Авторефераты по темам >> Разные специальности - [часть 1] [часть 2]

Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами

Автореферат кандидатской диссертации

На правах рукописи

Шевляков Артём Николаевич

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД КОММУТАТИВНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ

01.01.06 Ч математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Омск 2010

Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных

методов алгебры и логики

Омского филиала Института математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:аа доктор физико-математических наук

профессор Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты:аа доктор физико-математических наук

профессор Мартынов Леонид Матвеевич

кандидат физико-математических наук

ассистент

Кукина Екатерина Георгиевна

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический

университет.

Защита состоится 23 сентября 2010г. в 16-00 часов на заседании диснсертационного совета ДМ.212.179.07 при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу г. Омск, ул. Нефтезаводская 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. Донстоевского.

Автореферат разослан "____ " июля 2010.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук,а A.M. Семёнов

Введение

Актуальность темы. Алгебраическая геометрия Ч это одна из класнсических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебнраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравннений изначально искались во множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результантов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай пронизвольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой полонвине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным понлем.

Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение синстем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким обранзом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого ПОЛЯ, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?

Решение данной проблемы составляет основное содержание универнсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины. Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой занимается изучением свойств элементов , задаваемых системами уравнений.

Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над алгебраическими системами) было начато в работах Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремес-ленникова [22] (для групп). Данные работы являются попытками теонретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении неконторых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (нанпример, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона [18], К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20], Г.С. Маканина [19], А.А. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [И]).

За последние годы накоплен достаточно богатый материал об алгебнраических геометриях над различными алгебраическими системами. К настоящему времени многие задачи и проблемы алгебраической геометнрии были решены в следующих классах групп и алгебр:

метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленнинков, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко [32];
разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];
алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленнинков [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленнинков [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29];
свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13, 14, 15], 3. Сенла [34].

Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свободнной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением венлась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясникова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгебнраических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.

Естественно, что после построения алгебраической геометрии над свонбодной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмотнря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем на один из результантов данной диссертации, утверждающий, что алгебраическая геометрия даже над однопорождённым бесконечным моноидом достаточна сложна.

В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраинческой системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложеннии общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими систенмами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий из Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме.

В данных работах были доказаны так называемые Объединяющие теоремы, позволяющие изучать координатные алгебры с семи разных точек зрения. Там же были сформулированы несколько проблем, решеннию которых посвящена вторая часть данной диссертации.

Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объяснняют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной алнгебраической системы по-прежнему остаются интересным и требующим решения.

В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям ранбот [5, 6, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого обънекта Ч натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.

Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Z была решена в работе [22], где было доказано, что любая коорндинатная группа над Z изоморфна Zn, и наоборот: все декартовы степени Zn являются координатными группами алгебраических множеств HaflZ. Заметим также, что на самом деле в [22] были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.

К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных рензультатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абенлевой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не сунществует универсального метода, позволяющего по заданному коммутантивному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как доканзано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями Nn.

Многие свои понятия и подходы универсальная алгебраическая геонметрия берёт из классической алгебраической геометрии над полем. Нанпример, заимствованными понятиями являются алгебраическое множенство и координатная алгебра Ч аналог понятия координатного кольца в классическом случае. На случай произвольной алгебраической системы обобщаются и некоторые результаты из алгебраической геометрии над полем (например, теорема о дуальной эквивалентности категории алгебнраических множеств и координатных алгебр). Однако другие результаты (и их большинство) на случай произвольной алгебраической системы не переносятся. Это ставит перед исследователем задачу по поиску контрнпримеров, не допускающих такое обобщение.

Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы мы можем брать произвольную модель пронизвольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая гео-

метрия над ней не допускает переноса результатов с алгебраической геонметрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, будет группой).

Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нё-теровыми. Этот факт в классической алгебраической геометрии над понлем к играет решающую роль, так как аффинное пространство кп оканзывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией За-рисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством нанзывается нётеровой по уравнениям.

Во второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутативнных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [6, 7], и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.

Помимо построения примеров, показывающих переносимость неконторых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универнсальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым. В наншей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.

Цель работы:

Описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с сонкращениями; доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств. Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраинческой геометрии, связанными с понятием нётеровости по уравнениям и его обобщениями.

Методика исследований. В качестве методов исследования испольнзовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной алнгебраической геометрии.

Научная новизна работы. Все полученные в диссертации резульнтаты являются новыми и перечислены ниже в порядке появления их в работе.

Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом натунральных чисел Л/о в языке (+,0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-
Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел J\f в языке (+,0,1,2...). Предлонжен метод разложения приводимых алгебраических множеств над

J\f в объединение неприводимых компонент. Дана удовлетворительнная аксиоматизация универсального замыкания Ucl(jV).

Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы пронизвольный моноид Л являлся координатным для некоторого непунстого алгебраического множества над ЛЛ Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия Qvar(jV) с помощью квазитожндеств простейшего вида. Получены структурные результаты о конординатных моноидах алгебраических множеств над Л/".
Построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в счётом языке С = (Х, Со, Ci, Ci ...), показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компактнности (классов N, N', Q, U).

Теоретическая и практическая ценность. Была создана алгебнраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами), построены примеры коммутантивных идемпотентных полугрупп в языке с счётным числом констант, решающие проблемы, поставленные в работах [6, 7]. Доказана неаксионматизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемнпотентных полугрупп в языке С.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных матенматических конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008-2010), "Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы реншения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 35, 38]. Работа [36] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разнбиты на параграфы, список литературы содержит 38 наименований.

В первой главе изучается алгебраическая геометрия над аддитивнным моноидом натуральных чисел и рассматриваются две алгебраиченские системы Л/о = (N; +, 0) и J\f = (N; +, 0,1, 2,...). В параграфе 1.1 данно описание всех координатных моноидов алгебраических множеств над

/о и доказываем, что все алгебраические множества над Л/о неприводи-мы. В параграфе 1.2 описаны все моноиды геометрически и универсально эквивалентные моноиду Л/о- Это позволит распространить полученные до этого результаты на целый класс коммутативных моноидов. В паранграфе 1.3 описываются координатные моноиды неприводимых алгебраинческих множеств над Л/", а в параграфе 1.5 Ч все координатные моноиды над Л/". В параграфе 1.4 предложен метод разложения приводимого над J\f алгебраического множества в конечное объединение неприводимых и исследованы свойства такого разложения. Параграф 1.6 содержит метод вычисления радикала линейного уравнения t{X) = а, а к N. Данные уравнения играют большую роль при аксиоматизации квазимногообранзия, порождённого моноидом Л/".

Во второй главе настоящей диссертации все исследовния проводятнся в в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп язынка С = (Х, Со, Ci,...) (полугруппы такого языка здесь называются С-полугруппами). Найдены решения следующих проблемы, поставленные в работах [6, 7].

Проблема 1 [7]. Пусть V Ч некоторое многообразие алгебр. Сущенствуют ли в V алгебры, показывающие различие классов N, U, Q, N', U'?

Проблема 2 [6]. Допустим, что каждая совместная над алгеброй система уравнений S эквивалентна некоторой своей конечной подсистенме. Будет ли из этого следовать, что алгебра нётерова по уравнениям?

Проблема 3 [6]. Пусть V Ч многообразие алгебр языка С Будет ли аксиоматизируемым класс всех нётеровых по уравнениям алгебр из V

Проблема 4 (Проблема вложения) [7]. Пусть В Ч q^-компактная алгебра языка С. Пусть С Ч координатная алгебра над В. Будет ли С вкладываться в конечное декартово произведение алгебр изЦс1(?>)? Если ответ "нет", то решить аналогичную проблему для u^-компактной алгебнры В.

Исторически проблеме 1 предшествовала проблема разделения класнсов N, Q для групп. Эта проблема была решена Б.И. Плоткиным [24]. Проблема разделения пар классов пары N,N' и пары U,Q решена М.В. Котовым [16] для алгебраических систем языка (д ), состоященго из счётного числа одноместных функциональных символов.

Полный набор примеров (/^-полугруппы 11Л21Л31Л4), показываюнщих попарное несовпадение всех классов N^N^U^Q, приведён в паранграфе 2.1. Таким образом, проблема 1 полностью и положительно решенна в многообразии коммутативных идемпотентных /1-полугрупп. Кроме

того, мы строим /1-полугруппу ь, не принадлежащую всем указанным выше классам. К тому же /1-полугруппа А\ решает в отрицательном смысле проблему 2. Иными словами, любая совместная над А\ система уравнений эквивалентна своей конечной подсистеме, но в то же время над А\ существуют несовместные системы, каждая конечная подсистенма которых совместна.

Отрицательному решению проблемы 3 посвящен параграф 2.3. В этом параграфе найден критерий нётеровости по уравнениям /1-полугрупп (теорема 2.27). Следствием данного критерия является отрицательное решение проблемы 3.

В параграфе 2.2 будут определены /I-полугруппы В,С такие, что С Ч координатная полугруппа над u^-компактной /^-полугруппой В, и С не вложима ни в какое конечное декартово произведение /1-полугрупп из класса Ucl^)^. Таким образом, что построенные полугруппы В, С решают проблему 4 отрицательно.

Содержание работы

Диссертация начинается с вводной главы, в которой даются основные определения теории полугрупп, теории моделей и универсальной алгебнраической геометрии. Приведём лишь некоторые из них.

Мы будем рассматривать язык стандартный теории моноидов Со = {Х, Со} и его расширение С = {Х, Со, Ci,.. .}, где Х Ч двуместный функцинональный символ, Cj Ч константы.

С-полу группой будем называть алгебраическую систему А языка С с ассоциативной операцией Х, где в качестве константных символов Cj выбраны некоторые элементы основного множества алгебраической синстемы А.

Носитель (основное множество) алгебраической системы А будем обонзначать через А соответственно. Элементы носителя, соответствующие константным символам Cj, для краткости будем называть константами.

Термы языка С будем обозначать с помощью греческих букв т, <т,. ... Термы, не содержащие константных символов, обозначаются с помощью латинских букв t, s,.. .. Множество переменных, входящих в терм г бундем обозначать через ХТ.

Универсальной С-формулой называется формула вида УХср(Х), где через УХ обозначено Ух\\/х2 .. .Ухп, и (f(X) Ч бескванторная формула. Две ^-полугруппы Ai,A2 называются универсально эквивалентными, если А\ |= ф ^=> Аъ |= ф для любой универсальной /I-формулы ф.

Квазитождеством языка С называется универсальная формула с (f(X) равной ЛЩ \Т{{Х) = &i(X) Ч>ж т(Х) = о~(Х) для квазитождеств.

Множества всех истинных на /1-полугруппе универсальных формул и квазитождеств определяют два важных в алгебраической геометрии класса алгебраических систем языка С. Универсальным замыканием Ucl(.A) (соответственно квазимногообразием Qvar(.A)) /I-полугруппы называется класс всех алгебраических систем языка /3, на котором иснтинны все универсальные формулы (квазитождества) языка С, истинные на .

Дадим базовые определения универсальной алгебраической геометнрии. Так как в своей работе мы будем работать в конкретном многообнразии алгебр, то все определения статей [5, 6, 7] адаптируются ниже для коммутативных /1-полугрупп.

Пусть X = {ж, Х2, ж ж ж 1 хп} Ч конечное множество переменных.

Уравнением над С-полугруппой Л (/^-уравнением, ^.-уравнением) нанзывается атомарная формула т{Х) = о~(Х) языка С.

Система уравнений над Л (система /I-уравнений, система -уравнений) Ч это произвольное множество уравнений над . В своей работе мы будем рассматривать только системы уравнений, зависящие от конечного числа переменных X. Решение системы /^-уравнений S в /1-полугруппе обозначается как V^(<S) и определяется как пересечение решений всех уравнений системы S.

Множество Y С Ап называется алгебраическим над /^-полугруппой , если существует система /1-уравнений S такая, что V^(<S) = Y. Непустое алгебраическое над множество Y называется приводимым^ если оно является нетривиальным конечным объединением алгебраических над множеств.

/1-полугруппа называется нёгперовой по С-уравнениям, если любая система /1-уравнений S(X) эквивалентна над своей конечной подсинстеме.

Пусть Y С Ап Ч алгебраическое множество над /1-полугруппой . Тогда радикал ЫасЦ(У) множества Y есть множество всех /1-уравнений (следствий) т{Х) = сг(Х), которым удовлетворяют все точки множенства Y. В частности, радикал пустого множества совпадает с множенством всех /1-уравнений. Радикал системы уравнений S определяется как RacU(<S) = RacU(V^(<S)).

Пусть %с(Х) Ч свободная коммутативная /1-полугруппа. Другими словами, носитель %с(Х) состоит из термов языка С с определённой на них операцией умножения. Пусть S Ч система /1-уравнений. Каж-

дое из уравнений радикала ЫасЦ(с>) можно рассматривать как эквиванлентность двух элементов /1-полугруппы Tjc(X). Следовательно, радикал Rad^(<S) определяет на ^-полугруппе Тс{Х) конгруэнцию.

Пусть ^Rad^r^) Ч конгруэнция, порождённая радикалом системыS над ^-полугруппой . Тогда ?-факторполугруппа

гд(г) = rc(x)/eRadAS)

называется координатной С-полугруппой алгебраического множества Y = VA(S).

Алгебраическое множество Y будем называть огически неприводинмым над , если Гд(У) к Ucl(.A).

Мы будем говорить, что /I-полугруппы 11Л2 являются геометриченски эквивалентными, если для любой системы /1-уравнений S выполненно равенство ЫасЦДс?) = ЫасЦ2(с>). Это означает, что множества коорндинатных /1-полугрупп над \ и Аъ совпадают.

^-полугруппа называется qw-компактной, если для произвольной системы /1-уравнений S(X) и уравнения т{Х) = о~(Х) такого, что V^(<S) С УА(т(Х) = и(Х)) существует конечная подсистема So(X) С S{X) с решением VA(S0) С Va(t(X) = а(Х)).

^-полугруппа называется и^-компактной, если для произвольной системы /1-уравнений S(X) и конечного множества уравнений Т{(Х) = о-г(Х) (1<г<тп) такого, что VA(S) С UЩi Vл(тг(X) = аг(Х)), су-ществует конечная подсистема So(X) С S(X) с решением V^(<So) С и;1Ул(т,(Х) = а,(Х)).

^-полугруппа называется слабо нётеровой по уравнениям,, если для любая система /1-уравнений S(X) эквивалентна некоторой конечной синстеме /1-уравнений So(X) (здесь система /1-уравнений So может не явнляться подсистемой <S).

^-полугруппа называется слабо uw -компактной, если каждое логинчески неприводимое множество над будет неприводимым.

В первой главе рассматриваются две алгебраические системы Л/о, Л/" с носителем N. Алгебраическая система Л/о определена в языке Со, систенма J\f является ?-моноидом с интерпретацией констант Cj н->ж г. Операция Х в обоих алгебраических системах интерпретируется сложением на мнонжестве N. Операцию Х и константы Cj, входящие в уравнения над Л/о, Л/", будем обозначать с помощью + и чисел 0,1,... В лемме 1.8 мы доказынваем, что алгебраические системы Л/о, Л/" нётеровы по уравнениям.

Далее мы изучаем алгебраическую геометрию над моноидом Л/о и описываем координатные моноиды.

Следующее свойство моноида Л/о (аксиома позитивности)

Apos : УхУу(х + у = 0 Ч> ж = 0) используется при описании координатных моноидов над Л/о-

Теорема 1.3. Для моноида /*о верны следующие утверждения.

МоноидС является координатным моноидом алгебраического мнонжества над /*о тогда и только тогда, когда С коммутативен, позитивен и имеет свойство сокращений.
Все алгебраические множества над /*о, заданные системами Cq-уравнений, неприводимы.

Следствие 1.4. Пусть Y]_,...,Ym(т > 2) Ч алгебраические множенства над моноидом N$, uYj^Yj (г ф j). Тогда объединение Y\ U... U Уто не является алгебраическим множеством над моноидом No.

Из теоремы 1.3 следует аксиоматизация классов Ucl(Л/о), С^уаг(Л/*о) (см. Следствие 1.5 диссертации).

Также для моноида Л/о были описаны все моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-

Теорема 1.7.

./. МоноидС геометрически эквивалентен/*о тогда и только тогда, когда С Ч ненулевой моноид, и С к С^уаг(Л/*о) fmo ecmt> С является коммутативным позитивным моноидом с сокращениями).

2. Если моноидС геометрически эквивалентен/*о, то С универсально эквивалентен /*о-

Приведём результаты, полученные для ?-моноида Л/".

ПуСТЬ Л/" Некоторый /-МОНОИД С НОСИТелеМ N, В КОТОРОМ КОНСТаНТЫ Cj

образуют ненулевой подмоноид А (А ф N). Тогда справедливо следуюнщее утверждение.

Лемма 1.9. Множество Y является алгебраическим над С-моноидом J\f при А ф {0} тогда и только тогда, когда Y Ч алгебраическое мнонжество над N'.

Поскольку основной задачей алгебраической геометрии является классификация алгебраических множеств, то согласно лемме 1.9 изученние алгебраической геометрии над J\f может заменено на изучение алнгебраической геометрии над ?-моноидом J\f.

Пусть в ?-моноиде Л истинны следующие формулы

Cj ~г Cjа ^-"i-\-j 1аа ^ ~г ^Оа ^ Х

Это означает, что константы в Л также образуют подмоноид изоморфнный N'. Следуя [5], такой ?-моноид Л будем называть J\f-моноидом.

Следующее определение является ключевым при описании непривондимых координатных ?-моноидов над J\f и является обобщением понятия позитивности в языке /донопределение 1.10. [-моноид ЛЛ будем называть /'-позитивным, еснли для любой пары его элементов mi, т< к М таких, что т\ +гг2 к N выполнено т\ к N и т< к N.

Следующая теорема описывает координатные ?-моноиды, соответнствующие неприводимым алгебраическим множествам над Л/".

Теорема 1.12. Пусть конечно порождённый моноид ЛЛ является конординатным моноидом непустого алгебраического множества над N'. Моноид ЛЛ неприводим над Л/ тогда и только тогда, когда ЛЛ являетнся N-позитивным.

Фактически доказывается более сильное утверждение.

Теорема 1.13. Конечно порождённый N-моноид ЛЛ является коорндинатным моноидом неприводимого алгебраического множества над Л/ тогда и только тогда, когда ЛЛ является коммутативным е-позитивным с сокращениями Af-моноидом, и множество гомоморфизнмов Нот(.М,ЛГ) не пусто.

Из теоремы 1.13 получаем аксиоматизацию класса Ucl(jV).

Следствие 1.14. Универсальное замыкание Ucl(jV) аксиоматизируетнся всем/а истинными на Л/ квазитождествами и формулами Ах.щ_р08 языка С.

Далее в первой главе мы рассматриваем следующую проблему.

Проблема. Пусть Y Ч непустое приводимое алгебраическое множенство над 7V, заданное системой С-уравнений. Требуется найти разлонжение Y в объединение неприводимых компонент Y = Y\ U ... U Ym и исследовать свойства множеств Y{.

Переменную х к X будем называть фиксированной, если х = а к RaoV(y).

емма 1.17. Пусть Y Ч произвольное непустое алгебраическое мнонжество над Л Тогда Y представимо виде конечного объединения понпарно непересекающихся неприводимых множеств Y\} I2,..., Yj~. Более того, множества Y{ обладают одинаковым непустым набором фиксинрованных переменных.

Далее в диссертации приводится аксиоматизация класса Qvar(jV) с помощью квазитождеств простейшего вида (Следствие 1.27 настоящей диссертации).

Для координатных jV-моноидов над J\f справедлив следующий струкнтурный результат.

Теорема 1.28. Конечно порождённый N-моноид ЛЛ является координнатным моноидом непустого алгебраического множества надМ тогда и только тогда, когда Л4 вкладывается в конечную декартову степень М -моноида N'.

Во второй главе диссертации мы работаем в многообразии коммунтативных идемпотентных /1-полугрупп и решаем проблемы 1-4, поставнленные в работах [6, 7].

В параграфе 2.1 мы определяем коммутативные идемпотентные С-полугруппы (1 < < 5). Нами были описаны решения уравнений и некоторых бесконечных систем над /^-полугруппами А%. Из данного описания следует, что все /I-полугруппы не являются нётеровыми по уравнениям.

Для /-полугрупп нами были получены следующие результаты, приводящие к решению проблем 1,2.

Теорема 2.7. С-полугруппа А\ обладает следующими свойствами

А\ слабо нётерова по уравнениям;
каждая совместная система над полугруппой А\ эквивалентна своей конечной подсистеме, однако существует несовместная над А\ система, у которой все конечные подсистемы совместны.
каждое логически неприводимое над А\ алгебраическое множество является точкой;

4- алгебраическое множество Уд^х = х) не представимо в виде коннечного объединения логически неприводимых множеств.

Теорема 2.13. С-полугруппа А2 uw-компактна.

Теорема 2.17. С-полугруппа Az ({^-компактна, но не является uw-компактной.

Теорема 2.18. С-полугруппа Аа не принадлежит обзединению классов Q U N'; но АА к U'.

Теорема 2.19. С-полугруппа Аъ не принадлежит классам Q и U'.

В параграфе 2.2 диссертации решается проблема 4. Мы определяем /I-полугруппы ?>,С, для которых доказываются следующие результаты.

емма 2.20.

Полугруппа С конечно порождена;
Са является координатной полугруппой алгебраического множенства Vb(x = х);
С не вкладывается в конечное прямое произведение Т>\ х D2 х ... х Vn, zdeV% eUcl(B).

емма 2.25. Полугруппа В является иш-компактной.

Таким образом, проблема 4 решается отрицательно в многообразии коммутативных идемпотентных /1-полугрупп.

Параграф 2.3 посвящен решению проблемы 3. Был доказан следуюнщий критерий нетеровости по уравнениям коммутативной идемпотент-ной /1-полугруппы.

Теорема 2.27. Коммутативная идемпотентная С-полугруппа А явнляется нётеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда С-подполугруппа С, порождённая константами С{, конечна.

Из данного критерия мы получаем отрицательный ответ на пробленму 3.

Следствие 2.28. Класс нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных С-полугрупп не является аксиоматизируемым.

Список литературы

К. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc, 19, pp. 912Ч 918, 1968.

G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16-79, 1999.

E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra I: U-Algebras and Universal>

E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra II: Finite Field Case // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3311-3326, 2006, arXiv:0710.3872 [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math., 1, pp. 80-112, 2008, arXiv:0808.2522vl [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures II: Foundations // 2010, arXiv:1002.3562vl [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures III: equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, submitted, 2010, arXiv: 1002.4243 [math.AG].

Э.Ю. Даниярова. Алгебраическая геометрия над свободными метабелевыми алгебранми Ли III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств // препринт, Омск, ОмГУ, С. 1-130, 2005.

Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика 44(3), С. 269-304, 2005.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, 560с, 2010.

R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

P. Grillet. Commutative semigroups, Springer, 456p, 2001.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200(2), pp. 472Ч516, 1998.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213-318, 2005.

M. Kotov. Equationally Noetherian Property and Close Properties, Southeast Asian Bulletin of Mathematics // submitted, 2010.

M.M. Ковалёв. Целочисленное программирование // УРСС, 192с, 2003.

[18] R. Lyndon. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc, 96, pp. 518Ч 533, 1960.

[19] Г.С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199-1273, 1982.

[20] А.И. Мальцев. Об уравнении [х,у] = [а,Ь] в свободной группе // Алгебра и Логика, 1 С. 45-50, 1962.

[21] D. Marker. Model Theory: an Introduction // Springer, 340p, 2000.

[22] A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

[23] B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties// Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64-97 (1997).

[24] B. Plotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math., 242 С 165-196, 2003.

[25] А.А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

[26] A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

[27] V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

[28] V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191-214, 2004.

[29] V. Remeslennikov, R. Stohr. The equation [x, u] + [y, v] = 0 in free Lie algebras // Preprint [30] В.Н. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабеле-вой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873-885, 2000.

[31] В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

[32] В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологических размерностях -u-групп // Сиб. мат. журн., 47 №2 (2006), 415-431; translation in Sib. Math. J., 47 №2, С. 341-354, 2006.

[33] Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебнра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

[34] Z. Sela. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group// GAFA, 16, pp. 707-730, 2006.

Работы автора по теме диссертации: опубликованные в журналах из списка ВАК

[35] А.Н. Шевляков. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральнных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Иннститута математики и механики УрО РАН, 16(4), С. 258-269, 2010.

другие работы по теме диссертации

[36] P. Morar, A. Shevliakov. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences, pp. 261-278, 2010.

[37] A. Shevlyakov. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The>

[38] A. Shevlyakov.>

Шевляков Артём Николаевич

Алгебраическая геометрия над коммутативными

полугруппами.

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР №020380 от 29.01.97 Подписано в печать 17.06.10. Формат

бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ №591.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.

Авторефераты по темам >> Разные специальности - [часть 1] [часть 2]

Blog

Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами