Все научные статьи
Фомин В.А. Оценка влияния различия теплофизических характеристик льда и мерзлого грунта
Научная статья
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 494а
д ЧСОаа ла ЧСОа ЧСО
Сf/fJаа Iаа Iа (Ха (Х
Ч u(x,t)smXxcbc = агЧsin^xl^-^ajWcos^xlQ00-^2^ usinkxdx =-Xa1f(t)-'k2a1 usmXxdx
dtiдхоа о Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 495а
( Ui\аа 1а /* /аа \
Чр + агк и = aftj (t)
dt Решение однородного уравнения Се ах . Тогда
л 2аа -а,Х tаа .а 2 -а,Х t
Cfаа Ча-\Х t 2аа Чa-\X tаа ,а 2 ЧаЛХ t /*/v\
teа 1- агк сеа 1+ а, л, сеа 1= aftj (t) t \к сеа 1 +ахк сеа 1 -ах
C(t) = al\Xf{x)e-a{Khdx
0
t
u = al\Xf(x)e-aiX2<t-%)dx x2
exp
4^(7-t)
u(x,t) = Ч f u(k,t)sm'kxd'k = Ч \a1f(x)dx \ Xe'"K (t~T)ai sin'kxd'k = Чj= \ fix),
71аа оаа ло оаа V^i71а оа 0"T)
Удобнее в полученном решение заменить переменную
хxdx.
Чi= VЧГ=----------- 777 = dV
lyja^t-x)4Л/а1(7-т)3/2
тогда
2 -аа г2а 2
w(x,0 = Чт=аа fа /а---------- r)eV^
V7t J^аа 4а:|д
Вычисления функции v уже приведено в п.1, поэтому выпишем его сразу
X
2аа 2V^
v =----- 7Jаа Г е~ц й?ц
'1 0
Итак
X
2 2 2^
7;(х,0 = --аа f fitЧЧ)е-2d\i-^=аа Г e-2d\i
жкаа Jx4а, цаа л/л о
2-^й^
Распределение температуры в обл.2 также было определено в п.1. Оно имеет вид
Й?Т
Т2(хЛ = Т2ф?-Щ
2^a2t
В слое 3 уравнение теплопроводности:
dfа д%
dtдх2
нужно решить при следующих условиях:
T3(0,t) = f(t)
T3(г,t) = 00<х<Ш
ТК X
Решение ищем в виде разложения по мгновенным собственным функциям sin------- аа как будто
граница x=^(t) перестала перемещаться:
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 496а
оаа ^- ~-=а 0а ^" ^
В левом интеграле производную по времени теперь нельзя вынести за знак интеграла, как это делается обычно, так как верхний предел интегрирования зависит от времени. Рассмотрим производную: о г_, ,а ч .аа ткх ,а ДХ .а ..аа г оаа _,,а ,а .аа ткх ,аа roi,а .аа ткх ,аа г^
Чаа i,(x,nsin------- dx = cL(xJ)smmK +аа Ч lJx,t)sm----------- dx =аа Ч-sin------- dx+аа L
ткх
Умножим обе части уравнения теплопроводности на sin
с,
Одо^.
гдТ,а .аа ткх , гд Г,а .аа ткх
-sin- |
roi,а .аа ткх ,а г
&2 |
\ |
д_ Ы |
д(г |
Ч-sin------ ах = аЛ-
и проинтегрируем в пределах от
Л |
dx
ткх
e 2
ткЬ, ^аа 0 |
ткх
'COS-
dx = Г
37\а .аа ткх
-sin-
dt
dx
ж4
-\xT3(x,t)
ткх ,
cos----- dx
Тогда
5. Я2 |
5 Г,а .аа ткх ,а ЗГ,а .аа m7TXi |
dx2 dx |
dxf |
-dx |
-sin- |
sin- |
dx |
0 ткх |
тах |
ткЪ, |
) сор- |
гдТ3а .аа ткх ,аа 3 <Х_,,а .а .аа ткх 1а ткс гаа Д.а .
Чisin------ dx =Чаа i,(x,nsin------- шч---- Чаа xL(xJ)
тк _, далхи да2л;2 г^а .аа далх ,аа тка г, . т2п2
- |Г3 sii |
2 |
2 |
и cosЧЧ1Д ЧЧЧ I i3sin----- dx =---- /(У)ЧЧЧ | 7, sin
Возвращаясь к уравнению теплопроводности получим
2а 2 да 7Г |
ткЪ, |
dTn, __ т_ dt ткх |
дал; |
иде
2m |
+ а?ЧтЧТД =a^:::::Lf(t)-^Y-\xT3
rm = J^3(^0sinЧЧt*c
ткх ,
cos----- dx
Оценим интеграл в правой части этого уравнения
ткх
\хТъ |
-dx |
cos- |
< |
f(t)j
ткх ,
xcos----- dx
Так как
.аа ткх$2((-1)"-1)
xcos----- dx = Ч---------- -
2а 2
да 7Г
Теперь можно оценить отношение двух членов в правой части уравнения
ткЕ, |
ткх , cosЧЧdx |
< |
тк |
aj(t) |
"Зло7?, с,аа тк |
||
г, ч тк |
||
Интегральным членом можно пренебречь, если
л1 |
да27Г 2а,
2Й
да27Г 2а,
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 497а
Без интегрального члена уравнение примет вид
dTа т2к2 =ж тк dt
Решение однородного уравнения:
Гаа Ф
Tm=C(t)exp
2а 2 Г
-аът
Для получения решения неоднородного определителя C(t):
Г" I 2а 2 Гаа Ф
С, ехр -а,да л Чг-^Ч
а3да27г2
2
,а ч Дajn2Ti2 ,а .а дал;аа ., ч
ехр(-...) + С^-2Чехр(-...) = а3ЧДО
Гаа Фаа ^ |
?(р) |
С(0 = |^Лт)ехр a^VJ
п Ч \ ^а /а V п
dx
}аа Ф |
гаа dp \г а3тк |
гДх) |
Уаа =ехра -а,да л: Чг^Ч Ч--- /(т)ехр а,да л Чг^Ч dx = дала,а -^-^^ехр(ajn тс%(т ) ат
\V(p) Выражение полученное для Т т удобнее привести к другому виду. Заметим, что dx |
где\|/
Гаа Ф |
(т) = /
d\\f
^
Tm=mza^f(x^(x)d
a3m27l\j(t) ^
а3т2к2аа .
тка^
(
Д0^(0-|(Д)>азт2^(т)^2(т)Ф
а3т2к 2
тк
(а t
Д-{(Д)>азяА^(т)Л
Интеграл в скобке можно оценить используя вторую теорему о среднем.
dx
Г аът2п V (т )аа аХ |
V(i) |
\(f(x)c,(x%ea^dx = \V{fг +%/)***-рг = V(t){f'(t)c,(t) + mf(t))\e
о оаа ^
о<е <i
Последнее равенство справедливо, если функция вынесенная из под знака интеграла монотонна, т.е. принимает свое максимальное значение на одном из концов интервала. Монотонность этой функции подтвердится итоговым результатом, а максимального результата она достигнет при т = t, так как на другом конце интервала Е, (0) = 0 . Таким образом
J(/(x % (х )Х e^dx = Z,2(f(t% (0)',
о Сравним два члена, определяющих Тт .
t
J-
аът \>
dx
?(?)
S (ДЛИ/.. a,mh\,(et)\\ ?>а |(Д)'|
22 \ Iа 22
а,да л lvаа Ла а,да л
д
<
?\<ЛХ\ _аа &
2а 2 I /е Iаа 2а :
а3да ла |/q а3да л
*7'
а3да л /
Интегральным членом можно будет пренебречь, если эти отношения малы, т.е.
К
аък
1
а3тг2/
1
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 498а
Первое из этих условий уже было использовано выше. Считая эти условия выполненными получим
- _/(0S(Q
т
тк Теперь можно выписать общее решение:
.аа ткх
Sin-------- /аа N
Ш.
Г3(*,0 = ?Е/(0------- *- = /(/) *
7Г т=1т
_,аа -^ sinAx 7Г -х
1 ак как 2^------ =-------
к=\ к2
Скорость роста льда определяется из баланса потоков тепла на границе зон 2 и 3 (* = ?('))
дхдхat
ST2lа _ Т2
дх |х W) ^na2t
ЁИ\а /(о
Поток в области 3 на границе х = Е, (7) можно выразить явной функцией времени f(t). Для этого используем условия равенства потоков на другой границе х=0.
\^ = Х3^х=0
дхдх
аа \х=о~аа I------------- /Ч Iа 0а У М;еа "М^ I----------------------- -\х=о~аа I
дхyjTia^ vttа о 2.ах\\.^naj-JTiaJ
Пока значение f(0) не уточняем. Равенство потоков на границе х=0 можно записать так
до)-?;а /(0
Л[а ,Ч Ч А3аа
Заметим, что -Х3 г_, s= ^ ~^~\x=г,(t) |
/(0 _ ?аа 8Т3
Шдх
В рассматриваемом приближении поток в области 3 на обоих границах оказывается одинаковым, а так как внутри слоя тепло не поглощается и не выделяется, то можно заключить, что поток тепла внутриаа слоя везде одинаков. Математически это выражается в том, что в
области 3 Ч- не зависит от х.
Вернемся к уравнению определяющему скорость роста льда |
а\ _аа Х2Т2аа .аа /(0)-?; |
дх
dtа ^na2tyjnaj
т=1^{^Р^2т2-^с;1(/(о)-т1))
Итак, мы получили E, (t) ~ y/t. Если подставить это значение Е,аа в условие равенства потоков тепла на границе х=0, то получим
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 499а
К Т -Т -К kit) т. т, т. + Щ0 т,
rk3TiyjalLp2 2\
1ЧУ^хаа *\)ГЧ
Ваа рассматриваемома приближенииа достаточноа получитьа приближенноеа решение.а Поэтому предположим, что Тх л ZJ (это предположение оправдывается конечным результатом). Тогда Т, Т, Т, олт;
С т
Z |
L С Т |
^зУ^^Рз |
1а , а1^Рз |
1 + - |
1 + - |
_?_1т Lа 1
\тх
\
При оценке, как и прежде, теплофизические постоянные разных сред считали величинами одного порядка. По этой причине не имеет смысла уточнять индекс у теплоемкости в заключительной части оценки.
Зная, что Тх мало в сравнении с ZJ можно упростить формулы определяющие рост льда
j |
V
^=тш;^^т'+^^т^
i4t |
ш=^^(у^р2вд+^1Р1ад)
Заметим, что формально полученные выражения отличаются от аналогичных, определенных в п.1, лишь значением плотности в знаменателе: ранее это была плотность грунта -аа р2,а сейчас этоа плотностьа льдаа -аа р3.аа Однако,аа болееа существенноа различиеа в теплоте
кристаллизации L, тепло выделяющееся при кристаллизации мерзлого грунта, в зависимости от состава этого грунта, может составлять половину и даже меньшую часть от тепла кристаллизации льда.
Соотношение температур разграничивающих таяние и намерзание определяется равенством потоков тепла на границе х = Е, (t)
/и |
, ____ - Ч к
дх |
ь2
дх
Tit
L
JL S(0
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 500а
жк
Z
2 *i (jp^iCPJi + <JpJ^C^T2)
Хъ^а[ръЬ
Г,
Тогда |
Lp3
Т, |
________ а4\P\CPi
Итак, равенство потоков тепла на границе x = г,(t) можно записать в виде
Z |
'/>i |
y/^iPiCpi г _ yl\PiC
L
yflltyfllt
Этот результат, вообще говоря, и следовало ожидать. Ведь граничные значения температур соответствуют условиям, когда слоя льда еще нет, поэтому их соотношение должно совпасть, как это и случилось, с полученным в п.1. А это совпадение подтверждает взаимную согласованность результатов, полученных в п.1, и расчетов проведенных выше.
В заключение уточним условия при которых получены приближенные решения.
Так как f(t) = const, то последнее из этих условий выполняется точно:
a3n2f(t) Из оставшихся условий рассмотрим более сильное
0л1
ж2 а.
Оценим вначале по порядку величины Е, и Е,
Z Ь |
{жsj\P2Cp2T2+4\PfpiT) У^рС>Г Ср^АТ
yjiztLc |
2c>AT.jr, |
жsJtzа L |
Lp-yjiztL-yJizt
Тогда
2аа CpAT |
2-^^ |
К
7t2flL
Под АГ, как и раньше нужно понимать алгебраическую сумму температур грунта и воды. Если эта сумма порядка нескольких десятков градусов, то отношение значительно меньше 1, а следовательно полученные приближенные формулы корректны.
итература
1.Фомин В.А. Об одном методе решения задачи Стефана. Электронный журнал "Исследовано в России", 50, стр. 494-500, 2006 г., Все научные статьи