Інтегрування деяких ірраціональних І трансцендентних функцій

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Графічне інтегрування, 64.29kb.
• 2 Підстави класифікації та види функцій сучасної держави розділ формування та реалізація, 902.01kb.
• § 3 Інтегрування раціональних функцій, 73.75kb.
• 1. Хімічна термодинаміка в тнр основні поняття хіміко-технологічного процесу. Стехіометричні, 147.66kb.
• «Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків функцій», 30.16kb.
• Ми на виконання функцій держави, свідомо здійснюють неправомірні діяння, в тому числі, 191.25kb.
• Закону України "Про внесення змін до деяких законів України", 104.73kb.
• Для заказа доставки работы воспользуйтесь поиском на сайте, 787.35kb.
• Інститут комп’ютерних технологій, автоматики І метрології, 31.24kb.
• Верховна Рада Українипостановля є: I. Внести наступні зміни та доповнення до деяких, 34.12kb.

§4. Інтегрування деяких ірраціональних і трансцендентних функцій.

У даному параграфі означення R ( U, V… W) вказує на те, що над величинами U, V…W виконуються тільки раціональні алгебраїчні операції, тобто дії додавання, віднімання, множення і ділення, підведення у цілу степінь.

Наприклад, функцію f(x) = (x+1)(1+_) слід віднести до типу R(x,_), а функцію f(x) = (3^x+1)(3^2x+4) – до типуR(3^x).

Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

1⁰. Інтеграли виду I = _

n - натуральне число, а, b, c, d - дійсні числа, ad≠ bc.

До раціонального підінтегрального виразу приводить підстановка:



Приклад1.

_=_=_+2t-2_+1׀)+ С.

Приклад 2.

+C.

у більш загальному вигляді



Раціоналізується підстановкою _, де k– найменше загальне кратне (НЗК) чисел m, n,….

Приклад 3.



2⁰. Інтеграли виду I=_)dx, (b≠0)

Шляхом виділення під коренем повного квадрату інтеграл зводиться до одного з наступних типів:

а) _; б) _ ; с) _.

Ці інтеграли раціоналізуються за допомогою тригонометричних підстановок відповідно:

а) U=a_; dU=a_dt.

б) =a tgt; dU=_.

с) U=_; dU=_.

Приклад 4.

_dx=

Приклад 5.

sint+C=_)+C.

Зауваження. До цього типу можна віднести інтеграли виду

I=_

Інтеграл обчислюється за допомогою підстановки

x-α=_ dx=-_;

Приклад 6.



3⁰. Універсальна тригонометрична підстановка.

Інтеграли виду _ раціоналізуються підстановкою

t=tg _, яка носить назву універсальною.

Дійсно







тому



Приклад 7.



Зауваження. В інтегралі виду _ до раціоналізації приводить підстановка t=tg x.

У цьому випадку:







Приклад 8.

4⁰. Інтеграли виду раціоналізуються підстановкою . Оскільки ,то .

Приклад 8.

§ 5. Інтеграли, що “не беруться”.

Доведемо, що існують елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такі інтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скінченному вигляді, або “не беруться”.



_;







У цих випадках інтеграли обчислюють наближеними методами.