Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Некоторые Теоремы Штурма

Быков В.В. bikov@rambler.ru

Содержание

Введени3

з1. Предварительные сведения5

з2. Основные факты8

з3. Теоремы Штурма18

Использованная литература27

Введение

Тема дипломной работы Теорема Штурма, связана с именем французского математика Жака Шарля Франсу Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсу (Sturm J. Ch. F. - правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, также иностранным членом - корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Рбе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач равнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных равнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(p(t)u¢)¢+q(t)u=lu,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

₁u(a)+B₁u¢(a)=0,

A₂u(b)+B₂u¢(b)=0,

(так называемых собственных функций), также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых словиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для равнения вида: -u¢¢+q(x)u=lu).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических равнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже поминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсу мер 18 декабря 1855года.

з 1. Предварительные сведения

Среди дифференциальных равнений, наиболее часто испольнзуемых в математике и физике, следует выделить линейное равненние второго порядка, имеющее вид

u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1)

или

(р (t) и')' + q (f) и = h(t). (1.2)

Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции а(t), g (f), h (f) и р (f) ¹0, q (t), входящие в эти равннения, являются непрерывными (вещественными или комплекснными) на некотором t-интервале J, который может быть как огранниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполангается, что р(t)¹ 0, скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку равнение (1.1) может быть записано в виде

(p(t) и')'а + ар(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)

если определить p(t) следующим образом:

(1.4)

при некотором aИJ. Частичное обращение этого тверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцинруема, уравнение (1.2) можно записать в виде

это равнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывнной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда равнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух равнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора

(1.5)

Другими словами, решение и = и (t) равнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, довлетворяющую (1.2). Если р(t) ¹ 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к равнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем а(Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)

Частному случаю равнения (1.2) при асоответствует равнение

и" + q(t) u = h(t). (1.6)

Если функция апринимает вещественные значения, равннение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

(1.7)

при некотором a И J. Функция s = s (t) имеет производную аи потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную аt= t (s), определенную на некотором s-интервале. После введения новой независимой переменной s равннение (1.2) переходит в равнение

(1.8)

где аргумента t авыражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменнен функцией t = t(s). равнение (1.8) является равнением типа (1.6).

Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то равннение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z:

(1.9)

при некотором a И J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к равнению

(1.10)

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматнриваемые равнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). тверждения, содержащиеся в следующих пражннениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

з 2. Основные факты

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного равнений

(2.1)

(2.2)

Для этого перепишем скалярные равнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух равнений

(2.3)

(2.4)

где векторы х= (х¹, х²), у == (у¹, y²) совпадают с векторами , , A(t)- матрица второго порядка:

(2.5)

Если не оговорено противное, то предполагается, что q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными комнплексными функциями на t-интервале J (который может быть замнкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если аи , а- произвольные комплексные числа, то задача Коши для равнения (2.2)

а (2.6)

имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) равнения (2.2) и при асоответствующим единственным решением служит функция . Поэтому, если аесть решение равнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

() Принцип суперпозиции. Если , -решения равннения (2.1), a -постоянные, то функция является решением равнения (2.1). Если -решение равннения (2.2), то функция атакже является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция аудовлетворяет равнению (2.1).

(iv) Если , -решения равнения (2.1), то соответнствующие векторные решения системы (2.3) алинейно независимы (в каждой точке t) тогда и только тогда, когда функции , алинейно

независимы в том смысле, что равенство где аи - постоянные, влечет за собой

(v) Если , а- решения равнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вроннскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

(2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару равнений

, , (2.8)

где f=f(t), g=g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе равнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

а, (2.9)

так как . Соотношение (2.9) назынвается тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где , называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения равнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение равнения (2.1) является линейной комбинацией афункций и(t) и v(t) с постонянными коэффициентами.

(v) Если а(например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) равнения (2.1) равен постоянной.

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение ауравненния (2.1), отыскание других решений v(t) этого равнения (по крайнней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если ана подинтервале , этим уравнением служит равнение (2.7), где и - известная функция, v - искомая. Если поделить (2.7) на , то это равнение запишется в виде

, (2.11)

после интегрирования мы будем иметь

а (2.12)

где а, . Легко проверить, что если , - произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением равнения (2.1), довлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где а.

(х) Пусть и(t), v(t) - решения равнения (2.1), удовлетворяюнщие (2.7) с . При фиксированном арешением равнения (2.1), довлетворяющим начальным словиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением равннения (2.2), довлетворяющим условиям , слунжит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение равнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

а а

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от , но не зависит от их пронизводных. В этом случае равнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение ауравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхондящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно полунчить более прямым путем. Пусть равнение (2.27) имеет решение ана интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что

. (2.29)

Функция z довлетворяет дифференциальному равнению

.

Умножая его на , мы получаем, что

а (2.30)

или, в силу (2.27), что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения адифференнциального уравнения (2.27), с функции , имеющей непрерывную производную аи такой, что непрерывнно дифференцируема. При этом аопределяется равенством (2.27), так что а. Подстановка (2.29) будет назынваться также вариацией постоянных.

(x) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая раснсмотрим (2.1) с р (t) = 1:

и" + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

q (t) > 0, где = sgnа q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

(2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к равнению

(2.35)

Замена независимых переменных определенная соотношением

, (2.36)

переводит (2.35) в равнение

а а(2.37)

где

(2.38)

аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференнцирование по t, так что q' = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному равнению типа (2.37), в котором функция f (s) близка к постоянной. Простой предельнный случай такой подстановки см. в пр. 1.1(с).

(xiv) равнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (x) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные равнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух равнений первого порядка. Иногда добно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное равнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

(2.39)

так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

(2.40)

Это равнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае равнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение равнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратнно, если а- решение равнения (2.40) на t-интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

(2.41)

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда равнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование. Пусть -вещественное решение равнения 2.1, и пусть

Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции ав некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непренрывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) перенводят уравнение (2.1) в систему

а, (2.43)

(2.44)

В равнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций Если решение ауравнения (2.43) известно, то соответствуюнщее решение равнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение равнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, свянзывающего решения равнений (2.1) и (2.43).

Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция анепренрывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение равнения (2.1), то равенства

а (2.45)

при фиксированном значении адля некоторого аоднозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и

Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непренрывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решенния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально огранниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/, а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства

а (2.48)

(2.49)

. (2.50)

з 3. Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только равнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под лрешением мы будем понимать вещественное, нентривиальное (т. е. ) решение. Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку аатогда и только тогда, когда .

Лемма 3.1. Пусть а- вещественное решение равненния (2.1) при , где аи авещественны и непренрывны. Пусть функция и (t) имеет в точности анулей апри . Предположим, что а- непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и а. Тогда и апри а.

Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная ав силу (2.43). Следовательно, функция авозрастает в окрестности точек, где адля некоторого целого j. Отсюда следует, что если аи , то апри , а также что если , то апри . Тем самым лемма доканзана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два равннения

а

где функции авещественны и непрерывны на интервале J. и

. (3.2)

В этом случае равнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а равнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3₂)

или

аи (3.3₁)

выполняются в некоторой точке , то равнение (3.3₂) назынвается строгой мажорантой Штурма для (3.3₁) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты равнения анепрерывны на интервале J: , и пусть равнение (3.3₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁). Предположим, что функция аявляется решением равнения (3.1₁) и имеет точно анулей апри а, функция аудовлетворяет равненнию (3.1₂) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неранвенства (3.4) при аполагается равным , если а(соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда аимеет при апo крайней мере n нулей. Более того, аимеет по крайней мере n нулей при , если при ав (3.4) имеет место строгое неравенство или если равнение (3.1 г) является стронгой мажорантой Штурма для (3.1₁) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при апару непрерывных функций ас помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

а (3.6_j)

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными словиями. Из (3.2) следует, что апри аи всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие.4.2 означают, что

адля В частности, из аследует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим внанчале, что при ав (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через арешение равнения (3.6₂), довлетворяющее начальному словию , так что . Поскольку решение равнения (3.6₂) однозначно определяется начальными условиями, апри . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что апотому . Следовательно, аимеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равеннство, но в некоторой точке из авыполняется либо (3.3₁), либо (3.3₂). Запишем (3.6₂) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из же рассмотреого случая следует, что апри .Поэтому аи при . Так как атолько в нулях функции , то отсюда следует, что апри аи .

Следовательно, если апри некотором t, то , т. е. . Если (3.3₁) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂), и потому (3.3₂) справедливо на неконтором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть равннение (3.1₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁) на интервале J, и пусть а- вещественные решения равнений, (3.3_j). Пусть аобращается в нуль в двух точкаха аинтернвала J. Тогда аимеет по крайней мере один нуль на . В частности, если аи вещественные линейно независимые решения равнения а(3.1₁) (3.1₂). То нули функции аразделяют нули функции аи разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций аи ане имеют на J предельных точек. Кроме того, , ане могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения равннения (3.1₁) единственны, , где а(так что аи ане являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p₁(t)ºp₂(t)>0, q₂(t)³q₁(t).)

Предположим, что u₁(t)>0 при t₁<t₂<t₃ и утверждение неверно: например, u₂(t)>0 при t₁£ t£t₂. множая (p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, где u=u₁, на u₂, (p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, где u=u₂, на u₁, вычитая и интегрируя по [t_1,t₂], получаем:

p(t)(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0, при t₁£t£t₂, где p=p₁=p₂. Это означает, что (u₁/u₂)¢³0; поэтому u₁/u₂>0 при t₁<t£t₂, т.е. получается, что u₁(t₂)>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, u=u₁

(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁=0.

Умножим левую часть равенства на u₂, получим:

u₂(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁u₂=0.

Во втором равнении проделаем соответствующие операции:

(p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, u₂=u

(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₂=0.

Умножим левую часть равенства на u₁, получим:

u₁(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₁u₂=0.

Вычитаем из первого равнения второе, получим:

u₂(p₁u₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(p₂u₂¢)¢-q₂u₁u₂=0, p=p₁=p₂

u₂(pu₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(pu₂¢)¢-q₂u₁u₂=0

(u₂(pu₁¢)¢-u₁(pu₂¢)¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Упростим это равнение,

u₂(p¢u₁¢+pu₁¢¢)-u₁(p¢u₂¢+pu₂¢¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Раскроем скобки, получим:

p¢u₁¢u₂+ pu₁¢¢u₂- p¢u₁u₂¢-pu₁u₂¢¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢-u₁u₂(q₂-q₁)=0

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢=u₁u₂(q₂-q₁)=0.

Проинтегрируем это равнение по [t₁,t], получим:

[p(u₁¢u₂-u₂¢u₁)]¢dt = u₁u₂(q₂-q₁)dt, где

u₁u₂>0, q₂-q₁³0. Значит p(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0.

Т.о. (u₁/u₂)¢³0 Þ u₁/u₂>0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 равнения u¢¢+m/t²u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£ и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m> В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.

Решение: в з1 было рассмотрено пражнение 1.1 с), где показали, что функция u=t^l является решением равнения u¢¢+m/t²u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет равнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=
m.

Если m>1/4, то корни l₁ и l₂ - комплексные, т.е.

u=t^1/2[cos (m-1/4 ln t)c₁+c₂sin(m-1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁=sinu,c₂=cosu,

то получим:

u= t^1/2[sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)].

Если m<1/4, то решение

u=с₁t^1/2+ +c₂t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m=1/4, то решение

u=c₁t^1/2+c₂t^1/2ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим равнение Бесселя:

¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0, (3.10)

где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2/v переводит уравнение (3.10) в равнение:

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4 (3.11)

Проверим истинность этого тверждения u=t^1/2v, следовательно:

=u/t^1/2=ut^-1/2.

Найдём первую производную:

¢=(ut^-1/2) ¢=u¢t^-1/2+u(t^-1/2)¢=u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2.

Теперь вторую производную:

¢¢=(u¢t^1/2) ¢-1/2(ut^-3/2) ¢=u¢¢t^-1/2 +u¢(t^-1/2) ¢-1/2(u¢t^-3/2+u(t^-3/2) ¢)=

=u¢¢t^-1/2 Ц1/2u¢t^-3/2-1/2u¢t^-3/2+3/4uut^-5/2=

=u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2.

Подставляя в равнение (3.10), получим:

¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0.

u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2+1/t(u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2)+(1-m²/t²)ut^-1/2=0

t^-1/2(u¢¢-u¢t^-1+3/4ut^-2+u¢t^-1-1/2ut^-2+u(1-m²/t²))=0

u¢¢+1/4ut^-2+u(1-m²/t²)=0

u¢¢+u-m²u/t²+1/4ut^-2=0

u¢¢+u-(m²u-1/4u)/t²=0

u¢¢+u-((m²-1/4)u)/t²=0

u¢¢+u-au/t²=0

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4.

Покажем, что нули вещественного решения v(t) равнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t₁<t₂<Е, что t_n-t_n-1оp при nо¥.

Так как в равнении

u¢¢+(1-a/t²)u=0, т.е. равнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

m - постоянное число, то при m³1/4 и при t - достаточно большое, то выражение

1-(m²-1/4)/t²о1, т.е. если равнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

сравнить с равнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. t_n-t_n-1оp при nо¥.

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполннены словия первой части теоремы 3.1 и функция аимеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при а[где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при аполагается равным , если (соответственно,)]. Кроме того, при ав (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены словия последней части теоремы 3.1.

Доказательство этого тверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции авытекает последнее неравенство в слендующей цепочке: 3.1 дает неравенство

Использованная литература:

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные равнения: учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.Мир, 1970г.-720 с.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных равнений. Гос.изд. Технико-теор. литер.Ф-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., Советская Энциклопедия, 1978г., т.29. Чачан-Эне-ле-Бен.Ф - 640 с.

4. Г.Вилейтнер. История математики от Декарта до середины 19-го столетия.Ф М., изд. Наука.Ф, 1966г. - 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. Наука.Ф, М., 1972г. - 496 с.