Авторефераты по темам >> Разные специальности - [часть 1] [часть 2]

Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях

Автореферат кандидатской диссертации

На правах рукописи

Исламова Оксана Владимировна

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата технических наук

Нальчик - 2012

Работа выполнена в Кабардино - Балкарском государственном

университете им. Х.М. Бербекова

Научный руководитель: Культербаев Хусен Пшимурзович

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Пшеничкина Валерия Александровна,

доктор технических наук, профессор, ,

ФГБОУ ВПО Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет,

декан строительного факультета

Куповых Геннадий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Технологический институт ФГАОУ ВПО Южный федеральный университет в г. Таганроге, зав. кафедрой физики

Ведущая организация: Кабардино-Балкарский научный центр РАН

Институт информатики и проблем регионального управления, г. Нальчик

а Защита состоится л03 июля 2012 г. в 1420 на заседании диссертационного совета Д.212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу:

347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан л___ _________ 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета аа .Н. Целых

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме и функционировании, находится любое техническоеа устройство, оборудование, приборы, зданиеа илиа сооружение. Вопросы детерминистических и случайных колебаний гибких систем в виде струн и мембран при действии векторных возмущений с коррелированными между собой компонентами, представляющими динамические нагрузки и кинематическиеа источникиа колебаний, недостаточно исследованы.

Нет конкретных описаний спектральных или корреляционных матриц случайных векторных процессов, кроме их свойств общего характера. В опубликованных работах изучены колебания, возбуждаемые скалярными возмущениями или в редких случаях - двумя некоррелированными возмущениями, что явно недостаточно для адекватности моделей реальным явлениям.а В известных исследованиях зачастую применяются громоздкие математические методы, со сложными функциями, не достигая при этом полноты решения, или определяются приближенные решения, точность которых трудно оценивать и проверять. Численные методы в этих случаях имеют большие преимущества, обладая более универсальным характером приа их сравнительной простоте и возможности увеличения точности решения задач.

Ва силуа такиха причина представляетсяа своевременнойа иа актуальнойа дальнейшая разработкаа новыха математическиха моделей,а методова иа алгоритмова решенияа задач о гармоническиха иа случайныха колебанияха гибких элементов широко используемых практикой.

Объектом исследования являются гибкие упругие системы. Предметом исследованияа -а свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей свободных и вынужденных колебаний гибких упругих при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи исследования:

Разработать линейные аналоговые модели свободных, вынужденных детерминистических и случайных колебаний гибких упругих систем.
Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три модели установившихся режимов:

непериодические негармонические колебания;
периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

Дляа исследуемых систем получить посредством численных методов алгоритмы определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и соответствующих им форм свободных колебаний.
При вероятностной постановке задач, когда возмущения представлены как стационарные случайные векторные процессы, выявить с помощью стохастических математических моделей и численных методов влияние параметров спектральной плотности на выходные характеристики колебательной системы.
Для разработанных детерминистических и стохастических моделей составить алгоритмы расчётов исследуемых упругих систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования в виде комплекса программ.
Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.
Провести расчёты для реального оборудования.

Основные положения, выносимые на защиту:

Динамические непрерывные модели колебаний гибких упругих систем при векторных гармонических и случайных возмущениях.
Методика определения спектров собственных частот и форм гибких упругих систем с помощью численного моделирования свободных колебаний, позволяющая получить простые и эффективные алгоритмы и компьютерные программы решения сложных задач.
Комплекс программ Расчёт гибких элементов, реализующий алгоритмыа численногоа решенияа поставленныха задач, предназначенный обеспечить универсальность разработки и проектирования техники с гибкими элементами.
Результаты исследования гибких упругих систем на предмет влияния параметров входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний с целью выявления и устранения наиболее опасных режимов колебаний при эксплуатации технических объектов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Для стохастических моделей колебательных систем предложен способ формирования спектральной матрицы возмущений, отличающийся от известных конкретностью и соответствием реальным условиям работы исследуемых гибких элементов.
Предложены новые двумерные аналоговые математические модели колебаний мембраны, отличающиеся от известных учётом силы трения, что позволяет изучить её случайные колебания, не рассмотренные ранее. Предложены эффективные способы определения спектров собственных частот и форм колебаний при наличии демпфирования, амплитуд при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.
Вынужденные детерминистические колебания мембраны рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер гармонических возмущений при их разных частотах и начальных фазах.
Получена модифицированная динамическая модель колебаний тяжёлой струны, отличающаяся от известной конкретным граничным условием, что позволило перейти от сложных аналитических методов решения к численным и решить ряд новых прикладных задач.
ааСоздана программныйа комплекса Расчёт гибких элементов,а реализующийа разработанные алгоритмы численного решения поставленныхаа задач.

Достоверность результатов для детерминистических моделей подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах, которые с достаточной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном подборе типов и параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.

Практическая направленность

Предложенная методика расчёта гибких упругих систем при детерминистических и стохастических векторных возмущениях представляет не только теоретический интерес, но и может найти широкоеа применение в расчётах и проектировании конструкций современных машин и строительных сооружений, а также их эксплуатации. Такие возможности продемонстрированы на примере, приведённом в диссертации (струна, движущаяся в продольном направлении). Получены акты внедрения результатов исследований при расчёте клинового ремня В4250 на штамповочном станке и ленты ЛТ-100 на ленточном конвейере. Эксперименты проводились на Нальчикском заводе высоковольтной аппаратуры и Заводе железобетонных изделий №4 г. Нальчика.

Кромеа того,а материалыа диссертацииа использованыа ва учебнома процессеа кафедры Теоретической и прикладной механики Кабардино-Балкарского университетаа при проведенииа лабораторныха занятийа и авыполнении расчётно-графических работа поа курсуа Основы теории колебаний.

Методология и методы проведённых исследований

Для решения поставленных задач использованы методы уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного,а численные методы, метод покоординатного спуска, методы теории вероятностей и случайных процессов, вариационные методы, методы линейной алгебры, программные средства компьютерной математики MATLAB, язык программирования С#.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

аМеждународной научно-технической конференции Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций, ВолгГАСУ, г. Волгоград, 2005 г.;
Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов Перспектива - 2004, г. Нальчик, 2004 г.;
аНаучной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик, 2003 г.;
Всероссийской научно-технической конференции Наука, техника и технологии XXI века, КБГУ, г. Нальчик, 2005 г., 2007 г.;
Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов ПерспективаЦ2005, г. Нальчик, 2005 г.;
Всероссийской научной конференции Математическое моделирование и краевые задачи, 1-3 июня 2005 г.,а Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2004 г.;
Научно-исследовательских семинарах кафедр вычислительной математики и теоретической и прикладной механики, КБГУ, г. Нальчик, 2005, 2006, 2007 , 2009, 2010, 2011 гг.;
Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов ПерспективаЦ2006, г. Нальчик, 2006 г;
аХ Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Нижний Новгород, 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 19 публикациях, из них 5 статей в изданиях, рекомендованных аВАК для публикаций основных результатов кандидатских диссертаций.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы и приложений, содержит 181 страницу.

Краткое содержание работы

Во введении раскрывается актуальность темы и её значимость для науки и практики, указывается объект, определяются цели и задачи,а обосновывается научная новизна,а практическая применимость и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу современного состояния проблемы исследования детерминистических и стохастических колебаний гибких упругих систем.

Современная наука и техника широко пользуются математическим моделированием. Объективной причиной такого факта является существенная экономия времени и затрат, достигаемые при этом способе решения широкого круга проблем.

Особенно актуальным математическое моделирование стало в последнее время в связи с бурным развитием информационного общества. Математическое моделирование, являясь частью информационного моделирования, стало неизбежной составляющей научно-технического прогресса.

Выдающийся вклад в создание и развитие этой науки внесли Н. Винер,

А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, В.В. Болотин, А.С. Вольмир, Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун, А.А. Ильюшин, Г.И. Марчук и.др.

В зарождении и развитии теории случайных процессов большую роль сыграли российские математики: А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, А.М. Яглом, Е.С. Вентцель, В.С. Пугачёв и др. Значительное влияние на внедрение методов теории вероятностей и теории случайных процессов в прикладные науки и инженерную практику оказали труды В.И. Бунимовича, В.В. Солодовникова,

А.А. Свешникова, В.В. Болотина.а

Особенно значимыми в механике, предметом изучения которой являются гибкие упругие системы, были работы В.В. Болотина, А.С. Вольмира,

А.С. Гусева, В.А. Светлицкого, М.Ф. Диментберга, В.В. Екимова, Б.П. Макарова, В.П. Макеева, Н.И. Гриненко, Ю.С. Павлюка, Н.А. Николаенко, А.Р. Ржаницына, А.А. Силаева, S.H. Crandall, W.Q. Zhu, L. Fabian.

Задачи о колебаниях струн и мембран, изучение которых начато ещё в трудах Рэлея, являются одними из основополагающих в классической математической физике и уже имеют почти необозримую литературу по своим теоретическим аспектам, в том числе известные учебники и монографии. Общие вопросы механики струн и мембран, в том числе и колебаний, даны в монографиях И.М. Бабакова, В.Л. Бидермана, Д.Р. Меркина, В.А. Светлицкого, В.К. Качурина, И.И. Мигушова, Н.Н. Попова, Б.С. Расторгуева, С.П. Тимошенко.

К настоящему времени в изучении этих элементов преобладают в основном детерминистические модели, хотя во многих случаях они имеют явно вероятностный характер, что делает постановку и изучение всякого рода стохастических задач весьма актуальным.

Во второй главе рассматриваются свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания мембраны. Математическая модель колебаний представляет собой уравнение в частных производных гиперболического типа

utt + 2e ut - a2 Du = f1(x, y, t), (x, y)IQ,а t >-?, (1)

к которому в качестве дополнительных условий присоединяются граничные условия

u(x, y, t) = f2(x, y, t),(x, y)IГ,t >-?. а(2)

В задачах о свободных колебаниях и вынужденных колебаниях в установившемся режиме, которые рассмотрены в диссертации, начальные условия не требуются. В такой модели динамическим источником колебаний является поперечная распределённая нагрузка f1(x, t), с которой сочетаются кинематические перемещения контура мембраны f2(t). Каждый отдельно взятый компонент векторного процесса возмущенийа f(t) = {f1(x, t),а f2(t)} может относиться к самым разнообразным типам процессов: детерминистическим, стохастическим, смешанным, т.е. содержащим в себе как детерминистическую так и стохастическую составляющие.а Рассмотрены триа случая возмущений.

1. Возмущения отсутствуют, т.е. f(t) ? 0. Этот случай соответствуета свободным колебаниям. Определены собственные частоты и формы колебаний:

,аа jmn(x, y).

Эта задача хорошо известна и имеета вспомогательный характер для изучения гармонических и случайных колебаний.

2. Возмущения f(t) являются векторным гармоническим процессом. Компоненты векторного процесса приняты с равными частотами W, но с разными начальными фазами ?kа и имеют описаниеа

fk(x,y,t) = ak(x, y)eаа k = 1, 2;аа a1 = a0/?h,

где ak(x, y) - функции амплитуды возмущений, Wk, ?k - частота и начальная фаза возмущений. В таком случае колебания мембраны являются вынужденными и гармоническими. Поэтому и в целях использования метода разделения переменных,а решение задачи (1), (2) представляется как произведение

u(x, t)а = H(x, jW) еjWt,а аа(3)

где H(x, jW) - передаточная функция. Подставив (3) в (1), (2) получаем краевую задачу Дирихле

b2H1 - a2DH1 = A1(x, y), (x, y) I Q,b2 = (jW)2а+ 2e(jW),а (4)

а H1(x, y, jW) = 0,аа (x, y) I Г. (5)

Уравнение (4) относится к типу эллиптических и называется неоднородным уравнением Гельмгольца. Точное решение задачи в аналитическом виде не выписывается, поэтому ищется приближенное решение методом Бубнова - Галёркина.

Линейность задачи позволяет воспользоваться принципом суперпозиции и разбить её на две автономные задачи, каждая из которых соответствует отдельному возмущению при отсутствии другого. Тогда решение задачи (1), (2) представляется суммой решений автономных задач, т.е. амплитуда колебаний струны является скалярным произведением

au(x) а=а [А, H(x, jW)].

Здесь компоненты вектораа H(x, jW) = {H1(x, jW), H2(x, jW)} определяются в ходе решения вышеупомянутых автономных задач.

Для использования в численных примерах приведена табл. 1 значений собственных частот

Таблица 1 - Значения собственных частот свободных колебаний мембраны

??mn

13,39

21,17

29,95

26,79

34,15

40,18

Изучено влияние сдвига фаз на амплитуду колебаний (рис. 1), при частоте возмущений ? = 7 c-1, и фазах ?1 = 0,а ?2 = 0 (кривая 1), p/2 (2), (3/4)p (3),а p (4). По графикам видно, что амплитуды колебаний являются наибольшими при синфазном действии возмущений (кривая 1). Появление сдвига фаз ведёт к уменьшению амплитуд (кривые 2, 3, 4). Когда возмущения находятся в противофазе (кривая 4), края и середина мембраны движутся в противоположных направлениях, отклонения мембраны являются наименьшими.

3. Возмущения f(t) являются векторным случайным стационарным процессом. Колебания мембраны в установившемся режиме представляют пространственно-временное случайное поле,а стационарное во времени и неоднородное по пространственной координате. Задача, поставленная в рамках корреляционной теории,а состоит в том, чтобыа по заданным характеристикам входного стационарного процесса f(t) найти характеристики выходного случайного поля u(x, t). Вероятностныеа характеристики входного процесса возмущений заданыа эрмитовой спектральной матрицей входного процесса

Sf(w) = ,а sij(w) =.

Ставится задача об определении спектральной плотности аскалярного поля отклонений и на её основе функции дисперсии отклонений струны .

Решение задач на уровне математического ожидания путём осреднения уравнения (1) и граничных условий (2) сводится к классическим детерминистическим задачам и в этой работе не рассматривается.а Это служит основанием для представления как входных так и выходных случайных процессов в виде центрированных процессов.

Решение задачи базируется на передаточных функциях Hk(x, jW), найденных для гармонических колебаний. Тогда спектральная плотность и дисперсия находятся по формулам

Su(x, w) = H(x, jw) Sf(x, jw) H*T(x, jw), .аа аа(6)

Как показывает изучение колебаний мембраны и далее решение задач о динамике тяжёлых нитей, струн с сосредоточенными массами, получение результатов с помощью аналитических методов представляет зачастую громоздкую процедуру, для выполнения которых требуются сложные компьютерные программы. Дополнительные трудности вызываются необходимостью редукции бесконечного ряда Фурье к конечному ряду с ограниченным количеством слагаемых. Эти проблемы можно устранить с помощью численных методов.

С этой целью в третьей главе аотработано применение метода конечных разностей на примере классической струны, описываемой уравнением в частных производных гиперболического типа

= f1(t),а f1(t) = q(t)/m,а (x, t) аQ ? [ (x, t): xаL ? (0, l),а tаR1 ], а(7)

к которому присоединяются граничные условия

u(0, t) = f2(t), u(l, t) = f3(t), t > - ?. а(8)

В задаче о свободных колебаниях уравнение и граничные условия становятся однородными, т.е. векторный случайный процесс становится нулевым

.а (9)

Решение задачи (7), (8) с учётом (9) отыскивается с помощью метода разделения переменных как произведение

u(x, t) = U(x) e?t,

где ? = - ? + j? Ц характеристический показатель, ? и ? - подлежащие определению коэффициент затухания и частота свободных колебаний, j - мнимая единица.

Показано, как методом конечных разностей проблема собственных значений и собственных векторов сводится к рассмотрению системы линейных однородных алгебраических уравнений

B(?) y = 0,

гдеа B(?) - квадратная матрица порядка n, yT = {y1, y2,Е, yn} - вектор, компонентами которого являются отклонения струны.

Искомые спектры коэффициентов затухания и собственных частот находятся из частотного уравнения аdetB(?) = 0 методом покоординатного спуска. На конкретном примере струны показывается, что значения, найденные численными методами почти не отличаются от точных (табл. 2).

Таблица 2 - Собственные частоты свободных колебаний струны

k	По точной формуле, c-1	Методом конечных разностей, c-1	Разница, % %
1	25,1528	25,1526	0,00079
2	50,3057	50,3036	0,004174
3	75,4586	75,4516	0,009277

Аналогичные проверки достоверности результатов, полученных численными методами, проведены для вынужденных колебаний при гармонических и случайных возмущениях. Во всех рассмотренных примерах обнаруживается хорошее совпадение с точными решениями, что приводит к резюме, что метод конечных разностей даёт результаты, практически неотличимые от точных результатов, полученных аналитическими методамиа (рис. 2 , 3).

В этой главе также продемонстрированы возможности численного статистического моделирования векторного процесса возмущений и динамики струны при изучении вынужденных нестационарных случайных колебаний. Проведены соответствующие конкретные вычисления, показаны формы отклонения всей струны в различные моменты времени и случайный колебательный процесс одной из точек струны, из анализа результатов сделан ряд выводов.

В четвертой главе рассматриваетсяа однородная струна длиной l, движущаяся в продольном направлении со скоростью v (рис. 4). Получена модифицированная математическая модель колебаний принципиально новым способом, с использованием основных законов динамики движущегося тела

а (10)

, t > - ?,

, аЦ скорость распространения поперечных волн по струне, Ц удельная линейная масса, ? - плотность материала, А - площадь поперечного сечения, ? Ц коэффициент удельного линейно-вязкого трения, NЦ сила натяжения.

К уравнению (10) присоединяются граничные условия

u(0, t) = f1(t),аа u(l, t) = f2(t),а t > - ?, аа(11)

где f(t) ={f1(t), f2 (t)} - заданная вектор-функция.

Модель в виде задачи (10), (11) описывает не только поперечные колебания струн, но и продольные колебания в тех же струнах и стержнях, крутильные колебания валов и т. д. Следовательно, область приложения результатов, полученных ниже, может включать и эти объекты.

Далее как основная задача ставится изучение колебаний струны, когда граничные условия являются случайным векторным процессом с заданными вероятностными характеристиками, а искомыми являются вероятностные характеристики выходного случайного поля u(x, t) в виде спектральной плотности (корреляционной функции), дисперсий и т. д. При этом между стохастическими и детерминистическими задачами обнаружена тесная связь и взаимозависимость.

Расчёты проведены на примереа клиноремённой передачи однокривошипного открытого пресса простого действия усилием 250 тонн, модели КО134, имеющего характеристики:

расчетный диаметр шкива электродвигателя - 280 мм;

расчётныйа диаметр шкива маховика - 882 мм;

клиновые ремниа В 4250 ГОСТ 1284-68 с параметрамиl = 1,8 м, N = 600 Н,

v = 20,5 м/с, m = 0,30 кг / м.а

Рассмотрены свободные и кинематически возбуждаемые вынужденные колебания при гармонических граничных условиях. Получены спектры собственных частот и форм, определен коэффициент затухания. В частности,

?= {61,6;аа 123,3;аа 185,0} с-1,аа а? = 0,04 с-1.

Изучено влияние сдвига фаз возмущений на вынужденные колебания. С этой целью проведены вычисления, и результаты представлены кривыми на

рис. 5. При фиксированной частоте возмущений ? рассмотрены четыре случая различных сочетаний начальных фаз

? = 30 с-1, a1 = 10 мм, а2 = 10 мм,а ? = { 0, 0 }(кривая 1),а ? = { 0, ? /2 }(кривая 2),

? = { 0,а 3 ?/4 }(кривая 3),а ? = { 0, ?}(кривая 4).

Кривая 1 соответствует идеально синфазным возмущениям, одновременно имеющим одинаковые направления. Поэтому амплитуды являются наибольшими по всей серии вычислений. Кривые 2, 3 показывают переход от идеально синфазных возмущений к противофазным (кривая 4).

Рассмотрен тот же пример при W = 80 с-1 (рис. 6), при сохраненииа остальных параметров. Частота возмущений теперь находится между первойа и второй собственнымиаа частотами, амплитудыа колебаний увеличились, и при этом, как и следовало ожидать,а колебательный процесс проходит уже при значительном влиянииа второй собственной формы.

Очевидным является следующий вывод:а величины амплитуд колебаний и формы их распределения вдоль оси существенно зависят от частоты возмущений и сдвига их фаз.

Рассмотрено влияние коррелированности компонентов вектора случайных возмущений на колебания. Параметры характерных частот и широкополосности подбирались таким образом, чтобы результаты можно было сравнить с аналогами при изучении роли сдвига фаз возмущений в детерминистической задаче

?jk= 30 с-1 , а?jk= 0,1 с-1,а i, k = 1, 2, 3.

Среднеквадратические отклонения возмущений взяты равными действительным амплитудам гармонических возмущений при изучении влияния сдвига фаз на гармонические колебанияа ?1 = 10 мм, ?2 = 10 мм.

Четыре случая сдвига фаз возмущений, имевшие место в детерминистической задаче промоделированы с помощью четырёх соответствующих нормированных корреляционных матриц

Результаты вычислений представлены на рис. 7. Номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Сравнение кривых рис. 6, 7 показывает их аналогию. Отсюда можно сделать вывод, что нормированная корреляционная матрица в случайных колебаниях имеет такое же влияние на среднеквадратические отклонения, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях на амплитуды колебаний.

В пятой главе изученыа свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания тяжёлой струны с распределённой массой и сосредоточенными массами на верхнем и нижнем концах.

Основное дифференциальное уравнение тяжёлой струны с распределённой массой (рис. 8) имеет вид

= f1(t),а f1(t) = q(t)/m, (12)

(x, t) аQ ? [ (x, t): x аL ? (0, l),а t аR1 ].

Рассмотрение нижнего свободного конца струны приводит к условию

, ,а .а (13)

Верхний конец струны может перемещаться в горизонтальнома направлении, чему соответствует граничное условие

.аа (14)

При отсутствии трения (? = 0) имеются точные значения собственных частот. Сравнение их с полученнымиа даётся таблицей 3, из которой видно, что разница незначительная.

Таблица 3 - Собственные частоты свободных колебаний тяжёлой струны с распределённой массой

	, c-1	, c-1	, c-1
Точное решение	3,766	8,645	13,553
Метод конечных разностей	3,781	8,718	13,723
Разница в %	0,40	0,84	1,25

Интересно при этом заметить, что метод конечных разностей во всех случаях даёт собственные частоты чуть больше точных. Объяснение состоит в том, что струна, реально изгибаемая как гладкая кривая, подменяется искусственной, более жёсткой струной, изгибающейся как ломаная линия; а увеличение жёсткости, как известно, всегда приводит к повышению собственных частот системы.

Для стальной проволоки с параметрамиа l = 1 м,а d = 3 мм,а ? = 0,1 с-1 и характеристиками возмущений

aq= 0,01 Н / м, a2 = 10 мм рассмотрены негармонические колебания, когда частоты и начальные фазы имеют значения

? = { 1,5; 4? } с-1, а? = { 0,а 0}; результаты представлены кривой рис. 9.

Видно, что колебания носят негармонический непериодический характер и представляют сумму двух гармоник. При этом также можно заметить, что на основные колебания от поперечной нагрузки с периодом аи сравнительно большой амплитудой накладываются колебания с меньшим периодома T2 =а= 0,5 cот кинематических возмущений верхнего конца.

В стохастической задаче возмущения верхнего конца и от поперечной нагрузки являются случайнымиа процессами. Исследована зависимость среднеквадратических отклонений колебаний от взаимной коррелированности составляющих векторного случайного процесса возмущений. Наибольшие среднеквадратические отклонения перемещений имеют место при идеально положительной корреляции источников. При некоррелированных процессах возмущений среднеквадратические отклонения падают. При колебаниях, возбуждаемых процессами со скрытой периодичностью, исследовано влияние характерной частотыаа и параметра широкополосностиа на величины и формыа среднеквадратических отклонений колебаний. При малых значениях характерной частоты возмущений нагружение близко к статическому и динамические эффекты незначительны. При росте характерной частоты b среднеквадратические отклонения возрастают и достигают максимальных значений при приближении к собственным частотам. Уменьшение значенияа параметра широкополосности a приближает случайный процесс колебаний к гармоническим.

Результаты исследований, проведённых в пятой главе, позволяют сделать вывод о существовании тесных связей между свободными, вынужденными гармоническими и вынужденными случайными колебаниями тяжёлой струны с распределённой массой.

Основное уравнение колебаний струны с сосредоточенной массой на нижнем конце (рис. 10) имеет вид

, ,аа аа(15)

К нему присоединяется граничное условие по верхнему движущемуся концу

u(l, t) = f2 (t), t > - ?. (16)

Второе граничное условие находится из динамического равновесия массы М, сосредоточенной на нижнем конце (рис. 11). Равенство нулю суммы проекций сил на ось u в соответствии с принципом Даламбера даёт

,аа f3(t) = F(t)/M, (17)

где ? - коэффициент трения массы М.

Математическая модель (16), (17) описывает класс разнообразных задач о колебаниях.

Для свободных колебаний численными методами определены спектры собственных частот и форм, а так же коэффициенты затухания.

При отсутствии трения () и соотношении между массами а(m - погонная масса) имеется значение первой частоты, найденное аналитически, ас-1. Метод конечных разностей даёт ас-1, что подтверждает высокую эффективность.

Предлагаемый конечно-разностный алгоритм дал первые три элемента спектров собственных частот при учёте сил сопротивления

c-1

и коэффициентов затухания

с-1.

Интересно заметить, что коэффициенты затухания находятся в следующих приблизительных соотношениях с удельными коэффициентами трения

?1 ? ? /2 = 0,025 cЦ1,а ?2 ? ? / 2 = 0,05 cЦ1,аа

а?3 ? ? / 2 = 0,05 cЦ1.

Из этого следует, что колебания системы по первой частоте происходят под преимущественным влиянием сосредоточенной массы, а по второй и третьей частотам - под влиянием струны. Собственные формы подтверждают это предположение (рис. 12). В колебаниях по первой частоте доминирующую роль играют отклонения сосредоточенной массы, при колебаниях по обертонам - континуальный участок струны, в последних случаях сосредоточенная масса почти неподвижна.

Для гармонических колебаний получены значения амплитуд колебаний при векторных возмущениях, исследована зависимость амплитуды от сдвига фаз.

Для случайных колебаний найдены среднеквадратические отклонения и дисперсии. Достоверность результатов проверена специальным подбором входных данных, при которых результаты полученных расчётов близки к результатам при гармонических возмущениях.

Математическая модель колебаний струны с сосредоточенной массой на верхнем конце (рис. 13) описывается уравнением

,аа ,аа , ,а а(18)

к которому присоединяются граничные условия

а ,аа а(19)

w = Q/M - g,а , .

Для свободных колебаний определены спектры собственных частот и форм. В частности,

= {0,9968;а 18,0293;а 35,9723} c-1.

Для гармонических колебаний найдены амплитуды колебаний, выявлена зависимость амплитуды от сдвига фаз. Изучены непериодические негармонические колебания.

Для случайных колебаний вычислены среднеквадратические отклонения и дисперсии. Достоверность полученных результатов подтверждается множеством решённых примеров. Исследована зависимость среднеквадратических отклонений от коррелированности процессов возмущений. Матрицы корреляции составлены в соответствии со сдвигами фаз для гармонических колебаний и обнаружена схожесть результатов.

На рис. 14 приведены результаты счёта при характерных частотах возмущений близких к собственным частотам.

а1 с-1 (кривая 1),а 17,5 с-1 (2),а 35 с-1 (3).

Использованы два параметра широкополосности

= 0,05 с-1, j, k = 1, 2, 3 (кривые 1, 2, 3);

= 0,1 с-1, j, k = 1, 2, 3. (кривые ).

Очевидно, что среднеквадратические отклонения при увеличении параметра широкополосности уменьшились заметно.

Рис. 15 соответствует случаю, когда характерные частоты находятся вдали от собственных частот, т.е.

а0,5 с-1 (кривая 1),аа 14 с-1 (2),а 30 с-1 (3).

Вычисления проведены при тех же значениях параметра широкополосности. Видно, что эффект оказывается противоположным, т.е значения среднеквадратических отклонений увеличились. Отсюда делается общий вывод: при колебаниях, близких к резонансным, увеличение широкополосности случайных возмущений уменьшает среднеквадратические отклонения, и, наоборот, при колебаниях, вдали от резонансных - увеличивает среднеквадратические отклонения перемещений.

В шестой главе приводится описание программного комплекса Расчёт гибких элементов.

Реализация расчётных модулей программного выполнена с помощью математического пакета MatLab, пользовательский интерфейс - с помощью аобъектно-ориентированного языка программирования С# в среде Visual Studio 2008.

Разработанный программный комплекс позволяет:

Для свободных колебаний определить спектры собственных значений и векторов.
Исследовать зависимость амплитуды колебаний от частоты возмущений и сдвига фаз при векторных гармонических возмущениях.
Для рассматриваемых моделей колебаний гибких упругих систем получить кривые отклонений при негармонических колебаниях.
Построить графики среднеквадратических отклонений при случайных возмущениях и исследовать их зависимость от коррелированности входныха процессов.
Исследовать зависимость среднеквадратических отклонений от параметра широкополосности и характерной частоты.

Все примеры, приведённые в диссертации, решены с помощью программного комплекса Расчет гибких элементов. Достоверность результатов счёта подтверждена его апробацией на множестве тестовых примеров.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Разработаны новые математические моделиа с учетом сил демпфирования, адекватноа описывающие процесс колебаний гибких упругих систем, которые позволили изучить колебания при комбинированных динамических и кинематическиха возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

2. В детерминистическом случае колебаний для исследованных типов упругих систем предложен алгоритм определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний с использованием численных методов, применение которых к решению поставленных задач является новым.

3. Для гармонических колебаний, вызванных комбинированными динамическимиа иа кинематическими возмущениями, найденыа функции перемещений и формы распределения амплитуда при наличии сил сопротивления. Изучено влияние частоты возмущений и сдвига их фаз на величиныа амплитуд колебаний и формы иха распределения.

4. В стохастическиха системах,а возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, проанализировано влияние степени взаимной коррелированности компонентов входных процессов на вероятностные характеристики колебаний.

5. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицама входных процессов найдены спектральныеа плотностиа и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений.

6. Изученыа реакции гибких упругиха колебательных систем при приближении параметра скрытой частоты случайных возмущений к собственным частотам колебаний. Во всех случаях обнаружен рост среднеквадратических отклонений.а При стремлении параметра широкополосности к нулю стохастический колебательный процесс сводится к гармоническому.а Проведённый анализ показал, что динамическое поведение гибких упругих колебательных систем существенным образом зависит от широкополосности возмущений и от характера совмещения их спектральной плотности со спектром собственных частот на частотной оси.

7. На базе математического пакета MatLab создан комплекс программ расчёта по разработанным алгоритмам, позволяющий осуществлятьа решение разнообразныха прикладных задач о колебаниях гибких упругих систем.

Публикации по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическая модель колебаний подвешенной струны с сосредоточенной массой // Изв. высш. учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2007. - № 4. - С. 41-46.

2. Исламова О.В. Математическое моделирование колебаний подвешенной тяжёлой нити // Известия Таганрогского радиотехнического университета. Тематический выпуск <Интеллектуальные САПР>. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2007, 1(73). - C. 204-208.

3. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Вынужденные гармонические и случайные колебания струны, движущейся в продольном направлении. // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Строительство и архитектура. Вып. 21(40). Волгоград. 2011. С. 33-40.

4. Исламова О.В. Случайные колебания мембран при разнотипных возмущениях. // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Строительство и архитектура. Вып. 21(40). Волгоград. 2011. С. 40-44.

5. Исламова О.В. Свободные колебания тяжёлой нити с аэростатом. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. №4. Ч.2. Н.Новгород. 2011. С.163-165.

Публикации по теме диссертации в других изданиях:

Исламова О.В. Вынужденные колебания мембран при кинематических возмущениях // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных Перспектива-2004. - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2004. - С. 193-196.
Исламова О.В. О вынужденных колебаниях прямоугольных мембран при гармонических возмущениях // Избранные труды научного семинара Механика. Вып. 2. ЦНальчик: Кабардино-Балкарская гос. сельск. академия. 2004. - С. 147-150.
Исламова О.В. Колебания мембраны при векторных гармонических возмущениях // Материалы конференции молодых учёных КБГУ. - Нальчик. 2004. - С.188-191.
Культербаев Х.П., Исламова О.В. Колебания мембраны при разнотипных возмущениях // Труды Всероссийской научной конференции аМатематическое моделирование и краевые задачи. 1-3 июня 2005. Самара: Самарский госуд. техн. универ., 2005.а Ч. 2. - С. 93-96.
Культербаев Х.П., Исламова О.В. Колебания пластин при векторных гармонических возмущениях // Материалы IV Международной научно-технической конференции Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов (12-14 мая 2005 г.). - Часть II. - Волгоград, 2005. - С. 41-46.
Исламова О.В. Стохастическая краевая задача о колебаниях мембраны // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных Перспектива-2005: В 3-х томах. - Т. II. - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2005. - С. 226-228.
Культербаев Х.П., Исламова О.В. Колебания мембран при действии векторных случайных возмущений смешанного типа // Материалы второй Всероссийской научно-технической конференции Наука, техника и технология ХХI века (НТТ-2005). Ч. II. - Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2005. - С. 3-7.
Исламова О. В. Статистическая модель колебаний струны при векторных случайных возмущениях. / Математическое моделирование и краевые задачи: Тематический сборник. - Нальчик:а Каб.-Балк. ун-т, 2006. - С. 17-26.
Исламова О.В. Статистическая модель колебания струны // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных Перспектива-2006 : В 3-х томах. - Т.II. - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2006. - С.239-242

15. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическое моделирование колебаний системы: тяжёлая нить - сосредоточенная масса // Материалы третьей Международной научно-технической конференции Наука, техника и технология ХХI века (НТТ-2007). Ч. II - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2007. - С.3-9.

16. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Численное моделирование колебаний тяжёлой струны // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Естественные науки. Вып. 6(23). - Волгоград. 2007. - С.31-36.

17. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическая модель кинематически и динамически возбуждаемых колебаний мембраны // Вестник научно-методической комиссии по деталям машин, прикладной механике и основам проектирования Министерства образования РФ и Республиканского семинара Механика при КБГСХА. - Нальчик. 2008. - С. 92-95.

18. Культербаев Х. П., Исламова О. В. Определение спектров свободных колебаний движущейся струны численными методами. // Вестник КБГУ. Серия Технические науки. Выпуск 6. Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2008. - С. 14-18.

19. Исламова О.В. Свободные колебания тяжёлой нити с аэростатом. Актуальные проблемы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемама теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011). Н.Новгород. 2011. С. 48-49

ичный вклад соискателя

по опубликованным совместным научным работам

В работе [1] постановка задачи выполнена соавтором, аа компьютерные программы, обоснование решений и анализ результатов принадлежат автору. В работе [2] обоснование актуальности и постановка задачи принадлежат соавтору, расчетная схема, алгоритм расчета - автору. В работах [9, 10]а автором выполнена постановка задачи и ее решение, численный пример реализован совместноа с соавтором. В работе [17] соавтором осуществлена программная реализация задачи, поставленной и решённой автором. В работах [15], [18] автору принадлежат постановка задачи, алгоритм счёта и анализ результатов, соавтору - реализация численного примера. В работах [12], [16] постановки задач являются совместными, разработка способов решения и анализ результатов выполнены автором.

Авторефераты по темам >> Разные специальности - [часть 1] [часть 2]

Blog

Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях