Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Магнитогорский Государственный Технический ниверситет имени Г.И.Носова

Кафедра математики

Реферат

Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными

матрицами коэффициентов

Выполнил: студент группы ЭА-04-2

Романенко Н.А.

Проверил: Королева В.В.

Магнитогорск 2004

Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных равнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое равнение которой связывает три соседних неизвестных:

b_ix_i-1+c_ix_i+d_ix_i=r_i (1)

где i=1,2,...,n; b₁=0, d_n=0. Такие равнения называются трехточечными разностными равнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

c₁ аd₁ 0 а0 а... 0 0 0 x₁ r₁

b₂ аc₂ d₂ 0 а... 0 0а а0 x₂ r₂а

0 аb₃ аc_{3 а}d₃... 0 0 0 x₃ аr₃

.. ..... ... *... =а...

0а 0а 0а 0... b_n-1c_n-1 d_n-1 аx_n-1 r_n-1

0а 0а 0а 0... 0 b_nа аc_n x_{n а}аr_n

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ_i и λ_i (i=1,2,...,n), при которых

x_i= δ_ix_i+1+ λ_i (2)

т.е. трехточечное равнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). меньшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x_i-1= δ_i-1x_i+ λ_i-1 подставим в данное равнение (1):

b_iδ_i-1 x_i+ b_i λ_i-1+ c_ix_i+ d_ix_i+1= r_i

откуда

x_i= -((d_i /( c_i+ b_iδ_i-1)) x_i-1+(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1)).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,Е,n выполняются рекуррентные соотношения

δ_i = - d_i /( c_i+ b_iδ_i-1) , λ _i=(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1) (3)

Легко видеть, что, в силу словия b₁=0, процесс вычисления δ_i , λ_i аможет быть начат со значений

δ₁ = - d₁/ c₁ , λ₁ = r₁/ c₁

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу d_n=0, получим δ_n=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь

x_n = λ_n = (r_n - b_n λ_n-1)/( c_n Ц b_n δ_n-1)

(где λ_n-1, δ_n-1 - же известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x_n-1, x_n-2,Е, x₁ при i=n-1, n-2,...,1 соответственно.

Таким образом, решение равнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ_i , λ_iа по формулам (3) при i=1,2,Е,n (прямая прогонка) и затем неизвестных x_i по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).

Для спешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и стойчивой, если |δ_i|<1 при всех iИ{1,2,...,n }.

Приведем простые достаточные словия корректности и стойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

Теорема

Пусть коэффициенты b_i и d_iа равнения (1) при i=2,3,...,n-1 отличны от нуля и пусть

|c_i|>|b_i|+|d_i| i=1,2,Е,n. (4)

Тогда прогонка (3), (2) корректна и стойчива (т.е. с_i+b_iδ_i-1≠0, |δ_i|<1).

Д о к з т е л ь с т в о. Воспользуемся методом математической индукции для становления обоих нужных неравенств одновременно.

При i=1, в силу (4), имеем:

|c₁|>|d₁|≥0

- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, так же

|δ₁|=|- d₁/ c₁|<1

Предположим, что знаменатель (i-1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ_i-1|<1. Тогда, используя свойства модулей, словия теоремы и индукционные предположения, получаем:

|с_i+b_iδ_i-1|≥|c_i| - |b_iδ_i-1|>|b_i|+|d_i| - |bi|*|δi_-1|= |d_i|+|bi|(1 - | δ_i-1|)> |d_i|>0

с четом этого

|δ_i|=|- d_i/ с_i+b_iδ_i-1|=|δ_i|/| с_i+b_iδ_i-1|<|δ_i|/|δ_i|=1

Следовательно, с_i+b_iδ_i-1 ≠0 и |δ_i|<1 при всех iИ{1,2,...,n }, т.е. имеет место тверждаемая в данных словиях корректность и стойчивость прогонки. Теорема доказана.

Пусть А - матрица коэффициентов данной системы (1), довлетворяющих словиям теоремы, и пусть

δ₁= - d₁/ c₁а, δ_i=|- d_i/ c_i+b_iδ_i-1 (i=2,3,...,n-1), δ_n=0

- прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3),

∆_i= с_i+b_iδ_i-1 (i=2,3,...,n)

- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно тверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко бедится, что имеет место представление A=LU, где

c_1а а0 а0а а0а... 0 0а 0

b_{2 а}а∆₂ 0а 0а... 0 а0 0

L= 0а b₃ а∆₃ 0а... 0а 0 0

0 0 0 0... b_n-1 ∆_n-1 0

0 0 0 0... 0 b_nа а∆_n

1а -δ₁ а0 0а... 0 0 0

0 1а аδ₂а 0а ; ga.src = ('https:' == document.location.protocol ? 'https://ssl' : 'ссылка более недоступна') + '.google-analytics.com/ga.js'; var s = document.getElementsByTagName('script')[0]; s.parentNode.insertBefore(ga, s); })();