Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Новый метод дополнительных краевых словий Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач

 

Новый метод дополнительных краевых словий Алексея Юрьевича Виноградова

для краевых задач.

 

.vinogradov-alexei.narod.ru

 

втор нового метода: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).

 

Метод придуман вечером 17 марта 2006 года. Метод ещё не обсчитан на компьютерах, но имеет чёткое обоснование и может быть полезен для тех, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого метода (сам я заниматься программированием не имею возможности).

1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено так, чтобы было понятно выпускникам вузов).

 

В матричном виде система линейных дифференциальных равнений записывается так:

 

Y(x)Т=A(x)Y(x) + F(x),

 

где Y(x) - вектор-столбец искомых функций, Y(x)Т - вектор-столбец производных искомых функций, A(x) - квадратная матрица коэффициентов, F(x) - вектор внешних воздействий на систему.

 

Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных равнений:

 

Y(x)Т=A(x)Y(x),

 

но метод справедлив и для неоднородной системы.

 

Условия на левом крае записываются в виде:

 

LY(0) = L,

 

где Y(0) - вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L - вектор-столбец правой части краевых словий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых словий левого края.

 

налогично записываются словия на правом крае:

 

RY(1) = R,

 

где Y(1) - вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R - вектор-столбец правой части краевых словий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых словий правого края.

 

В книге Теория матриц Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных равнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(хм0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных равнений.)

 

Y(x)=K(хм0)Y(0),

где K(хм0)=exp(Ax)

при словии, что матрица A=constant.

 

При словии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:

 

Y(x)=K(хм0)Y(0),

 

где K(хм0)=K(х4мx3) K(х3мx2) K(х2мx1) K(х1м0),

 

где K(хjмxi)=exp(A(xi)x),

 

то есть интервал интегрирования разбивается на частки и на частках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.

 

 2. Новый метод Алексея Юрьевича Виноградова - метод дополнительных краевых словий.

 

Запишем на левом крае ещё одно равнение краевых словий:

 

MY(0) = M.

 

В качестве строк матрицы M можно взять те краевые словия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых словий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых словий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи - 8. Вектор M правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что задача решена, то есть задача сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:

 

| Lа | | Lа |

|----| Y(0) = |----|

| M | | M |,

 

то есть вектор Y(0) находиться из решения системы линейных алгебраических равнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков L и M.

 

налогично запишем на правом крае ещё одно равнение краевых словий:

 

NY(1) = N,

 

где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно-независимых параметров на правом крае, вектор N неизвестен.

 

Для правого края тоже справедлива соответствующая система равнений:

 

| Rа | | Rа |

|----| Y(1) = |----|

| N а| | Nа |,

 

Запишем Y(1)=K(1м0)Y(0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических равнений:

 

| Rа | | Rа |

|----| K(1м0)Y(0) = |----|

| N а| | Nа |.

 

Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу

 

| Lа |-1 | Lа |

Y(0) =а |----| |----|

| M | | M |

 

и подставим в предыдущую формулу:

 

| Rа | | Lа |-1 | Lа | | Rа |

|----| K(1м0) а а|----| |----| = |----|

| N а| | M | | M | | Nа |.

 

Таким образом мы получили систему равнений вида

 

| Lа | | Rа |

B |----| = |----|

| M | | Nа |,

 

где матрица B известна, векторы M и N неизвестны.

 

Разобьём матрицу B на естественные для нашего случая 4 блока B11, B12, B21 и B22 и получим:

 

| B11а | B12а | | Lа | | Rа |

|------------------|а |----| = |----|

| B21а | B22а | | M | | Nа |,

 

откуда можем записать, что

 

B11 L + B12 M = R,

B21 L + B22 M = N.

 

Следовательно, искомый вектор M вычисляется по формуле

 

M =а (B12)обратная ( R - B11 L).

 

искомый вектор N вычисляется по формуле

 

N = B21 L + B22 M.

 

 

3. Про жесткие краевые задачи.

 

При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных равнений они иногда оказываются жёсткими.

 

Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала.

 

Для решения таких краевых задач с жёсткими дифференциальными равнениями обычно применяют специальные приёмы-методы.

 

Жёсткие краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова. Познакомиться с лметодом переноса краевых словий Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке.AlexeiVinogradov.narod.ru.

 

С тем как решаются проблемы метода С.К.Годунова можно посмотреть на страничке.VinogradovAlexei.narod.ru.

 

 

4. Применение метода дополнительных краевых словий Алексея Юрьевича Виноградова для жестких краевых задач.

 

Вы можете сами придумать, как применить ортонормирование к изложенному методу. Могу предложить идею построчного ортонормирования по аналогии с моим методом, изложенным на страничке .AlexeiVinogradov.narod.ru.

 

Эта идея построчного ортонормирования выливается в данном случае в одностороннюю прогонку.

 

Запишем

 

| Rа | | Lа |-1 | Lа | | Rа |

|----| K(1м0) а а|----| |----| = |----|

| N а| | M | | M | | Nа |

 

в виде

 

| Rа | | Lа |-1 | Lа | | Rа |

|----| K(1мx2) K(х2мx1) K(х1м0) а а|----| |----| = |----|

| N а| | M | | M | | Nа |

 

или в виде

 

| Rа | | Rа |

|----| K(1мx2) вектор = |----|

| N а| | Nа |

 

или

D вектора = D

 

- это система линейных алгебраических равнений с квадратной невырожденной матрицей D коэффициентов и вектором правой части D может быть подвержена построчному ортонормированию, которое не затронет вектор.

 

После построчного ортонормирования получим

 

Dорто вектора = Dорто,

 

где неизвестную часть N вектора D ортонормированию подвергать не нужно (так как численно невозможно, возможно только формульно из-за первоначальной неизвестности значения этого вектора).

 

Далее запишем

 

Dорто K(х2мx1) другой_вектора = Dорто

или

другая_матрица_D другой_вектора = Dорто.

Эту систему линейных алгебраических равнений также подвергаем построчному ортонормированию и получаем:

 

другая_матрица_Dорто другой_вектора = D2орто.

 

И так далее переносимся ортонормированием до конца пока не подвергнем ортонормированию все матрицы Коши K(хjмxi).

 

В результате прогонки получаем

 

| Lа | | Rорто |

ортонормированная_матриц |----| = |------------------------|

| M | | N_неизвестныйа |

 

Где искомый вектор M вычисляется по формуле

 

M =а (B12орто)обратная ( Rорто - B11орто L).

 

 

5. Про диссертации.

 

На основании исследований метода С.К.Годунова сделано множество кандидатских и докторских диссертаций. Частично этим занимался и Алексей Юрьевич Виноградов -.VinogradovAlexei.narod.ru.

 

На основании исследования метода переноса краевых словий Алексея Юрьевича Виноградова.AlexeiVinogradov.narod.ru сделано две диссертации и делается третья.

 

На основании этого изложенного здесь совершенно нового метода тоже можно делать диссертации и защищаться.

 

 

 

лексей Юрьевич Виноградов

19 марта 2006

J

Пишите комментарии к методу на адрес