Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
МАТВЕЕВ Александр Данилович
АНАЛИЗ УПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ СМЕШАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ
01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Красноярск - 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Интституте вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук
Официальные оппоненты: академик, доктор физико-математических наук, профессор Аннин Борис Дмитриевич ФГБУН Институт гидродинамики СО РАН, г. Новосибирск доктор физико-математических наук, профессор Богульский Игорь Олегович ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет доктор технических наук, профессор Деруга Анатолий Петрович ФГБОУ ВПО Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет (г. Новосибирск)
Защита состоится 26 декабря 2012 в 1400 час на заседании диссертационного совета Д 212.249.04 при ФГБОУ ВПО "Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева" по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. имени газеты "Красноярский рабочий", 31.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева"
Автореферат разослан 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета О.В. Гомонова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Расчет на прочность и жесткость конструкций является одним из важнейших расчетов и сводится к решению соответствующих задач теории упругости. Сложные геометрические формы, многообразие условий нагружения и закрепления конструкций и деталей вызывают необходимость использовать универсальные численные методы при решении задач теории упругости. В настоящее время при расчете конструкций активно применяется метод конечных элементов (МКЭ), реализация которого сводится к решению алгебраических уравнений высокого порядка, что создает ряд трудностей. Современные требования к технике предъявляют повышенные требования к точности математических моделей упругих тел (композитов) и вычислительных алгоритмов. Исследованию математических моделей деформирования упругих тел (композитов) посвящены работы Б.Д. Аннина, А.Н. Андреева, В.В. Болотина, И.О. Богульского, Ю.А. Богана, Г.А. Ванина, Ю.М. Волчкова, С.К. Голушко, А.Л. Гольденвейзера, Г.Л. Горынина, А.П. Деруги, В.Д. Кургузова, С.Н. Коробейникова, В.А. Ломакина, А.И. Лурье, А.К. Малмейстер, Ю.В. Немировского, В.В. Новожилова, П.М. Огибалова, Б.Е. Победри, Н.В. Пустового, Ю.Н. Работнова, Г.И. Расторгуева, Б.С. Резникова, В.М.
Садовского, В.И. Самсонова, В.М. Фомина, Л.И. Шкутина, А.П. Янковского и др. В настоящеее время достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета упругих тел (композитов). Однако существующие подходы и методы решения задач механики деформируемого твердого тела по-прежнему остаются достаточно сложными для инженерных расчетов. Особенно необходима разработка новых эффективных численных методов построения решений для трехмерных упругих тел сложной формы и структуры с заданной погрешностью для напряжений.
Поэтому в настоящий момент очень актуальна проблема разработки конечных элементов (КЭ) высокого порядка точности, которые способны учитывать сложную композитную структуру и порождают дискретные модели упругих трехмерных тел малой размерности. При этом погрешность сеточных решений должна быть меньше заданной величины.
Актульной также является проблема построения верхних и нижних оценок для относительных погрешностей сеточных решений (максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей), построенных по МКЭ для заданных разбиений, что важно при анализе прочностных свойств конструкций.
Как известно, конечная цель расчета конструкции на прочность состоит в определении коэффициента запаса прочности. Как показывает опыт, прочностные свойства конструкции зависят от многих факторов, включая вероятностные. Изучение влияния различных факторов на прочность конструкций является в настоящее время важной и актуальной задачей для практики.
Цель работы Цель диссертационной работы заключается в дальнейшем развитии экономичных подходов и алгоритмов реализации МКЭ при решении двухтрехмерных задач теории упругости для однородных тел и композитов.
Построение верхних и нижних оценок для относительных погрешностей перемещений (напряжений) дискретных моделей упругих тел. Исследование влияния ряда факторов (например, характер распределения напряжений в конструкциях, качество изготовления и условия эксплуатации конструкций) на прочностные свойства конструкций. Для решения поставленной цели в работе исследуются следующие проблемы:
1) разработка и численное исследование новых КЭ для трехмерных однородных тел и композитов, которые образуют дискретные модели малой размерности и порождают решения с заданной относительной погрешностью для максимальных перемещений и эквивалентных напряжений дискретных моделей;
2) разработка эффективных подходов и численных алгоритмов анализа напряженного состояния двух- трехмерных композитов сложной структуры и с разными коэффициентами наполнения;
3) разработка новых постановок задач теории упругости, реализация которых по МКЭ более эффективна (т. е. порождает дискретные модели малой размерности), чем реализация МКЭ для существующих задач упругости;
4) разработка новых эффективных и универсальных подходов и численных методов нахождения фиктивных модулей упругости для двухтрехмерных композитов сложной регулярной структуры с разными коэффициентами наполнения;
5) разработка процедуры построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей (функции относительных погрешностей) для максимальных перемещений определенного класса дискретных моделей упругих тел;
6) исследование новых подходов нахождения эквивалентных напряжений, которые учитывают характер распределения напряжений в конструкциях и ряд вероятностных факторов, влияющих на прочностные свойства конструкций.
Научная новизна работы 1) Разработаны многосеточные КЭ (МнКЭ) для анализа упругих однородных тел и композитов.
2) Разработана процедура построения для трехмерных упругих композитов смешанных дискретных моделей малой размерности, которые учитывают любую структуру, сложную форму областей и порождают решения с заданной малой погрешностью.
3) Разработаны смешанные постановки прикладных задач теории упругости, в которых используются двумерная (одномерная) и трехмерная задачи теории упругости. Конечноэлементная реализация этих постановок для трехмерных пластин (балок) порождает смешанные дискретные модели малой размерности. В окрестности крепления пластины (балки) используется мелкое разбиение на КЭ, которое описывает трехмерное напряженное состояние, в остальной части области пластины (балки) крупное разбиение на КЭ, отвечающее теории изгиба пластин (балок).
4) Введены R соотношения, которые выражают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости однородного квадратного конечного элемента первого порядка (плоской задачи упругости) и его модулями упругости.
5) Разработана численная процедура вычисления фиктивных модулей упругости для композитов (испытывающих плоское напряженное состояние) сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1. В данной процедуре структура в представительном объеме композита учитывается по микроподходу, фиктивные модули упругости композита определяются с помощью R соотношений.
6) Предложено совместное применение микро и макроподходов в дискретном анализе композитов регулярной структуры.
7) Предложена численная процедура построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей (функции относительных погрешностей) для максимальных перемещений определенного класса конечноэлементных моделей однородных тел, испытывающих плоское напряженное состояние.
8) Разработана процедура определения коэффициента запаса прочности для упругих конструкций, состоящих из пластичных материалов, с учетом характера распределения напряжений в конструкциях и ряда вероятностных факторов, влияющих на прочность конструкций. Сформулированы условия прочности с учетом оценки для относительных погрешностей максимальных эквивалентных напряжений конструкций.
Научная и практическая значимость Результаты работы могут служить методической основой для расчетов и проектирования конструкций, изготавливаемых из однородных и композиционных пластичных материалов, и найти широкое применение в конструкторских бюро машиностроительного профиля.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью и корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения с использованием апробированного математического аппарата теории упругости, тестированием алгоритмов, исследованиями сходимости решений, сравнением результатов исследований с известными результатами других авторов.
Апробация работы Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- международной конференции ASMA-95 (Новосибирск, 1995), - международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред"(Новосибирск, 1996), - международной конференции "Матемитические модели и методы их исследования"(Красноярск, 2001), - международной конференции, посвященная 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2007), - XXI Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Кемерово, 2009), - Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред" (Владивосток, 2009), - международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2010), - XXII Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Барнаул, 2011), - II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященная 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (Новосибирск, 2011), - Всероссийской конференции "Полярная механика" (Новосибирск, 2012), на семинарах:
- Института гидродинамики СО РАН (Новосибирск), - ИВМ СО РАН (Красноярск), - СибГАУ (Красноярск) Публикации По теме диссертации опубликованы более 40 печатных работ, в том числе 22 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка, включающего 104 наименования. Текст изложен на 270 страницах, включая таблицы и рисунки.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое содержание диссертации по главам, в которых рассматриваются следующие вопросы:
Х МнКЭ, которые учитывают композитную структуру тел и порождают дискретные модели малой размерности;
Х конечноэлементное моделирование упругих тел сложной формы и структуры с применением смешанных дискретных моделей, состоящих из МнКЭ и известных односеточных КЭ;
Х численная процедура построения функций верхних и нижних оценок для относительных погрешностей определенного класса конечноэлементных решений плоской задачи упругости;
Х смешанные постановки прикладных задач теории упругости (задач изгиба пластин, балок);
Х модифицированные постановки задач теории упругости;
Х численная процедура нахождения фиктивных модулей упругости для двумерных композитов сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1;
Х численная процедура нахождения коэффициентов запаса прочности с учетом характера распределения напряжений в конструкциях и вероятностных факторов, влияющих на прочность конструкций;
Х численная процедура совместного применения микро- и макроподходов в конечноэлементном анализе композитов регулярной структуры;
Х условия прочности, учитывающие оценку для погрешностей максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей конструкций.
В диссертационной работе рассматриваются три типа смешанных дискретных моделей упругих тел. Смешанные дискретные модели первого типа применяются при анализе трехмерных композитов сложной формы и структуры, второго типа - при анализе изгибаемых пластин, балок и третьего типа - при анализе двумерных композитов регулярной структуры.
Особенность смешанных дискретных моделей состоит в том, что область тела в окрестности крепления (сложной границы тела) представляется мелким разбиением на КЭ, остальная часть тела - крупным разбиением. Мелкое и крупное разбиения представляются КЭ, которые отличаются сеточной структурой и описывают различные виды напряженного состояния (трехмерной задачи теории упругости, задач изгиба пластин и балок Кирхгофа, кручения стержней).
В диссертационной работе исследуются смешанные дискретные модели, мелкие разбиения которых состоит из однородных известных односеточных КЭ первого порядка формы куба, крупные разбиения состоят из МнКЭ. Известные КЭ первого порядка, представляющие мелкое разбиение в окрестности крепления тел, описывают трехмерное напряженное состояние. Мелкое разбиение учитывает сложную форму границы и композитную структуру тела.
Крупные разбиения смешанных дискретных моделей первого типа представляются МнКЭ, которые описывают трехмерное напряженное состояние тела, второго типа - МнКЭ, которые описывают деформирование изгибаемых пластин, балок по теории Кирхгофа, третьего типа МнКЭ, которые соответствуют макроподходу, т. е. при построении которых используются фиктивные модули упругости композита. В работе используется понятие базовой дискретной модели упругого тела.
Определение. Конечноэлементную модель упругого тела, которая состоит из КЭ первого порядка правильной формы и порождает решение с заданной сколь угодно малой погрешностью для сеточных перемещений (напряжений), будем называть базовой дискретной моделью данного тела.
Достоинства смешанных дискретных моделей состоят в следующем.
Смешанные дискретные модели способны учитывать сложную форму и композитную структуру тел, и порождают решения с заданной сколь угодно малой погрешностью. Размерность смешанных дискретных моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых дискретных моделей. Реализация МКЭ для этих моделей требует значительно меньше оперативной памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых. Системы уравнений МКЭ смешанных дискретных моделей имеют такую малую размерность (по сравнению с размерностями базовых моделей), что погрешность решений, связанную с погрешностью вычислений на современных ЭВМ, можно не учитывать.
Первая глава диссертации посвящена процедурам построения композитных МнКЭ, имеющих сложную структуру. Существуют два типа МнКЭ. Кратко опишем процедуру построения МнКЭ первого типа на примере прямоугольного композитного двухсеточного КЭ (ДвКЭ), который находится в плоском напряженном состоянии, занимает в декартовой системе координат xoy область S0 и армирован жесткими волокнами шириной hx и hy и частицей размерами 2hx 2hy (на рис. 1 волокна и частица заштрихованы). Считаем, что между разномодульными материалами связь идеальна, перемещения и напряжения удовлетворяют закону Гука и сотношениям Коши. Базовое разбиение области S0, соh стоящее из прямоугольных КЭ S первого порядка со сторонами hx и m hy, учитывает композитную структуру и порождает мелкую сетку Sh (ДвКЭ) размерности m m. Функционал потенциальной энергии ДвКЭ строим на базовом (мелком) разбиении и представим в матричной форме M h h h h h We = ( {q}T [K] {q} - {q}T {P }), (1) =h h h где [K], {P } - матрица жесткости и вектор узловых сил элемента S, h h {q} - вектор узловых неизвестных КЭ S.
m n На мелкой сетке Sh определяем крупную сетку SH с шагами Hx, Hy и размерности n n, узлы которой на рис. 1 отмечены точками, m = 9, n n = 5. На сетке крупной SH с помощью полиномов Лагранжа определяем аппроксимирующие функции перемещений uH, vH вида n2 nu v uH = Nk qk, vH = Nk qk, (2) k=1 k=u v n где qk, qk - значения функций uH, vH в узле k сетки SH, k = 1,..., n2, Nk - базисные функции.
j Hx hx Hy j + hy k j y S1 i i + 1 i o x Рис. 1. Прямоугольный двухсеточный КЭ m Для узлов мелкой сетки Sh выполняются равенства uh(zi) = uH(zi), vh(zi) = vH(zi), (3) где uh, vh - аппроксимирующие функции перемещений u, v базового разбиения (построенного на мелкой сетке), uh(zi), vh(zi) и uH(zi), vH(zi), m - значения функций uh, vh и uH, vH в узле zi сетки Sh, i = 1,..., m2.
h Используя равенства (3) и представления (2), вектор {q} узловых h неизвестных КЭ S представим в виде h {q} = [Ah] {qH}, (4) u u v v где {qH} = {q1... qn q1... qn }T вектор неизвестных крупной сетки, [Ah] 2 - прямоугольная матрица.
Подставляя (4) в (1), получим M h h We = ( {qH}T [Ah]T [K] [Ah] {qH} - {qH}T [Ah]T {P }). (5) =Отсюда из условия We/{qH} = 0 получаем M M H h H h [Ke ] = [Ah]T [K] [Ah], {Fe } = [Ah]T {P }, (6) =1 =H H где [Ke ] и {Fe } - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ.
Отметим, что {qH} - вектор узловых неизвестных ДвКЭ.
Процедуру построения МнКЭ второго типа покажем на примере построения композитного треугольного четырехсеточного конечного элемента (ЧтКЭ), испытывающего плоское напряженное состояние ( ABC, рис. 2). Базовое разбиение ЧтКЭ состоит из треугольных КЭ первого порядка, которое учитывает структуру и порождает мелкую треугольную узловую сетку Th (на рис. 2 показана мелкая сетка ЧтКЭ). На базовом разбиении строим треугольный суперэлемент Ts, выражение потенциальной энергии Ws которого запишем в матричной форме Ws({qs}) = {qs}T [Ks] {qs} - {qs}T {PS}, (7) где [Ks], {Ps}, {qs} - матрица жесткости, векторы узловых сил и узловых неизвестных суперэлемента Ts соответственно.
B HL1 LHC xA L Hx1 xРис. 2. Треугольный четырехсеточный КЭ ABC На сторонах AB, BC и AC введем оси Bx1, Bx2, Ax3 и на этих осях определяем крупные одномерные узловые сетки Li, соответственно с постоянными шагами Hi и размерности ni (i = 1, 2, 3). Для рис. 2 имеем n1 = 5, n2 = 4, n3 = 3, узлы крупных сеток отмечены жирными точками.
Сетки Li вложены в мелкую Th. На сетке Li строим аппроксимирующие функции перемещений ui, vi вида u v ui = [Ni] {qi }, vi = [Ni] {qi }, (8) u v где [Ni] - вектор-строка функций формы сетки Li, {qi }, {qi } - векторы узловых значений соответственно функций ui, vi сетки Li, i = 1, 2, 3.
Обозначим через {qt} вектор параметров МКЭ узлов крупных сеток Li и введем вектор u u u v v v {qo} = {{q1 } {q2} {q3 } {q1} {q2} {q3}}T. (9) Между векторами {qt} и {qo} установим связь {qo} = [Bs] {qt}, (10) где [Bs] - прямоугольная булева матрица.
Используя (8), (9), вектор {qs} узловых неизвестных суперэлемента Ts выражаем через вектор {qo}, т. е. получаем матричное равенство {qs} = [As] {qo}, (11) где [As] - прямоугольная матрица.
Подставляя (11) в (7) с учетом (10), и из условия Ws/{qt} = 0 получаем формулы вычисления матрицы жесткости [Kt] и вектора узловых сил {Ft} треугольного ЧтКЭ:
[Kt] = [Bs]T [As]T [Ks] [As] [Bs], {Ft} = [Bs]T [As]T {Ps}, для проектирования которого используются мелкая двумерная сетка Th и три крупных различных одномерных узловых сетки Li (i = 1, 2, 3).
Отметим, что размерность МнКЭ определяется общим числом узлов его крупных сеток, которое многократно меньше общего числа узлов мелкой сетки. Процедуры построения трехмерных композитных МнКЭ первого и второго типов аналогичны вышеописанным.
Расчеты показывают, что решение Uh, построенное для многосеточной модели отличается от решения U0 базовой дискретной модели на величину , т. е. ||U0 - Uh|| = , которая зависит от соотношения шагов мелкой h и крупных сеток Hi, т. е. от соотношений Hi/h (Hx/hx, Hy/hy).
Значит, для заданного > 0 можно выбрать такие соотношения шагов Hi/h (Hx/hx, Hy/hy), что .
Достоинства МнКЭ заключаются в том, что они учитывают структуру композитов, порождают многосеточные дискретные модели, число неизвестных которых на несколько порядков меньше числа неизвестных базовых дискретных моделей и перемещения (напряжения) которых меньше заданной величины.
В конце главы приведены примеры расчетов с применением МнКЭ двумерных и трехмерных композитов и однородного трехмерного тела.
Во второй главе (в первом параграфе) показано многосеточное моделирование двумерных композитов нерегулярной структуры определенного типа. Рассматриваются композиты, состоящие из набора типовых квадратных ДвКЭ одинаковых размеров, которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки. При этом композитные структуры типовых ДвКЭ регулярны и различны. Расчеты показывают, что погрешность сеточных решений есть некоторая функция координат. В связи с этим при анализе решений предлагается использовать средние локальные (относительные) погрешности, которые определяются в подобластях композита относительно малых размеров. Показаны процедуры построения двухсеточных дискретных моделей композитов, в указанных подобластях которых значения средних локальных погрешностей сеточных перемещений (эквивалентных напряжений) меньше заданной величины. Приведен пример расчета и выполнен анализ результатов.
Во втором параграфе главы 2 изложена процедура совместного применения известных односеточных КЭ формы куба и ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда для моделирования для трехмерных композитов сложной формы. Такое моделирование порождает смешанные дискретные модели первого типа (которые состоят из КЭ различной сеточной структуры).
y j h b = 8h i x c = 8h k a = 12h z Рис. 3. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ На рис. 3 узлы крупной сетки ДвКЭ отмечены точками, размеры ДвКЭ представлены через параметр h, h - шаг (мелкой) узловой сетки базового разбиения ДвКЭ. При этом подобласть композита, которая включает границу сложной формы, представляется односеточными однородными КЭ формы куба (которые учитывают композитную структуру), а остальная часть области композита покрывается ДвКЭ. На общей границе данных подобластей используются связующие ДвКЭ. На примере трехмерного композита (рис. 4) сложной формы кратко рассмотрим суть смешанных дискретных моделей первого типа. На рис. 4 размеры композита выражены через параметр h. При x = 0 композит закреплен.
Граница крепления показана мелкой штриховкой. Композит армирован ортогональной регулярной решеткой волокон, сечением h h, волокна расположены вдоль ребер ДвКЭ (рис. 3). Композит нагружен сосредоточенными силами qy, которые приложены в узлах мелкой сетки Vh базового разбиения, которое учитывает структуру и состоит из КЭ Vjh первого порядка формы куба (со стороной h). Левый торец композита имеет три выреза, т. е. имеет границу сложной формы. Область композита разбиваем на две области: V1 - содержит сложную границу, V0 - остальная часть композита.
y 72h 8h 12h qy 12h 5h 8h 14h 24h 4h S 16h x V1 V Veq 16h 8h 5h z Рис. 4. Расчетная схема композита В области V1 используем мелкое (базовое) разбиение, т. е. которое состоит из КЭ Vjh, учитывает сложную форму границы и структуру.
Остальная часть композита (при 12h x 72h) представлена крупным S разбиением и состоит из ДвКЭ Veq (первого типа) и V размерами 12h 8h 8h (рис. 3), e = 1,..., 30, = 1,..., 9, которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки. Мелкое и крупное разбиения связывают ДвКЭ S S V. Связующий ДвКЭ V проектируем на основе ДвКЭ Veq, т. е. ДвКЭ S V имеет такие же размеры, мелкую и крупную сетки, как ДвКЭ Veq.
S Пусть связующий ДвКЭ V по границе S, которая лежит в плоскости yOz, соприкасается с областью V1 (рис. 4). Заметим, что на границе S мелкая узловая сетка разбиения области V1 содержит узлы крупной n S S S сетки VH ДвКЭ V. Потенциальную энергию W ДвКЭ V представим S W = T [Kh ] - T Ph, (12) h h h m S где [Kh ] - матрица жесткости базового разбиения Vh ДвКЭ V ; Ph - m вектор узловых сил и - вектор узловых неизвестных разбиения Vh.
h Вектор имеет структуру h = {, qH, }T, (13) h 1 q m где - вектор значений перемещений тех узлов мелкой сетки Vh S ДвКЭ V, которые лежат на границе S и не совпадают с узлами крупn ной сетки VH; - вектор значений перемещений остальных узлов сетки q m n Vh, не совпадающих с узлами сетки VH, qH - вектор узловых неизвестn n ных крупной сетки VH. Используя аппроксимации крупной сетки VH, между векторами и qH установим связь вида q = [D] qH, (14) q где [D] - прямоугольная матрица.
С помощью (13), (14) построим равенство = [B] q, (15) h h где q = {, qH}T, h [E1] [B] = 0 [E2], 0 [D] S [E1], [E2] - булевы матрицы, q - вектор узловых неизвестных ДвКЭ V, h который граничит с V1.
s Применяя (15) в (12), из условия W/q = 0 получаем формулы h 1 вычисления матрицы жесткости [K] = [B]T [Kh ] [B] и вектора узло S S вых сил F1 = [B]T Ph ДвКЭ V. Итак, ДвКЭ V связывает разбиение области V1 с разбиением области V0, состоящим из ДвКЭ Veq.
Достоинства смешанных дискретных моделей (первого типа) трехмерных композитов заключаются в том, что такие модели учитывают сложную форму и композитную структуру и порождают дискретные модели, размерности которых на несколько порядков меньше размерностей базовых дискретных моделей композитов. При этом решения, отвечающие смешанным дискретным моделям композитов, отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную малую величину. Приведен пример расчета трехмерного композита сложной формы (рис. 4).
В заключительной части данной главы изложена процедура построения дискретных моделей упругих однородных тел, которые порождают решения с погрешностью, которая меньше заданной величины. Краткая суть предлагаемой процедуры заключается в следующем. Двумерное тело разбивается на квадратные конечные элементы (КЭ). Задается закон измельчения данного регулярного разбиения тела, который порождает систему регулярных разбиений {Rn-1} тела, причем, R0 Rn. С поn=мощью решений un-1, un, построенных по МКЭ для моделей Rn-1, Rn {Rn-1}, определяется величина n=||un - un-1|| n =.
||un|| В диссертации доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. Для заданного r > 0 существует такое r > 0, что если n r, (16) то ||u0 - un|| n = r, (17) ||u0|| где u0 - точное решение, n - погрешность решения un.
Реализация данной процедуры сводится к следующему процессу вычислений. Вначале строим модели R0, R1 и для этих моделей находим решения u0, u1 и величину 1 = ||u1 - u0|| / ||u1||. Если 1 > r, то строим модель R2 и аналогично для моделей R1, R2 находим 2. Если 2 > r, то строим модель R3 для R2, R3 и находим 3. Процесс вычислений прекращается тогда, когда величина n (n 1, n фиксировано), отвечающая моделям Rn-1, Rn, удовлетворяет неравенству (16). В этом случае погрешность n решения un дискретной модели Rn удовлетворяет условию (17). Для данного типа краевой задачи упругости, для заданных: r > 0, типа КЭ (представляющие разбиения Rn) и закона измельчения значение r определяем с помощью тестовых расчетов. Приведен пример построения решения по МКЭ плоской задачи упругости с заданной расчетной погрешностью для перемещений (напряжений).
В главе 3 изложены смешанные и модифицированные постановки прикладных задач теории упругости. Как известно, постановки задач изгиба однородных пластин и балок (по Кирхгофу), построенные на основе гипотез, накладывают определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимую погрешность в решениях. Кроме того, существующие технические теории изгиба пластин (балок) не учитывают сложный характер их крепления, как например, пластина (балка) защемлена по толщине (по торцу) частично.
Трехмерные дискретные базовые модели пластин (балок), учитывающие любое их крепление и порождающие решения c заданной малой ошибкой, имеют высокую размерность.
В первом параграфе главы 3 показаны смешанные постановки задач изгиба трехмерных пластин, балок, краткая суть которых состоит в следующем. В окрестности границы крепления пластина (балка) рассматривается как трехмерное упругое тело и для описания деформирования этой части её области используются уравнения трехмерной задачи теории упругости, а для остальной части области - уравнения изгиба пластины типа Рейсснера (балки Кирхгофа) и на общей границе этих областей решения данных двух задачи склеиваются.
В качестве примера кратко изложим смешанную постановку задачи изгиба пластины. Пусть изотропная однородная упругая трехмерная пластина занимает область V = a b ho (ho - толщина пластины), срединная плоскость которой совпадает с плоскостью xoy (рис. 5). Пластина нагружена силами qz и закреплена на границе Sr. Обозначим: Vr - окрестность границы Sr. Обозначим: ur, vr, wr и uo, vo, wo - функции перемещений данной пластины соответственно её областей Vr и Vo, SH общая граница областей Vr и Vo, где Vo = V - Vr. Пусть прямоугольная пластина размерами a b, частично защемлена по толщине (на рис. при x = 0 защемление отмечено штриховкой). При равновесии пластины V на границе SH (x = H) выполняются следующие равенства x = H : ur = uo, vr = vo, wr = wo, (18) r o r o x = H : x = x, xy = xy, r o x = H : xz = xz, (19) r r r o o o где x, xz, xy и x, xz, xy - напряжения областей Vr и Vo, действующие на границе SH. Для области Vr формулируем постановку трехмерной задачи упругости Vr : A(ur) = p, (20) r Sq : B(ur) = qr, Sr : ur = vr = wr = 0, (21) где A - оператор уравнений равновесия; p - вектор объёмных сил области Vr, ur = {ur vr wr}T ; p = 0; B - оператор статических граничных r условий, qr - вектор поверхностных сил на Vr, qr = {0 0 qz}T, Sq - граница области Vr, на которой задано нагружение qr, T - транспонирование, r Sr = SH + Sr + Sq, Sr - граница области Vr. Условия на границе SH показаны ниже.
y So qz b Vr Vo H x z ho a Рис. 5. Смешанная модель пластины Для области Vo, рассматривая её как тонкую пластину So (на рис. граница срединной плоскости пластины So отмечена жирными линиями), формулируем задачу изгиба пластины по теории Рейсснера o qz =, - k2 = 0, (22) D y = 0, b : My = Mxy = Qy = 0, x = a : Mx = Mxy = Qx = 0, (23) где = (x, y) и = (x, y) - искомые функции, D = Eh3/(12(1-2)), o o E - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона; qz = qz(x, y, ho/2) - нагружение пластины, - оператор Лапласа, k2 = 2C/[D(1 - )], C = Gho, G - модуль сдвига; Mx, My и Mxy - изгибающие и крутящий моменты, Qx, Qy - перерезывающие силы, которые выражаются через и . Углы x(x, y), y(x, y) поворота нормали к срединной плоскости пластины So и её прогиб wo(x, y) представляются через функции , D x = - +, y = - -, wo = - . (24) x y y x C По теории Рейсснера перемещения uo, vo, wo во всей области Vo и на границе SH аппроксимируются соотношениями x, y, z SH : uo = z x(x, y), vo = z y(x, y), wo = wo(x, y). (25) В связи с этим функции ur, vr, wr на границе SH (т. е. при x = H) представим в виде 2ur(H, y, ho/2) 2vr(H, y, ho/2) y, z SH : ur = z, vr = z, ho ho wr = wr(H, y, 0). (26) Показано, что с учетом соотношений (24), (25), (26) условия стыковки (18) решений двух задач имеют вид ho y SH : ur(H, y, ho/2) = - +, 2 x y x,y SH ho vr(H, y, ho/2) = - -, 2 y x x,y SH D wr(H, y, 0) = (x, y) - |x,y SH. (27) C Условия (19) в данном случае перерождаются в условия r o r o x = H : Mx = Mx, Mxy = Mxy, x = H : Qr = Qo, (28) x x o o где Mx, Mxy и Qo - изгибающий и крутящий моменты и поперечное x усилие пластины Рейсснера So, представленные через функции и ;
r r Mx, Mxy и Qr выражаем через ur, vr, wr и вычисляем по формулам x ho/2 ho/2 ho/r r r r r Mx = z x dz, Mxy = z xy dz, Qr = xz dz.
x -ho/2 -ho/2 -ho/Итак, смешанная постановка задачи изгиба трехмерной пластины сводится к решению уравнений (20), (22), с выполнением граничных условий (21), (23), условий для перемещений (26) и условий стыковки решений (27), (28).
Смешанная постановка для задачи изгиба трехмерной балки проводится аналогичным образом. Достоинства смешанных постановок задач теории упругости состоят в следующем. Во-первых, они описывают трехмерное напряженное состояние в окрестности границ крепления пластин (балок), что дает возможность учитывать сложный характер их крепления. Во-вторых, путем варьирования некоторых геометрических параметров (для рис. 5 - параметр H), которые содержат смешанные постановки, всегда можно построить смешанную дискретную модель пластины (балки), напряжения которой в окрестности её крепления отличаются от напряжений базовой дискретной модели на заданную величину. Втретьих, реализация МКЭ для смешанных дискретных моделей пластин (балок) требует существенно меньше времени счета и памяти ЭВМ, чем реализация МКЭ для базовых дискретных моделей. Приведены примеры расчетов и выполнен анализ результатов.
В параграфе 3 главы 3 рассматриваются модифицированные трехмерные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок. Модификация известных постановок трехмерных задач упругости сводится к использованию в них дополнительных условий на функции перемещений трехмерных пластин, балок. Рассмотрим в качестве примера задачу изгиба трехмерной изотропной однородной упругой балки, которая занимает область V (рис. 6). Ось балки совпадает с осью Ox, плоскости xOy и xOz являются горизонтальной и вертикальной плоскостями геометрической симметрии балки. Перемещения, деформации и напряжения балки удовлетворяют соотношениям Коши и закону Гука. Балка нагружена поверхностными силами qz, причем функция qz симметрична относительно плоскости zox, т. е. qz(x, y, z)=qz(x, -y, z), объемные силы равны нулю.
Балка закреплена на границах S (на S: u = v = w = 0, где w - прогиб балки; = 1,..., M, где M - число границ крепления балки). На рис.
6 балка имеет две границы крепления (закреплена частично на левом торце и на опоре), границы крепления балки заштрихованы. Модифицированная постановка трехмерной задачи упругости в перемещениях для однородной балки включает следующие уравнения: уравнения равновесия, статические и кинематические граничные условия (т. е. уравнения типа (20), (21)) V : A(u) = 0, Sq : B(u) = qz, S : u = v = w = 0, (29) и дополнительные условия на функции перемещений u, v, w балки вида V01 : u(x, y, 0) = 0, v(x, y, 0) = 0, u(x, y, z) = -u(x, y, -z), v(x, y, z) = -v(x, y, -z), v(x, y, z) = -v(x, -y, z), V02 : w(x, y, z) = w(x, y, 0), v(x, 0, z) = 0, (30) где w - прогиб балки, границы областей V01, V02 определяются с помощью тестовых расчетов.
qz z hx by L b Рис. 6. Расчетная схема однородной балки В третьей главе так же рассматривается модифицированная трехмерная постановка задачи кручения однородных (композитных) упругих балок, имеющих сложное закрепление. Известная техническая теория кручения однородных упругих балок содержит гипотезы, которые накладывают определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимую погрешность в решениях.
Кроме того, существующая техническая теория кручения однородных балок не учитывает сложный характер их крепления.
Достоинства предлагаемых модифицированных постановок состоят в том, что реализация МКЭ для модифицированных постановок задач изгиба пластин и балок требует существенно меньше памяти ЭВМ и времени счета, чем реализация МКЭ для известных трехмерных постановок.
При этом предлагаемые постановки описывают трехмерное напряженное состояние в окрестности границ крепления пластин, балок, что дает возможность учитывать сложные их кинематические граничные условия.
Представлены примеры расчетов пластины и балки, имеющих сложные закрепления, и выполнен анализ результатов.
В главе 4 показано совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе (двумерных) упругих композитов, которые испытывают плоское напряженное состояние. Как известно, при расчете композитов широко используются микро и макроподходы. Конечноэлементный расчет композитов по микроподходу сводится к решению систем уравнений МКЭ высокого порядка. На практике широко применяются композиты, которые с точки зрения макроподхода можно рассматривать как (фиктивные) изотропные однородные тела с некоторыми (фиктивными) модулями упругости. Однако, определение фиктивных модулей упругости для композитов сложной структуры, является достаточно трудной задачей. Для её решения применяются приближенные методы, в которых используются гипотезы, что порождает неустранимую погрешность в решениях.
В первом и во втором параграфах главы 4 изложена процедура нахождения фиктивных модулей упругости для композитов сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1, которые с точки зрения макроподхода считают изотропными однородными телами. В предлагаемой процедуре в качестве представительного объема композита используется представительный квадратный конечный элемент (ПКЭ) первого порядка, состоящий из конечного числа регулярных ячеек композита. В основе процедуры лежат R соотношения, которые однозначно предсталяют фиктивные модули упругости композита через коэффициенты матрицы жесткости ПКЭ. Данная процедура сводится к построению R соотношений (с помощью функций формы ПКЭ) и матрицы жесткости ПКЭ. В данной процедуре структура композита учитывается по микроподходу При этом предполагается, что между компонентами композита связи идеальны, а для полей перемещений, деформаций и напряжений никакие гипотезы (ограничения) не используются. Данная процедура имеет единую матричную формулировку для композитов различной структуры и поэтому удобно реализуется на ЭВМ на основе алгоритмов МКЭ.
В основе процедуры лежат следующие положения.
Положение 4.1. Компоненты композита есть изотропные однородные упругие тела, перемещения, деформации и напряжения которых удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши; связи между компонентами композита идеальны.
Положение 4.2. В качестве представительного объема композита используем квадратный представительный КЭ (ПКЭ) первого порядка, состоящий из конечного числа квадратных регулярных ячеек. При этом считаем, что ПКЭ есть фиктивный упругий однородный квадратный КЭ первого порядка, который испытывает плоское напряженное состояние.
Кратко изложим процедуру построения R соотношений. Однородный (фиктивный) квадратный КЭ S1 первого порядка со стороной a (испытывающий плоское напряженное состояние), на рис. 7 узлы КЭ S1 отмечены точками, в котором все узловые неизвестные равны нулю, кроме p p p неизвестных 1,..., 4 узлов A, B, обозначим через S0. Введем закон нуp p p p p мерации неизвестных для КЭ S0: 1 = u1, 2 = u2, 3 = v1, 4 = v2, где u1, v1 (u2, v2) - есть перемещения узла A (узла B) соответственно в направлении осей Ox, Oy (рис. 7).
y y a b b Qb, Si b i a a p p x x p p O A B B O A a p Рис. 7. Однородный КЭ S0 Рис. 8. Квадратный ПКЭ Рассмотрим процедуру построения R соотношений для однородного p КЭ S0. Согласно МКЭ аппроксимирующие функции up, vp перемещений p u, v КЭ S0 представим в виде p up = [N0 ] qp, (31) 0 p p p p где up = {up, vp}T ; qp = {1, 2, 3, 4}T - вектор узловых неизвестных 0 p p КЭ S0, [N0 ] - матрица функций формы имеет структуру p p N1 N2 0 p [N0 ] =, (32) p p 0 0 N1 Np p p здесь N1, N2 - функции формы КЭ S0, построенные соответственно для узлов A, B (рис. 7).
В диссертации показано, что коэффициенты верхней треугольной чаp сти матрицы жесткости (размерности 4 4) КЭ S0, найденные по алгоритмам МКЭ с применением (31), (32), представляются в виде p p p p k = C11A + C13(D + D) + C33B, p p p p k+2,+2 = C22B + C23(D + D) + C33A, = 1, 2, = ,..., p p p p p k,+2 = C12D + C13A + C23B + C33D, , = 1, 2; (33) p p где kij - коэффициенты матрицы жесткости КЭ S0; i, j = 1,..., 4;
p p p Cij - модули упругости КЭ S0; Cij = const; i, j = 1,..., 3, p p p p N N N N A = dS; B = dS;
S0 Sx x y y p p N N D = dS, (34) Sx y p здесь S0 - область КЭ S0; , = 1, 2.
Используя (33), (34), построим следующие равенства Kp = [H1] Cp, Kp = [H2] Cp, Kp = [H3] Cp, (35) 1 1 2 2 3 p p p p p p p p p p где Kp = {k11, k12, k22}T ; Kp = {k33, k34, k44}T ; Kp = {k13, k14, k23, k24}T ;
1 2 p p p p p p p p p p Cp = {C11, C13, C33}T ; Cp = {C22, C23, C33}T ; Cp = {C12, C13, C23, C33}T ;
1 2 [H1], [H2] - матрицы размерности 33; [H3] - матрица размерности 44.
Элементы матриц [H1], [H2], [H3] вычисляем с помощью формул (34).
Можно показать, что для любого a > 0: det[H1] = 0, det[H2] = 0, h3 = 0 (h3 - элементы матрицы [H3]; i, j = 1,..., 4). Тогда из (35) следует 11 ij Cp = [H1]-1 Kp; Cp = [H2]-1 Kp, 1 1 2 p p p p p C12 = (k13 - C13 h3 - C23 h3 - C33 h3 )/h3, (36) 12 13 14 где [H1]-1, [H2]-1 - матрицы, обратные матрицам [H1], [H2].
p Равенства (36) будем называть R соотношениями КЭ S0, которые однозначно представляют модули упругости квадратного однородного КЭ p S0 первого порядка (плоской задачи упругости) через соответствующие p коэффициенты матрицы жесткости данного КЭ S0.
Рассмотрим процедуру построения матрицы жесткости для квадратного ПКЭ первого порядка со стороной a (для рис. 8 i = 1,..., 4), который представлен квадратными областями Qb со стороной b. Узлы крупi ной сетки SH ПКЭ отмечены кружками. Пусть все узловые неизвестные p p крупной сетки SH ПКЭ равны нулю, кроме неизвестных (1,...,4) узлов A, B (рис. 8). Область Qb представляем базовым разбиением, которое i состоит из квадратных КЭ Sh первого порядка. Разбиения областей Qb i учитывают композитную структуру и порождают мелкую квадратную сетку Sh. На разбиении области Qb строим квадратный суперэлемент i b Si (со стороной b). Функционал F полной потенциальной энергии для базового разбиения ПКЭ запишем в виде Nb F = [ 0, 5 (qi)T [Ki] qi - (qi)T Ri ], (37) i=где [Ki], qi, Ri - матрица жесткости, векторы узловых неизвестных и сил b b соответственно суперэлемента Si ; Nb - общее число суперэлементов Si ;
для рис. 8 Nb = 4.
Используя представления (31), выражаем вектор qi неизвестных суb перэлементов Si через вектор qp неизвестных крупной сетки SH. В результате построим равенство qi = [Ai] qp, (38) где [Ai] - прямоугольная матрица.
Подставляя (38) в (37), из условия F/qp = 0 получим Nb p [Kr ] = [Ai]T [Ki] [Ai], i=p где [Kr ] - матрица жесткости ПКЭ.
p Считаем, что матрица жесткости [Kr ] ПКЭ (см. положение 4.2) равна p p матрице жесткости [K0] фиктивного однородного КЭ S0, т. е. пусть p p [K0] = [Kr ]. (39) p Согласно (39), в представлениях (36) вместо коэффициентов kij матриp p цы жесткости [K0] однородного КЭ S0 используя соответствующие коr p эффициенты kij матрицы жесткости [Kr ] ПКЭ, определяем фиктивные p модули упругости Sij ПКЭ по формулам Cp = [H1]-1 Kr; Cp = [H2]-1 Kr, 1 1 2 p p p p r C12 = (k13 - C13 h3 - C23 h3 - C33 h3 )/h3, (40) 12 13 14 r r r r r r где Kr = {k11, k12, k22}T ; Kr = {k33, k34, k44}T.
1 Как известно, модули упругости Cij (i, j = 1, 2, 3) изотропных однородных тел, испытывающих плоское напряженное состояние, удовлетворяют условиям C32 = C23 = C13 = C31 = 0, C21 = C12, C11 = C22, C33 = 0. (41) Расчеты показывают, что существует такое a0 > 0, что при a a0 имеp p ем |Cij - Cij| 0, где 0 - малая величина; Cij - фиктивные модули упругости, отвечающие квадратному ПКЭ со стороной a, Cij - фиктивные модули упругости, которые определены для квадратного ПКЭ со стороной a0 (a > a0). Пусть 0 0 0 0 0 0 0 0 |C11 - C22|, |C12 - C21| ; |C23|, |C32|, |C13|, |C31| , C33 = 0, (42) где - малая величина ( < 1).
Тогда можно считать, что квадратный ПКЭ со стороной a (a a0) в силу (41), (42) имеет такую же структуру матрицы модулей упругости как и изотропное однородное тело, которое испытывает плоское напряженное состояние. В этом случае для композита фиктивные модули p p p упругости Cij (Cij = Cji) определяем по формулам p p p 0 0 C11 = C22 = (C11 + C22)/2, C33 = C33, p p p C12 = C12, C13 = C23 = 0. (43) Достоинства предлагаемой процедуры заключаются в том, что она имеет конечноэлементную основу, учитывает (по микроподходу) с помощью базового разбиения структуру представительного объема композита. Расчеты показывают, что данная процедура эффективна при определении фиктивных модулей упругости для композитов сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1.
Суть совместного применения микро и макроподходов заключается в следующем. В области крепления композита используем (мелкое) разбиение, построенное по микроподходу. Остальную область композита представляем (крупным) разбиением, построенным по макроподходу. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель композита, размерность которой на несколько порядков меньше размерности базовой дискретной модели композита. При этом перемещения смешанной дискретной модели отличаются от перемещений базовой модели, на заданную малую величину.
Приведены примеры расчетов двумерных композитов регулярной структуры и проведен анализ результатов.
Глава 5 посвящена анализу прочности конструкций с учетом характера распределения напряжений. Предложены условия прочности с учетом оценки для погрешностей максимальных эквивалентных напряжений. Как известно, коэффициенты запаса прочности конструкций и деталей машин определенного класса удовлетворяют условиям прочности вида na n0 nb, (44) где n0 - коэффициент запаса прочности конструкции, отвечающий точному решению задачи теории упругости, na 1; значения na, nb заданы, величина n = nb - na мала, n = 0, 05 0, 2.
Условия прочности (44) характерны, например, для деталей авиационной и космической техники. В настоящее время при расчете таких конструкций используют условия na nr nb, (45) где nr - коэффициент запаса прочности конструкции, который отвечает приближенному решению задачи теории упругости.
Отметим, что поскольку nr = n0, то из выполнения для коэффициента запаса nr условий (45) при малых n не всегда следует выполнение условий (44) для коэффициента запаса n0. В диссертации построены условия прочности с учетом оценки p для относительной погрешности максимального эквивалентного напряжения дискретной модели конструкции, т. е. имеем p, где 0 < p < 1. Предлагаемые в диссертации условия прочности для коэффициента запаса nr (отвечающего приближенному решению задачи упругости) имеют вид na nb nr , (46) 1 - p 1 + p где p - оценка для погрешности максимального эквивалентного напряжения.
В диссертации доказано следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть n p Cb =, n = nb - na. (47) 2nb Тогда из выполнения условий (46) для коэффициента запаса nr следует выполнение условий прочности (44) для коэффициента запаса n0.
Ниже для ряда значений na, nb, которые используют при расчете определенного класса несущих и второстепенных элементов конструкций среднего и тяжелого машиностроения, даны значения Cb (в процентах).
na nb n Cb(%) 1,15 1,2 0,05 2,1,1 1,2 0,1 4,2,3 2,5 0,2 4,2,5 2,6 0,1 1,Итак, для выполнения условий прочности (44) при малых значениях n возникает необходимость строить численные решения задач теории упругости с заданной малой относительной погрешностью для максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей конструкций ( 5%).
Представлены вероятностный, энергетический и комплексный методы определения коэффициентов запаса прочности конструкций, состоящих из пластичных материалов. В настоящее время коэффициенты запаса прочности конструкций определяются по формулам, в которых максимальные эквивалентные напряжения конструкций вычисляются без учета характера распределения напряжений, т. е. учитывается напряженное состояние конструкции лишь только в одной точке ее области. Опыт показывает, что данный подход определения коэффициентов запаса прочности конструкций не всегда адекватно оценивает прочность конструкций. Например, при наличии в конструкции несколько ярко выраженных концентраторов напряжений, максимальные эквивалентные напряжения которых приближенно равны. Вероятностный и энергетический методы приближенно учитывают характер распределения эквивалентных напряжений в конструкцях. В основе вероятностного метода лежат следующие положения.
Положение 5.1. Конструкция состоит из пластичного материала. Будем считать, что конструкция разрушилась, если возникло пластическое состояние хотя бы в одной точке ее области.
Положение 5.2. Cчитаем, что коэффициент n запаса прочности и вероятность p разрушения конструкции связаны функциональной зависимостью вида n = f(p), (48) где f(p) - однозначная непрерывная функция, причем f(p) 0, 0 < p 1, f(1) = 0.
Функция f(p) отражает: физические свойства, форму, размеры, условия крепления, характер нагружения конструкций и вероятностные факторы: качество изготовления, условия эксплуатации конструкции.
Положение 5.3. Область V конструкции представляем подобластями i i i V, i = 1,..., N, где N - общее число областей V. Область V состоит i из КЭ Ve и область V таких размеров, что значения эквивалентных e i напряжений a и V меняются незначительно.
Положение 5.4. Считаем, что разрушение конструкции (при задан1 N ном нагружении) может произойти в любой из областей: V,...,V.
i Пусть pi - вероятность разрушения области V (i = 1,..., N). Исполь1 N зуя p1,..., pN и учитывая, что разрушения в областях V,..., V являются независимыми событиями, вероятность pr разрушения конструкции хотя 1 N бы в одной из областей V,..., V находим по формуле N pr = 1 - (1 - pi). (49) i=В силу положения 5.2, вероятность pr разрушения конструкции и ее коэффициент nr запаса прочности связаны соотношением (48), т. е.
nr = f(pr). (50) Функцию f приближенно представляем линейной вида n = (1 - p), где коэффициент = const определяется с помощью экспериментов.
Согласно (50) коэффициент nr находим по формуле nr = (1 - pr). (51) 1 N i В работе показано, что nr = nr(a,..., a ), где a - максимальное эквиваi лентное напряжение области V конструкции (i = 1,..., N), т. е. коэффициент запаса nr конструкции приближенно отражает характер распределения эквивалентных напряжений. Вероятностный метод целесообразно применять при анализе конструкции, имеющей несколько ярко выраженных концентраторов напряжений, максимальные эквивалентные напряжения которых приближенно равны.
Энергетический метод реализуется в конечноэлементной форме. В данном методе используется функция, выражающая уровень энергии опасного состояния конструкции через удельные потенциальные энергии формоизменени всех конечных элементов дискретной модели (конструкции). Эта функция строится с учетом распределения напряжений в конструкции. Энергетический метод эффективен при анализе конструкции, имеющей один концентратор напряжений. Разработан комплексный метод анализа прочности конструкций, в котором используются положения энергетического и вероятностного методов. Приведен пример расчета.
В главе 6 предложена процедура построения функций верхних и нижних оценок для погрешностей определенного класса конечноэлементных решений плоской задачи теории упругости. При анализе конструкций на прочность важно знать точное значение и знак погрешности приближенного решения в точках области, в которых возникают большие перемещения (напряжения). В настоящее время в расчетах применяют оценки погрешностей приближенных решений. Известно, что для погрешности h приближенного решения uh эллиптической краевой задачи, построенного по МКЭ, можно построить верхнюю оценку C0 в энергетической норме вида h = ||u0 - uh|| < C0 = C1hn, (52) где u0 - точное решение, h - шаг регулярной узловой сетки дискретной задачи, n 1, C1 - константа, которая не зависит от h.
Оценки (52) играют важную роль в теоретических исследованиях численных методов. Однако, применение этих оценок в инженерных расчетах связано с трудностями, которые состоят в следующем.
1. В большинстве случаев значение C1 зависит от точного решения uили ее частных производных. Поскольку точное решение u0 неизвестно, то не представляется возможным определить значение C1.
h 2. Расчеты показывают, что истинная погрешность 0 решения uh явh ляется функцией координат, т. е. 0 = f(x, y, z)= u0(x, y, z) - uh(x, y, z).
Поскольку C0 = const для всей области конструкции, то для погрешноh сти 0 имеем оценку h |0 | < C0. (53) В расчетах используем погрешность h, которая равна C0, т. е.
h = C0. (54) В силу (53), (54) погрешность h приближенно представляет (истинную) h погрешность 0 на всей области конструкции. Это порождает трудности при расчете конструкций, коэффициент запаса прочности n0 которых должен лежат в строго заданных пределах (44), где n - мало.
3. Важно отметить, что в теории МКЭ оценки построены для абсолютных погрешностей сеточных решений, а в инженерных расчетах в основном применяют относительные погрешности.
В данной главе показана численная процедура построения двухсторонних оценок погрешностей для определенного класса приближенных решений плоской задачи упругости, построенных по МКЭ для изотропных однородных тел, которые имеют кусочно равномерные нагружения.
Реализация процедуры сводится к следующему. Выбираем конечное множество двумерных изотропных однородных тел Sk (k = 1,..., m), которые испытывают плоское напряженное состояние, имеют различные размеры, закрепления и кусочно равномерные нагружения, и для которых известны (либо построены) точные решения. При этом среди выбранных тел есть тело, которое имеет по границе (в области) постоянную нагрузку и есть тело, которое имеет равномерную нагрузку, близкую к сосредоточенной силе. Для тела Sk, используя заданный закон измельчения, строk им последовательность регулярных разбиений {Rn}N, которые состоят n=из квадратных КЭ первого порядка. Для множества тел Sk заданный (i -ый) закон измельчения имеет вид hk hk =, n = 0, 1, 2, 3,..., N. (55) n i(n + 1) k где hk - шаг узловой сетки дискретной модели разбиения Rn; i = 1, 2, 3,...;
n значения hk, i - заданы.
k k k Для каждого разбиения Rn {Rn}N по МКЭ находим решение wn n=плоской задачи упругости. Пусть uk есть максимальное перемещение теn k ла Sk, отвечающее сеточному решению wn. В декартовой системе координат O для каждого тела Sk отмечаем N точек с координатами = k, n k = n, где |u0 - uk| |uk - uk | k k n n n-n =, k =, n = 1,..., N, (56) n |u0| |uk| k n k n - относительная погрешность для перемещения uk тела Sk, u0 - точное n k значение максимального перемещения тела Sk (которое известно); uk, n uk максимальные перемещения тела Sk, отвечающие его разбиениям n-k k Rn, Rn-1; k = 1,..., m.
В результате на плоскости O для тел S1,...,Sm получаем множество точек Gi (mN точек), которое отвечает заданному i-ому закону измельчения (59). Считаем, что кривая между прямыми = 0, = 1 (0 > 0 > 0; 0,0 - заданы), огибающая множество точек Gi сверху, яв2 1 1 ляется графиком функции fi(), которая определяет верхние оценки погрешностей значений максимальных перемещений дискретных моделей (двумерных упругих тел), построенных по заданному (i - ому) закону измельчения (55). Кривая (между прямыми = 0, = 0), огибающая 1 множество точек Gi снизу, является графиком функции fi(), значения которой есть нижние оценки (рис. 9).
(%) fi fi(n) Область множества (n, n) n точек Gi fi fi(n) n 0 0 (%) 1 Рис. 9. Верхняя f и нижняя f границы множества Gi Таким образом строим графики функций верхних и нижних оценок.
Следует отметить, что чем больше используется тел Sk, тем точнее определяются графики функций fi, fi. В диссертации показано, что для малых значений (т. е. для мелких регулярных разбиений) функции fi(), fi() можно представить в виде fi() = , fi() = C0, где C0 = const, причем, величина C0 не зависит от n, k.
В расчетах графики функции fi, fi используем следующим образом.
Пусть для двумерного тела S (по заданному i-ому закону измельчения (55)) построена последовательность регулярных разбиений {Rn}. Используя разбиения {Rn}, для данного тела S, имеющего заданное (кусочно равномерное) нагружение, с помощью МКЭ находим последовательность {wn} сеточных решений. Пусть un - максимальное перемещение тела S, отвечающее сеточному решению wn {wn}. Для перемещения un определяем параметр n по формуле n = |un - un-1| / |un|. Пусть 0 n 0. Если n > 0 (n < 0), то используем более мелкое (круп1 2 2 ное) разбиение. На плоскости O из точки с координатами (n, 0) восстанавливаем перпендикуляр к оси O и графически определяем точки пересечения данного перпендикуляра с графиками функций fi, fi, т. е.
графически определяем значения функций fi(n), fi(n), которые определяют соответственно верхнюю и нижнюю оценки для погрешности n (рис. 9). Для погрешности n перемещения un оценки имеют вид fi(n) n fi(n).
Расчеты показывают, что увеличение числа i в формуле (55) приводит к уменьшению диапазона i() = |fi() - fi()|. Пусть для [0, 0] i() малая величина. Тогда функцию относительных погрешно1 стей fp() для сеточных решений un на отрезке [0, 0] можно прибли1 женно представить в виде fp() = (fi() + fi())/2.
Приведен пример расчета.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
1. Разработаны многосеточные КЭ (МнКЭ) для анализа однородных упругих тел и композитов. МнКЭ порождают многосеточные дискретные модели малой размерности, которые способны учитывать сложную композитную структуру. МнКЭ особенно эффективны при анализе трехмерных однородных тел и композитов регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1.
2. Разработана процедура построения для трехмерных однородных тел и композитов смешанных дискретных моделей, которые способны учитывать сложную композитную структуру, сложную форму областей и порождают решения с заданной малой погрешностью. Суть смешанных дискретных моделей состоит в том, что в окрестности крепления композита (сложной формы границы) используется мелкое разбиение, состоящее из известных односеточных КЭ, остальная часть композита представляется крупным разбиением, которое состоит из МнКЭ. Размерность смешанных дискретных моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых и поэтому реализация МКЭ для этих моделей требует значительно меньше оперативной памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей.
3. Разработаны смешанные постановки прикладных задач теории упругости. Суть этих постановок состоит в том, что в окрестности крепления пластины (балки) используются уравнения трехмерной задачи упругости, а в остальной области - уравнения задачи изгиба пластины (балки). Конечноэлементные реализации этих постановок порождают для трехмерных пластин (балок) смешанные дискретные модели малой размерности, которые описывают трехмерное напряженное состояние в окрестностях крепления пластин (балок).
4. Разработана численная процедура определения фиктивных модулей упругости для композитов сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1, в которой структура в представительном объеме композита учитывается по микроподходу. Данная процедура имеет единую матричную формулировку для композитов различной структуры и удобно реализуется на ЭВМ на основе алгоритмов МКЭ.
5. Разработано совместное применение микро и макроподходов в дискретном анализе упругих композитов регулярной структуры с разными коэффициентами наполнения. При таком подходе в окрестности крепления композита используется мелкое разбиение на КЭ, построенное по микроподходу, вдали от границы крепления композита - крупное разбиение на КЭ, отвечающее макроподходу. Конечноэлементная реализация данного подхода порождает смешанные дискретные модели композитов малой размерности, которые описывают трехмерное напряженное состояние в окрестностях крепления композитов, учитывают сложную форму областей и структуру.
6. Предложена численная процедура построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей (функции относительных погрешностей) для максимальных перемещений определенного класса конечноэлементных моделей двумерных упругих тел. Данная процедура реализуется на основе алгоритмов МКЭ и сводится к построению графиков функций верхних и нижних оценок (с заданным диапазоном).
7. Разработаны модифицированные постановки прикладных задач теории упругости (задачи изгиба пластин, балок, кручения стержней).
Конечноэлементная реализация модифицированных постановок для упругих трехмерных пластин, балок порождает дискретные модели малой размерности, которые описывают трехмерное напряженное состояние в окрестностях крепления пластин, балок.
8. Разработана численная процедура (на основе алгоритмов МКЭ) определения коэффициента запаса прочности для упругих конструкций, состоящих из пластичных материалов, с учетом характера распределения напряжений в конструкциях и вероятностных факторов, влияющих на прочность конструкций. Сформулированы условия прочности с учетом оценки для погрешностей максимальных эквивалентных напряжений конструкций (построенных по МКЭ).
9. Построены R соотношения, которые выражают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости однородного квадратного конечного элемента первого порядка (плоской задачи упругости) и его модулями упругости. Данные соотношения лежат в основе процедуры определения фиктивных модулей упругости двумерных композитов сложной регулярной структуры с коэффициентом наполнения k, где 0 < k < 1.
Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Матвеев А.Д. Модифицированные трехмерные постановки задач изгиба однородных пластин и балок со сложным закреплением / ПМТФ.
2003. Т. 44, №5. C. 144-150.
2. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / ПМТФ 2004, Т. 44, №3, C. 161-171.
3. Матвеев А.Д. Смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок / ПМТФ 2004, Т. 45, №4, C. 160-167.
4. Матвеев А.Д. Дополнительные условия для перемещений изгибаемых композитных пластин и балок / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2005, №1, C. 211-216.
5. Матвеев А.Д. Модифицированная трехмерная постановка задачи кручения однородных балок / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2005, №1, C. 217-223.
6. Матвеев А.Д. Дополнительные условия на перемещения в задаче кручения композитных балок / Вестник КрасГАУ, 2005, №7, C. 175-179.
7. Матвеев А.Д. Совместное применение одно- и двухсеточного моделирования для трехмерных упругих композитов сложной формы / Вестник КрасГАУ, 2005, №9, C. 52-59.
8. Матвеев А.Д. Двухсеточное моделирование локально армированных трехмерных упругих тел / Вестник КрасГАУ, 2006, №10, C. 192-198.
9. Матвеев А.Д. Конечные элементы с законтурными узлами в анализе двумерных композитов сложной регулярной структуры / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2006, №1, C. 202-207.
10. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости композитов сложной структуры с отверстиями / Вестник КрасГАУ, 2006, №12, C. 212-222.
11. Матвеев А.Д. Дискретное моделирование однородных тел с заданной расчетной погрешностью для напряжений / Вестник КГУ, Физикоматематические науки, 2006, №7, C. 129-134.
12. Матвеев А.Д. Анализ прочности конструкций с учетом оценки погрешности для напряжений / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2006, N 9, C. 154-156.
13. Матвеев А.Д. Определение коэффициентов запаса прочности конструкций с учетом распределения напряжений / Вестник КрасГАУ, 2007, №3, C. 159-168.
14. Матвеев А.Д. Дискретный анализ двумерных тел с заданной оценкой для относительных погрешностей и построение двусторонних оценок для погрешностей сеточных решений. / Вестник КрасГАУ, 2008, N 4, C. 20-27.
15. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жесткостных соотношений однородных конечных элементов. / Вестник КрасГАУ, 2008, N 5, C. 34-47.
16. Матвеев А.Д. Почти эквивалентное дискретное моделирование трехмерных пористых тел сложной формы на основе смешанных моделей / Вестник КрасГАУ, 2009, N 3, C. 34-42.
17. Матвеев А.Д. Процедура построения двусторонних оценок погрешностей конечноэлементных решений плоской задачи упругости / Вестник КрасГАУ, 2009, N 4, C. 21-29.
18. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей / Вестник КрасГАУ, 2010, N 12, C. 12-23.
19. Матвеев А.Д. Построение погрешностей для перемещений дискретных моделей упругих тел с применением функций верхних и нижних оценок / Вестник КрасГАУ, 2011, N 3, C. 14-26.
21. Матвеев А.Д. Анализ прочности с учетом характера распределения эквивалентных напряжений в конструкциях / Вестник Алтайского государственного университета. 2012. 1/1. С. 81-85.
22. Матвеев А.Д. Построение погрешностей для перемещений дискретных моделей двумерных композитов регулярной структуры с применением функций верхних и нижних оценок / Вестник Алтайского государственного университета. 2012. 1/1. С. 86-91.
Публикации в других печатных изданиях 23. Матвеев А.Д. Построение экономичных конечноэлементных моделей упругих армированных пластин с учетом их структуры / Труды семинара "Математические методы в механике сплошных сред", ИВМ СО РАН, Красноярск, 1997. с. 149-168.
24. Матвеев А.Д. Взаимнооднозначная связь между упругими и жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". 16-21 августа 2001г. Красноярск, Россия. Т. 2, С. 90-93.
25. Матвеев А.Д. Cовместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе двумерных композитов с малым коэффициентом наполнения / Труды XXI Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории и пластичности упругости". 30 июня - 2 июля, 2009г. Кемерово, Россия, Новосибирск, Параллель, 2009, С. 158-167.
26. Матвеев А.Д. Уравнения связей модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / Деп. в ВИНИТИ №3195 - B00. 2000. 19 с.
27. Матвеев А.Д. Проектирование плоских композитов на основе связей модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / Деп. в ВИНИТИ №2989 - B00. 2000. 17 с.
28. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / Деп. в ВИНИТИ №2990 - B00. 2000.
30 с.
29. Матвеев А.Д. Дополнительные условия на перемещения в трехмерном анализе пластин и балок композитной структуры. / Деп. в ВИНИТИ №1836 - B2002. 2002. 15 с.
30. Матвеев А.Д. Анализ прочности конструкций с учетом погрешности для напряжений / Деп. в ВИНИТИ №923 - B2005. 2005. 14 c..
31. Матвеев А.Д. Совместное применение микро и макроподходов в дискретном анализе двумерных композитов / Деп. в ВИНИТИ №1722 B2005. 2005. 26 c.
32. Матвеев А.Д. Анализ прочности с учетом распределения напряжений в конструкциях / Деп. в ВИНИТИ №1298 - B2006. 2006. 18 c.
МАТВЕЕВ Александр Данилович Анализ упругих тел на основе смешанных дискретных моделей Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Подписано в печать Заказ Формат 60 84/16. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 100 экз.
Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г. Красноярск, просп. им. газеты "Красноярский рабочий",
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям