Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§21. Закон больших чисел

Определение. Пусть - последовательность случайных величин,

Закон больших чисел (ЗБЧ) для последовательности

( или

)

Замечание. ЗБЧ для ЗБЧ для

Определение. Говорят, что для последовательности выполнен усиленный ЗБЧ (УЗБЧ), если

почти наверное.


А для каких последовательностей случайных величин выполняется ЗБЧ?

На этот вопрос отвечают следующие теоремы, в которых даны только лишь достаточные условия.

Теорема.(ЗБЧ Маркова)

- случайные величины.

Существуют и Тогда выполнен ЗБЧ.

Доказательство.



Теорема. (ЗБЧ Чебышева)

- попарно независимые случайные величины. Тогда выполнен ЗБЧ.

Доказательство.



Выполнены условия т. Маркова ЗБЧ.

Следствия. ( из теоремы Чебышева )

1. Если - независимые одинаково распределенные случайные величины, выполнен ЗБЧ.
   
2. - независимые случайные величины.
   

Заметим, что следствие 2) является теоремой о ЗБЧ для испытаний Бернулли.

Теорема. (ЗБЧ Хинчина)

- независимые одинаково распределенные случайные величины,

Тогда выполнен ЗБЧ.

Доказательство этой теоремы будет представлено в нашем курсе позже.


Лекция 12 ( 23.11.10)

§22. Сходимость по вероятности

Пусть на некотором вероятностном пространстве _ .

Напомним:

Сходимость по вероятности:




_{Утверждения:}

1. .
   

. {}

2. _Пусть .
   

+

+ .

Пусть . + + .

{}

+ .

= +

+ .

= (за счет выбора с )




§23. Сходимость почти наверное и усиленный закон больших чисел.

Сходимость с вероятностью 1 или почти наверное

.

Рассмотрим последовательность случайных событий из одного и того же вероятностного пространства.

Определим событие = ( происходит бесконечное число раз). Это означает следующее:

бесконечному числу событий . Тогда

.

Утверждение: Следующие 3 утверждения эквивалентны:

1. почти наверное;
   
2. бесконечное число раз = 0 ;
   
3. .
   

Доказательство провести самим.

Лемма (Бореля - Кантелли)

Пусть - последовательность случайных событий.

1. Если , то = 0;
   
2. Если - независимые случайные события и , то .
   

Следствие: Для независимых событий

сходимость ряда: ;

расходимость ряда: .

Доказательство (леммы).

1. Рассмотрим P(A)=
   

- т.к. это хвост сходящегося ряда .

2. P(A)=
   

{ }

Далее напомним определение усиленного закона больших чисел (УЗБЧ):

УЗБЧ для

и сходимость к 0 в правой части - почти наверное.

Теорема. - независимые случайные величины, существуют и

Тогда для выполнен УЗБЧ.

Доказательство. Пусть ( что не умаляет общности )

_{Покажем, что}

.





_{И число слагаемых ≤ m n}²

Возьмём последовательность такую, что

Рассмотрим событие

Тогда

{если взять (будет убыв. послед., как и надо) }

Что нам обеспечивает сходимость ряда, мы можем сказать, что

Рассмотрим событие бесконечное число раз где



Это означает, что п. н.

Это и есть УЗБЧ, теорема доказана.


Лекция 13 (30.11 10)

Теорема (Неравенство Колмогорова)

- независимые случайные величины, у которых существуют мат. ожидания и дисперсия . Рассмотрим . Тогда для любого справедливо неравенство:




{Это обобщение неравенства Чебышева, так как всегда справедливо неравенство:

}

Замечание: Будем в дальнейшем считать, что . Это не умаляет общности рассуждений, т.к. мы рассматриваем центрированные случайные величины.

Доказательство: рассмотрим случайную величину или , если ; (второй момент).

Рассмотрим следующие величины: _ – индикатор, _ – сумма индикаторов. Она равна либо 0, либо 1 (события при ).

_ ) = _;

_{ } = _ +

+ _ + _{ }.

(Верно, поскольку _ и независимы и , а _ 0)

_ {Если } _ = _ = {причем _ =_ } = {событие } =

= .


Теорема (УЗБЧ):

- независимые случайные величины, , существует дисперсия и пусть . Тогда почти наверное (п.н.).

Док-во. Пусть , п. н.

(*);

Введем ;

(*) (**)

Проверим, верно ли это: (*) (**)?



Следовательно, (*) (**).

(**)(*)?

Рассмотрим (последовательность вложенных друг в друга событий).

В частности, если рассмотреть - последовательность, поэтому,

(*)

Далее,

=

Тогда



(**) выполнено.


Следствие. В ЗБЧ Чебышева п. н. , а это и есть ЗБЧ.