Все авторефераты докторских диссертаций

Характеристики роста решений динамических систем и их применение в математическом моделировании

Автореферат докторской диссертации

На правах рукописи

ЛАСУНСКИЙ АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ

ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА РЕШЕНИЙ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Великий Новгород - 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого на кафедре высшей математики

Официальные оппоненты:аа доктор физико-математических наук,

профессор Терехин Михаил Тихонович

доктор физико-математических наук,

профессор

Галкин Валерий Алексеевич

доктор физико-математических наук,

профессор

Панов Евгений Юрьевич

Ведущая организация:аа Казанский национальный исследовательский

технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится 14аа мая 2012 года в_________ а на заседании диссертационного

совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете имени Ярослава

Мудрого по адресу: 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д.41,

ауд._____

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Автореферат разосланаа "___ " _______________ 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, М. С. Токмачев

к. ф.-м. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В понятие динамической системы ранее вкладывали чисто механическое содержание. Под динамической системой понимали совокупность тел, взаимодействие которых описывается системой дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. В результате длительной эволюции научных представлений понятие динамической системы становилось шире, охватывая объекты разной природы. О динамической системе в современном понимании говорят в том случае, если можно указать набор величин (динамических переменных), характеризующих состояние системы, а значения этих переменных в любой последующий момент времени можно получить из исходного набора с помощью оператора эволюции системы. В такой постановке вопроса планетная система, биологические популяции, химические реакции, электрические цепи, модели конкуренции в экономике - это динамические системы. В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится затруднительным и невозможным. Решения дифференциальных и разностных уравнений лишь в редких случаях можно получить в виде аналитической формулы. И даже если это возможно, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать с качественной точки зрения. Актуальным становится совмещение численного эксперимента с различными аналитическими методами исследования. Использование компьютера позволило получить новые интересные результаты в области качественной теории дифференциальных и разностных уравнений. Отметим, что применение компьютерных методов не должно ограничиваться простым моделированием. Оно должно базироваться на глубоком предварительном теоретическом исследовании.

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования, обоснованию математических методов при исследовании устойчивости решений динамических систем. Разрабатываются численные методы и комплексы программ для решения задач в этой области. В качестве объектов приложения теоретических исследований изучаются модели динамики численности биологических популяций.

Исследованиям непрерывной зависимости решения от начальных данных на бесконечном промежутке посвящены классические работы A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, О. Перрона, К.П. Персидского, Н.Г. Четаева и др. Когда мы применяем теоремы об устойчивости по первому приближению, мы сталкиваемся с проблемой проверки правильности линейной системы. Нужно уметь также вычислять характеристические показатели реше-

ний системы первого приближения. Характеристический показатель, введенный Ляпуновым, оценивает изменение модуля функции на бесконечности по сравнению с экспонен-той. С целью дальнейшего уточнения поведения функции на бесконечности разными авторами вводились и изучались другие характеристики: нижний показатель (О. Перрон), характеристическая степень (Б.П. Демидович), характеристический вектор (Хоанг Хыу Дыонг), центральные показатели (Р.Э. Виноград), генеральные показатели (П. Боль), экспоненциальные показатели, сигма-показатели (Н.А. Изобов) и другие показатели. Одной из основных задач первого метода Ляпунова является оценка изменения характеристических (и других показателей) линейной системы

x = A(t)x,аа xeRn,аа A(t)eC[0,+<x>),аа sup|,4(0|<^а 0)

при различных возмущениях. С практической точки зрения интерес представляют результаты, которые удается сформулировать в терминах коэффициентов системы.

В теории линейных систем большую роль играют введенные и изученные A.M. Ляпуновым правильные системы дифференциальных уравнений. Эти системы включают в себя приводимые и почти приводимые системы (Б.Ф. Былов) и играют ведущую роль в теории устойчивости по первому приближению. Понятие правильности системы в непрерывном случае было обобщено в работах Б.П. Демидовича (вполне правильные системы) и работах Хоанг Хыу Дыонга (правильность т - го порядка). Понятие правильной линейной системы в дискретном случае, введенное на основе показателей О. Перрона, было дано Ю.Г. Остаповым. Им же получены некоторые свойства подобных систем. Позднее в своих работах В.Б. Демидович дал современное определение правильной конечно-разностной линейной системы

x(t +1) = A(t)x(t)(2)

где xeRn, detA(t)*0, t e Z+,аа sup |A{t)\ < M,а sup A l{t)

Определение правильности по Ляпунову дается в терминах характеристических показателей решений рассматриваемой системы. С практической точки зрения проверка правильности линейной системы вызывает определенные затруднения, так как характеристические показатели в общем случае не известны. Получение достаточных признаков различных видов правильности системы остается актуальным и в настоящее время.

Устойчивость характеристических показателей тесно связана с интегральной раз-деленностью линейной системы. Введение этого понятия, изучение свойств интегрально разделенных систем имеет достаточно длинную историю, которую можно проследить по

работам О. Перрона, Дж. Лилло, Б. Ф. Былова, Р.Э. Винограда, К. Палмера, И. У. Бронштейна, В.Ф. Черния, В.М. Миллионщикова, Н.А. Изобова, И.Н. Сергеева и многих других авторов. Определение интегральной разделенности (Б.Ф. Былов) апеллирует к фундаментальной системе решений, следовательно, проверка интегральной разделенности системы, как и проверка правильности, затруднительна. Продолжение исследований в этой области остается актуальным. Получение достаточного признака интегральной разделенности линейной системы дает достаточные условия устойчивости характеристических показателей, что во многих случаях упрощает применение первого метода Ляпунова. Отметим, что дискретный аналог интегрально разделенных систем (2) еще не рассматривался, следовательно, такие системы еще не изучались.

Одна из основных проблем теории разностных уравнений - это устойчивость их решений. Вопросы устойчивости получили всестороннее развитие в работах О.Перрона, В. Хана, А. Халаная, Д. Векслера, П.В. Бромберга, И.М. Рапопорта, П.И. Коваля, В.Б. Демидовича, Д.И. Мартынюка, И.В. Гайшуна, М.И. Гиля, С. Элайди, Р.А. Прохоровой, Г.А. Леонова и многих других авторов. К настоящему времени эти исследования достигли уровня, сравнимого с теорией устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений. Интерес представляют дискретные аналоги свойств решений систем дифференциальных уравнений.

Теоретические результаты диссертации иллюстрируются на примере динамики численности биологических популяций. Математическое моделирование в этой области имеет достаточно длинную историю и восходит к Леонарду Фибоначчи (задача о числе кроликов) и Томасу Мальтусу, автору нашумевшей концепции о том, что скорость изменения численности населения с течением времени t пропорциональна ее текущей численности. Классические модели Ферхюльста, Лотки-Вольтерры, Колмогорова, Риккера предполагают постоянство коэффициентов математических моделей. Поведение траекторий в окрестности стационарных точек популяционных моделей исследуется проще с помощью теорем об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для автономных систем. В реальных биологических сообществах коэффициенты рождаемости и смертности не постоянны. Интерес представляет случай периодического изменения мальтузианских коэффициентов, что соответствует сезонным изменениям в природе. Актуальными являются исследования для неавтономных биологических моделей с учетом заповедников, пассивных стадий жизнедеятельности и т.д.

Решение дифференциальных уравнений численными методами основано на сведении этих уравнений к уравнениям в конечных разностях. Важной проблемой, возникающей при такой замене, является проблема сохранения качественных характеристик иссле-

дуемых систем. Переход от непрерывных уравнений к разностным уравнениям может повлечь существенное изменение свойств решений системы, в частности, может нарушиться устойчивость. Вопросами согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений, а также вопросами коррекции разностных схем для обеспечения этой согласованности занимались В.И. Зубов, П.И. Коваль, К. Деккер, Я. Вервер, М.А. Скалкина, А.П. Жабко, А.Ю. Александров и многие другие авторы. С практической точки зрения актуальной является задача по выделению классов систем, для которых сохранение качественных характеристик при дискретизации имеет место и без дополнительной коррекции разностных схем. Для решения ряда задач кроме согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости требуется также сохранение таких характеристик, как устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям, границы бассейна аттрактора и др. Особый интерес представляют системы дифференциальных уравнений, нулевые решения которых асимптотически устойчивы в целом (глобально асимптотически устойчивы).

Цель работы. Разработка фундаментальных основ математического моделирования в области теоретического обоснования качественного исследования решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Получение критериев существования асимптотически устойчивых решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений. Построение алгоритмов нахождения циклов дискретных уравнений с заданной точностью, проверка устойчивости циклов. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих с помощью новых теоретических результатов и известных численных и аналитических методов решать задачи в области качественной теории дифференциальных и разностных уравнений. Разработка и обоснование численных методов исследования на примере динамики численности биологических популяций.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

Хаа С помощью метода замораживания найти достаточные условия асимптотической

устойчивости линейной системы разностных уравнений и достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений. Разработать программу для исследования на асимптотическую устойчивость положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва", корректность которой базируется на этом теоретическом результате.

Хаа С целью теоретического обоснования качественного исследования решений мате-

матических моделей получить достаточные признаки интегральной разделенности,

диагонализуемости, малого изменения различных характеристик роста решений

инейных систем дифференциальных уравнений. Найти дискретные аналоги оценок Ляпунова, Богданова, Важевского характеристических показателей. Ввести дискретный аналог понятия интегральной разделенности для линейных систем разностных уравнений, изучить свойства таких систем.

Хаа Для дискретного периодического логистического уравнения получить оценку сни-

зу числа положительных циклов, отличных от положения равновесия. Разработать программу по нахождению циклов этого уравнения с заданной точностью. В программе предусмотреть возможность изменения периода коэффициентов, самих коэффициентов уравнения. Реализовать проверку устойчивости (неустойчивости) циклов, а в случае устойчивости цикла возможность уточнения границ его бассейна.

Хаа Найти достаточные условия существования и асимптотической устойчивости по-

ложительного положения равновесия модернизированной неавтономной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника. Получить условия согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при использовании численных методов решения систем дифференциальных уравнений.

Хаа Получить признаки устойчивости положений равновесия некоторых неавтономных

систем и рассмотреть их приложение с точки зрения влияния линейной схемы введения пассивных стадий жизнедеятельности на устойчивость положительного положения равновесия некоторых неавтономных моделей биологических сообществ. Для неавтономной модели "Consensus" найти достаточные условия существования положительного асимптотически устойчивого положения равновесия. Написать программу, иллюстрирующую этот теоретический результат.

Хаа Разработать комплекс программ для нахождения положений равновесия иаа перио-

дических решений некоторых классов динамических систем, в программах предусмотреть проверку устойчивости этих решений. Провести исследования, касающиеся точности нахождения элементов циклов методом итераций. При численном решении систем дифференциальных уравнений учитывать сохранение положения равновесия и его асимптотической устойчивости.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы теории устойчивости систем дифференциальных и разностных уравнений, в частности, метод триангуляции Перрона-Винограда линейной системы, "метод замораживания", предложенный В.М. Алексеевым и развитый в работах Р.Э. Винограда, Н.А. Изобова, Л.Д. Зам-

ковой, М.И. Гиля и других авторов. Используются методы, разработанные Б.Ф. Быловым, Р.Э. Виноградом, В.М. Миллинщиковым, Н.А. Изобовым, Л.Я. Адриановой и другими авторами для получения признаков устойчивости характеристических показателей и характеристических векторов Хоанг Хыу Дыонга. При исследовании моделей динамики численности изолированных и взаимодействующих популяций применяются теоремы A.M. Ляпунова об устойчивости по первому приближению и разработанные позднее дискретные аналоги этих теорем. Используются классические численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, методы отыскания корней нелинейных уравнений. Комплекс программ для персонального компьютера написан автором.

Научная новизна.

Получены новые результаты в теории устойчивости решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Эти результаты позволили найти новые достаточные условия асимптотической устойчивости положений равновесия динамических систем, в частности, популяционных моделей.

Разработаны алгоритмы и сформирован комплекс программ, которые позволяют применять известные аналитические и численные методы для нахождения положений равновесия и периодических решений систем дифференциальных и разностных уравнений. В программах предусмотрена проверка устойчивости (неустойчивости) этих решений, определение границ бассейна устойчивого решения.

Разработаны новые модели динамики численности биологических популяций, в которых учитывается переменность мальтузианских коэффициентов, пассивные стадии жизнедеятельности, наличие убежища для жертвы.

Все результаты, представленные в диссертации, строго доказаны, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные теоретические результаты являются значимым вкладом в разработку фундаментальных основ, на которых базируется применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ при решении прикладных задач, связанных с устойчивостью решений динамических систем. Практическое приложение теоретических результатов продемонстрировано на примере математических моделей, описывающих динамику численности биологических популяций. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения численных расчетов. Разработанные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить качественные характеристики решений динамических систем. Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций с учетом заповедников, пас-

сивных стадий жизнедеятельности и т.д. Проведенные исследования могут быть использованы в учебном процессе, в частности, при подготовке спецкурсов для студентов и аспирантов.

Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата, корректностью математических выкладок, согласованностью с ранее полученными результатами других авторов, результатами расчетов на вычислительных машинах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры обыкновенных дифференциальных уравнений (проф. В.А. Плисе) Санкт - Петербургского государственного университета, на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета (проф. А.В. Язенин), на семинаре кафедры математического анализа НовГУ (проф. А.П. Солдатов), на семинаре "Обобщенные решения нелинейных интегро-дифференциальных и разностных уравнений" (проф. ЕЮ. Панов) (НовГУ).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: IV Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Уфа, 1989 г., III, IV, V международные конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2006 г., 2008 г. и 2011 г., XIV международная конференция "Математика. Экономика. Образование" и IV международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Ростов-на-Дону, 2006 г., III международная научная школа "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", Саранск, 2007., XV международная конференция "Математика. Образование", Чебоксары, 2007 г., XVIII международная конференция "Математика. Экономика. Образование" и VI международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Ростов-на-Дону, 2010 г., международные научно-методические конференции "Математика в вузе" в Санкт - Петербурге в 1998 г., в Тирасполе в 1999 г., в Великом Новгороде в 2000 г., в Пскове в 2001 г., в Великих Луках в 2002 г., в Петрозаводске в 2003 г., в Санкт - Петербурге в 2004 г., в Великом Новгороде в 2005 г., в Пскове в 2006 г., в Мурманске в 2007 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 39 работ, из них 15 статей в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций. Получены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлены 3 отчета по НИР.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, основной части, содержащей пять глав, которые подразделены на 24 параграфа, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 246 страниц. Список литературы включает 244 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность работы, дан краткий обзор истории и современного состояния проблематики и литературы по теме диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость.

В первой главе с помощью метода замораживания решается задача о нахождении достаточных условий асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений (2), а также достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений. Приведено описание численных методов и алгоритмов, лежащих в основе исследования на асимптотическую устойчивость положительного положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва". Результаты счета программы, написанной для этого случая, подтверждают справедливость теоретических положений этой главы.

Для системы (2) с переменной матрицей, вообще говоря, не существует столь прямой связи между собственными числами ?^ if) матрицы A{f) и устойчивостью системы, что наблюдается для постоянной матрицы коэффициентов. Рост решений стараются связать с величинойаа ^K=sup 1ШХгКг(7) . Но эта идея в чистом виде не проходит. Даже

если ? < 1, система может иметь неограниченные решения. Нужно вносить дополнительные условия на скорость изменения элементов матрицыаа A{f). В теории линейных

систем дифференциальных уравнений хорошо известен "метод замораживания", разработанный В.М. Алексеевым. Н.А. Изобовым доказана неулучшаемость основной его оценки (оценки В.М. Алексеева - Р.Э. Винограда) старшего показателя линейной нестационарной системы. Получены уточнения этой оценки и ее интегральный вариант, как для двумерных, так и для и-мерных линейных систем. Идея метода замораживания была перенесена на дискретные системы Л.Д.аа Замковой. Метод замораживания на нелинейные

системы дифференциальных и разностных уравнений перенесен в работах М.И. Гиля и

Р. Медина. В этой главе с помощью метода замораживания получена новая оценка решений линейной разностной системы (2) и достаточные условия асимптотической устойчивости этой системы. Этот результат обобщает ранее полученный результат Л. Д. Замковой.

Теорем 1.а Еслиа матрицаа A\t)аа системыаа (2) удовлетворяет условию

\A(ю2 ) Ч ?(?? ) < ? I ?2 Ч h I ж> & > О, СС > О, О достаточно мало, то для любого решения этой системы справедлива оценка

?*(?|<?(?)|(?+?"~?.

Здесьаа a)=(y + Lуl/{n+a))exp((n + a-\)уl/{n+a)),^=supmax|^/-(0|,

Yа i(f), i = \,...,n - собственные значения матрицыаа A(t),аа L - постоянная из оценки

Ак {t) < L{\ + kyv ??, н,JcgZ+,аа n - порядок системы.

Для старшего показателяаа ? исходной системы имеем оценку ? < со. Ясно, что еслиа Y < 1, то при достаточно маломаа ? система (2) асимптотически устойчива. Случай

а = 1аа изучался в работах Л.Д. Замковой.

Приводятся примеры, показывающие отсутствие прямой связи между устойчивостью системы (2) и собственными числами переменной матрицы A\ю), что наблюдается в

автономном случае. Метод построения таких систем аналогичен методу построения линейных систем дифференциальных уравнений с нужными свойствами (Р.Э. Виноград). Предыдущий результат перенесен на почти линейную систему

y{t +1) = A(t)y(t) + f(t, y(t)),а /(f,0) = 0 . (3)

Теорема 2.а Пусть матрица A(t)а системыа (3) удовлетворяет условию

\A(n)-A(k)\<S\n-k\a, ?>0, а>0идляэтойматрицыпостоянная

Y Ч Slip maxгК; (п)\а меньше 1. Пусть вектор - функция f(t,y(ty)а такова, что

п>0 i

\f{t,y(t)М<ys(t)-\y(t)\

-CO

и ряд 2^?(?)а сходится, тогда тривиальное решение почти линейной системы (3) экс-

п=0

поненциалъно устойчиво при достаточно малома ?.

Рассматриваются более слабые ограничения на возмущение f(t,y(t)) с сохранением утверждения теоремы об экспоненциальной устойчивости тривиального решения.

Утверждение теоремы 1 позволяет получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости положительного положения равновесия дискретной экспоненциальной модели.

Теорема 3. Еслиаа ссп иаа ??аа положительные, ограниченные, периодические последовательности такие, что матрица А(п)а системы

ип = А(п)иг

\-апх0 - SanXQ

п+\

V Т0пУоа м-AJV удовлетворяет условиям

\SpA(n)\-\ + s<dQtA(n)<\-s, ?>0,

\\A(n)-A(k)\\<S\n-k\a,аа а>0,

то при достаточно малой постояннойа S положение равновесия

i _ саа т + 1

х0 =------ Ч, у0 =-------- , Se(0;l),аа Г>0

дискретной экспоненциальной модели системыа "хищник - жертва "

гхп+х = хп ехр(аД(1 -хп- Syn)), [Уп+\ = Уп ехр(А* (1 + Тхп - уп )),

асимптотически устойчиво.

В приложении приведены результаты работы программы, подтверждающие эти теоретические положения.

Вторая глава посвящена разработке фундаментальных основ, на которых базируется применение математического моделирования, численных методов и комплексов про-

грамма при решении прикладных задач, связанных с устойчивостью решении систем разностных уравнений.

Аналогом линейной системы дифференциальных уравнений с кососимметричной матрицей коэффициентов является линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей коэффициентов. Первая из этих систем приводима к системе с нулевой матрицей. Показано, что линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей коэффициентов приводима к системе с единичной матрицей. Этот факт вытекает из следующей теоремы.

и-1 Теоремаа 4. Если все решения системыаа (2)а ограничении Iа I |det^4(г)| > ?> О ,

k=0

то система (2) приводима к системе с единичной матрицей коэффициентов.

Некоторые результаты теории линейных систем дифференциальных уравнений, касающиеся сохранения устойчивости и асимптотической устойчивости при линейном возмущении матрицы коэффициентов, перенесены на линейные системы разностных уравнений. Построен пример, являющийся дискретным аналогом примера Перрона из теории линейных систем дифференциальных уравнений. Этот пример показывает, что и в теории линейных систем разностных уравнений в случае переменной матрицы коэффициентов не сохраняется устойчивость при линейном возмущении, удовлетворяющем условию сходимости ряда от нормы этого возмущения.

Пример 1. Общее решение системы

xAt +1) = exp((Y + V)costy\og2(t +1)) - tcos^\og21) - 2а)хМ),

t e N. x2(t + \) = Qxp(-a)x2(t),

имеет вид ?? (t) = Q exp(7 cos(;rlog21) - 2at, x2 (t) = C2 Qxp(-at).

Еслиаа a > Ч ,а то система асимптотически устойчива, т.к. все ее решения стремятся к нулю при t Ч> +GO .а У возмущенной системы

\y\{t +1) = ехр((7 + l)cos(^log2(/1 +1)) - /1cos(^log21) - 2а)у^ + exp(-at)y2, [y2(t + \) = Qxp(-a)y2

+ 00

для матрицы возмущенияа B(t) выполняется условие о сходимости ряд У. г^(0

t=\

Общее решение возмущенной системы имеет вид

t-\ yi(t) = exp(7cos(;rlog21) - 2at){C\ + C2 ^exp(-(г + l)cos(^log2(^ +1)))),

k=l

y2(t) = C2Qxp(-at).

Еслиаа С2 ^ 0аа иаа а < Ч, тоа lim т(/) = +, а значит, возмущенная система неустой-

8 НЧ>+оо

чива.

Далее в главе вводится понятие разделенной системы (2), аналогичное понятию интегральной разделенности системы (1).

Определение 1. инейная системаа (2) разделена, если у этой системы существует базиса ??(?),...,??(?), для которого при всехаа t>s>0выполняется неравенство

\\XМ + lv)\\.а \\XМv)\\.аа 1а t-S, 1а оа Даа i

irа тг : тга ?>??, ? = l,z,...,n-l

\\xм+\\s)\\а \\xм\s)\\

с некоторыми константами d e (0;1], ? > 1.

Показано, что разделенная система (2) диагонализуема. Непрерывный аналог этого результата установлен Б.Ф. Быловым.

Во второй главе, посвященной разработке фундаментальных основ, на которых базируется применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ при решении прикладных задач, связанных с устойчивостью решений систем разностных уравнений, решены следующие задачи:

получены коэффициентные оценки показателя Даламбера для решений линейной системы разностных уравнений;
введен дискретный аналог понятия интегрально разделенной линейной системы (по Б.Ф.Былову), рассмотрены свойства таких систем разностных уравнений;
результаты теории линейных систем дифференциальных уравнений, касающиеся сохранения устойчивости и асимптотической устойчивости при линейном возмущении матрицы коэффициентов, перенесены на линейные системы разностных уравнений.

Третья глава посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования в области устойчивости решений систем дифференциальных уравнений. Она содержит результаты, касающиеся малого изменения характеристических показателей, в частности, их устойчивости для линейных систем дифференциальных уравнений. Здесь получены достаточные условия устойчивости характеристических векторов Хоанг Хыу Дыонга, представлен ряд результатов о диагонализуемости и интегральной разделенности линейной системы (1).

Если линейная система (1) второго порядка приводима к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами, то в этом случае ее центральные пока-

зателиаа ? = ш= Ч SpA(t) . По теореме Былова - Изобоваа - Миллионщикова характери-

стические показатели системыа (1),аа также равныеаа ЧSpA(t\ устойчивы. С этим связан

интерес к такому виду приводимости линейной системы второго порядка. Приведем формулировки некоторых результатов этой главы.

Теорема 5. Для того чтобы система (1) второго порядка была приводима к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы у системы (1) существовало нетривиальное решениеа x(t)а такое, что

1 { |jc(f)| = |jc(0)|exp- \SpA(u)dii.

2о

Теорема 6. Если система (1) второго порядка такова, что функции p(t) = (а22 - au)cos2a-(al2 + a2l)sin2a, q(t) = (а22 - au)siri2a+ (?12 + a2\)cos2a,

1 {

гдеаа a(t) = Ч \(?2\(??) Ч a^2(u))du,аа имеют нулевые интегральные средние, то харак-

0 теристические показатели системы (1) совпадают и устойчивы.

Теорема 7. Если а22 (t) ^ Щ ? (t), то система (1) приводима к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций

гдеа Г(t) =------------- является решением уравнения Риккати

а22 - ах х

?=(?22 -??)?-??2?2+?2?.

Теорем 8. Треугольная система у = B(t)y второго порядка с совпадающими диагональными коэффициентами диагонализуема тогда и только тогда, когда интеграл

\b^2(u)duа ограничен при t&Rаа .

Далее в главе рассматриваются результаты, связанные с приводимостью системы (1) к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами. Эти результаты усиливают предыдущие утверждения.

Для характеристических векторов Хоанг Хыу Дыонга в терминах определителя Грама получены достаточные условия их устойчивости. Приведем формулировки соответствующих утверждений.

Теорема 9. Если у системы (1) правильной т - го порядка существует базис решенийа X(t) = (?^ (0, ,хп (0) - для которого

G(X)

h(0||2-"|k(0||2

>Р>о,

(4)

i k-(0

<J------- ^<k, i>j, i,j=м,...,n,

xAt)

то система (1) имеет п-кратный характеристический вектор и он устойчив т го порядка. Здесь через G(x)а обозначен определитель Грама решений из базиса X(t).

Теорема 10. Если система (1) правильна т- го порядка и у нее существует базис решений, для которого выполнены неравенства (4) и

\???

Ч <а lim

Кt-

dr<K,а i> j

?-\-^-

colnmt

???)

м i jm-\

?\\???

?=0

гдеаа \nmt = \n(\nm_it), lnбн = \nt, moсистем (1)аа имеет n- кратный характеристический вектор т- го порядка и он устойчив т го порядка.

С помощью теоремы Р.Э. Винограда о границах подвижности показателей Ляпунова получены достаточные условия малого изменения характеристических показателей линейной системы второго порядка. Приведем формулировку этого утверждения.

Теорема 11. Если линейная системаа (1)аа второго порядка имеет решениеаа X\(t)

такое, что

0>(н) = |r*l(O|exp

Ч \SpA(u)du

2 Vаа о

- монотонная функция приаа t ? Rаа , то для любогоаа ? > Оаа существуетаа ? > Оаа такое,

что для любого возмущенияа Q{t) '. Slip (2(0 < ?а характеристические показатели воз-

t&R+

dx мущенной системы Ч = (A(t) + Q(t)) принадлежат промежутку dt

(5??(?)-?(??(?))-?; ?(??(?)) + ?)

в случае возрастания функцииа ?(?) и промежутку

(Z(xi(t)) - ?; SpA(t) - ?{??{?)) + ?)

в случае убывания этой функции.

Следующие результаты касаются диагонализуемости и интегральной разделенно-сти линейной системы (1).

Теорема 12. Если у линейной системы (1) существует фундаментальная система

решении такая, что

COsZ(xi(t),x1(t))

п-\

где 0 < ? <------- , i, J' Ч ?,..., ?, i ^ j, n>2, то система (1) диагонализуема.

п-\

Теорема 13. инейная система (1) второго порядка диагонализуема на R тогда и только тогда, когда у нее существует нетривиальное решение x(t) = (Х}(/), Л^СО) та~ кое, что для некоторой постоянной С e R

Н-

С +

Vаа о

v(t)

2а 2-

^(^22 ~ а\\)х\х2 + О2!2 + а2\)(х\а ~xl)

||jc(w)|| v(u)

<K <+oo

для всех t ? R+, гдеа v(t) = \x(t)\аа exp

\SpA(u)du

Vаа 0

В заключение третьей главы приведены достаточные условия малого изменения характеристических показателей правильной линейной системы аа(1). Этот результат раз-

вивает одну теорему В.М. Миллионщикова о малом изменении направлений решений линейной системы (1) при малых возмущениях коэффициентов.

Теорема 14. Если линейная система (1) с непрерывной и ограниченной матрицей коэффициентов A(t) e C[Нq, + <x>), И(0 <^ правильна и существуют линейно независимые решения ??(?),...,??_?(?') системы (1) и линейно независимые решения У\(f),...,yn_\(?)а возмущенной системы

JL = (A(t) + Q(t))y,аа \\Q(t)\\<S,(5)

такие, что1) COSаа Z(Xj(t),x??))< R?аа , i ^ j;

2) sin2 ? (Xjit), уj(t))<S2b2, i = м,...,n-м,аа R>0,аа S>0,

то характеристические показатели систем (1) и (5) отличается не более чем на NS, гдеа N - постоянная, зависящая от

R,S,n,S,M-

В третьей главе, посвященной разработке фундаментальных основ математического моделирования в области устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, получены теоретические результаты, касающиеся малого изменения различных характеристик роста решений линейных систем дифференциальных уравнений.

Четвертая глава посвящена численным методам и алгоритмам исследования устойчивости решений динамических систем. Теоретические результаты иллюстрируются на примере биологических моделей.

В своем докладе Elaydi Saber N. "Nonautonomous difference equations: open problems andаа conjectures"аа (Changsha,аа 2002)а рассматриваета неавтономноеа уравнение

Хк+\ Ч J \K, Xfc) . Он приводит теоремы о существовании периодических решений и их устойчивости, а также формулировки нерешенных задач и ряд гипотез. В частности, необходимо найти условия на коэффициенты ?^, при которых уравнение

4+i=xkQ*V(rk(\-xk))(6)

имеет устойчивый в целом р - цикл.

Интересные результаты, касающиеся этого вопроса, получены китайскими математиками Xiang Hong-jun, Liao Lu-sheng, Wang Jin-hua (2001), Zhan Zhou, Xingfu Zou (2003).

Zhan Zhou, Xingfu Zou показали, что если положительный периодический коэффициент

Vfcаа неавтономного логистическогоа уравненияа (6)а удовлетворяета условию

Гк < 1 + In 2, к ? ?+, то решение Хк = 1аа является глобальным аттрактором. Если по-

+ СО

ложительная последовательностьаа r^аа такова, что /^ Тк = +о иа lim Гк < 2, то все

Лг=0аа ^+со

решения уравнения (6) стремятся к положительному равновесию (Xiang Hong-jun, Liao Lu-sheng, Wang Jin-hua, 2001). Ясно, что это утверждение в случае периодического коэффициента Ffc усиливает предыдущий результат. Из этих результатов следует, что уравнение (6) с п - периодическим положительным коэффициентома r^аа таким,а что

max Ffc > 2, может иметь п - периодические решения, отличные от положения равнове-

сия.

В этой главе получены достаточные условия существования у дискретного периодического логистического уравнения (6) не менее двух положительных циклов, отличных от положения равновесия. Разработана программа по нахождению циклов этого уравнения с заданной точностью, реализована проверка устойчивости (неустойчивости) циклов, а в случае устойчивости цикла возможность уточнения границ его бассейна. С помощью этой программы построен пример 3-периодического уравнения (6), имеющего четыре положительных 3-цикла и пример 4-периодического уравнения (6), имеющего восемь положительных 4-циклов. К результатам китайских математиков примыкает следующий результат диссертации.

Теорем 15. Уравнениеаа (6), в котором Y^ положительная п - периодическая последовательность, такая чтоаа Iа Iа (1 ЧГ^.)>1,а имеет не менее двух положительных

п - циклов, отличных от положения равновесия.

Следующие примеры, полученные для случаев п Ч 2 иаа п Ч 3,а показывают, что по отношению к свойству устойчивости эти циклы могут вести себя по-разному.

Пример 2. Уравнениеа (6), в которомаа Г2? = 1п5, ^2А;+1 = 21п5, имеет ровно два

2-цикла: х2к = 0,7704;x2k+м = 1,1148; х2к = 2,6078;х2к+\ = 0,1961.

Первыйаа иза этихаа цикловаа асимптотическиа устойчив,аа такаа какаа мультипликатораа цикла

Iа I (1 Ч Г^Х^) = 0,6209 по модулю меньше 1. Второй цикл неустойчив, так как его к=0

1 мультипликатораа Iа I (1 Ч r^Xk) = Ч1,1790аа по модулю больше 1. к=0

Пример 3. Уравнение (6), в котором гзк = In7,1т,к+\ = 31п7, ?*з?+2 = 6 In 7, имеет четыре цикла периода 3 :

jc$ = 0,361620; jc$+1 = 1,252409; хЦ\2 = 0,286956; x^ =1,383958; 4?+? = 0,655603; xбf+2 = 4,895406; XW = 0,034469; xfk\x = 0,225631; jc^+2 = 20,732500;

x(3f = 0,027214; x(3f+l = 0,180671; xбf+2 = 21,583826;

Три первых цикла неустойчивы, так как

2аа 2

fj(l - rkxf) = -1,696097, П(1 - rkxf}) = -2,812981.

к=0к=0

Па-^43))=1>693705

к=0

2 Четвертый цикл устойчив, так кака Iа I (1 Ч ^?\аа ) = 0,310874 .

к=0

Для отыскания циклов дискретного периодического логистического уравнения и исследования циклов на устойчивость автором написано несколько программ. Предыдущие примеры построены с помощью программ, написанных специально для случаев п = 2 и п = 3. Разработана программа, когда коэффициент гк уравнения (6) имеет произвольный

период п . Пользователь программы вводит п, периодическую последовательность гк. Если после ввода Гк не выполняется достаточное условие существования не менее двух циклов, то предлагается повторить ввод другой последовательностиаа гк. Проведены ис-

следования, касающиеся точности нахождения элементов циклов методом итераций. В программе вычисляются мультипликаторы найденных циклов, которые позволяют ответить на вопрос об устойчивости цикла. Предусмотрена иллюстрация устойчивости (неустойчивости) циклов. Есть возможность повторить вычисления, изменив период П. Результаты счета этой программы приведены в приложении.

Дж. Смит исследовал известную математическую модель Лотки - Вольтерры, описывающую численность жертва x(t)аа и хищников y(t) с течением времени

х = кхх - к2у(х - ?(?, у)), j = -к3У + к4у(х - ?(?, у)),

в предположении, что некоторое число особей жертв ?\?, у) может найти убежище, в котором они недосягаемы для хищника. Он исследовал эту систему в двух простейших случаях: ?(?,у)=кх и ??>(?,_у) = к. А.С. Сумбатов рассмотрел случай "осмысленного" поведения жертвы (Р\Х, У) = ку, когда часть популяции жертвы, недосягаемая

для хищника, пропорциональна плотности популяции хищника. В последней работе в первое уравнение, описывающее динамику численности жертв, введен логистический

член Ч к^Х , л5 > 0, получены достаточные условия наличия положительного асимптотически устойчивого положения равновесия.

Следующие результаты этой главы примыкают к исследованиям Дж.а Смита и А.С. Сумбатова. Для неавтономной модели Лотки-Вольтерры

y = fi(t)y(L-\x-<p(x,y))-l),

в которой часть популяции жертвы <р(х,у) недосягаема для хищника, получены достаточные условия наличия положительного асимптотически устойчивого положения равновесияаа ваа областиаа допустимыхаа значенийаа переменных х,у.аа Рассмотреныаа случаи:

<р(х, у) = т, <р(х, у) = тх, <р(х, у) = ту.

Теорема 16.аа Если <р(х,у) = т,т>0,а М> L + m, существуют пределы lim a(t) = а>0,аа lim /?(/) = /?> О, то система (7) имеет единственное положи-

K(m + L)(M -L-m)

тельное положение равновесияаа Xq =т + L, Уо =-------------------------------- ,аа которое

асимптотически устойчиво.

Теорема 17.аа Если ?(?,?) = ту, т e (0; 1), L < М < 2L и существуют пределыаа lim cc(t) = (Х> 0,аа lim ?(?) = ?> 0, то система (7) имеет единственное по-

ожителъное положение равновесия (jнq, >o)> котоРое лежит в области допустимых значений переменных Х,у. Это положение равновесия асимптотически устойчиво. Здесь Xq - положительный корень уравнения

Ктх2 + (ML- МКт)х - ML2= 0,аа у0= ^Ч-.

При численном интегрировании системы (7) нас интересует сохранение положения равновесия при дискретизации, а также сохранение его устойчивости. Получены достаточные условия соблюдения этого факта. Результаты счета программы для этого случая приведены в приложении.

Далее в этой главе исследуется устойчивость положений равновесия некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами.

Теорема 18. Если существуют пределы

lim a(t) = а>0,аа lim ?(?) = ?>0,

то положение равновесия

?? -L,аа Уо-

К(М - L) М

(8)

системы

dxdtdydt

= a(t)x

= fi(f)y

К M \

^>0,аа M>0,аа L>0,аа teR+.

(9)

асимптотически устойчиво.

Теоремаа 19.а Пусть функции a(t) и ?(?) ограничены, отделены от нуля и являются периодическими функциями с соизмеримыми периодами. Пусть также эти функ-

ции удовлетворяют условию Липшица с достаточно малой постоянной Липшица, тогда положение равновесия (8) системы (9) асимптотически устойчиво.

Часть результатов четвертой главы посвящены исследованию устойчивости положений равновесия некоторых неавтономных дискретных моделей динамики численности биологических популяций.

Теорема 20.а Если существуют пределыа limаа ап = a, limаа ?? = bаа и

?(?

й)

e (U; 2),

-S

Ь(Т +1) e (0; 2),а moа положение равновесия

Т +1аа ?хп+1 = хп ехр(ли (l-xn- Syn)),

У а =--------- , системыа <где

ST + V'а ST + М\уп+1=упехр(0п(1 + Тхп-уп)),

S> 0, Т > 0, ОСп, ?? - положительные последовательности, асимптотически устойчиво.

Для этой модели разработана программа, в которой пользователь вводит положительные сходящиеся последовательности ссп, ??, параметры Sи Т. Для введенных данных находится положительное асимптотически устойчивое положение равновесия ( Xq, у $ ), предусмотрено уточнение границ бассейна этого аттрактора. Результаты счета представлены в приложении. Они после многочисленных экспериментов позволяют сделать предположение, что положение равновесия (Xq, у$ ), по-видимому, на самом деле

является глобальным аттрактором любого положительного решения системы.

Среди работ по одномерным отображениям отметим модель "Consensus" (Snell T.W., Serra М., 1998). Эта математическая модель, описывающая динамику коловраток, имеет вид

N(t + \) = N(t)Qxp

1а ?

?аа а + N{t) N\t)j

где N{t) - плотность популяции коловраток в данный момент времени, а - параметр, определяющий воздействие среды на скорость роста зоопланктона, ? - параметр, характеризующий особенности роста, присущие данному виду коловраток. Эта модель корректно и с хорошей точностью воспроизводит локальные изменения во времени численности рачков - коловраток, популяции которых являются важной составляющей планктонных сообществ. Дальнейшее исследование этой модели нашло отражение в работах Ф.С. Березовской и других авторов. Интерес представляет изучение неавтономной модели "Consensus".

вида

limаа Ги = Г > 0, то точка покоя

Теорема 21. Если существует

неавтономной

модели

"Consensus"

2а

fiW

1аа ?

гаа Ч ал-------- Ч

Vа V Хпаа хп J J

гп>0, ?г > О, у>0,а ау<Ч,неус-

Хп+\ = Хи ехР

11аа 11

тойчива. Если дополнительноа Г <------ 1---- ,а ,аа Г Ф------ 1------ ,а =,

a ?^1-4??2а 2?^\-???

то точка покоя

1 + д/1 - 4??

2а

этой модели асимптотически устойчива.

Для этой модели написана программа, при применении которой пользователь вводит

положительную сходящуюся последовательностьа Г , положительные параметрыа а, Ю.

Находятся положительные положения равновесия, одно из которых неустойчиво, другое асимптотически устойчиво. Ясно, что в этом случае асимптотическая устойчивость не может быть глобальной. Определяются границы бассейна устойчивого положения равновесия. Результаты счета этой программы представлены в приложении.

В результате эволюции возникают различные биологические механизмы адаптации, которые позволяют повысить живучесть данного вида. Одним из таких процессов является способность биологических особей, как простейших, так и высокоразвитых переходить из активного состояния в пассивное при наступлении неблагоприятных условий (смена времени года, резкое уменьшение рациона питания и т.д.). Простейшая формализация этого явления может быть осуществлена введением пассивных переменных в математическую модель динамики численности биологических популяций. Основополагающими работами в этой области являются работы В.Г. Ильичева. Разумеется, переход к пассивным стадиям жизнедеятельности - это сложный биологический процесс. Линейная надстройка с постоянными коэффициентами к исходной нелинейной модели динамики популяции является одной из попыток формализовать этот процесс. Актуальными являются исследования в неавтономном случае.

Линейная схема введения пассивных переменных и влияние этих переменных на устойчивость положительного положения равновесия некоторых неавтономных систем дифференциальных уравнений иллюстрируется следующими результатами.

Теорема 22. Пусть х0 - положительное положение равновесия модели х = f(t, х), которая описывает численность изолированной популяции x(t) некоторого биологического вида,а иа df(t,Xo)ldx = Г(t).а Если существует lim Г(t) = Гqаа и

Гq < О, то положение равновесия (jнq , Sq ) системы

x = f(t,x)- qx + ps, s = qx-ps(10)

асимптотически устойчиво при любых положительных р и q. Здесь S0 = qpаа Х0.

Так как почти приводимые системы правильны (Б. Ф. Былов), а функция, стремящаяся к нулю, имеет нулевое интегральное среднее, то следующая теорема усиливает предыдущий результат.

Теорема 23. Пусть система первого приближения для (10) в окрестности положения равновесия (jCq, Sq ) правильна и ?(?) Ч ?0 + s(f). Если Я0 < 0 и верхнее интегральное среднее функции \ s(t) \ достаточно мало, то положение равновесия (x0,S0) системы (10) асимптотически устойчиво.

Для модернизированной модели хищник-жертва

x = a(t)x(l-yK-l\ y = fi(t)y(xL-l-l),(11)

которая отличается от классической модели В. Вольтерры тем, что мальтузианские коэффициенты Oc(t} и /?(н) зависят от времени, получен следующие результаты.

Теорема 24. Если существуют пределыаа lim a(t) Ч а > 0 иаа lim ?(?) Ч ? > 0,

f-+COаа f-+GO

то нетривиальное положение равновесияа {L^K^qp L) системы

х = a(t)x(м - yK~l )-qx + ps, у = P{t)y{xL~l Ч 1), s = qx Ч ps(12)

асимптотически устойчиво при любых положительных р и q, тривиальное же положение равновесия неустойчиво при любых положительных р и q.

Система (12) получается введением линейной схемы перехода к пассивным стадиям для популяции жертв в модели (11).

Теорема 25. Пусть система первого приближения для (12) в окрестности положения равновесия (L, К, qp L) правильна, коэффициенты a(t) и ?(?) таковы, что oc(t\ ?(?) e [?, ?~\, ? > 0, и удовлетворяют условию Липшица с достаточно малой

постоянной Липшица, тогда нетривиальное положение равновесия системы (12) асимптотически устойчиво при любых положительныхр и q.

Аналогичные теоремы получены для случая введения линейной схемы перехода к пассивным стадиям для популяции хищников в модели (11). Дана экологическая интерпретация полученных выше результатов. Выясняется, насколько реальны для жизнедеятельности популяций условия предыдущих теорем.

В пятой главе разрабатываются алгоритмы и комплекс программ, реализующих построение положительных решений динамических систем и проверку их устойчивости. В первой программе строятся циклы дискретного периодического логистического уравнения. Результаты счета программы по отысканию циклов этого уравнения, проверке их устойчивости приведены в приложении. Для построения графиков функций используется программа Maple. Следующая программа иллюстрирует теоретические результаты об устойчивости положительного положения равновесия системы разностных уравнений на примере дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва". В программе предусмотрена возможность уточнять границы бассейна устойчивого положения равновесия. Результаты счета этой программы приведены в приложении. Далее приведена программа, которая подтверждает достаточные условия асимптотической устойчивости (неустойчивости) положительного положения равновесия неавтономной модели "Consensus". Результаты счета этой программы также приведены в приложении.

Теоретические результаты, касающиеся сохранения положения равновесия системы дифференциальных уравнений и сохранения его асимптотической устойчивости при использовании численных методов решения, иллюстрируются в следующей программе. Эта программа написана для модифицированной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника.

Разработанный комплекс программ сформирован, апробирован и зарегистрирован. В результате его применения получены многочисленные результаты по исследованию устойчивости решений динамических систем на примере моделирования биологических популяций. Тексты программ приведены в приложении.

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений и достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений. Приложение теоретиче-

ского результата при исследовании на асимптотическую устойчивость положительного положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва". Разработка программы и численных методов, иллюстрирующих этот теоретический результат.

2. При разработке фундаментальных основ математического моделирования в об

ласти теоретического обоснования качественного исследования решений систем

дифференциальных и разностных уравнений получены достаточные признаки ин

тегральной разделенности, диагонализуемости, малого изменения различных ха

рактеристик роста решений линейных систем дифференциальных уравнений. Най

дены дискретные аналоги оценок Ляпунова, Богданова, Важевского для характе

ристических показателей.

Построение алгоритма нахождения циклов дискретного периодического логистического уравнения, проверка устойчивости циклов. Достаточные условия существования у этого уравнения не менее двух положительных циклов, отличных от положения равновесия. Разработка численных методов и программы по нахождению циклов с заданной точностью. Реализация проверки устойчивости (неустойчивости) циклов, а в случае устойчивости цикла уточнение границ его бассейна.
Условия согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при дискретизации для одного класса систем дифференциальных уравнений. Иллюстрация этого факта на примере модернизированной неавтономной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника. Программа численного решения такой системы дифференциальных уравнений с учетом указанной согласованности.
Разработка некоторых неавтономных моделей динамики численности биологических с точки зрения влияния линейной схемы введения пассивных стадий жизнедеятельности на устойчивость положительного положения равновесия. Для неавтономной модели "Consensus" найдены достаточные условия существования положительного асимптотически устойчивого положения равновесия. Разработана программа, иллюстрирующая этот теоретический результат.

Заключение

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ и применению математического моделирования, численных методов и комплексов программ в области тео-

рии устойчивости решений динамических систем. Разработанные теоретические положения можно классифицировать как значительное научное достижение в области математического моделирования и развития качественных и приближенных методов решения нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений. Диссертация является научно-квалификационной работой. Справедливость теоретических положений диссертации продемонстрирована на различных моделях динамики численности биологических популяций. Сформирован комплекс проблемно-ориентированных программ и разработаны соответствующие численные методы. Все задачи в рамках поставленной цели решены. Соответствующие результаты опубликованы в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК РФ. Получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Список работ автора по теме диссертации Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр

ВАК РФ

асунский, А.В. О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы второго порядка [Текст] / А.В. Ласунский // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18. - № 10. - С. 1824-1825.
асунский, А.В. О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы [Текст] / А.В. Ласунский // Дифференциальные уравнения. -1985.- Т. 21.- №5. -С. 901-903.
асунский, А.В. О диагонализуемости линейной системы [Текст] / А.В. Ласунский // Вестник ЛГУ. Серия 1. - 1987. - Выпуск 2 (№ 8). - С. 105-106.
асунский, А.В. О приведении линейной системы второго порядка к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами [Текст] / А.В. Ласунский // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 6. - С. 987-991.
асунский, А.В. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений через коэффициенты и их приложение к вопросам устойчивости [Текст] / А.В. Ласунский//Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31. - № 11. - С. 1931-1932.
асунский, А.В. К теории устойчивости линейных систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34. - № 4. -С. 567-569.
асунский, А.В. Об аналогии в теории возмущения линейных систем дифференциальных и разностных уравнений при линейном возмущении [Текст] /аа А.В. Ла-

сунский // Вестник Новгородскогоаа университета. Серия "Технические науки". -2004.- №26.-С. 127-130.

8.аа Ласунский, А.В. Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных

систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Вестник Новгородского

университета. Серия "Технические науки". - 2004. - № 28. - С. 100-106.

9.аа Ласунский, А.В. Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти

линейной системы разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Дифферен

циальные уравнения. - 2006. - Т. 42. - № 4. - С. 553 - 555.

10. Ласунский, А.В. Об устойчивости характеристических векторов одного класса ли

нейных систем дифференциальных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Известия

вузов. Математика. - 2007. - №2 (537). - С. 10-16.

11. Ласунский, А.В. Устойчивость стационарных состояний некоторых популяцион-

ных моделей с переменными коэффициентами [Текст] / А.В. Ласунский // Матема

тическое моделирование. - 2008. - Т. 20. - № 5. - С. 69 - 77.

асунский, А.В. Состояния равновесия неавтономной модели Лотки - Вольтерры при наличии убежища для жертвы [Текст] / А.В. Ласунский // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - №3. - С. 445 - 448.
асунский, А.В. О положениях равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Математическое моделирование. - 2009. -Т. 21.-№3.-С. 120-126.

асунский, А.В. О циклах дискретного периодического логистического уравнения [Текст] / А.В. Ласунский // Труды Института математики и механики УрО РАН. -2010. - Т. 16. - № 2. - С. 154 - 157.
асунский, А.В. Методы исследования устойчивости положений равновесия неавтономных систем и некоторые примеры их применения [Текст] / А.В. Ласунский // Труды Карельского научного центра РАН. - 2011. - № 5. - С. 38-44.

Публикации в других изданиях

16. Ласунский, А.В. Циклы дискретного периодического логистического уравнения: Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ № 2011614359 /А.В. Ласунский // заявитель и правообладатель "Новгородский государственный университет". -№2011612520; заявл.а 12.04.11; зарег. 02.06.11.

17. Ласунский, А.В. Устойчивость положений равновесия некоторых неавтономных популяционных моделей: Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ № 2011615009 /А.В. Ласунский // заявитель и правообладатель "Новгородский государственныйаа университет". - № 2011613045; заявл. 28.04.11; зарег. 24.06.11.

асунский, А.В. Показатель Даламбера решений линейных систем разностных уравнений и его свойства [Текст] / А.В. Ласунский // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. Серия "Естественные и точные науки". - 2007. - № 7(26). - С. 7-12.
асунский, А.В. Аналог формулы Абеля для линейного однородного разностного уравнения [Текст] / А.В. Ласунский // Вестник Новгородского государственного университета. Серия "Естественные и технические науки". - 2001, 17. - С. 97 - 98.
асунский, А.В. Точки равновесия неавтономной модели Лотки-Вольтерра при наличии убежища для жертвы [Текст] / А.В. Ласунский // Труды Средневолжского математического общества. - 2007. - Т. 9. - № 2. - С. 125-126.
асунский, А.В. Устойчивость и собственные числа линейных неавтономных систем разностных и дифференциальных уравнений [Текст] / А.В.Ласунский // Математика в высшем образовании. - 2010. - № 8. - С. 37 - 40.

22.а Ласунский, А.В. О свойствах некоторого класса линейных систем [Текст] /

А.В. Ласунский // Тезисы докладов III Межвузовской конференции молодых уче

ных. Вестник ЛГУ. Серия 1. - 1985. - № 15. - С. 125-126.

асунский, А.В. О малом изменении характеристических показателей линейной системы при линейном возмущении [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов IV Межвузовской конференции молодых ученых. Вестник ЛГУ. Серия 1. - 1987. -№8.-С. 122-123.
асунский, А.В. Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы 14 областной конференции "Актуальные вопросы радиоэлектроники". Часть 2. - Новгород, 1989. - С. 55.

асунский, А.В. Аналог неравенства Важевского для линейных систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Межвузовский сборник "Прикладная математика". Выпуск 1. - Новгород, 1994. - С. 41-45.
асунский, А.В. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений через коэффициенты и их приложение к вопросам устойчивости [Текст] / А.В. Ласунский // Представлено редакцией журнала "Дифференциальные уравнения". -Минск, 1995. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ № 2648 - В95.

27.а Ласунский, А.В. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициента

ми [Текст] / А.В. Ласунский // Труды международной научно-методической кон

ференции "Математика в вузе". - Тирасполь, 1999.

асунский, А.В. О существовании и единственности решения задачи Коши разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы международной научно-методической конференции "Математика в вузе". - Великий Новгород, 2000. -С. 146-147.
асунский, А.В. К методу "замораживания" для линейных систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы международной научно-методической конференции "Математика в вузе". - Псков - Санкт-Петербург, 2001. -С. 196-198.

30.а Ласунский, А.В. О приведении линейных систем разностных и дифференциальных

уравнений к линейным системам с эрмитовыми матрицами [Текст] / А.В. Ласун

ский // Труды международной научно-методической конференции "Математика в

вузе". - Великие Луки - Санкт-Петербург, 2002. - С. 182-183.

31.а Ласунский, А.В. Формула Абеля для линейных однородных разностных уравне

ний [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы международной научно-методической

конференции "Математика в вузе". - Петрозаводск - Санкт - Петербург, 2003.

С. 168.

32.а Ласунский, А.В. Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных

систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Труды международной

научно-методической конференции "Математика в вузе". - Санкт - Петербург,

2004. - С. 167.

33.а Ласунский, А.В. Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти ли

нейной системы разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Труды XVIII

международной научно - методической конференции "Математика в вузе". - Ве

ликий Новгород - С. - Петербург, 2005. - С. 127 - 128.

асунский, А.В. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов III международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". - Обнинск, 2006. - С. 75 - 76.
асунский, А.В. К методу замораживания для систем разностных уравнений [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов XIV международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и IV международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения". - Ростов - на - Дону, 2006. - С. 68 - 69.

асунский, А.В. О приведении линейной системы дифференциальных уравнений второго порядка к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами [Текст] / А.В. Ласунский // Труды XIX международной научно -методической конференции "Математика в вузе". - Псков - С. - Петербург, 2006. -С. 131-132.
асунский, А.В. Устойчивость положения равновесия неавтономной модели Лот-ки-Вольтерра [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы XV международной конференции "Математика. Образование". -Чебоксары, 2007. - С. 242.
асунский, А.В. Влияние пассивных стадий на устойчивость положений равновесия неавтономных популяционных моделей [Текст] / А.В. Ласунский // Материалы XX международной научно - методической конференции "Математика в вузе". -Мурманск - Санкт-Петербург, 2007. - С. 128-129.
асунский, А.В. Об асимптотической устойчивости положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели хищник-жертва [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов IV международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". - Обнинск, 2008. - С. 44-45.
асунский, А.В. О числе периодических решений дискретного периодического логистического уравнения [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов XVIII международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и VI международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения". - Ростов - на - Дону, 2010 г. -С. 49.

41. Ласунский, А.В. Пассивные стадии жизнедеятельности в неавтономной модели хищник-жертва [Текст] / А.В. Ласунский // Тезисы докладов V международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". - Обнинск, 2011. - С. 124 - 125.

Все авторефераты докторских диссертаций

Blog

Характеристики роста решений динамических систем и их применение в математическом моделировании