следующих определений.

Определение. Пусть даны два отрезка AВ и A'В'. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=A'В', то говорят, что отрезок А' В' меньше отрезка в или что отрезок AВ больше отрезка A'В', что записывается так: A'В'<AВ, AВ>A'В'.

Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB=CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ<A'В' и А'В'<А"В", то AВ<A"В" (свойство транзитивности).

Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:

в)а Если AВ = A'В', CD<C'D', то АВ + CD < А' B' +C'D';

г)а Если AВ>СО, то аAВ> CD.

Такими же свойствами обладают понятия большие, лменьше в применении к глам. Затем вводим понятия лострый и тунпой глы.

Теорема о внешнем угле треугольника и другие

Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.

Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соотнветственно конгруэнтны двум сторонам другого, глы, заклюнчённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то пронтив большего из этих глов лежит и большая сторона (и обратнная теорема).

Движение

Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определенние.

Определение. Движением называется такое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок пренобразуется в конгруэнтный отрезок.

Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь разнличный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.

.1 Каждую т о ч к" у пространства движенние преобразует в точку того же пронстранства,

.₂. Если прямая и л еж щ а я на ней точнка А движением преобразуются ава прямую и точку A', то точка А' лежит на прямой а'.

Заметим, что последовательное применение двух преобразонваний называется произведением этих преобразований.

₃. Совокупность всех движений обранзует группу, т. е.:

) Произведение двух движений есть такн
же движение.

б) Существует движение, при котором
каждая точк преобразуется сам ва себя.
Такое движение называется тождествеым и играет роль единицы группы движенний.

в) Для каждого движения существует обн
ратное движение, произведение которого
сданным движениема адаёт тождественное
движение.

г) Про из в еден и е движений ассоциативно, т. е. довлетворяет сочетательному закону.

₄ Если три точки A,_B, С, и з акоторых В лежит между А и С, п р и движении преобранзуются в точки А', В', С', то В' л е ж и т между А' и С.

.5 Существует одно и только одно движенние, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определёую полуплоскость относительно этого луча соответственно в другую данную точку у А', в определённый луч с вершиной в А' и в определённую полуплоскость относинтельно этого луча

Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок В А.

.7 С у щ е с т в у е т движение, при котором (h, k) п е р е х о д и т в (k, К).

.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самих себя, то каждая точка этого луча преобразуетнся сама в себя.

При помощи предложений Ш',-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем_£_движениях. Сформулируем некоторые из них:

1)  Каждое движ е н и е преобразует прямую
в прямую, луч в луч, гол в гол, плоскость
в плоскость, полуплоскость в полупл-н
скость, полупространство в полупространство.

2)  Любое движение можно свести к после-н
довательному осуществлению двух част-н
ных случаев движения: сдвига и вращения
около точки, т. е. любое движение можно
рассматривать как произведение сдвига
и вращения.

3)  Задание двух конгруэнтныха тетраэдн-
ров вполне определяет движение, преобн
разующее первыйа тетраэдра во второй, т. е.
положение пространственной фигуры
вполне определяется четырьмя её точкан
ми, не лежащими в одной плоскости.

4)Заданием двух конгруэнтных треугольнника.

Определение. Две фигуры называются коннгруэнтными, если существует такое двинжение, которое преобразует первую ф и гуру во вторую.

Таким образом, мы можем резюмировать связь между понятинями конгруэнтности и движения следующим образом: при нанличии аксиом Гильберта IЧII аксиомы к о нн груэнтности Гильберта _1-5 и аксиомы движения Ш₁-₈ являются эквивалентными.

з 6. ГРУППА IV (Оа ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИМы НЕПРЕРЫВНОСТИ

Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них просветов. или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в теченние всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие ненпрерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в вонпросах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизмео прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём же подробно говорилось в первой главе.

Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог понлучить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся же нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую пронблему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, плонщадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, не на логических основаниях. В связи с последним обстоятельнством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ-

ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-

ставлениям, не получившим точной математической формулировки

в аксиомах.

Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непренрывность функции была в логическом отношении построена на песке.

Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (183Ч1916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших мозаклюнчений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым освонбодил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геометнрическим представлениям, ибо теперь свойства системы действинтельных чисел становились логическими следствиями общего определения действительного числа.

С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание аналинтическойа геометрии и математического анализа (теория пределов).

Вскоре после Дедекинд понятие непрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих Основаниях геометрии выразил непрерывность прямой в виде, отличном от казанныха теорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда, /а вместо неё вводит две.аксиомы - аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности эквинвалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом IЧ групп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:

IV. Если все точки отрез к АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:

1)           каждая точк отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов,
точка Ла принадлежита первому классу,
а точка В - второму классу;

каждая точк первого класса, отличнная от А, л е ж и т между A и

л ю б о йа т о ч к о и в т о рого класса, т о на отрезке АВ

су щеотвует одна и только одна такая точка С, что в с я-
кая точка, лежащая между A и С, ап р и я д л е ж и т первому классу, авсякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сам точк С принадлежит либо
первому, либо второму класс у. !

(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)

Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка). \

Замечания: 1) Строго говоря, требование единстнвенности точки С является лишним, ибо может быть доканзано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С_1; производящая сечение отрезка,В, и для определённости предпонложим, что С лежит между А и С₁ Так как Q лежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В. Пусть, теперь M - любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По теонреме 4-4 эта точка М лежит между А и С _х,

т. е. попадает в пернвый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, знанчит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.

2)а В словии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого
класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждая точка

втонрого класса, отличная от В, лежит между В
и любой точкойа первого класса.

В самом деле, пусть Y есть некоторая точка второго класса и X - любая точка первого класса. По условию аксиомы точка X ленжит между и Y, в то же время Y лежит между A и В; слендовательно, по теореме 4.4 точка Y лежит между X и В.

3) Далее, можно доказать, что ни одна
точк одного из классова не лежит между
к к о й - л ибо паройа точек другого класса. Действительно, допустим, что точка Y второго класса лежит между точками Х₁ и X₂ первого класса. Тогда по словию аксионмы Х₁ лежит между A и К, К по допущению лежит между X₁ и.₂, отсюда по теореме 4.3 Y лежит между А и Х_а, т. е Х₂ не лежит между А и Y (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х₂ по условию аксиомы лежит между А и У. Понлученное противоречие и доказывает требуемое.

4) Заметим, наконец, что аксиому Дедекинд можно
высказать для всейа прямой, для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежанщие относительно А по другую сторону, нежели Б, ко второму
классу - все точки прямой, лежащие относительно Ва по другую
сторону, нежели A.

Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения - постулат Архимеда и принцип Кантора.

IV.1. (Постулата Архимеда.)а Пусть АВ и CD Ч д в произвольных отрезка и апусть на алуче AВ ас авершиной в A взяты точки A1,A₂, A₃,..., р с п оложенные- так, что A₁ лежит между A и A₂, т очка A2 алежит между A₁иA₃ и т. д., причём о т-езкиа AA₁, АА2, A₂A₃, ... конгруэнтны отрезу аCD. Тогд существуета такой номер п, что точк С лежит между A и A1

Если воспользоваться понятиями лменьше и больше, то понстулат Архимеда можно высказать следующим образом. Каковы бы ни были отрезки аA В и CD, в с е г д м о ж н о н прямой последовательно отлонвить отрезока CD толькоа раз. чтобы полунденный отрезок была больше отрезк A В. Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произвендения CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:

Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что nCD>AВ.

IV.2. (Принцип вложенных отрезков Каннтора.)

Пусть на произвольной прямой дана бесконечная последовательность отрезнков A_v В_г, A₂В₂, A₃В₃,..., и з акоторых каждый понследующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой существует одна я только одна точка Z, ленжащая внутри всех отрезков А₁В_1> A₂B₂, A₃В₃,...

Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V₂ достаточно тверждать сунществование по крайней мере одной точки Z, ибо единствеость этой точки может быть доказана

В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Z_l и Z₂, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В танком случае легко доказать, что все точки отрезка Z_lZ._i лежат внунтри всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок Z_XZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит словию принципа Кантора

Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта IЧ/// ц аксиомы Дедекинда
вытекает постулат Архимеда.

Теорем а6. 2. Из аксиом Гильберта IЧ/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.

Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта IЧ/// и предложения Архимеда IV.1а и Кантора IV.2 авытекаета предложение Дедекинда IV

Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом IЧ/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и акнсиомы Кантора

Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для глов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(h, k), также лучи h k распределены, на два класса так, что:

1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч h принадлежит первому классу, луч k - второму;

2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между h и любым лучом второго класса, то существует один и только один такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между h и I, принадлежит первому классу, всякий луч, лежащий между I и k, принадлежит второму классу. Сам луч I принадлежит либо первому, либо второму классу.

Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для глов.

Доказательство:

>, Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах h и k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие между h и k, пересекают отрезок АВ во внутренних его точках. Ставя друг другу и соответствие внутренний луч с точкой его пересечения с отрезком АВ, мы приведём во взаимно однозначное соответствие множество всеха внутренних лучей ^ (h, k) с множеством всех точек отрезка АВ с сохраненнием одинакового взаимного расположения тех и других. При этом разбиению лучей н Черт. 121. два класса будет соответствовать разбиение

точек отрезка АВ на два класса, довлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единстнвенная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.

Формулировку предложений Архимеда и Кантора для глов предоставляем читателю.

Как же говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами IЧ дают возможность реншить проблему измерения отрезков и глов, также становить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет становить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, останновимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой.

Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окружн
ностью и проходящая через внутреннюю точку k окружности, пен-
ресекает эту окружность в двух точках.

Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскосmu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках

Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что

n*AD=AB или AD*1/n *AB

з 7. ГРУППА V (ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в групнпы I - IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой геонметрии, необходима ещё аксиома параллельности.

Все те предложения геометрии, которые могут быть доказанны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.

К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не пенресекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя сущестнвование такси прямой, эта теорема, однако, не предрешает, бундет ли казанная прямая единственной.

В зависимости от того, примем ли мы в качестве дополнинтельного требования, чтобы казанная прямая была единственной или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида, либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия, основя лишь на аксиомах групп IЧIV, является общей частью этих геометрий,

ксиому параллельности евклидовой геометрии можно сфорнмулировать так:

V. Пусть а-произвольная прямая и А - точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не бонлее одной прямой, не пересекающей а*).

На основании теоремы 5. 24 и аксиомы V немедленно заклюнчаем, что через точку А проходит одна и только одна прянмая, не пересекающая а; эта прямая называется апара л л е л ь н о и к прямой а.

Теперь, опираясь на аксиомы IЧV, мы имеем возможность доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную теонреме 5. 23, теорему о том, что SA = 2d; что внешний гол треугольника равен сумме двух внутренних глов, с ним на смежных. Можно также доказать, что через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит единствеая окружность, что вписанные в окружность глы, опирающиенся на равные хорды, равны; можно, далее, развить всю теорию подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову ананлитическую геометрию и тем самым арифметизировать евклидонву геометрию.

Лобачевского, в зависимости от присоединенния той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей геометрической системы при наличии аксиом IЧIV построить нельзя.

Возможность геометрии Лобачевского одновременно свидентельствует о том, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й понстулат Евклида не зависят от аксиом IЧIV. В связи с этим напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата было характерно отсутствие правильной постановки этой пронблемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый характер, ибо не было известно полного перечня аксиом абсонлютной геометрии, лишь на основе которых и следовало пытатьнся доказывать 5-й постулат.

Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная систенма аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта заключается в следующем: можно ли на основе аксиом _Гру_ПП IЧIV доказать аксиому V (или равносильнны и е и 5-й ап о с т у л т) аи л и иначе: является ли акнсиома V независимой от аксиом соединения, понрядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?

Построением своей геометрической системы Лобачевский дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:* аксиому V нельзя вывести из аксиом IЧ IV. Однако этот результат Лобачевского будет обладать несомненной бендительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую непротиворечивость его геометрии.

В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе
аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие аксио-н
мы, то возможны геометрические системы, отличные и от геон-
метрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой, наприн
мер, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в
которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одн
ной параллельной к данной прямой. Для построения этой геон-
метрии следует внести изменения в аксиомы II, , IV групп.
Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии
Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием з 9
главы V.