Грац Ю.В., Дмитриев В.В., Михайлов А.С. Гравитационное линзирование в модели Рэндалл - Сундрума с двумя бранами

г

Рр

\ro J

х1 = rcos<p, х2 =rsin<p,

где г0 - произвольный масштаб с размерностью длины. При этом

ds2 = -dt2 +dz2 +e-2(l-fiMr/r)Sabdxadxb, a,b = 1,2 (3)

а тензор энергии-импульса струны оказывается равным (без потери общности мы можем положить г0 равным единице)

ttt=-<zz=^4^H-(4)

Можно рассмотреть обобщение метрики (2) и (3) и рассмотреть сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна, для которого любая поверхность, проходящая через центр симметрии и делящая пространство на две равные части, является конусом с дефицитом угла Adef= 2ж\\ - /?)

ds2 =-dt2 +dR2 +j32R2(d02 +sin2 Мер2).(5)

Эта метрика описывает ультрастатическое сферически-симметричное пространство-время с равным нулю гравитационным потенциалом, топология которого целиком определяется дефицитом телесного угла равным 4;r(l-/?2 j. Здесь, как и в случае космической струны, можно ввести конформно декартовы координаты на сечении t= const. Действительно, после замены радиальной координаты PR= r0(rIr0) метрика на пространственном сечении рассматриваемого пространства принимает явно конформно евклидов вид, и мы можем ввести набор декартовых координат х' с обычным соотношением между х' и сферическими координатами г, в, ср . В этих координатах метрика (5) приводится к виду

ds2 = -dt2 +e-2(l-fiMrMSikdx'dxk, г2 = Slkdx'dxk ,i,k = 1,2,3.аа (6)

Подставляя метрику (6) в уравнения Эйнштейна, мы получаем, что не равные нулю компоненты соответствующего тензора энергии-импульса равны (r0 = l)

где введено обозначение

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2191аа 1а = Ч^.аа (8)

8Ол

Тензор (7) - это записанное в конформных координатах приближенное выражение для тензора энергии-импульса топологического дефекта, известного как глобальный мо-нополь [5]. При этом величина г/ (8) совпадает с энергетическим масштабом спонтанного нарушения симметрии (см. (1)).

Простейшая модель, в рамках которой возможно появление глобальных монопо-лей, состоит из триплета скалярных полей со спонтанно нарушенной до t/(l) глобальной 0[3) симметрии [5, 6]. Строго говоря, получающаяся в рамках этой модели

метрика самосогласованного сферически-симметричного решения уравнений Эйнштейна и уравнений движения триплета скалярных полей содержит массовый член, но, как это было показано в процитированных выше работах, он слишком мал, чтобы играть заметную роль в явлениях космологических масштабов.

Мы видим, что в стандартной четырехмерной теории гравитации оба типа конических дефектов характеризуются равным нулю гравитационным потенциалом. Для обоих дефектов их гравитационные свойства целиком определяются дефицитом угла. Основное различие состоит в том, что пространство-время глобального монополя не является локально плоским, и монополь действует на окружающую материю с приливной силой, которая убывает с расстоянием как \/г2/} {[/ R2).

3. инзирование в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами

Начнем с краткого обзора линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума.

3.1. инеаризованная гравитация в RS1 модели

Следуя работам [9, 10, 11], рассмотрим линеаризованную гравитацию в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.

Действие модели при отсутствии материи на бранах имеет вид

SRSl =^-\(R-A)^d4xdy + ^Va J ^S(y-ya)d4xdy ,аа (9)

5аа abrane

где gj^ - метрика всего пятимерного пространства-времени с сигнатурой (-,+,+,+,+) и координатами \хм, у) {ju,v, ...= 0,1,2,3), g- индуцированная метрика на бранах, Va-натяжение or - ой браны (а = 1,2). Считается, что браны расположены в неподвижных точках орбифолда ух = 0 и у2 = L.

Модель предполагает жесткую связь между пятимерной космологической постоянной Л и натяжениями бран V12

А = -Ш2, К =-V2=ЧЧ, 1а 2 4л05

где к > 0 - параметр модели, который обеспечивает существование решения, являющегося Пуанкаре-инвариантным на бранах

dS2=yMVdx*dxv+dy2,аа у^=У\аа {у)=-к\у[(Ю)

если материя отсутствует.

Как было показано в работах [10], [11], при наличии материи на бранах решение существенно упрощается при наложении на линеаризованную пятимерную метрику калибровочных условий

А 4 = 0, h44 = h^ (х) = ф(х).(11)

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2192аа ds2 = (rMV + h^dxv + (l + ф)йу2,аа (12)

и, несмотря на наличие материи, положение бран по-прежнему соответствует фиксированным значениям пятой координаты y = 0,L.

В результате линеаризованные уравнения Эйнштейна принимают вид: 1) juv- компонента

(13)

+ -d4d4hMV +2hMVa'2+-rPT{dMdvhpT-dMdphVT-dvdphTM)--= 1^^ФУЛу-Уа)^Г:гапе8{у-уа)-

\ в

С\

-^tabram$(y-ya)аа +hMV(4a'2+a"}

2) уравнение для ц4 - компоненты играет роль уравнения связи

3

2a'd^ + h4y?idMhpT-dphJ=0,(14)

3) уравнение для 44 - компоненты

V2ff (- 2& d4h- 2а"+дрдт rpThMV+ d4d4h):

т{^ФК^У-У^-е-^^-б(у-уа)) + ф(4^2+4^).

(15)

здесь д4 = д/ду , a t^vhrane{x) (а =1, 2) обозначает тензор энергии-импульса локализованной

на а - ой бране материи.

Оставшаяся после наложения условия (11) калибровочная свобода позволяет наложить на возмущения индуцированной на бранах метрики hаа \х,ур) калибровку де Донде-

ра. В этой калибровке возмущение индуцированной метрики в импульсном пространстве может быть представлено в виде

КМ) = К +*а^г1мУкЬф + 2*аУ^кЬС^ф,(16)

ч

где h- поперечно-бесследовая часть возмущения, первый а и второй /? индексы соответствуют номерам бран, на которых локализованы материя и наблюдатель, соответственно, и принято соглашение, что

*1.1=1аа ХS1.2='S2.1=0а *2.2=-1а "lа = М=0>а 0^=0^= ~kL,(17)

При этом след возмущения можно записать как

h{q) = 6Sa/^^{q\(18)

а Фурье-образ ф(д) равен

3Lq

Поперечно-бесследовая часть возмущения метрики в импульсном пространстве имеет вид

kMV(q,yp)=-WMV--------- Lga.p(q/k,yp),(20)

Ч

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2193аа жениями

^ (tf/^i (qr/fe* )-1г (q/kekL% (qlk) и

giA* '^ l[(qlk)K\qlke*)-l\qlke*%(qlk)аа '( j

Рассмотрение ньютоновского предела линеаризованных уравнений на бранах позволяет установить связь между фундаментальной гравитационной постоянной G5и эффективными гравитационными постоянными [1, 9,12]. Они имеют следующий вид

Gx =G5k/(l-e-2kL\ G2 = G5k/(e2kL-l).аа (23)

Прежде чем перейти к основной цели нашей работы сделаем одно замечание. Поскольку вычислить hаа \х,Ур) с подынтегральными функциями (21), (22) аналитически не

представляется возможным, воспользуемся асимптотическими разложениями функций (21) и (22), которые адекватны рассматриваемой задаче. Вспомним, что в модели RS1 характерное значение параметра к>\ТэВ и считается [9,12,13], что величина &Z, л30^-35 .

Для этих значений параметров величина ekLIkмного меньше типичных для эффекта лин-зирования прицельных параметров, которые имеют порядок килопарсека. Это означает, что надо брать приближенные выражения для функций gap\qlk,yр), справедливые при

г ekL/к yq/к л e~kL). Нетрудно показать, что при таких значениях радиальной координаты эти функции ведут себя как \1 q. А именно

^=-(-2 + (l-cotm>Z))),аа gll=g21=^(l-coth(kL)lаа g^-1^Ч.(24)

qqq

Ниже нас будет интересовать также приближенное выражение для функции gap\qlk,yр ) в области e~kL лqlк 1, что соответствует значению радиальной переменной \1 к г леаа /к . Нетрудно показать, что в этом интервале для материи и наблюдателя, расположенных на первой бране

gu(q/k,0) = -^r+ln^,(25)

где у - постоянная Эйлера.

3.2. Особенности гравитационного поля конических дефектов в RS1 модели

Так как в рассматриваемой модели материя локализована на бранах, то при нахождении индуцированной метрики в линейном приближении мы должны использовать выражения для тензора энергии-импульса материи, которые имеют место в четырехмерном пространстве Минковского.

Подставляя значения для тензора энергии-импульса (4) и (7) для космической струны и монополя, соответственно, в выражения для возмущений метрики, мы получаем, что в случае струны они имеют вид

cUb-cbvb^j^^, (26)

3а J {2)q

A?'U)=-^fk -*f|-^V-^, (27)

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2194а

(28) (29)

16С5г/2ж3 г d3q,qx g,

,zqxа

жJ

м

Коп^ур)

ЯДzqx

(2,У

V"U)=-^j(*,-^

для метрики монополя.

Переходя к цилиндрическим координатам, получаем, что для струны

;л./?а -^"Х./? Uo(4r)dq,

(30)

K:(r,yfi)=4^j(-gafiUo(4r)+J2(4r)]+Чe2^Sap[2J0(qr)-J2(qr)]\dq,а (31)

2k

КХ^ур\-

4G5Jur2

жj \-gafiMqr)-J2(qr)]+Чe2^safi[2JcXqr) + J2(qr)]\dq. (32)

Соответственно для монополя в сферических координатах

(33) ф,(34) ^,(35)

smqr

КГ(г.уУ-Щ^\

2стД

8С5г/2 с_2

dq,

a. fi

qr im.qrqr

з~~ J[_g^"7

4С5?]2

singr

4k 2aД +Чeаа p s

Kr(r,yfh^j\-gf

sin qr . .а sinar

ж23 3

a.fi

r r3 q r

gr

---- Ч + 3,3,

g r

4С5?]2г2

sin qr 1а sin gr ^ гз gr r g r

singr 2а sin^r

4k +Чe~"s

a.fi

*-Ы=ЩЧЬ*..>

h-(r,yfi) = Keir,yfi)sm2e.(36)

Если наблюдатель находится на второй бране, то для корректной интерпретации теории необходимо перейти к галилеевым координатам с помощью масштабного преобразования хм -^-e~kLxM.

Для интересующих нас приложений представляют интерес значения радиальных переменных г > ekLIk. В этом интервале необходимо использовать асимптотические выражения (24) и интегрировать (30) - (36) от нуля до ke~kL. Интегрирование по области q> ke~kLдает слагаемые порядка ч\кг) , которыми можно пренебречь. Тогда метрический тензор с учетом перехода к галилеевым координатам можно представить в виде

dsj = -(\-h:ttre-2a/1)dt2 +(\ + hse-2andz2 + e-2M-)^(-2^)^)(jr2 + <rVrfp2),а (37)

dSno2а =-(\-h:ne-2aP)dt2 +e-2MJexp(-2^)ln(fe^r2 +5Щnr2dQ2^

(38)

где 8str =l + h^e~2afi /r2 -hsrt;e'2a"(dmon =l + h^ne'2a" Ir2 -hЩone~2a'>).

,itr-2а-Д чаа т,2

str-2<7fl\аа 7а 2 .а т. |2аа .аа 5а 2 cstrv,2 i2

Введем новые радиальные координаты для струны и монополя аналогично тому, как мы это сделали во втором пункте \tr(mon\kr'= {кг) Мтт), тогда метрика в новых координатах имеет вид

dsst; = -(1 - hfe'"3" )dt2 + (1 + /Ce " )dzz + dru +Ast;Sstrr'2 dcp2,

(39)

2ul>\At2 _l_^'2_l_ 3а 2 стоп ,2 7П2

dsД

-(1 -h^e^"" )dtl + dr'2 +/tmon гmoV2 dQ

Константы , 5 оказываются равными

8str =l + ^G5k^2aiQa.fi+^saJsmn =\ + ^G5k12^2ap{Qafi+^2^sap) Здесь для удобства введены следующие обозначения

(40)

(41) (42)

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2195аа В терминах введенных функций линеаризованная метрика конических дефектов на бране имеет вид (всюду ниже штрих над радиальной координатой опущен)

l + ^G5k^2^(-Qap-2e2^Sap)ln(kre-2^)](-dt2+dz2)+

dslr

2стД -РV а.реа а.р

+ dr2 +

1+*а5^-2етф,

r2d(p2

(44)

ds

2 топ

+ drаа +

\ + %-G5W^2ai-Qap-2e2^sap)\r{kre-2^) 1 съкг,2ж-2^(Qap-4e2tr'se.,)V^

й?Г +

(45)

Нетрудно заметить, что при г > ekLIkдефицит угла уже не зависит от радиальной переменной, а только от параметров модели.

\ + *9_^ln(kr)e-2kL\-dt2 +dz2)+dr2 + -ln(kr)e

Выпишем явные выражения для метрических тензоров струны и монополя для наблюдателя и дефекта на первой бране а = 1, /? = 1

-Шкг)е^ +dz" l+dr" + l-8(i,#ll +

-2kL

ds2.

\-ЩМ l + -e

r2dcp2, (46)

fа \bG,mf^ 1 +----- Ч-

-2kL

ds2

dtа +drаа +

r2dгl2, (47)

\-Ю1жг/2\\ + -е

J

для наблюдателя и дефекта на второй бране а = 2, /? = 2

rdcp1,аа (48)

d& = {1 + ^1п(Л")(1 + e2kLj\(- dt2+ dz2)+ dr2+ \\ - -G2//(2 - e2kL)

\

f

l+l-^f-\n(e4r\l + e2kL)

2 mon

ds

dt2 +dr2 +

r2dгl2,аа (49)

l-^G^2(l-2e2kL)

J

r2dcp2, r2dгln,

(50) (51) (52) (53)

и случаев теневой материи для а = 1, /? = 2

1---- G^Ll 3 2

^ = |\ + ^^ln(e*L^)V_ dt2+dz2)+dr2 +

2 mon

l~-G2Kri

fife

ri + l-^^ln(ekLkr))dt2+dr2 +

J

и соответственно a= 2, /? = 1

i 10а _2yfci 1---- G,//e 3

d& = fl + ^^ln(b->-m\-^2 +Jz2)+ dr2 +

2 mon

-2kL

ufe

-ln(Ar)e

?Й2 +й?г2 +

r2JQ,

'' 16G,^2 ^

1ЧG,7iri2e 3

1 +----- -Ч-

vа 3

Отметим, что переход к результатам, полученным в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной (Л82-модель) [14], соответствует ситуации, когда дефект и наблюдатель расположены на бране с положительным натяжением (первая брана) и 1/к г леаа /к .

3.3. Отклонение частиц и лучей света в поле локализованных на бране дефектов

Полученные результаты позволяют исследовать поведение свободно движущейся массивной частицы или фотона в статическом гравитационном поле рассматриваемого вида.

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2196аа

Записывая линейный элемент для космической струны в виде

ds)tr = A(r\-dt2 +dz2)+dr2+ B{r)d(p2, (54)

и, соответственно, для глобального монополя

ds2mon= -A{r)dt2 +dr2 + B{r]dQ2,аа (55)

мы можем найти отличные от нуля символы Кристоффеля. Подставляя их в уравнения геодезических и, учитывая симметрии поля топологических дефектов, можно получить интегралы движения, которые определяют закон движения частицы. В случае струны эти интегралы имеют вид

ГЛ

dzdp

drdp

-E.

(56)

1а J2 P2

жжJ,

жжP.

Ч + Ч + -^-A Ваа A

dpdp

Для монополя мы получаем

dip dp

ил

-E.

A = \.

B = J,

(57)

dt

- + Ч

dp

dp

A+В

В этих уравнениях p- это геодезический параметр, который выбран таким образом, что первые интегралы движения в (56) и (57) равны единицы, а в последнем уравнении в (57) мы учли, что пространство монополя обладает сферической симметрией, и можно считать, что траектория частицы лежит в экваториальной плоскости, когда 0 = ж 12 .

Из уравнений (56) и (57) следует, что в обоих случаях ds= -Edp. Таким образом, Е > 0 для массивных частиц, и Е = 0 для фотонов. Из (56) и (57) также следует, что частица может достигать точки с радиальной координатой г, если

1

J2

Р.

J2

1

(58)

ж + Е,

ж >-

ж + Е,

А(г) В(г) А(г) 'аа А(г) В(г) в случаях струны и монополя соответственно.

Комбинируя выражения (56) в случае струны и (57) в случае монополя, мы полу чаем уравнения для траектории

и соответственно

ил

d(p.

-в+

в2

AJ'

4-г'У

В2Е

(59)

в2

ил

-В +

(60)

В2Е

dtpj

АГа Г

Мы видим, что незамкнутые траектории получаются, когда неравенство (58) выполняется для всех гтт < г < оо , где гтт - ноль правой части первого или второго уравнения (58), соответственно. В этом случае \}-Е) - это скорость частицы, a Jи Pz- соответственно момент импульса и zимпульс на единицу энергии на бесконечности.

Для задачи рассеяния представим уравнения движения в следующем виде

.а гаа dr

<Р*

(6i)

В2

В2Е ил

жВ +

AJ'

(l-^2)-

И ДЛЯ МОНОПОЛЯ

dr

Я>п

(62)

В2

-В +

В2Е

AJ1J1 Представим выражения (61), (62) в терминах производной по 1/ J2. Получаем для струны

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2197а И ДЛЯ МОНОПОЛЯ

j.а д } л 2^-1/В+ 1/(aJ2)-E/J2

*- = -%й*)1*------ ЩаЩ------- Хаа (а}

Разлагая подынтегральное выражение до первого порядка по G5kjuи G5kr/2 и интегрируя по dcpвдоль траектории невозмущенного движения, что соответствует прямой линии в пространстве Минковского, получаем уравнения движения частицы в поле космической струны

:|aG5^-2^(-ea.^T|G5^-2g^^+2g^5a./?)i_^_г, (65)

и соответственно для глобального монополя

топ

^^2G5k^2e^i-Qj+^G5k^2e^i2Q^+4e^SJ-^-.(66)

z51 Ч h,

Следует отметить, что полученные уравнения движения частицы не зависят от момента импульса.

Рассмотрим поподробнее эффект линзирования. В случае движения фотона мы должны положить ? = 0 в выражениях для угла рассеяния. Пусть d- расстояние между наблюдателем и дефектом, и / - между дефектом и источником. Тогда мы можем наблюдать двойное изображение с угловым размером для космической струны

Wstr= \-Qa.p)----- -Г-,------ >аа (67)

и для глобального монополя

l + d

Vmon={- Заметим, что окончательные выражения для эффекта линзы (67) - (68) не содержат связанных с полем радиона величин saД. Поэтому с принятой точностью полученный результат применим и в случае стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума [20].

В случае глобального монополя мы можем наблюдать также и окружность с указанным угловым размером, если источник, монополь и наблюдатель находятся строго на одной линии. Подставляя теперь в окончательную формулу выражения для Qaр(43) и

используя гравитационные константы для соответствующей браны G1, G2, нетрудно получить для эффекта линзирования все возможные случаи взаимного расположения наблюдателя и дефекта на бранах.

Сравним полученный результат с аналогичным результатом из RS2 [14], [15]. В случае глобального монополя соответствующее выражение имеет вид

f\67i2G5k2ri2d2l^

оаа гп,аа ж> Il + d

In

(69)

ж1

Vmon = 8я- G5kr/

l + d Iа .аа Дl + d

l + d 4xzG5k*?]zdzlДля космической струны мы имеем

y/str =SnG5kjU1JЧ;sm9+ 1 i2 ^'т~Ч^-^,(70)

l + d4ld nG5k /jsin 6

где 9 - угол между струной и линией наблюдатель-источник и выполняется соотношение dy/strsin# Ilk. В обоих выражениях первое слагаемое соответствует результатам четырехмерной эйнштейновской гравитации, а второе зависит от параметра к и представляет собой вклад от дополнительного измерения.

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 2198аа Выводы

В работе исследованы решения уравнений линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами и с локализованным на одной из бран топологическим дефектом. Рассмотрены наиболее интересные с точки зрения космологии случаи космической струны и глобального монополя. Показано, что обусловленные наличием дополнительного измерения и второй браны особенности гравитационного поля дефектов приводят к заметным изменениям в эффекте гравитационного линзирования, с которым связываются основные надежды на обнаружение топологических дефектов в наблюдаемой части Вселенной. Рассмотрены различные варианты взаимного расположения линзы и наблюдателя на бранах. Показано, что, как и в случае стандартной четырехмерной теории, порождаемое монополем изображение представляет собой двойное изображение либо окружность, что зависит от взаимного расположения источника света, монополя и наблюдателя. В первом случае представляется маловероятной возможность отличить линзу, которая связана с глобальным монополем, от линзы, существование которой обязано космической струне. Выявлено существенное отличие эффекта гравитационной линзы в модели с двумя бранами от аналогичного эффекта в модели Рэндалл - Сундрума второго типа с одним бесконечным дополнительным измерением.

итература

[I]а В.А. Рубаков. УФН, 2001, т. 171, № 9, с. 913-938.

[2] The formation and evolution of cosmic strings, eds. G.W. Gibbons, S.W. Hawking and T.

Vachaspati, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

[3] A. Vilenkin and E.P.S. Shellard. Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge

Univ. Press, Cambridge, 1994.

[4] T.W.B.Kibble. Nucl. Phys. B, 1985, v. 252, p. 227.

[5] M.Bariola, A. Vilenkin. Phys. Rev. Lett., 1989, v. 63, p. 341

[6] D.Harari, C.Lousto. Phys. Rev. D. 1990 v. 42, p. 2626.

[7] A.Vilenkin. Phys. Rev. D, 1981, v. 23, p. 852.

[8] S.Deser, R. Jackiw, J.'tHooft. Ann. Phys., NY, 1984, v. 152, p. 220.

[9] Э.Э. Боос. И.П. Волобуев, Ю.А. Кубишин, М.Н. Смоляков. ТМФ, 2002, т. 131, н. 2, с.

216-230.

[10] И.П. Волобуев, М.Н. Смоляков. ТФ, 2003, т. 4, с. 29-52.

[II]а И.П. Волобуев, М.Н. Смоляков. ТМФ, 2004, т. 139, н. 1, с. 12-28.

[12] L. Randall, R. Sundrum. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 3370-3373.

[13] B. Grinstein, D.R. Nolte, W. Skiba. Phys. Rev. D, 2001, v. 63, 105005.

[14] Ю.В. Грац, В. В. Дмитриев. Вестн. Моск. Ун-та. Физ. Астрон. 2005 №6 с. 7.

[15] Yu.V. Grats, V.V. Dmitriev. Grav & Cosm 2006, v. 12, №1(45), p. 21.

[16] R.Durrer. arXiv:astro-ph/9311041.

[17] V. Perlick. Phys. Rev. D, 2004, v. 69, p. 064017.

[18] A.Vilenkin. Astrophys. J. Lett., 1984, v. 282, p. L51.

[19] J.R. Gott. Astrophys. J., 1985, v. 288, p. 422.

[20] W.D. Goldberger, M.B. Wise. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4922

     Все научные статьи