Лекция n2 Лекция 2

Вид материала

Лекция

Подобный материал:

• «Социальная стратификация и социальная мобильность», 46.19kb.
• Первая лекция. Введение 6 Вторая лекция, 30.95kb.
• Лекция Сионизм в оценке Торы Лекция Государство Израиль испытание на прочность, 2876.59kb.
• Текст лекций н. О. Воскресенская Оглавление Лекция 1: Введение в дисциплину. Предмет, 1185.25kb.
• Собрание 8-511 13. 20 Лекция 2ч режимы работы эл оборудования Пушков ап 8-511 (ррэо), 73.36kb.
• Концепция тренажера уровня установки. Требования к тренажеру (лекция 3, стр. 2-5), 34.9kb.
• Лекция по физической культуре (15. 02.; 22. 02; 01. 03), Лекция по современным технологиям, 31.38kb.
• Тема Лекция, 34.13kb.
• Лекция посвящена определению термина «транскриптом», 219.05kb.
• А. И. Мицкевич Догматика Оглавление Введение Лекция, 2083.65kb.

Лекция 2.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ в контуре. сохранение энергии.
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ КОЛЕБАНИЙ


К
олебательный контур представляет собой катушку индуктивности, с
оединенную с конденсатором (рис. 2.1), и он также является гармоническим осциллятором. Рассмотрим характер протекания колебательных процессов в контуре. Пусть в начальный момент на конденсаторе имеется заряд q, полученный от некоторого источника, отключенного от конденсатора в момент t = 0. Пусть, например, верхняя пластина при этом заряжена положительно. Протекание тока через катушку в направлении против часовой стрелки будет приводить к разряду конденсатора и убыванию напряжения на его обкладках до нулевого значения. В этот момент запасенная изначально энергия электростатического поля в конденсаторе _с = СU² /2 обратится в ноль и полностью перейдет в энергию магнитного поля _М = LJ² /2, локализованную в катушке. Величина тока в ней достигает в этот момент максимального значения и затем начинает убывать. Возникающая при этом э.д.с. самоиндукции порождает ток, который в соответствии с правилом Ленца будет стремиться поддержать убывающий ток. Этот ток, протекая по цепи и убывая по величине, будет перезаряжать конденсатор. По завершении этого процесса ток обратится в нуль, а заряд на конденсаторе снова примет максимальное значение, но при этом верхняя пластина будет теперь заряжена отрицательно. Этот момент соответствует половине периода колебаний, и далее процесс будет развиваться аналогичным образом в обратном направлении. На рис. 2.2 схематически показан этот колебательный процесс. Он вполне аналогичен колебаниям пружинного маятника. Для более наглядной аналогии выбран горизонтальный маятник без трения с положением равновесия (пружина не растянута) точно посредине, когда t = T_О/4 или t = 3T_О/4. В этот момент величина скорости маятника максимальна, а в контуре максимальна величина тока. Полная энергия маятника при этом равна кинетической, а контура - энергии магнитного поля, локализованного в катушке индуктивности. Когда скорость маятника равна нулю, пружина максимально растянута (t = 0 и t = T_О) или сжата (t = T_О/2), и полная энергия маятника равна потенциальной, а контура - энергии электростатического поля, сосредоточенного в конденсаторе. Перераспределение энергии контура отмечено на рис. 2.2 пунктирными квадратами, а аналогии между электрическими и механическими величинами представлены в таблице 1.

От этих качественных рассмотрений перейдем теперь к составлению дифференциального уравнения колебаний в контуре. По закону Кирхгофа напряжение на конденсаторе U_c = q/C равно э.д.с. самоиндукции

(2.1)

где - формула Томсона. Решением (2.1) является гармоническое колебание q(t) = Q cos (_Оt + ), где Q - амплитуда заряда. Вместо колебаний заряда q можно говорить о колебаниях тока в контуре или же напряжения на конденсаторе U_c = q/C = (Q/C) cos (_Оt + ).


Таблица 1 (Электромеханическая аналогия)

Электрические величины		Механические величины
Величина	Ед. измер.	Величина	Ед. измер.
Заряд q	Кл	Смещение, х	м
Ток J =	Кл/с (A)	Скорость, v =	м/с
Изменение тока 1	А/с	Ускорение а =	м/с2
Электростатическая энергия	Дж	Потенциальная энергия	Дж
Энергия магнитного поля	Дж	Кинетическая энергия	Дж

Чтобы определить Q и начальную фазу , нужно, как и в "механическом случае" (см. ЛЕКЦИЮ 1) задать q(0) = q_o - начальный заряд и = J_О - начальный ток, аналогичные начальному смещению и начальной скорости пружинного маятника. На рис. 2.3 показана временнáя диаграмма представленных в таблице параметров контура, которым соответствуют указанные в квадратных скобках механические параметры. (На графиках для простоты мы положили  = 0).

Поскольку для контура , то полная энергия контура

Аналогично для пружинного маятника и



Таким образом, полная энергия в каждой из этих систем сохраняется. Как видно из рис. 2.2, энергии _С  _М и Е_п  Е_к колеблются в противофазе и с удвоенной частотой. Еще более наглядно изменение энергий в процессе колебаний представлено на рис. 2.4. Любая прямая, проведенная вертикально вниз от горизонтальной прямой Е_полн, пересекает параболу Е_п = kx²/2. Получившиеся отрезки между осью Х и прямой Е_полн соответствуют Е_п и Е_к. Нижний график иллюстрирует обычную временнýю зависимость x(t).

Фазовый портрет также является способом наглядного представления колебаний. Рассмотрим колебания пружинного маятника, описываемые дифференциальным уравнением (1.2), и, обозначив в нем , представим (1.2) в виде Поделив это соотношение на предыдущее, получим уравнение Проинтегрируем обе части этого уравнения: Получим

(2.2)

Здесь С* , С - константы (С = 2С*). Отсюда

(2.3)

г
де . Это уравнение семейства эллипсов; разным константам С будут соответствовать разные эллипсы, вложенные один в другой. Если задать конкретные начальные условия, то из всех эллипсов выделится один-единственный. Пусть при t = 0 Из (2.2) следует, что . Поэтому . Точка движется по эллипсу с большой полуосью, равной a = и малой, равной (рис. 2.5). Начальные условия определяют начальное положение точки (верхушка эллипса). Время, за которое точка обходит эллипс, равно периоду колебаний: T_О = 2/_О, а состояние равновесия - устойчивое состояние – является началом координат. Это как бы эллипс, свернутый в точку ("центр").