Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте
Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
(а в)2 = а2 2ав + в2
(а в)3 = а3 3а2в + 3ав2 в3
2 - в2 = (а + в) (а - в)
3 + в3 =а (а + в) (а2 - ав + в2)
3 - в3 =а (а - в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
м ан = ам + н
м : ан = ам - н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а : в)м = ам : вм
- м = 1 : ам
м : н = нÖ ам
Корни.
нÖав =нÖа нÖв
нÖа мÖв = н мÖам вн
нÖа : в = нÖа : нÖв
(нÖам)х = нÖам х
нÖам = ам/н
мÖнÖа = мнÖа
(нÖа)м = нÖам
рифметическая прогрессия.
1, а2, а3, Е, а n-1, аn
n-1а - аn = d а
d - разность прогрессии
2 = а1+ d
3 = а2 + d = а1 + 2d
n = а1 + d(n-1)
Sn = (а1 + аn) nа = (2а1 + ( n-1) d) n
2а 2
Sn - сумма членов арифметической
прогрессии.
d - разность прогрессии.
d > 0 - прогрессия возрастающая
d < 0 - прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
1, а2, а3, Е, а n-1, аn
n+1 / аnа = q
2 = а1 q
qа - знаменатель прогрессии.
3 = а2 q = а1 q2
n = а1 qа n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аn q - а1 а= а1 (qn а-1 : q - 1)а
q - 1
Сумма членов для бывающей прогрессии (qа <а 1)
Sn = а1 (1 - qn)
а1 - q
Сумма членов бесконечно бывающей
Прогрессии
Sn =а 1
1 - q
Вектора.
= М1М2 ={х2 - х1, у2 - у1, z2 Цz1}
Длина вектора
çа ç=Ö(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2а
Умножение вектора на число
a = d
Скалярное произведение векторов
в = çа ççв çcos j
cos j = х1х2 + у1у2
+ z1z2
Öх12 + у12 +z12 Öх22 +у22 + z22
2 = çа ç2
в = х1х2 + у1у2 + z1z2
Параллельность векторов
ççв, то х1 = у1 = z1
х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов
^ в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u)¢а = с u¢
u ¢ = u¢ v - u v¢
v2
(c)¢ =а 0
(xn )¢ =а n xn-1
(ax)¢а = ax ln a
(ех )¢ = аех
(sin x)¢ = cos x
(cos x)¢ = - sin x
(tg x)¢ = 1
cos2 x
(ctg x)¢ = -а 1
sin2 x
(ln x)¢ = 1
х
(1 / х)¢ = - 1
х2
(Öх)¢ = 1
2 Öх
(х)¢ = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (m n) = logа m + logа n
logа m = logа m - logа n
n
logа m n = n logа m
log n Öm а= 1 logа m
n
logав = logсв
logс а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg xа ctg x = 1
Формулы сложения и вычитания
sin (a b) = sina cosb cosa sinb
cos (a b) = cosa cosb sina sinb
tgа (a b) = (tga tgb)
(1 + tga tgb)
ctg (a b) = ctga ctgb + 1
ctgb ctga
sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a - b)
2 2
sina - sinb = 2 cos (a + b) sin (a - b)
2 2
cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a - b)
2 2
cosa - cosb = - 2 sin (a + b) sin (a - b)
2 2
tga tgb = sin (a b)
cosa cosb
ctga ctgb = sin (b a)
sina sinb
sin2a - sin2b = cos2b - cos2a =
sin (a + b) sin (a - b)
cos2a - sin2b = cos2b - sin2a =
cos (a + b) cos (a - b)
Связь между тригонометрическими функциями
sina = Ö1 - cos2a
sina = tga
Ö1 + tg2a
sina = 1
Ö1 + ctg2a
cosa = Ö1 - sin2a
cosa = 1
Ö1 + tg2a
cosa = ctga
Ö1 + ctg2a
tga = sina
Ö1 - sin2a
tga = Ö1 - cos2a
cosa
tga = 1
ctga
ctga = Ö1 - sin2a
sina
ctga = cosa
Ö1 - cos2a
ctga =а 1
tga
Формулы преобразования произведения
sina sinb = cos (a - b) - cos (a + b)
2
cosa cosb = cos (a - b) + cos (a + b)
2
sina cosb = sin (a + b) + sin (a - b)
2
tga tgb =а tga + tgb
ctga + ctgb
ctga tgb = ctga + tgb
tga + ctgb
ctga ctgb = ctga + ctgb
tga + tgb
Формулы двойных глов
sin2a = 2 sina cosa
sina = 2 sin (a) cos (a)
cos2a = cos2a - sin2a =
= 1 - 2sin2a =
= 2cos2a - 1
tg2a = 2 tga
1 - tg2a
= 2
ctga - tga
tga = 2 tg (a/2)
1 - tg2 (a/2)
ctg2a = ctg2a - 1
2 ctga
= ctga - tga
2
ctga = ctg2 (a/2) - 1
2 ctg (a/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + pn
cos x = a
x = arkcos a + 2pn
tg x = a
x = arktg a + pn
ctg x = a
x = arkctg a + pn
Формулы приведения
sin (p /2 - a) = + cosa
sin (p /2 + a) = + cosa
sin (p - a) = + sina
sin (pа + a) = - sina
sin (3p/2 - a) = - cosa
sin (3p /2 + a) = - cosa
sin (2p - a) = - sina
sin (2pа + a) = + sina
----------------
cos (p/2 - a) = + sina
cos (p/2 + a) = - sina
cos (p - a) = - cosa
cos (p + a) = - cosa
cos (3p/2 - a) = - sina
cos (3p/2 + a) = + sina
cos (2p - a) = + cosa
cos (2p + a) = + cosa
-----------------
tg (p/2 - a) = + ctga
tg (p/2 + a) = - ctga
tg (p - a) = - tga
tg (p + a) = + tga
tg (3p/2 - a) = + ctga
tg (3p/2 + a) = - ctga
tg (2p - a) = -а tga
tg (2p + a) = + tga
-------------
ctg (p/2 - a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (p - a) = - ctga
ctg (p + a) = + ctga
ctg (3p/2 - a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (2p - a) = - ctga
ctg (2p + a) = + ctga
sin (- a) = - sina
cos (- a) = cosa
tg (- a) = - tga
a2 + b2 = c2
a = c sina
a = b tga
b = c cosa
теорема синусов:
a = b = c
sina sinb sing
теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa
S = ½ ab
Площади фигур
S = a b = ½ d1 d2 sina,
d1 и d2 - диагонали
a - гол пересечения диагоналей
Параллелограмм
S = a h = a b sina
S = ½ d1 d2 sina
Трапеция
S = a + bа h = ½ d1 d2 sina
2
Круг
S = l r = p r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = ½ ah = ½ ab sina
Формула Герона:
S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = ½ r P
где- периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2pr
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sina = ah = ½ dD
где d - малая диагональ
D - большая диагональ
Объемы тел:
Параллелепипед
= Sосн h
Куб
= abc = a3
Призма
= Sосн h = S^сеч l
l - грань призмы
Пирамида
= 1/3 Sосн h
Цилиндр
= Sосн h = p r2 h = 1/4p d2 h
r - радиус основания
d - диаметр основания
Конус
= 1/3 Sосн h = 1/3 p r2 h
Шар
= 4/3 p r3
Площади поверхностей
Призма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = S^сеч l
p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = ½ Pосн h
h - высот боковой грани
Пирамида треугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sосн cosj
j - гол наклона грани
Цилиндр
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = 2p rh
Sосн = 2pr (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = prl
Sосн = pr (l + r)
Параллелепипед
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pосн l
Шар
S = 4 pr2
Значения глов
a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p
sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0а
cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1
tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0
ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -
