Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Математическое моделирование в задачах переноса заряда в полупроводниковых кремниевых устройствах

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

СЕМИСАЛОВ Борис Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЗАДАЧАХ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА

В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ

КРЕМНИЕВЫХ УСТРОЙСТВАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-2011

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета

Научный руководитель:аа доктор физико-математических наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

Официальные оппоненты:а доктор физико-математических наук,

профессор Воеводин Анатолий Фёдорович

доктор физико-математических наук, профессор Задорин Александр Иванович

Ведущая организация:аа Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита состоится 16 июня 2011 года в 14:30 на заседании объединенного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644099, г. Омск, ул. Певцова, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, Пр. Мира, 55-А.

Автореферат разослан лаа мая 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

к.ф.-м.н., доцентаа A.M. Семёнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На фоне стремительного развития микро- и на-ноэлектроники и уменьшения размеров полупроводниковых устройств появляется множество новых математических моделей, описывающих с той или иной степенью достоверности физические явления, протекающие в этих устройствах. В процессе поиска приближённых решений задач физики полупроводников возникает проблема построения численных алгоритмов для указанных моделей. Актуальность конструирования подобных алгоритмов не вызывает сомнений, поскольку на сегодняшний день полупроводниковые устройства являются неотъемлемой частью многих электронных приборов. От характеристик этих устройств существенно зависит мощность и надёжность современных вычислительных машин. Рассчитать все характеристики полупроводника с необходимой точностью - и есть задача математического моделирования.

Моделирование процесса переноса зарядов в полупроводниках субмикронного размера основывается на кинетическом уравнении Болыгма-на для функции распределения носителей зарядов. Однако прямое численное интегрирование этого уравнения с помощью метода Монте-Карло требует существенных вычислительных затрат и в некоторых случаях (например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях полупроводникового устройства мала) не позволяет получить точный результат. Разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью может быть достигнут посредством выделения моментов уравнения Больцмана. Простейшей моделью переноса заряда, полученной подобным методом, является дрейф-диффузионная модель Schockley и van Roosbroeck'a1, которая впоследствии модифицировалась, дополнялась и усложнялась многими исследователями. Она состоит из уравнений неразрывности для концентраций носителей зарядов (электронов и дырок) и уравнения Пуассона для электрического потенциала. Однако уменьшение размеров полупроводниковых устройств требует расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, с целью учёта энергии носителей зарядов. Эта цель достигается в гидродинамических моделях. Одна из первых гидродинамических моделей представлена в работе Blotekjaer'a2 и содержит законы сохранения для числа частиц, импульса и энергии носителей зарядов, а также уравнение Пуассона для электрического потенциала.

В диссертации рассматривается недавно предложенная гидродинамическая МЕР модель3. Эта модель представляет собой квазилинейную систему

^-Roosbroek W. van. Theory of flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors // Bell System Techn.J. 1950. Vol. 29. P. 560-607.

2Blotekjaer K. Transport equations for electrons in two-valley semiconductors // IEEE Trans. Electron Devices. 1970. Vol. ED-17. P. 38-47.

3См. работу: Anile A. M., Romano V. Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the moment equations // Cont. Mech. Thermodyn. 1999. Vol. 11. P. 307Ч325.

3

уравнений, записанных в форме законов сохранения, полученных из системы моментных соотношений для уравнения Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle).

Как мы видим, математические модели полупроводниковых устройств эволюционируют и усложняются. Большинство из них содержат нелинейные уравнения в частных производных. Таким образом, помимо проблемы конструирования вычислительных алгоритмов, остро встаёт вопрос об их обосновании. Разрешить этот вопрос можно лишь в ходе детального анализа соотношения между исходной математической моделью явления и её разностным аналогом. В связи с этим, используя принципы монографии4, при конструировании и исследовании вычислительных моделей в диссертации мы отталкивались от требования адекватности вычислительной модели исходной дифференциальной задаче. Под адекватностью понимаем следующее: разностная модель строится так, чтобы с её помощью можно было доказать теорему существования решения исходной задачи. Подобные доказательства опираются на наличие разностных аналогов априорных оценок, которые удалось получить для уравнений МЕР модели в некоторых случаях (при дополнительных предположениях). Последнее обстоятельство представляется чрезвычайно важным фактом, поскольку благодаря наличию указанных оценок при проведении вычислений мы можем быть уверены в том, что приближённое решение действительно удовлетворяет свойствам исходной задачи.

Другим актуальным вопросом, возникающим при построении вычислительных моделей, является вопрос о том, как воспользоваться априорной информацией о поведении разыскиваемого решения и его аналитическими особенностями, чтобы минимизировать временные затраты при расчётах. Данная проблема является особенно существенной при поиске приближённых решений уравнений МЕР модели, поскольку они содержат малые параметры и, хотя решение формально бесконечно дифференцируемо, производные его растут столь стремительно, что затруднительно определить, какой порядок аппроксимации нужно выбрать при использовании разностных схем.

Чтобы преодолеть указанные трудности, желательно организовать дискретизацию таким образом, чтобы происходила автоматическая адаптация позиций узлов сетки к свойствам решения, погрешность аппроксимации была минимальной, а алгоритм, её использующий, давал высокую точность при небольшом количестве узлов. Подобные требования легли в основу вычислительного алгоритма, предложенного для поиска решений уравнений МЕР модели в гл. 1 диссертации. Вслед за автором описанной идеи, К.И. Бабенко будем именовать схемы, автоматически учитывающие априорные

4аа Блохин А. М., Алаеваа Р. Д. Интегралы энергии и их приложения к исследованию устойчивости разностных схем. Новосибирск, 1993.

4

свойства решения, схемами без насыщения или ненасыщаемыми схемами. В работе К.И. Бабенко5 предложен весьма изящный способ построения вычислительных схем без насыщения, использующий для приближения неизвестных функций интерполяционный многочлен с узлами интерполяции в нулях полинома Чебышева. В диссертации мы воспользовались этим способом в совокупности со сплайн-коллокациями.

Основываясь на идеях схем без насыщения и принципе адекватности в диссертации предложена эффективная и удобная технология построения вычислительных моделей для поиска решений ID и 2D нестационарных смешанных краевых задач. В Приложениях III и IV данная технология успешно применена при поиске численных решений задач, связанных с аэростроением и добычей нефти, а именно при исследовании вопроса об устойчивости ударных волн в сжимаемом вязком газе и при изучении явления параметрического резонанса в слоистых газосо-держащих структурах. Таким образом, построенная технология открывает широкие возможности для поиска приближённых решений различных актуальных прикладных задач.

Цели работы:

1. Конструирование и обоснование вычислительных моделей для поиска стационарных решений уравнений гидродинамической МЕР модели в ID и 2D случаях.
2. Создание на базе построенных моделей работоспособных алгоритмов и их реализация на ЭВМ.
3. Апробация предложенной технологии конструирования вычислительных моделей при поиске решений прикладных задач (в том числе проблем, не имеющих отношения к физике полупроводников).

Объектами исследования являются:

1. гидродинамическая МЕР модель, описывающая процесс переноса заряда в полупроводниковых приборах;
2. задачи о баллистическом диоде и о переносе заряда в транзисторе MOSFET, поставленные в главах работы для уравнений МЕР модели;
3. дифференциально-разностные модели и вычислительные методы, использованные для поиска решений указанных задач.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны и теоретически обоснованы два новых подхода для поиска стационарных численных решений уравнений гидродинамической МЕР модели:

1. первый подход является оригинальным сочетанием набора регуляризации, идей схем без насыщения, сплайн-интерполяций и метода установления;
2. второй подход представляет новый способ конструирования и исследования устойчивых разностных схем для нелинейных задач.

5а Бабенкоа К.аа И.а Основы численного анализа. М.;а Ижевск:а НИ - Регулярная и хаотическая динамика, 2002.

5

1. Предложенные подходы в совокупности с рядом других методов использованы при создании вычислительных алгоритмов для поиска стационарных решений задачи о баллистическом диоде. Проведено сравнение эффективности и быстродействия построенных алгоритмов при различных значениях параметров задачи.
2. При использовании технологии подхода 1 разработан вычислительный алгоритм для поиска стационарных решений задачи о переносе заряда в транзисторе MOSFET.
3. Все алгоритмы, описанные в работе, реализованы на ЭВМ, проведены численные эксперименты, результаты которых представлены в диссертации.

Научная новизна работы. Методы исследования. Автор видит новизну полученных результатов в следующем.

Во-первых, в диссертации предложено два новых подхода для поиска стационарных численных решений уравнений МЕР модели. Структура и методы указанных подходов отражены на рис. 1.

Регуляризованная нестационарная система

______ ^ J^ Метод прямых

Симметрическая по Фридрихсу система

Дискретизацияаа -J_ J^_______

Система ОДУ второго порядка

Класс "устс,йЧИБых" разностных схем

Интерполяция сплайнами

Преобразования

U

Трёхточечная разностная схема

Трёхточечная матричная схема

J L Метод прогонки

iматричной прогонки | _

Решение регуляризованны

уравнений на каждом

временном слое

гх:

Метод установления

Решение на каждом временном слое

ТГ

Стационарные решения

Рис. 1. Два подхода для поиска стационарных решений уравнений МЕР модели

Во-вторых, для поиска стационарных решений задачи о баллистическом диоде разработано несколько новых алгоритмов. Эти алгоритмы используют методы предложенных подходов, интегральные уравнения, схему предиктор-корректор, метод ортогональной прогонки и преобразования уравнений МЕР модели в случае, когда диэлектрическая постоянная полупроводника равна нулю.

6

В-третьих, на базе идей первого подхода создана оригинальная технология конструирования вычислительных моделей для поиска решений ID и 2D нестационарных смешанных краевых задач. В основу технологии положена следующая схема:

В ID случае: аппроксимация производной неизвестной функции по времени разностным отношением Ч> сведение задачи к поиску решения ОДУ второго порядка с краевыми условиями Ч> использование сплайн-функций для интерполяции решения полученного ОДУ Ч> сведение задачи к трёхто-чечной схеме с граничными соотношениями Ч> поиск решения на каждом шаге по времени методом прогонки.

В 2D случае: аппроксимация производной неизвестной функции по времени разностным отношением, а производной по одному из пространственных направлений - интерполяционным многочленом с узлами интерполяции в нулях полинома Чебышева Ч> сведение проблемы к краевой задаче для системы ОДУ второго порядка Ч> поиск решения полученной системы в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2 Ч> вывод трёхточечных матричных соотношений с граничными условиями Ч> поиск решения на каждом временном слое методом матричной прогонки.

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, наличием априорных оценок на нормы решения задач и адекватностью построенных вычислительных моделей дифференциальным задачам. Важно отметить, что полученные результаты являются физически правдоподобными, а графики численных решений, построенные при использовании различных методов для одной задачи, являются схожими. Это ещё одно косвенное подтверждение того, что приближённые решения найдены верно.

Теоретическая и практическая значимость.

1. Разработанные вычислительные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для моделирования процесса переноса заряда в полупроводниках и будут полезны при конструировании реальных устройств.
2. Предложенные подходы позволяют разрешить ряд существенных вычислительных сложностей (связанных с наличием малых параметров, больших градиентов, нелинейностью задачи и пр.) и получить точное решение с минимальными временными затратами.
3. Технология конструирования вычислительных моделей, предложенная в работе, является эффективным и удобным средством поиска численных решений широкого спектра прикладных задач.
4. Техника, использованная в диссертации для вывода априорных оценок и их разностных аналогов, представляет определённый интерес и может быть применена при исследовании различных задач и уравнений в частных производных.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представ-

7

ены на: XLVII, XLVIII Международных научных студенческих конференциях Студент и научно-технический прогресс (Новосибирск, 2009, 2010 гг.); в рамках международной школы-семинара International School and Seminar on Modern Problems of Nanoelectronics, Micro- and Nanosystem Technologies Proceedings "INTERNANO-2009> (Новосибирск, 2009 г.); международной конференции International Conference on Computational Technologies In Electrical and Electronics Engineering "Sibircon-2010> (Иркутск, Листвянка, 2010 г.); на III международном форуме по нанотехнологиям (Москва, 2010 г.). Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах: в Ин-те динамики систем и теории управления, г. Иркутск (председатель д-р физ.-мат. наук А.В. Синицын); Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики в Ин-те математики СО РАН (рук. проф. A.M. Блохин); Общеинститутский математический семинар в Ин-те математики СО РАН в рамках конкурса Сиб. мат. журнала; Информационно-вычислительные технологии в ИВТ СО РАН (рук. акад. Ю.И. Шокин, проф. В.М. Ковеня); Прикладная гидродинамика в Ин-те гидродинамики СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В.В. Пухначёв); Математическое моделирование и вычислительные методы в Омском филиале Ин-та математики СО РАН (рук. проф. А.И. Задорин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, куда входят: 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 - в зарубежных журналах, 3 - в трудах международных конференций и семинаров, 2 - в тезисах конференций.

ичный вклад автора. При подготовке работы [1] соискатель занимался конструированием и применением алгоритма для поиска стационарных решений уравнений гидродинамической МЕР модели. Автором разработаны и реализованы на ЭВМ все описанные в [2], [4] вычислительные алгоритмы, выполнена дополнительная модернизация алгоритмов с целью повышения их эффективности и обеспечения сходимости метода установления. Работы [3], [5] выполнены при равном вкладе авторов. Соискателем разработаны все вычислительные схемы работы [6] и написан комплекс программ на их основе.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и четырёх приложений. Объём работы - 184 страницы. В диссертации содержатся 43 рисунка и 9 таблиц. Список литературы состоит из 105 источников.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору Александру Михайловичу Блохину за постоянное внимание и помощь в работе, канд. физ.-мат. наук Алесе Сергеевне Ибрагимовой за консультации при реализации алгоритмов и ценные советы в ходе исследований, а также Станиславу Андреевичу Боярскому и Роману Евгеньевичу Семенко за обсуждения и поддержку при выполнении работы.

8

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дан обзор существующих на момент проведения исследований математических моделей, описывающих процесс переноса заряда в полупроводниковых устройствах, а также методов, используемых для анализа этих моделей. Далее подчёркнуто, что диссертация посвящена поиску приближённых решений уравнений гидродинамической МЕР модели (ниже эти уравнения приведены в 2D случае, в безразмерном виде):

2 Rt + div(J) =0,а Jt + -Vcr = RQ + сц J + c12I,

5 at + div(I) = (J, Q) + cP,а lt + V(seR) = -crQ + c21J + c22I.

Здесь R- электронная плотность, E- энергия электрона, J = i?u, I = i?q, u = (u(x> ,u(y>)Ч вектор скорости электронов (за основу принята декартова

система координат (ж,у)), q = (q^x\ q^v') - поток энергии, Р = R\ %Е Ч 1аа ,

а = RE, ее = -д-Е2, Q = Vy> = (ipx,ipy), <f= ip(t,x,y) - электрический потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона:

Аср = срхх + сруу = f3(R- р);(2)

р = р{х, у) - плотность легирования (заданная во внутренней области полупроводника функция). Коэффициенты сц, ..., С22, с системы (1) являются гладкими функциями от энергии Е, /3 > 0 - постоянная. В выкладках мы используем также диэлектрическую постоянную = -|. Существенной сложностью при поиске численных решений (1), (2) является наличие в модели малых параметров и функций, таких как и р(х, у).

Значительная часть введения посвящена формулировке основных целей работы и идей, служащих фундаментом разработанных методов, обоснованию актуальности указанных целей и идей, изложению содержания работы и обзору полученных результатов - приведено схематическое описание двух новых подходов для поиска стационарных решений гидродинамической МЕР модели и созданной технологии построения вычислительных моделей для поиска решений ID и 2D нестационарных смешанных краевых задач.

Первая глава диссертации состоит из шести параграфов. Здесь на примере модельной задачи описан и обоснован один способ поиска стационарных решений уравнений гидродинамической МЕР модели (1), (2). Этот способ (в работе мы именуем его первый подход, см. рис. 1) основан на сведении соотношений (1), (2) в стационарном случае к системе из трёх уравнений Пуассона и применении к ним нестационарной регуляризации. При построении вычислительной модели данного подхода мы разработали

9

технологию, которую использовали в последующих разделах диссертации для поиска численных решений нескольких задач.

В з1 система уравнений МЕР модели (1), (2) в стационарном случае сведена к трём уравнениям Пуассона.

В з2 для уравнения Пуассона

ЛЖ,УФ = Фхх + Фуу = /(ж, у), (ж, у) е П(3)

рассматривается модельная краевая задача Неймана-Дирихле в прямоугольной области. Здесь Ф(ж, у) - неизвестная функция, /(ж, у) - известная правая часть. Также в з2 получены априорные оценки на норму Ф(ж, у).

Для поиска решений модельной задачи в п. 3.1-3.3 з3 предлагаются три вида нестационарной регуляризации:

параболическая регуляризация щ = Ам Ч /(ж, у);

регуляризация Соболева щ Ч Ащ = Дм Ч /(ж, у);

гиперболическая регуляризация ии + Кщ Ч Ам + /(ж, у) = 0.

Здесь u(t,x,y) - новая неизвестная функция, К > 1 - постоянная, t-временная переменная. Целесообразность подобного перехода от уравнения Пуассона к нестационарному регуляризованному уравнению оправдана, потому что это позволило нам реализовать идею о поиске стационарного решения уравнений МЕР модели с помощью метода установления. При этом стационарное решение ищется как предел u(t,x,y) при tЧ> оо.

Обоснование сходимости метода установления в случае применения каждой из трёх регуляризации представляет отдельную задачу, так как прежде всего необходимо доказать однозначную разрешимость регуляризованного уравнения, а затем асимптотическую устойчивость по Ляпунову его решения при tЧ> оо. С этой целью в п. 3.1-3.3 з3 для каждого из трёх видов регуляризации получены априорные оценки на нормы решений регуляризо-ванных задач, из которых следует сходимость u(t, ж, у) Ч> Ф(ж, у) при tЧ> оо, а также однозначная разрешимость и устойчивость стационарного решения.

В з4 гл. 1 для поиска приближённых решений регуляризованных уравнений предложена дифференциально-разностная модель, основанная на методе прямых и принципах схем без насыщения. При этом ихх аппроксимирована второй производной от интерполяционного полинома

1аа N

ТЫ, и) =а Ч У^(-1)_1------------ ^^---------- СОв(Nx)Ui(t, у),аа 0 < Жа < 7Г

N *-^cos ж Ч cos х

г=1

с узлами х, = 1,..., N в нулях многочлена Чебышева.

В з4 проведена дискретизация регуляризованных уравнений по переменной t. Вводя обозначения: ип(у) = и(пА,у) = и(у), п = 0,1,...,аа и(у) = = ип+ (у), А - шаг разностной сетки по времени, и' = ^, в итоге приходим к системе ОДУ второго порядка

10

Yаа =BY + T,(4)

Y = (ui(t,y),..., Mjv(t, y))Tж Выражения для элементов матрицы В и компонент вектора ZFзависят от вида применённой регуляризации.

К системе (4) добавляем граничные условия, которые следуют из условий Неймана-Дирихле модельной задачи з2.

Важно отметить, что при использовании параболической регуляризации для доказательства устойчивости дифференциально-разностной модели из ОДУ в з4 гл. 1 нам удалось вывести разностный аналог априорной оценки, полученной для функции Ф в з2. Таким образом, по крайней мере, в случае модельной линейной задачи для уравнения (3) мы обосновали адекватность созданной вычислительной модели по отношению к рассмотренной задаче.

Параграф 5 гл. 1 посвящен поиску приближённых решений системы (4), с граничными условиями в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2:

К2 S(y) = (1 - r)Yfc + rYfc+1 - -f т(1 - r)[(2 - r)ihk+ (1 + т)шк+1], (5)

b

где

Ч^---- , У к [yk, Ук+], Ук = khy,а к = О, К - 1, Khy= -,

Yfc=Y(yfc), mfc=Yа (yfc).

С учётом (5) из (4) была получена трёхточечная матричная схема

iN - -/sWfc-i - 2|/w + -fB\Yk + hN - -fB}Yk+i =

h2

= -fi^k-i + 4^fc + Tk+i}, k = l,K-l, b

(6)

Y0=Y1,YK = LYK-1,(7)

где IFк = F(yk), L- диагональная матрица граничных условий порядка N. Решение (6), (7) на каждом временном слое несложно найти с помощью хорошо известного метода матричной прогонки.

Алгоритм, построенный в гл. 1, был запрограммирован на языке Delphi 6 (среда Object Pascal). В з6 продемонстрирована эффективность предложенной вычислительной схемы при решении тестовой краевой задачи для уравнения Пуассона с известным точным решением. При этом исследована зависимость относительной погрешности численного решения тестовой задачи от различных параметров.

Вторая глава диссертации содержит три параграфа. Она посвящена построению и обоснованию вычислительной модели подхода 2 (см. рис. 1).

11

С этой целью система (1) преобразована к симметрической форме и для поиска её решений сконструирован класс лустойчивых разностных схем.

В з1 гл. 2 система уравнений (1) на её гладких решениях записана в не дивергентной форме:

Ut + BLL

C\Jy = F.

(8)

Здесь U

f R\ J

a

(оа \

i?Q + cnJ + ci2I

(J, Q) + cP

\а |aQ + c21J + c22I J

J(V)

Ди,

Iiv)

Rq;аа B,

матрицы определенного вида.

1, 6 называ-

Определение. Вещественная матрица А = А* ется симметризатором для системы (8), если:

1)А>0, 2)В = АВ = В*, 3)С = АС = С*. Здесь А* - транспонированная матрица А.

В з1 для системы (8) построен симметризатор, после чего соотношение (8) преобразовано к симметрической t-гиперболической по Фридрихсу форме:

AF.

(9)

A-Ut + B-Ux+C-Ub

Второй параграф гл. 2 посвящен выводу априорной оценки на норму решения системы (8) в предположении, что электрический потенциал у>(?, х) - известная достаточно гладкая ограниченная функция. Прежде всего в з2 при некоторых допущениях был получен другой вид соотношения (9):

(A\J)t + (B\J)X + (CU)y = V\J + T,

(10)

где Т> = Т> + С, Т> = AD, D- матрица коэффициентов сц,..., с22, с, С = Вх + Ву, ^Fвектор определённого вида.

Далее, умножая системы (9), (10) скалярно на вектор U и складывая полученные выражения, мы в итоге нашли:

(U, AU)t + (U,BU)B + (U,CU)y = (U,AU) +2(и,Я

(И)

Здесь Л = V+ V* + (? + С* )/2.

Считая, что система (1) имеет ограниченное гладкое решение U(t, ж, у) в области П = {(t,x,y)\To< t< Т < оо, (х,у) к Д2}, где То > 0 - достаточно большое число, полагая:

1. |U|2 = (U, U) -> 0 при ^х2 + у2 -^ оо;
2. нормы матриц В, С ограничены в области П;
3. в области П матрица А > 0, Д > 0, Е > 0;
4. в области П вектор-функции Q, u, q и функция Е - ограниченные и гладкие,

12

и интегрируя (11) по Д2, мы вывели априорную оценку на норму решения системы (1):

I(t) < I(T0)exp{fi{t - То)}, T0<t<T <оо.(12)

Здесь Д - положительное число, зависящее от спектра матриц А и Л и от величины as|Q|, I(t) = J(U, AU)dxdy- интегральная норма решения. в?

В з3 гл. 2 для поиска решений системы (8) в области П предложен один класс лустойчивых разностных схем. Идея, заложенная нами в основу созданного класса, отражает принцип адекватности и состоит в том, чтобы получить для разностных схем аналоги выражений (11), (12), доказанных для дифференциальной задачи в з2.

Для записи разностных отношений в области П построена сетка с шагами Д по времени, hx, hyпо переменным ж, у. Введены такие обозначения:

Uq = и(пД, ah) = \Ja= Uax = Uaаа = U - сеточная вектор-функция;

а = (ах, ау) - мультииндекс, h = (hx, hy), ah = (axhx, ayhy), \ax\,\ay\=0,l,...;n = N0,...,N;A = AN0,T = AN1;

X, Фж, Фу, Ф~\ Фу1 - операторы сдвига: xU = U^1 = U, Ф^и =

= usx1, Ф^и = и2в1(Ф+ = Фя,у);

т, ?х, ?,у, 1Х, 1У - разностные операторы: т = \ ~ 1, ?х = Фж - 1, ?аа =Фаа -1?аа =1- Ф_1а ?аа = 1 - Ф_1

Как известно, симметрические матрицы В, С можно представить в виде В = В+ Ч В-, С = С+ Ч СЧ, где В,С > 0 Ч некоторые симметрические матрицы. В з3 предложен конструктивный способ поиска матриц В,С:

В = d(E)A В/2, С = d(E)A С/2.

Здесь d(E) > ,аа ----------- j=- ~ некоторая функция, выбираемая так, чтобы

обеспечить выполнение неравенств В,С > 0.

Предлагаемый класс конечно-разностных схем имеет следующий вид:

^L-^-^Lu+i,L-^-^L(Au)+

KB+(E^)lxV + K^UB+iE^U) - KB_(г^)гXIJ-

-ках+1ив-(?{хЩ} +rv[КС+{Е^%Ь + кау^у(с+(Е(уЩ-

-гC_(г(W))гДU - гaB+iгy(C_(г(w))U)} = АК(2D + г)U + 2АКГ,

(13) где

13

А = А(Е), А = А(Е), V= V(E), С = г(U), Т = TilJ);

К, К, Kao.i, Ка 1 - диагональные матрицы неизвестных;

гх = -?-,гу = ж?-, Е^х\?(х\ Е^у\ ?^ - промежуточные значения энергии Е, ко > 0- некоторое число,

Замечание 1. Конечно-разностное выражение (13) определяет целый класс конечно-разностных схем, поскольку возможны самые различные способы определения промежуточных значений энергии Е.

В з3 для сеточных функций и матриц сформулированы аналоги предположений 1) Ч4) з2. При использовании этих предположений после домно-жения (13) на вектор V = (1,1,1,1,1, \)т скалярно получен разностный аналог равенства (11), из которого при подходящем значении ко, в условии малости шага Д выведен аналог оценки (12):

-,а ч n-No

п-\Т^А)lNo,n = N0 + l,...,N.(14)

Здесь fi- положительное число, зависящее от спектра матриц А(Е"), A(U") и величины as|QЩ|, /Д - норма сеточной вектор-функции Uq определённого вида.

Замечание 2. Из (14) следует также лустойчивость разностной модели (13) в энергетической норме \1п. Мы взяли слово лустойчивость в кавычки, ибо, строго говоря, ещё требуется доказать, что на решениях конечно-разностной вычислительной модели (13) выполнены условия 1) Ч4) з2 и их разностные аналоги.

Третья глава диссертации включает шесть параграфов. Здесь для уравнений МЕР модели в ID случае сформулирована хорошо известная из физики полупроводников задача о баллистическом диоде. При поиске стационарных решений данной задачи продемонстрирована высокая эффективность подходов 1 и 2 (см. рис. 1), детально описанных в предыдущих главах. В этой главе мы также предложили несколько других способов поиска приближённых решений задачи о баллистическом диоде.

В з1 рассмотрены уравнения МЕР модели в одномерном случае в безразмерном виде. Для них дана постановка задачи о баллистическом диоде (рис. 2), т.е. заданы условия на границах ж = 0иж=1и начальные данные при t= 0. Характерными величинами задачи являются постоянные Lи N+, где L- длина диода, N+ - плотность легирования п+-зоны (см. рис. 2). При этом безразмерная плотность легирования р(х) такова:

1, если х принадлежит п+-зоне,

р{х) = {N

о = -ггЧ, если х принадлежит п-зоне,

14

где N - плотность легирования n-области. Типичный сглаженный профиль функции р{х) изображен на рис. 2.

	п+	п	It*
		(^)
р		<D
	п+	п	п*

Рис. 2. Схематическое представление п Ч п Ч п баллистического диода

Параграф 2 состоит из четырёх пунктов.а В нём при поиске стационарных решений задачи о баллистическом диоде мы следовалиа идеяма гл.аа 1аа (см.а рис.аа 1,аа подход 1). В п. 2.1 по аналогии с 2D случаем стационарные уравнения ID МЕР модели сведены к системе из трёх уравнений второго порядка. В п. 2.2 рассмотрена гиперболическая регуляризация полученных уравнений. Важно отметить существенные отличия исследований, проведённых нами для ID и 2D задач. Если в 2D случае все обоснования алгоритма были проведены на примере модельной линейной задачи для уравнения (3), то в п. 2.2 з2 (при некоторых ограничениях на функцию р{х) и постоянную Ь) мы вывели априорную оценку на норму решения регуляризованной задачи на исходном квазилинейном уровне. Как и ранее, эта оценка обосновывает применимость метода установления и доказывает асимптотическую устойчивость стационарного решения. В п. 2.3 мы рассмотрели модельную задачу для регуляризованных уравнений. Основываясь на технологии, описанной в гл. 1, мы свели её к поиску решения ОДУ второго порядка с краевыми условиями, которое записали в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2. В результате был получен вычислительный алгоритм для поиска решений регуляризованных уравнений с помощью метода матричной прогонки. В п. 2.4. на основе данного алгоритма и метода установления построена схема поиска стационарных решений задачи о баллистическом диоде.

Параграф 3 гл. 3, включающий три пункта, посвящен поиску решений регуляризованных уравнений способами, отличными от предложенных в з2. С этой целью в з3 разработаны вычислительные алгоритмы, основанные на методе ортогональной прогонки (п. 3.1), технике интегральных соотношений (п. 3.2) и схеме предиктор-корректор (п. 3.3).

Параграф 4 гл. 3 состоит из двух пунктов. В данном параграфе подход 2 (см. рис. 1) реализован в ID случае. Важно отметить, что ход рассуждений и выкладки, необходимые для создания класса лустойчивых разностных схем подхода 2, перенесены с 2D на ID случай с минимальными изменениями (основная идея же осталась неизменной, см. п. 4.1 з4).

Далее, в п. 4.2 описан вычислительный алгоритм для поиска стацио-

15

нарных решений задачи о баллистическом диоде с помощью метода установления. При этом класс лустойчивых разностных схем для ID задачи преобразован к трёхточечной матричной схеме. В соответствии с задачей о баллистическом диоде для неё поставлены граничные условия и решение на каждом временном слое найдено методом матричной прогонки.

В з5 гл. 3 с целью верификации методов, предложенных в з2-4 гл. 3, рассмотрена задача о баллистическом диоде при = 0 ( Ч диэлектрическая постоянная).

В з6 гл. 3, состоящем из пяти пунктов, речь идёт о создании на базе алгоритмов, описанных в главе, прикладных программ. Важно отметить, что все разработанные в гл. 3 алгоритмы удалось реализовать на ЭВМ. При этом на языках Delphi 6 (среда Object Pascal) и Java были написаны программы для нахождения приближённых решений задачи о баллистическом диоде. В п. 6.1 приведены значения параметров и переменных задачи, необходимые для расчётов. В п. 6.2 подробно описаны проблемы, возникшие при вычислениях, обусловленные наличием малых параметров, больших градиентов и нелинейностью уравнений модели. Для решения этих сложностей в п. 6.2 предложено использовать итерации по нелинейности и нелинейное сглаживание. В п. 6.3 мы остановились на алгоритме, использующем класс лустойчивых разностных схем, и описали эффективные средства, благодаря которым удалось получить решение с необходимой точностью. Эти средства включают применение прогонок в разных направлениях и расчёт потенциала двумя способами - с помощью метода прогонки и с помощью квадратурной формулы трапеций. Алгоритм, основанный на лустойчивых разностных схемах, удалось распараллелить, после чего было проведено несколько быстрых расчётов на кластере НГУ (см.

Четвёртая глава состоит из четырёх параграфов. Здесь речь идёт о применении технологии, разработанной в гл. 1, для поиска стационарных решений задачи о переносе заряда в 2D кремниевом транзисторе MOSFET с наноканалом из оксида кремния. Подробное описание такого транзистора с электронной проводимостью приведено в работе V. Romano .

В з1 для уравнений (1), (2) дана постановка задачи о переносе заряда в транзисторе MOSFET. Схематическое изображение данного транзистора

6Romano V. 2D Numerical Simulation of the МЕР Energy-Transport Model with a Finite Difference Scheme // J. Сотр. Fhys. 2007. Vol. 221. P. 439-468.

16

0.230000 048П000 0.730000

Оа 0.220000аа 0.460П00аа 0.700000аа 0.94 1а 0аа П.220000аа 0400000аа 0.700000аа 0.94 1

Рис. 3. Результаты расчётов, полученные: а - с применением подхода 1 при

V= 1 Volt, 6 = 0, 004, L= 6 х 10~7m; б - при использовании схемы подхода 2

для V= 1, 5 Volt, 6 = 0, 004, L= 3 х 10~7т

приведено на рис. 4. Его существенной особенностью является наличие на-

ноканала из оксида кремния Q.Q.

У
1+/	gale
	sourceа l\		0G<Si02)		drain
7/8	/.+ _ /3=1 0+		S Pаа \а '- P-bаа \ fi<si)аа !			7/8
J_			; ;			_Ц
II	1/4		S/16 hulkаа 11/16	3/4		1аа 1

Замечание 3. Поскольку перенос заряда в наноканале Q.Q(см. рис. 4) отсутствует, то в области Q.Qэлектрический потенциал Ф(, х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа:

Фуу = о,

(15)

ДФ = ФТ

Рис. 4. Схематическое представление 2D кремниевого транзистора MOSFET

В з1 гл. 4 для математической модели (1), (2), (15) выставлены граничные условия. Следуя схеме рассуждений гл. 1, мы свели поставленную краевую задачу к поиску решения системы трёх уравнений Пуассона для неизвестных R, <f, ё = ^Е Ч 1 в области О. = {(ж, у) : 0 < х, у < 1}.

В з2 гл. 4 предложен один способ преодоления сложностей, возникших на пути применения технологии гл. 1, для поиска приближенных решений полученной краевой задачи для

17

уравнений Пуассона. Непосредственному применению данной технологии мешало только одно обстоятельство - условия склейки на границе S-1фу = <fy, Ф = <р, связывающие потенциал <р с потенциалом Ф. Пусть 1Х и 1у

-аа длина и ширина наноканала Q.Qсоответственно. В з2 показано, что если

отношение ем = f~ пренебрежимо мало, то краевую задачу для потенциала

Lpв области О. можно доопределить, т. е. на множестве Sможно сформули

ровать дополнительное смешанное краевое условие для функции tp.

Вид этого условия (см. (16)) определяется в результате упрощения проце

дуры поиска потенциала Ф в наноканале CIq.

<p(x,l)+3ly<py(x,l) = G,а (x,l)eS.(16)

В результате, учитывая (16), мы можем использовать технологию гл. 1 для поиска приближённых значений потенциала <р в области Q.

В з3 гл. 4 для верификации технологии, предложенной в гл. 1, в совокупности с методом установления и параболической регуляризацией мы применили хорошо известный метод продольно-поперечной прогонки (п.п.п.). Этот метод основан на использовании разностных отношений, посредством которых аппроксимируются производные неизвестных функций. Для его реализации необходимо ввести пространственную и временную разностные сетки. Переход от предыдущего временного слоя к следующему осуществляется в два этапа: первый этап - продольная прогонка, второй

-аа поперечная. В соответствии с идеей метода установления, данные опера

ции осуществляются до тех пор, пока решение не установится. В результате

находим стационарное решение задачи о переносе заряда в MOSFET.

Параграф 4 посвящен проблемам реализации построенных вычислительных схем. Здесь описано несколько высокоэффективных способов, которые позволили нам добиться сходимости метода установления и получить решение задачи о переносе заряда в 2D транзисторе MOSFET с необходимой точностью. Эти способы включают итерации по нелинейности, фильтр нелинейного сглаживания, применённый вдоль осей абсцисс и ординат, и процедуру вытягивания параметров.

В з4 приведены результаты расчётов, проведённых с использованием разработанной технологии и метода п.п.п. После трансформации вычислительной схемы подхода 1 с использованием новых вспомогательных переменных были найдены стационарные решения задачи о переносе заряда в транзисторе MOSFET (рис. 5). Данные решения были получены при следующих значениях параметров:

VD = IV, VG = IV, В = -25, 328, S= -0,001, ly= 20пго.

Здесь V]j- напряжение на стоке drain, Vq- напряжение на затворе gate, В - безразмерное напряжение на корпусе bulk, 5 - безразмерная плотность легирования в области Cl\ П+ (см. рис. 4).

Необходимо заметить, что получить решение для данного набора параметров задачи удалось при помощи метода п.п.п., хотя при расчётах с дру-

18

Patential(YM)

Рис. 5. Распределения энергии и электрического потенциала в транзисторе MOSFET, полученные в ходе расчётов методом п.п.п.

гими значениями параметров алгоритм, основанный на идеях гл. 1, оказался намного эффективнее прогонки.

В Приложении I диссертации подробно описан процесс обезразмерива-ния уравнений МЕР модели, приводящий к системе (1), (2). Приложение

II СОДерЖИТ ЯВНЫе ВЫражеНИЯ ДЛЯ КОЭффиЦИеНТОВ С,аа Сц, ..., С22, стоящих в

правой части системы (1).

В Приложении III предложенная в диссертации технология апробирована при изучении вопроса об устойчивости ударных волн в сжимаемом вязком газе, движение которого описывается известными уравнениями Навье-Стокса. Приложение III содержит 3 параграфа, в которых дана постановка задачи для уравнений Навье-Стокса и сделаны необходимые преобразования. С помощью разработанной технологии были организованы расчёты, результаты которых (см. з2, 3 Приложения III) показали устойчивость рассмотренных ударных волн при определённых значениях параметров.

Приложение IV также служит демонстрацией работоспособности предложенной технологии. Здесь рассмотрена задача, напрямую связанная с добычей нефти, а именно с разрушением слоистых водонефтяных структур, которые, блокируя транспортную структуру коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения.

В з1 Приложения IV кратко описана система гидродинамических уравнений для газосодержащих нефтяных слоистых систем. С учётом весьма правдоподобных упрощающих предположений после преобразований данной системы для малых деформаций и слоистой структуры поставлена двумерная нестационарная смешанная задача.

Для поиска численного решения полученной задачи в з2 использована технология, разработанная в диссертации. В результате при определённых значениях параметров обнаружен эффект роста со временем амплитуды ко-

19

ебания решения (рис. 6). Это и есть искомый параметрический резонанс, приводящий к разрушению слоистой структуры.

Ц

10 00D

а ооо

6 000 4 000 2 000

аа о

-2 000 -4 000 -6 000 -8 000 -10 000

0 1847,100000 4282,170000 6717,240000 9152,31000 11280 t

Рис. 6. Зависимость амплитуды колебаний решения от времени

В заключении к диссертации сформулированы результаты проведённой работы и описан круг задач для дальнейших исследований в рамках применения разработанных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК:

1. Блохин А. М., Ибрагимова А. С, Семисалов Б. В. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках // Мат. моделирование. 2009. Т. 21. N 4. С. 15-34.
2. Блохин А. М., Ибрагимова А. С, Семисалов Б. В. Конструирование вычислительных алгоритмов для задачи о баллистическом диоде // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2010. Т.50, N 1. С.188-208.
3. Блохин А. М., Боярский С. А., Семисалов Б. В. Один способ построения разностных моделей для системы моментных уравнений, описывающих перенос зарядов в полупроводниках // Вести. НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т.9, вып. 4. С. 3-15.
4. БЛОХИН А. М., СЕМИСАЛОВ Б. В. Конструирование одного класса вычислительных схем в задаче о баллистическом диоде // Мат. моделирование. 2010. Т. 22(5). С. 3-21.

В зарубежных журналах:

1. Blokhin А. М., Boyarsky S. A., Semisalov В. V. On an approach to the construction of difference schemes for the moment equations of charge transport in semiconductors // Le matematiche. 2009. Vol. LXIV. Fasc. I. P. 77-91.
2. Blokhin A. M., Semisalov B. V. Design of numerical algorithms for the problem of charge transport in a 2D silicon MOSFET transistor with a silicon oxide nanochannel // J. Phys.: Conf. Ser. 2011. Vol. 291. Art. 012016.

URL: 20

В трудах международных конференций и семинаров:

1. Blokhin А. М., Semisalov В. V. The construction of one>
2. Blokhin A. M., Semisalov B. V. The construction of numerical algorithms for the ballistic diode problem // Proc. Int. Conf. on Computational Technol. In Electrical and Electronics Engineering Sibircon-2010. Irkutsk, Listvyanka, July 11-15, 2010. Vol. I. P. 432-437 (IEEE Region 8).
3. БЛОХИН A. M., СЕМИСАЛОВ Б. В. Конструирование вычислительных алгоритмов в задаче о переносе заряда в кремниевом транзисторе MOSFET с нанока-налом из оксида кремния: Тез. докл. III Междунар. форума по нанотехнологиям. М.,1-3 нояб. 2010 (электронный ресурс).

В тезисах конференций:

1. Ибрагимова А. С, Семисалов Б. В. Конструирование вычислительного алгоритма для одномерной МЕР-модели переноса зарядов в полупроводниках // XLVII Международная студенческая конференция (ISSC). Россия. Новосибирск, 12.04 - 15.04.2009. С. 222.
2. Семисалов Б. В., Боярский С. А. Один способ построения разностных моделей для системы моментных уравнений, описывающий перенос заряда в полупроводниках // XLVIII Международная студенческая конференция (ISSC). Россия. Новосибирск, 10.04 - 14.04.2010. С. 220.

Подписано в печать 05.05.2011 г.

Формат бумаги 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1,3. Усл. печ. л. 1,3.

Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский центр НГУ.

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

21

     Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]