Книги по разным темам Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 10 Краткие сообщения 01 Об электро- и магнитостатических полях в средах с неоднородной скоростью движения й Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин Научно-исследовательский институт лазерной физики, 199034 Санкт-Петербург, Россия e-mail: rosanov@ilph.spb.su (Поступило в Редакцию 2 декабря 2003 г.) Для однородных сред со стационарным распределением скорости движения произвольного вида, помещенных в статические электрическое или магнитное поле, в первом порядке по отношению скорости движения к скорости света в вакууме интегральным методом вычислено индуцированное движением магнитное или электрическое поле. В случае вращения шара в среде с теми же характеристиками справедливость результата подтверждена сопоставлением с решением, получаемым сшиванием полей в движущейся и неподвижной частях среды. Оценки показывают реальность экспериментального наблюдения этого эффекта электродинамики сплошных сред.

Электродинамика движущихся сред, основанная на произвольного распределения скорости движения одноуравнениях Максвелла и материальных уравнениях родной среды. Точнее, мы будет рассматривать случай Минковского [1Ц3], принципиально позволяет решать стационарного (не зависящего от времени) распредеширокий круг задач [4,5]. Однако сложность использо- ления скорости движения среды, которое возникает, вания условий непрерывности на границах раздела сред например, при вращении части тела с осесимметричной приводит к тому, что практически во всех приложениях формой относительной оси симметрии. При этом элекэти границы считаются плоскими, цилиндрическими или трическое и/или магнитное поле остается статическим сферическими [3Ц5].

и в движущейся среде. Как и в [6], диэлектрическая и Вообще говоря, условия непрерывности на грани- магнитная проницаемость движущейся и неподвижной цах раздела сред не являются независимыми от самих сред считаются одинаковыми и анализируются эффекуравнений Максвелла. Напротив, эти условия служат ты первого порядка малости по отношению скорости следствием уравнений Максвелла. Необходимость в их движения среды к скорости света в вакууме. Условия использовании отпадает, если ввести плавный переход пренебрежимости конкурирующими эффектами, связанмежду характеристиками сред, а затем уменьшать до ными с возникновением механических напряжений при нуля ширину переходной области. Недавно в нашей вращении, совпадают с приведенными в [6]. Мы поработе [6] таким способом было рассмотрено релякажем, что в нашем случае вращающегося шара, для тивистское рассеяние (дифракция) электромагнитного которого решение может быть найдено и традиционизлучения на неоднородностях скорости движения диным способом, использующим условия непрерывности электрической среды. При этом считалось, что среда на границе раздела между движущейся и неподвижной однородна и изотропна, но, например, часть ее вращачастями среды [3], результаты этих двух подходов соглается с некоторой угловой скоростью. В первом порядке суются.

по отношению скорости движения среды к скорости Для статических полей ДдифференциальныеУ уравнесвета решение волновых уравнений типа запаздывающения Максвелла имеют вид го потенциала позволило найти в интегральной форме рассеянные поля для произвольного распределения скоdiv B = 0, rot E = 0, div D = 0, rot H = 0. (1) рости. В [6] была также оценена максимальная величина скорости, при которой релятивистские эффекты являЗдесь E и H Ч напряженности электрического и магются основными, превышающими эффекты, вызванные нитного полей, D и B Ч электрическая и магнитная механическими деформациями тел (динамооптические индукции. Материальные уравнения Ч уравнения Минявления [3]).

ковского используются в приближенной форме в первом Задачей данной работы служит демонстрация возможпорядке по скорости движения среды v к скорости света ности родственного интегрального подхода (без привлев вакууме c чения условий непрерывности на границах раздела сред) для определения напряженностей статических электри - 1 - D = E + [vH], B = H + [Ev]. (2) ческого и магнитного полей в случае сравнительно c c 8 116 Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин Диэлектрическая и магнитная проницаемости нормали к поверхности; интеграл в правой части (8) свепостоянны и отвечают неподвижной среде. В такой дется к сумме двух интегралов, один из которых берется постановке релятивистские эффекты проявляются в наи- по объему вращающейся части среды, а другой Ч по ее более чистом виде. поверхности Рассмотрим случай движения среды в зависящей от - 1 (E0rot u) (E0[n u]) координат скоростью в однородном статическом элек = dV - dS. (11) 4c R R трическом поле с напряженностью E0 = const. В нуV S левом порядке по v/c электрическое поле совпадает с E0, а магнитное поле H0 = 0. В первом порядке v/c Применим полученные результаты к случаю вращематериальные соотношения (2) примут вид ния шара радиуса a с угловой скоростью, направленной вдоль оси z, т. е. =(0, 0, ). Считаем, что - D1 = E1, B1 = H1 + [E0v]. (3) внешнее электрическое поле направлено также вдоль c оси z, E0 =(0, 0, E0). Тогда линейная скорость u =[ r], Тогда из первого из уравнений Максвелла (1) следует (E0, rot u) =2E0 и (E0, [nu]) = E0 (nx x + nyy). С учетом осевой симметрии задачи интегралы в (11) можно - свести к одномерным. В результате получим следующий div H1 = - div E0v. (4) c вид магнитного потенциала вне шара:

Ввиду последнего из уравнений (1) магнитное поле 4 - 1 a5 z = - E0 1 - 3. (12) является безвихревым и обладает потенциалом 15 c r3 rH1 = -grad. (5) Здесь r Ч расстояние до центра шара. Аналогично для диэлектрического шара, вращающегося в постоянном Сучетом (4) потенциал имеет вид магнитном поле напряженности H0, направленном вдоль 1 div H1(r ) оси вращения, получим электрический потенциал вне (r) = - dr шара 4 R 4 - 1 a5 z = H0 1 - 3. (13) - 1 div [E0v(r )] 15 c r3 r= dr, (6) 4c R Для сравнения с традиционным подходом, основангде R = |r - r | Ч расстояние между точкой r, в которой ным на сшивании решений на границе раздела движувычисляется поле, и вектором переменной интегрироващейся и неподвижной сред, нужно обобщить решение ния r.

приведенной в [3] задачи, где рассматривалось вращение Поскольку для однородного электрического поля E0 шара в вакууме, т. е. считалось, что вне вращающегося шара (e) = 1 и (e) = 1. Для произвольных значений (e) div [E0v] =-(E0rot v)(7) и (e) в случае внешнего магнитного поля с напряженностью H0 потенциал электрического поля вне шара можно переписать (6) в виде записывается в форме (E0rot v r ) - (r) =- dr. (8) 1 nink 4c R = Dik, (14) 2 ri,k=Соотношения (6) и (8) служат общим решением поставленной задачи для произвольного распределения a5 3(i i - 1)e скорости движения среды. Если рассматривать случай Dik = c (3(e) + 2(i))(2(e) + (i)) вращения осесимметричного тела, то на его границе скорость движения имеет скачок H0i k + H0k i - ik(H0, ). (15) 1 r V, v = u(r) (r) (r) = (9) При равенстве проницаемости внешней среды и вра0 r V.

/ щающегося шара (15) примет вид С учетом того, что a5 ( - 1) Dik = c rot (r)u(r) = rot u +[grad u], d H0i k + H0k i - ik(H0, ). (16) grad = -n = -n(l - lS), (10) dl где l Ч координата вдоль нормали к поверхности; lS Ч Аналогично для шара, вращающегося в однородном ее значение на поверхности; n Ч единичный вектор электрическом поле, потенциал магнитного поля вне Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Об электро- и магнитостатических полях в средах с неоднородной скоростью движения шара монографии [1]). Результаты проведенных ранее исследований [7Ц9], а также наши оценки [6,10] подтверждают 1 nink = Bik, (17) реальность экспериментальной проверки рассмотренно2 ri,k=го эффекта электродинамики движущихся сред. Действительно, напряженности статических электрического a5 3((i)(i) - 1)(e) Bik = поля при вращении шара (цилиндра) в магнитном поле и c (3(e) + 2(i))(2(e) + (i)) магнитного поля для шара (цилиндра) в электрическом поле определяются через градиенты соответствующих E0i k + E0k i - ik(E0, ), (18) потенциалов. Их максимальные величины оцениваются как (u/c)H0 и (u/c)E0, где u = a Чмаксимальная лиа при равенстве проницаемостей сред вне и внутри шара нейная скорость на поверхности шара (цилиндра). Более точный расчет показывает, что, поскольку статическая a5 ( - 1) Bik = E0i k +E0k i - ik(E0, ). (19) диэлектрическая проницаемость, например, стекла, наc 5 ходится в диапазоне 5.5-11 (в зависимости от типа стекНетрудно показать, что при параллельности оси вра- ла) [11], а магнитная проницаемость близка к единице, щения и направления постоянного поля для внешней об- при u 103 cm/s напряженность электрического поля, ласти потенциалы, отвечающие (16) и (19), переходят в вызываемого вращением шара в магнитном поле, будет выражения (12) и (13), что подтверждает правомерность 10-7H0, тогда как для шара, вращающегося в одноинтегрального подхода. родном электрическом поле, напряженность магнитного В качестве еще одного примера приведем результаты поля 10-6E0 (ср. знаменатели первых дробей в (12) расчета магнитного потенциала на оси вращения кру- и (13)). Представляется, что такие напряженности могут гового цилиндра с радиусом основания a и длиной 2h быть зарегистрированы экспериментально.

на расстоянии z от центра инерции цилиндра. Проводя Авторы благодарны Л.С. Долину за стимулирующие в (11) интегрирование по объему и поверхности цилиндискуссии.

дра, получим Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-02-16342).

= E0 (z + h) (z + h)2 + ac (20) Список литературы +(z - h) (z - h)2 + a2 - 4zh.

[1] Раули В. Теория относительности. М.: Наука. 1983. 336 с.

Сравним магнитные потенциалы шара и цилинs [2] Тамм И.И. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.

дра на оси вращения для точки, расположенной на c 504 с.

расстоянии z a, h. Из (12) и (20) получаем [3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных средств. М.: Наука, 2001. 661 с.

2 ( - 1) a2Vs [4] Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Эйнштейновский (0, 0, z ) = E0, (21) s 5 c z сборник 1974. М.: Наука, 1976. С. 179Ц275. УФН. 1974.

Т. 114. Вып. 4. С. 569Ц608.

1 ( - 1) a2Vc [5] Столяров С.Н. Эйнштейновский сборник 1975Ц1976. М.:

(0, 0, z ) = E0, (22) c Наука, 1978. С. 152Ц215.

8 c z [6] Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. // Опт. и спектр. 2003. Т. 94.

где Vs, Vc Ч объемы шара и цилиндра соответственно.

№ 4. С. 624Ц631.

Таким образом, интегральный подход позволяет найти [7] Глуцюк А.М. // ЖТФ. 1966. Т. 36. Вып. 3. С. 413Ц416.

электро- и магнитостатические поля в случае сред с [8] Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1972. Т. 62. № 6. С. 2076Ц2081.

неоднородным распределением скорости движения до- [9] Van Bladel J. Relativity and Engiineering. Berlin: Springer, 1984. 402 p.

статочно общего вида. Применимость теории возму[10] Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. // Проблемы когерентной и щений оправдывается малостью скорости движения по нелинейной оптики. СПб.: ИТМО, 2004. С. 118Ц153.

отношению к скорости света. Для шара, вращающегося [11] Таблицы физических величин. Справочник / Под ред.

в среде с теми же характеристиками в однородном И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

магнитном или электрическом поле, интегральный подход согласуется традиционным подходом, основанном на сшивании решений внутри движущейся и неподвижной сред.

Отметим, что новые эксперименты в области электродинамики движущихся сред представляются важными ввиду немногочисленности подобных опытов и наличия дискуссионных вопросов в этой теории (см., различающиеся подходы Минковского и Абрагама в Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.    Книги по разным темам