Книги по разным темам Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 1 01;09 Синтез токов по заданной направленности на диске й С.И. Эминов Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, 173003 Великий Новгород, Россия e-mail: theorphy@novsu.ac.ru (Поступило в Редакцию 27 апреля 2004 г.) Решается проблема синтеза токов по заданной реализуемой или нереализуемой диаграмме направленности. Если диаграмма направленности реализуема, то задача решается аналитическим методом: ток ищется в виде ряда по базису, каждая функция которого удовлетворяет условию Мейкснера на ребре. Если диаграмма нереализуема, то ток находится из решения интегрального уравнения с малым параметром. Решение интегрального уравнения также удовлетворяет условию Мейкснера на ребре.

1. Постановка задачи Тогда система распадается на два независимых уравнения. После ряда элементарных преобразований уравПроблема синтеза токов на поверхности круга являнение радиальных токов будет иметь вид ется фундаментальной, она рассматривалась многими a авторами. В работах [1,2] предложены аналитические 2i cos jr (r )J1(kr sin )r dr = F(), (3) методы нахождения токов по заданной реализуемой диаграмме направленности. 0 В работе [3] предлагается находить токи по произвольа уравнение для азимутальных токов преобразуется к ной диаграмме направленности из решения интегральвиду ного уравнения с малым параметром. Однако решение a может не удовлетворять условию Мейкснера на ребре.

Целью данной работы является нахождение поверх2i sin j(r )J1(kr sin )r dr = F(), (4) ностных токов, удовлетворяющих условию Мейксне0 ра на ребре. Для решения этой проблемы в данной работе применяются новые методы, разработанные в где k Чволновое число, J1 Ч функция Бесселя.

работах [4Ц6], а также система функций, учитывающая условие Мейкснера на ребре и предложенная в рабо3. Сущность проблемы синтеза те [7].

Из решения уравнения (3) нужно найти токи, удовлетворяющие условию Мейкснера, 2. Исходные интегральные уравнения синтеза jr(r) a2 - r2, r a, Связь между поверхностными токами j( jr, j) и диаа решение уравнения (4) должно обращаться в бескограммой направленности F(F, F) описывается систенечность по закону мой двух интегральных уравнений [6] j(r), r a.

jr (t tr ) + j(t t ) exp(ikr cos )ds = F, (1) a - rS С другой стороны, интегральные уравнения (3) и (4) имеют одинаковую структуру, они отличаются лишь jr (t tr ) + j(t t ) exp(ikr cos )ds = F, (2) коэффициентом перед интегралом. Этот коэффициент не S влияет на структуру интегрального уравнения.

где t, t, tR Ч орты сферической системы координат;

После замены sin = x и несложных преобразований t, tr Ч орты полярной системы координат на поверхоба уравнения можно записать в едином виде ности круга; r Ч расстояние между началом системы координат и точкой излучения на поверхности S; Ч угол между направлениями на точку наблюдения и точку j(t)J1(axt)tdt = F(x), (5) излучения, проведенными из начала координат.

Система уравнений (1) и (2) является системой двух связанных интегральных уравнений с двумя неизвестны- где J1 Ч функция Бесселя.

ми. Для простоты изложения рассмотрим случай, когда Уравнение (5) не несет в себе информацию о токе.

токи и диаграмма не зависят от угла. Оно не является достаточным для нахождения тока с 120 С.И. Эминов нужным поведением на ребре. Поэтому для решения условию Мейкснера на ребре. Кроме того, указанные задачи синтеза необходимо привлечь дополнительную функции оказываются ортогональными, а именно информацию. Такой информацией может быть указание (Am, n) = (4m + 1)(4n + 1) функционального пространства, которому принадлежат токи. Пространство токов в свою очередь можно опреде+ J2m+ (ax)J2n+ (ax) 1 лить из решения задачи анализа, т. е. задачи нахождения 1, m = n, 2 dx = mn = токов, наведенных первичным полем.

x 0, m = n.

Интегральное или интегродифференциальное уравне(11) ние задачи анализа содержит полную информацию о Последний интеграл найден как табличный интеповедении тока на ребре.

грал [8]. Также справедливо соотношение Наконец отметим, что пространство токов полностью определяется геометрией поверхности и поляризацией.

(Lm, n) =mn.

Поэтому задача синтеза антенн в первую очередь это задача построения пространства токов. Таким образом, система функций {n}+ образует n+ортонормированный базис пространства HA, а система функций {n}+ составляет базис пространства HL.

n=4. Пространства токов. Базисы 5. Синтез токов по реализуемой Пространство токов строится по оператору задачи диаграмме. Критерий анализа, а точнее, главной положительной части. Для реализуемости радиальных токов оператор имеет вид + Вернемся к уравнению синтеза Ajr = J1(ax ) x2 jr(t)J1(axt)tdtdx, (6) 0 Kj = j(t)J1(axt)tdt = F(x), 0 x 1. (12) а для азимутальных токов он имеет следующий вид:

Если рассматривать оператор K, определяемый левой + частью из пространства HA в пространстве L2[0, 1], Lj = J1(ax ) j(t)J1(axt)tdtdx. (7) то он будет вполне непрерывным, а следовательно, необратимым. Однако если рассматривать оператор K 0 из HA в некоторое пространство на полупрямой, т. е.

Операторы A и L являются положительными. В каче- 0 x < +, то оператор оказывается обратимым. Ввестве пространств возьмем энергетические пространства дем гильбертово пространство H1(0, +) с помощью этих операторов HA и HL. Скалярное произведение и скалярного произведения норма, например, в HA определяется по формулам + (u, v)1 = u(x)v(x)x2dx (13) [u, v] =(Au, v), [u]2 =(Au, u), (8) где (.,.) скалярное произведение в L2[0, 1].

и будем полагать правую часть (12) F(x) элементом В работе [7] предложена система функций n(t), этого пространства. Найдем диаграммы, отвечающие n = 1, 2,..., преобразование Ханкеля которых имеет базисным функциям токов n. Согласно (9), имеем вид J2n+ (ax) n(x) =Kn = 4n + 1. (14) J2n+ (ax) x n(x) = n(t)J1(axt)tdt = 4n + 1, (9) x Полученные диаграммы оротогональны. Оператор K как оператор из пространства HA в пространство а также предложена система функций n(t), таких что H1(0, +) является изоморфизмом, норма при этом отображении не меняется. Поэтому образ HA при этом отображении ImK будет замкнутым множеством. На нем J2n- (ax) n(x) = n(t)J1(axt)tdt = 4n + 1. (10) определен и ограничен обратный оператор K-1.

x Произвольную функцию диаграмм F из класса диаграмм разложим по ортонормированному базису n(x) При этом функции n имеют такое же поведение на + ребре, как радиальные токи, а n Ч как азимутальные F(x) = Cnn(x), Cn =(F, n)1. (15) токи. Иначе говоря, функции n и n удовлетворяют n=Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Синтез токов по заданной направленности на диске Критерием реализуемости диаграмм направленности в для азимутальных токов уравнение с малым параметявляется, во-первых, принадлежность к пространству ром имеет вид H1(0, +), а во-вторых, уравнение замкнутости Lj + KKj = KF. (22) + Уравнения (21) и (22) отличаются только положитель F = |Cn|2. (16) ными операторами, не влияющими на структуру уравнеn=ния. Изложим кратко теорию уравнения, например, (21) Коль скоро имеется разложение (15) для диаграммы и метод приближенного решения. Уравнение (22) иссленаправленности, то немедленно имеем разложение для дуется аналогично.

тока Оператор A является положительным, поэтому он + имеет обратный A-1. Умножим обе части уравненя (21) j(t) = Cnn(t). (17) на A-1, в результате получим уравнение n=j + A-1KKj = A-1KF. (23) Задача синтеза азимутальных токов решается аналогично. При этом оператор K рассматривается из проОператоры в левой части действуют в пространстранства HL в пространстве H0(0, +), определяемое стве HA. Ядро оператора KK является гладким, бесскалярным произведением конечное число раз дифференцируемым. Используя это, нетрудно доказать, что оператор A-1KK является + вполне непрерывным оператором в HA. Следовательно, (u, v)0 = u(x)v(x)dx. (18) интегральное уравнение (23) относится к уравнению Фредгольма второго рода.

Таким образом, уравнение (21) эквивалентно уравнеОбразцы токов n при отображении K образунию Фредгольма второго рода. Кроме того, левая часть ют замкнутое множество реализуемых диаграмм. Зауравнения (23) представляет положительный оператор, тем, разлагая произвольную реализуемую диаграмму в так как H0(0, +) по базису [A-1KKj, j] =(KKj, j) =(Kj, Kj).

+ F(x) = Cnn(x), Cn =(F, n)0, (19) Поэтому уравнение (23) имеет единственное решение.

n=Для нахождения решения уравнения (23) разложим ток по базису находим токи N + j(t) = Cnn(t), (24) j(t) = Cnn(t), (20) n=n=подставим в (23) и умножим обе части на m(t) в реализующие заданную диаграмму направленности.

пространстве HA, когда m принимает значение от 1 до N.

В результате получим систему линейных алгебраиче6. Синтез токов по произвольной, ских уравнений необязательно реализуемой N диаграмме Cn + CmKmn = ln, 1 n N, (25) m=Если диаграмма нереализуема, то ставится задача найгде ти токи, реализующие близкую диаграмму и имеющие наименьшую норму. Для решения этой задачи в рабо- J2n+ (ax) J2m+ (ax) 1 тах [5,6,8] предложены уравнения с малым параметром. 2 Kmn = (4n + 1)(4m + 1) dx, xДля радиальных токов это уравнение запишется в виде Aj + KKj = KF, (21) J2n+ (ax) ln = (4n + 1) F(x) dx.

где x 1 Решив систему (25), найдем коэффициенты разложеKF = F(x)J1(ax ) dx, ния тока по базису. Знание коэффициентов позволяет найти такие важные характеристики, как норму тока и 1 диаграмму направленности, создаваемую токами. При необходимости можно найти также базисные функции, KKj = J1(ax ) j(t)J1(axt)tdtdx, используя преобразование Ханкеля.

0 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 122 С.И. Эминов Список литературы [1] Эминов С.И. // ЖВММФ. 2001. Т. 41. № 3. С. 450Ц458.

[2] Эминов С.И. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 1. С. 82Ц88.

[3] Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем (теория и методы расчета). М.: Сов. радио, 1974.

[4] Эминов С.И. // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26. Вып. 14. С. 97 - 102.

[5] Эминов С.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45. № 4.

С. 328Ц338.

[6] Эминов С.И. // Антенны. 2002. Вып. 6 (61). С. 61Ц66.

[7] Фихманас Р.Ф., Фридберг П.Ш. // РиЭ. 1978. Т. 23. № 8.

С. 1625Ц1630.

[8] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.Н. Интегралы, ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.    Книги по разным темам