Книги, научные публикации
На правах рукописи
Толпаев Владимир Александрович МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико математических наук
Ставрополь, 2004 г.
Работа выполнена на кафедре прикладной математики в Северо Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь)
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Анд реевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лежнёв Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Каплан Лев Григорьевич доктор технических наук, действительный член Академии горных наук РФ Долгов Сергей Викторович
Ведущая организация: Российский государственный универси- тет нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва)
Защита состоится л2 июля 2004 г в 16 часов на заседании диссертаци онного совета Д212.256.05 Ставропольского государственного университета по адресу:
355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета.
Автореферат разослан Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Копыткова Л.Б.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение;
добыча энергетического сырья (нефти и газа);
проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений;
борьба с загрязнением и засолением грун товыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких про блем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях по ристых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.
Пористые среды, в которых происходят фильтрационные течения жид кости, как правило, неоднородны, могут иметь слоистое строение, систему трещин, обладающих упорядоченным расположением в пространстве. По следние факторы (слоистость, наличие пространственно-ориентированных систем трещин) зачастую приводят к появлению анизотропии фильтрацион ных свойств в пористых средах. Кроме того, продуктивные природные пла сты, содержащие нефть и газ, проявляют не только анизотропные и неодно родные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину. Именно поэтому актуальны теоретические исследова ния математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неод нородных и многослойных средах.
Цель исследования - разработать общие методы решения задач двумер ной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных ин женерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленно сти, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиора тивных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.
Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем.
Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае- мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режи мах фильтрации.
Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодиче ских средах методом анизотропного эквивалентирования.
Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлён ных пластах переменной толщины, которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой гораздо точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.
Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследова нии течений к одиночным и групповым скважинам.
Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в много слойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.
Предложены:
качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром;
качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин;
качественные математические модели работы скважин при вертикаль ном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов ис следований подтверждаются следующим:
1) корректностью применяемого апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления);
2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильт рации О.В. Голубевой;
теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких кру говых конических и параболоидных пластах;
методы лизотропизирующих преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина, Е.С. Ромма, Г.К. Михайлова;
теория В.Н. Щелкачёва работы круговой батареи скважин;
методика расчётов по тенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи;
3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с эксперимен тальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин;
с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины;
с результатами опытно-промышленных испытаний Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., ис следовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).
Результаты диссертации могут иметь практическую ценность:
при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых мо гут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неодно родными;
в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослой ных анизотропных и изотропных средах;
в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;
в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонталь ными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин;
в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по про филям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций ком плексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей.
Основные положения, выносимые на защиту:
1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моде лей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости.
2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизо тропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изо тропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.
3). Математические модели фильтрации жидкости в ПЗС.
4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.
5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в мно гослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:
1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руково дством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.);
по мате матической физике и гидродинамике под руководством акад.
П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.);
по прикладной электродинамике под руководством чл.-корр. АН СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);
2) на Воронежских математических школах Современные методы в теории краевых задач (Воронеж, 1996 г.) и Современные методы теории функ ций и смежные проблемы (Воронеж, 1999 г.);
3) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах Математическое моделиро вание и компьютерные технологии (Кисловодск, 1999 и 2000 г);
4) на Всероссийской научной конференции Математическое моделирование в научных исследованиях (Ставрополь, СГУ, 2000 г.);
на 7-ой и 9-ой Все российских научно-технических конференциях Современные проблемы математики и естествознания и Информационные технологии в науке, проектировании и производстве (Нижний Новгород, НГТУ, 2003 г.);
4-ой Международной научно-практической конференции Методы и алгорит мы прикладной математики в технике, медицине и экономике (Новочер касск, Южно-Российский государственный технический университет, ян варь 2004 г.);
1-ой и 3-ей региональных научных конференциях Пробле мы компьютерных технологий и математического моделирования в есте ственных, технических и гуманитарных науках (Георгиевск, СеКавГТУ, 2001, 2003 гг.).
5) Результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре ка федры прикладной математики и компьютерного моделирования в Рос сийском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г.
Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара - М.Г. Сухарев, доктор техни ческих наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях, 25 из которых - в центральной научной печати. Перечень последних приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, 2-х прило жений, заключения и списка литературы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении приводится краткий обзор литературы, обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, кратко излагается её содер жание и перечисляются результаты, которые выносятся на защиту.
В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелиней ной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, ко торые получаются в результате трояко-периодического повторения в простран стве некоторого основного структурного элемента (ячейки) этой среды.
Впервые основы линейной теории фильтрации в пористых средах с част ными случаями периодических структур были заложены в трудах Б.К. Ризенкампфа, Ж. Феррандона, Ф. Шаффернака, Р. Дахлера, В.И. Аравина и др. Такие структуры они априори рассматривали как анизотропные и для линей ной фильтрации в них предложили следующее обобщение закона Дарси:
k11 k12 k v = + H2 + H H1 k21 k22 k. (1) v = + + H1 H2 H k31 k32 k v3 = + + H1 H2 H В (1) через v1, v2 и v3 обозначены проекции вектора скорости фильтрации r r r r r r r r v = v1e1 + v2e2 + v3e3 в точке наблюдения с радиус-вектором R = x i + y j + z k r r r r 1 R r 1 R r 1 R на орты e1 =, e2 =, e3 = ортогональной системы коорди H1 H2 H v R нат,,. Через H1 = (аналогичные формулы для H2 и H3) обозначены па раметры Ламе системы,,. Функция связана с приведённым давлением P P p + gh формулой = - = -, в которой p,, g, h и - гидродинамическое давле ние, плотность флюида, ускорение свободного падения, нивелировочная высота и динамическая вязкость жидкости соответственно. Совокупность девяти коэф фициентов kij в (1) образует симметричный в ортогональной системе коорди нат,, тензор проницаемости второго ранга.
Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала разви ваться с появлением в 1974 г. публикации С.Н. Нумерова, а затем статей А.В. Костерина, Е.Г. Шешукова, Ю.М. Молоковича. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению закона (1) и применяли тензора только 2-го ранга. Дальнейшее развитие этой теории сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев, основываясь на том, что при фильтрации r жидкости между полями v и P существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами r r r r r r P = F(R, v,,) (либо v = f(R,P,,)). (2) Применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин, Ю.И. Сиротин и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили об щий вид связи (2) аппроксимировать зависимостями следующего вида (кото рые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного базиса) - iP = aij v + bijk v vk + cijkl v vkvl + K, (3) j j j где aij, bijk, cijkl - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а iP - проекции вектора P на соответствующие оси. Эти тензоры, зависящие в общем случае от координат точки наблюдения, коэф фициентов и, инвариантов вектора скорости фильтрации, находятся из условий их инвариантности относительно заданной точечной группы сим метрии порового пространства.
Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в ани- зотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.
В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент которых представляет прямоуголь ный параллелепипед с бесконечно малыми по сравнению с характерным раз мером области фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, тре щиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя вза имно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространст ве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой сре ды с названными периодическими структурами базируется на первичных по нятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей.
Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных тече r ниях вдоль них вектора v и P коллинеарны. Проницаемость пористой сре ды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рас сматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат пер r r пендикулярные к боковым граням структурных ячеек оси симметрии h1, h r и h3. Главные проницаемости 1, 2 и 3 в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения они могут вычисляться методами 1) локального или 2) предла гаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периоди ческой структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодиче ской среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования слоистых сред проводятся в 3-ей и отчас ти в 6-ой главах.
В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В дис сертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, вектора нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров прони цаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для различных серий законов распределения ГНА.
При построении нелинейных анизотропных моделей пористых сред с пе риодическими структурами автор тоже исходит из существования связи между r полями v и P в виде (2). Для аппроксимации этого уравнения связи приме r r нено разложение функции (2) в ряд Тейлора в окрестности точки v = 0. Огра ничиваясь в этом разложении слагаемыми до третьих степеней, обобщённый закон Дарси (ОЗД) первоначально тоже получается в виде (3), который, од нако, предлагается представить в другой форме - iP = rijv, (4) j с тензором второго ранга rij = aij + bijkvk + cijklvkvl + K, зависящим от компонент r скорости фильтрации v и непосредственно вытекающим из (3). Представле ние ОЗД для нелинейной фильтрации в анизотропных средах в виде (4) соот ветствует подходу, впервые намеченному С.Н. Нумеровым. Итак, глубокой принципиальной разницы в двух подходах к описанию нелинейной фильтра ции в анизотропных средах нет. Подход С.Н. Нумерова в виде (4) удобно применять для описания нелинейной фильтрации в трансверсально изотропных и ортотропных средах, для которых априори известны ГНА. Ес ли же уравнения (4) переписать в виде, разрешённом относительно компо нент скорости фильтрации, то придём к закону Дарси, по форме, совпадаю щей с (1). Поэтому (1) можно применять не только для описания линейной, но и нелинейной фильтрации в названных анизотропных средах. Но главные проницаемости i в случае нелинейной фильтрации нужно считать завися щими не только от координат точки наблюдения, но и от инвариантных ве r личин вектора скорости фильтрации, таких, как модуль v = v ;
скалярные r r r r произведения (v, nk ) вектора v с какими-то заданными векторами nk ;
от квадратичных форм (VTDiV), зависящих от координат вектора скорости фильтрации. Поэтому в математических моделях нелинейной фильтрации в анизотропных средах i в общем случае могут задаваться функциями вида r r i = fi(M, v,(v, nk ),(VT Di V)). (5) i = 1,2, Обобщенный метод С.Н. Нумерова (5) в диссертации применён к построе нию математической модели нелинейной фильтрации в среде с прямолинейной анизотропией и с полярным главным направлением.
Основные результаты 1-й главы: 1) развит метод расчёта тензоров прони цаемостей анизотропных моделей периодических сред по заданным полям ГНА и главных проницаемостей как для линейного, так и для нелинейного режимов фильтрации;
2) дано развитие метода С.Н. Нумерова математического модели рования нелинейной фильтрации в трансверсально-изотропных и ортотропных анизотропных средах и указана его преемственная связь с методом К.С. Басниева и Н.М. Дмитриева;
3) создан каталог тензоров проницаемостей анизотропных сред для широких серий законов распределения ГНА.
Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильт рации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к кано ническому виду и общие методы решения.
Двумерную линейную фильтрацию в искривлённых слоях (пластах) изу чали П.Я. Кочина, В.П. Пилатовский, О.В. Голубева и её ученики М.И. Хмельник, Ю.А. Гладышев, К.Н. Быстров, В.Ф. Пивень, С.Е. Холодовский, а также И.А. Амирасланов и Г.П. Черепанов и др. В их ра ботах изотропные искривлённые слои считались бесконечно тонкими по сравнению с наименьшим главным радиусом кривизны подошвы слоя, что снижало практический интерес этой теории.
В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли про мысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.
При выводе уравнений двумерной фильтрации непроницаемые поверх ности подошвы и кровли пласта принимались за координатные = 1 = const (подошва) и = 2 = const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной системы координат,,. Поверхности тока фильтрационных течений рас сматривались как стационарные, совпадающие с координатными поверхно стями = const. Это, конечно, идеализация, но в большинстве случаев реаль ная схема течения почти во всём пласте близка к ней. Поле скоростей фильт r r r рации в принятой схеме будет таким: V = V(,,, t) e1 + V(,,, t) e2, где r r r e1, e2, e3 - орты базиса в системе,,.
В з1 главы 2 выводится уравнение неразрывности для двумерных фильтра ционных потоков сжимаемой жидкости в искривлённых анизотропных пластах переменной конечной толщины [H2(,, ) H3(,, ) (,,, t) V(,,, t)]+ + [H1(,, ) H3(,, )(,,, t) V(,,, t)]+ (6) ( m) + H1(,, ) H2(,, ) H3(,, ) d = 0.
t В з2 выводятся уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидко сти в искривлённом неоднородном анизотропном слое переменной толщины, одно из ГНА которого всюду направлено по касательным к - координатным линиям, а два других ГНА относительно - и - координатных линий имеют произвольную ориентацию. Тензорный закон Дарси (1) для двумерных тече ний несжимаемой жидкости в таком слое приводит к следующему распреде лению проекций скорости фильтрации:
k11(,, ) Ф k12(,, ) Ф k12(,, ) Ф k22(,, ) Ф V1 = + ;
V2 = +, (7) H1(,, ) H2 (,, ) H1(,, ) H2(,, ) где Ф = Ф(, ). Подставляя (7) в интегральное по толщине криволинейного слоя уравнение неразрывности (6) и выполняя необходимые преобразования, для функции Ф(,) выводим уравнение Ф Ф Ф Ф + = 0, (8) 11 T (, ) + T12 (, ) T (, ) + T22 (, ) в котором через Т11(, ), Т12(, ), Т22(, ) автором обозначены выражения 2 2 H2 H3 H1 H T11(, ) = k11 ;
T12(, ) = (H3 k12)d ;
T22(, ) = k22 d,(9) H1 d H 1 1 названные коэффициентами проводимости искривлённого пласта. Уравнение (8) целесообразно рассматривать совместно с системой T11(, ) + T12(, ) = ;
T12(, ) + T22(, ) = -, (10) что позволяет применить методы теории обобщённых аналитических функ ций (И.Н. Векуа, L. Bers, A. Gelbart и др.) к исследованию течений в искрив лённых слоях конечной толщины. Если в (10) перейти к новым переменным 1 и 1, связанным с прежними, системой уравнений Бельтрами 1 1 1 T11 + T12 T12 + T 1 = ;
= -, (11) 2 T11T22 - T12 T11T22 - T то (10) примет канонический вид p(1, 1) = ;
p(1, 1) = -, (12) 1 1 1 (где p(1,1)= T11T22 - T12 ) системы, определяющей p-аналитические (по Г.Н. Положему) функции (1, 1) + i(1, 1) = w(1) комплексного пере менного 1 = 1 + i1.
В частном случае, когда пласт настолько тонкий, что можно пренебречь изменениями параметров Ламе по его толщине и принять их равными своим значениям на подошве, то из (8)-(10) получим уравнения О.В. Голубевой для изотропных бесконечно тонких слоёв. Из этих же уравнений (8)-(10) как ча стный случай вытекают уравнения плоскопараллельной фильтрации в одно родных и неоднородных анизотропных средах. В диссертации доказано, что плоскопараллельная фильтрация во всех анизотропно-однородных средах с постоянными главными проницаемостями 1 и 2, у которых одно ГНА пер пендикулярно к плоскости течения, а два других в этой плоскости всюду на правлены по касательным к линиям уровня функций d p(, ) = - H()d, q(, ) = +, (13) H() 0 ( и - одновременно не равные нулю постоянные, H() - произвольная положительная непрерывная функция, а и - изотермические криволинейные координаты), описывается комплексными потенциалами w() = (1,1)+i(1,1), пред ставляющими аналитические функции комплексного переменного 12 (2 + 2H2 ()) H()(2 - 1) = 1 + i1, где. (14) 1 = - d ;
1 = d 2H2 ()1 + 22 2H2 ()1 + 0 Формулы (14) исчерпывают весь запас известных случаев (В.И. Аравин, Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов и др.), когда плоскопараллельные течения в анизо тропно-однородных средах исследуются методами аналитических функций комплексного переменного с помощью лизотропизирующих подстановок.
В 5-ом параграфе 2-ой главы указывается новый класс плоскопарал лельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией, когда тройка попарно-ортогональных ГНА имеет произвольную ориентацию отно сительно плоскости течения. Доказано, что плоскопараллельные течения в этих средах описываются комплексными потенциалами (X, Y) + i(X, Y) = w(), представляющими собой аналитические функции b ac - b комплексного переменного = X - Y + i Y.(Через, X, Y, a, b, c обо c c a c - b2 Р k13 k13 k23 k значены: = - ;
a = k11 - ;
b = k12 - ;
c = k22 - ;
k33 k33 k k13 k X = x - z;
Y = y - z, где x, y и z - декартовые координаты, причём x, y k33 k расположены в плоскости течения, а kij (i,j = 1,2,3) - заданные постоянные компоненты тензора проницаемости анизотропной среды).
Основные результаты 2-ой главы: 1) выведено интегральное по толщине искривлённого слоя уравнение неразрывности для двумерных течений;
2) выведены общие уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидко сти в искривлённых слоях с конечной толщиной;
3) указана связь общих уравнений двумерной фильтрации в анизотропных (однородных и неодно родных) средах с теорией обобщённых аналитических функций Г.Н. Положего и плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотроп ных средах с теорией аналитических функций комплексного переменного;
4) указан широкий класс законов распределения ГНА в анизотропно однородных средах, для которого лизотропизирующие подстановки нахо дятся при помощи квадратур по выведенным формулам;
5) указан новый ра нее не исследованный класс точных решений уравнений плоскопараллельной фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией.
В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слои стых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.
Впервые проводить расчёты потенциальных полей в слоистых средах методом однородно-анизотропной аппроксимации предложил в 1932 г. не мецкий физик-электротехник Ф. Оллендорф. Несмотря на широкое примене ние этого метода в электротехнических (Ф. Оллендорф, И.Е Тамм и В.Л Гинзбург, А.В. Нетушил, Л.М. Бреховских, В.Ф. Кулько, В.Н. Михайловский, В.Н. Острейко и др.) и в фильтрационных (В.И. Аравин, Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов, С.Е. Холодовский и др.) расчётах, специальных исследований его точности не проводилось. Поэтому ставились задачи:
1) исследовать погрешность фильтрационных расчётов в многослойных сре дах (МС-средах) методом однородно-анизотропного эквивалентирования и 2) дать рекомендации по его применению. Для этого выполнялись сопостави тельные расчёты течений в слоистой среде и её анизотропных моделях, к ко торым приводят конкретные методы эквивалентирования (локальный, инте гральный или какой-то иной).
В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в ме стных для ячейки декартовых координатах. Главные проницаемости нахо r r r дятся из равенства потоков вдоль осей симметрии h1, h2, h3 в ячейке соот ветствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме, приня r r r том за анизотропную среду с ГНА h1, h2, h3.
В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирова ния расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной об ласти в целом в системе координат, координатные линии которой совпа дают как с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослой ной среды, так и с границами области. Они находятся из равенства по r r токов вдоль слоёв h1 и перпендикулярно к ним h2 в многослойной области соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же r r области, принятой за анизотропную среду с ГНА h1, h2. Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные линии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не совпадать с границами расчётной области. В этом случае расчёт глав ных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выпол нять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике.
В з1 рассматривается иллюстративная задача расчёта дебита скважины в МС-среде (рис. 1 и 2) методами 1) локального и 2) интегрального однородно анизотропного эквиваленти рований.
Расчёты дебита в слои R rc стой среде по методу инте грального однородно анизотропного эквиваленти Рис. Рис. рования средой с радиальной анизотропией для рис.1 и 2 приводят к точным результатам при любом числе слоёв и любом законе изменения их размеров.
Qточн - Qаниз Результаты относительных погрешностей (в %) расчётов Qточн дебитов методом локального однородно-анизотропного эквивалентирования для рис.1 приведены в таблице 1, а для рис.2 - в таблице 2. Представленные результаты показывают медленную сходимость данного метода к точному решению, которое практически достигается лишь тогда, когда в области фильтрации укладывается не менее ~ 5104106 слоёв. Число слоёв в реаль ных многослойных средах изменяется в диапазоне 505104, затрудняющем получение высокой точности расчётов по этому методу. Таким образом, рас смотренный пример показывает, что для повышения точности фильтрацион ных расчётов в МС-средах по возможности нужно применять метод инте грального однородно-анизотропного эквивалентирования.
В зз 2 и 3 автор обобщил фильтрационные теоремы О.В. Голубевой об окружности и прямой на среды с центральными и конгруэнтными законами распределения ГНА соответственно. Эти теоремы применялись к исследова нию точности метода локального однородно-анизотропного эквивалентиро вания слоистых сред в других задачах.
Таблица 1 Цый случай: R/rскв = Отношение проницаемостей = k1 k Отношение Число слоёв 2,00 10,00 20,00 100, h/rскв 0,50 0,10 0,05 0, 100 0,9900 3,20 7,87 8,70 9, 500 0,1980 0,70 1,73 1,91 2, 50000 0,0020 0,01 0,02 0,02 0, Отношение Число слоёв 2 Цой случай: R/rскв = h/rскв 1000 0,9990 2,17 5,34 5,90 6, 5000 0,1998 0,48 1,17 1,30 1, 50000 0,0200 0,05 0,12 0,13 0, Отношение Число слоёв 3 Ций случай: R/rскв = h/rскв 5000 1,9998 2,83 6,96 7,69 8, 10000 0,9999 1,63 4,01 4,44 4, 100000 0,10000 0,18 0,44 0,49 0, (Знаки л+ соответствуют значениям = 2;
10;
20 и 100, а знаки Ц - для = 0,50;
0,10;
0,05 и 0,01) Таблица Отношение проницаемостей = k1 k Число секторов 0,01 0,05 0,10 0,50 2,00 10,00 20,00 100, 7 -16,28 -14,84 -13,24 -5,00 4,55 10,47 11,45 12, 11 -9,78 -8,96 -8,04 -3,13 2,94 6,92 7,60 8, 21 -4,90 -4,50 -4,05 -1,61 1,56 3,75 4,13 4, 51 -1,96 -1,81 -1,63 -0,66 0,65 1,58 1,74 1, 101 -0,98 -0,90 -0,82 -0,33 0,33 0,80 0,89 0, 501 -0,20 -0,18 -0,16 -0,07 0,07 0,16 0,18 0, 1001 -0,10 -0,09 -0,08 -0,03 0,03 0,08 0,09 0, 5001 -0,02 -0,02 -0,02 -0,01 0,01 0,02 0,02 0, В з4 исследовались искажения плоскопараллельных фильтрационных потоков в однородной изотропной среде с проницаемостью k круглым слои стым включением радиуса R из n колец с одинаковой толщиной и с вырож дающимся в круг центральным кольцом (рис.1). Приведены точные аналити ческие решения задач об искажении фильтрационных потоков: 1) поступа тельного, 2) от точечного источника, расположенного на расстоянии b > R от центра включения и с обильностью q и 3) от аналогично расположенного ди поля с моментом M. С помощью полученных решений вычислены фильтра ционные потоки Qмелк через диаметр круглого слоистого включения, перпен дикулярный к неискажённому поступательному потоку в 1-м и к отрезку, со единяющему точечную особенность с центром включения, во 2-м и 3-м слу чаях. Для этих же задач с помощью обобщённой теоремы об окружности строились точные решения, когда круглое слоистое включение на рис.1 с по мощью метода локального однородно-анизотропного эквивалентирования моделировалось как радиально-анизотропное с главными проницаемостями 2k1k2 k1 + k 1 = и 2 = вдоль радиусов и перпендикулярно к ним. С по k1 + k2 мощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки Qан через такой же диаметр круглого радиально-анизотропного включения, аналитиче ские выражения для которых применялись при сравнения величин Qмелк и Qан в рассматриваемой слоистой среде и в её анизотропной модели. Вычислены отношения Qмелк/Qан и относительные погрешности (в процентах), появ ляющиеся при замене слоистой среды её радиально-анизотропной моделью и приведённые в таблице 3. Расчёты в ней показывают, что метод локального однородно-анизотропного эквивалентрирования для оценки фильтрационных потоков имеет ограниченное применение. Его погрешность становится удов летворительной не более 4Е5% при k1/k2 не превышающем 103, когда тол щина слоёв не превышает 1% от характерного размера области фильтрации (когда n = 100).
В з5 методом конформных отображений рассчитано точное значение полного фильтрационного потока Qаниз от отрезка AB к отрезку CD на рис.3 в прямоугольной области с прямолинейной анизотропией. С помощью прямо линейной анизотропии здесь моделировались фильтрационные свойства слоистой среды, для главных проницаемостей которой оба метода (инте грального и локального) однородно-анизотропного эквивалентирования при 2k1k2 k1 + k водят к одинаковым формулам 1 = и 2 =.
k1 + k2 Таблица n = 10 n = 20 n = 30 n = 50 n = 80 n = k1 k k2 k1 k2 Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк 2,%,%,%,%,%,% Qан Qан Qан Qан Qан Qан 1 0,972 2,88 0,986 1,42 0,990 1,01 0,995 0,60 0,996 0,40 0,997 0, 2,243 0,889 2 1,099 9,00 1,048 4,58 1,032 3,10 1,019 1,86 1,011 1,09 1,009 0, 3 1,030 2,91 1,014 1,38 1,009 0,89 1,005 0,50 1,003 0,30 1,002 0, 1 0,929 7,64 0,964 3,73 0,976 2,46 0,986 1,42 0,991 0,91 0,992 0, 2,449 0,490 2 1,003 0,30 1,001 0,10 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 3 0,996 0,40 0,999 0,1 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 1 1,093 8,51 1,047 4,49 1,031 3,01 1,019 1,86 1,012 1,19 1,009 0, 1 0,221 2 1,066 6,19 1,032 3,10 1,022 2,15 1,013 1,28 1,008 0,79 1,007 0, 3 1,026 2,53 1,016 1,57 1,006 0,60 1,003 0,30 1,002 0,20 1,001 0, 1 0,865 15,61 0,933 7,18 0,956 4,60 0,974 2,67 0,984 1,63 0,987 1, 0,516 0,064 2 0,887 12,74 0,945 5,82 0,964 3,73 0,978 2,25 0,986 1,42 0,989 1, 3 0,956 4,60 0,984 1,63 0,988 1,21 0,994 0,60 0,996 0,40 0,997 0, 1 0,618 61,81 0,793 26,10 0,863 15,87 0,919 8,81 0,950 5,26 0,961 4, 0,316 0,004 2 0,662 51,06 0,831 20,34 0,893 11,98 0,939 6,50 0,963 3,84 0,970 3, 3 0,758 31,93 0,928 7,76 0,970 3,09 0,987 1,32 0,992 0,81 0,993 0, 1 1,209 17,29 1,143 12,51 1,106 9,58 1,069 6,45 1,045 4,31 1,036 3, 0,316 0,004 2 1,159 13,72 1,110 9,90 1,079 7,32 1,048 4,58 1,030 2,91 1,024 2, 3 1,163 14,02 1,087 8,00 1,051 4,85 1,022 2,15 1,011 1,09 1,008 0, Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и её радиально-анизотропной модели. (В левых Qмелк, в правых -относительная погрешность в расчётах потоков по методу столбиках отношения Qаниз анизотропного эквивалентирования). 1 - поступательный поток;
2 - источник;
3 - диполь;
(b/R=1,2).
Величина соответствующего фильтрацион H ного потока Qмелк в слоистой среде на рис. вычислялась численными методами. Приме T М k1 A B k нялся метод сеток для просчёта потенциала k1 k скорости фильтрации в каждом слое, и по k k2 2l y том с помощью численного интегрирования k находилась величина Qмелк. Результаты k k расчётов полных фильтрационных потоков k D C E Q0 Q x, в слоистой среде и в её анизо Рис. Qмелк Qаниз Qмелк - Qаниз тропной модели и относительных погрешностей = 100% метода Qмелк однородно-анизотропного эквивалентирования представлены в таблице 4. (В вычислительном эксперименте MBED - квадрат;
|AB| = |CD| = 0,5H;
через Вид поля 0, 1 / 1 gT H Q0 = обозначена базисная величина, соответствующая полному 2 l фильтрационному потоку при AB = MB и DC = DE).
Таблица Общее число слоев 2 4 10 20 Для 1 / 2 = 0,1 величина Q0 / Qаниз = 1, Q0 / Qмелк 1,428 1,338 1,226 1,188 1, Погрешность, % 20,2 17,5 7,1 4,1 2, Для 1 / 2 = 0,5 величина Q0 / Qаниз = 1, Q0 / Qмелк 1,449 1,397 1,341 1,328 1, Погрешность, % 9,1 5,7 1,8 0,8 0, Для 1 / 2 = 0,75 величина Q0 / Qаниз = 1, Q0 / Qмелк 1,463 1,433 1,404 1,400 1, Погрешность, % 4,6 2,6 0,6 0,3 0, Удовлетворительная точность расчётов фильтрационного потока, на блюдаемая в таблице 4 при сравнительно малом числе слоёв (начиная с 10 и более), объясняется тем, что анизотропная модель для рис.3 совпала с моде лью метода интегрального эквивалентирования, точность которого по срав нению с методом локального эквивалентирования выше.
Выводы по 3-ей главе. Рассмотренные примеры подтверждают, что со стремлением к нулю отношения a/L (a - толщина отдельного слоя в слоистой среде, L - характерный размер многослойной области фильтрации) величины таких интегральных характеристик, как поток, можно вычислять с достаточ ной для практики точностью, аппроксимируя в расчётах слоистые среды их анизотропными моделями. Такая аппроксимация существенно упрощает рас чёты и приводит к удобному для анализа аналитическому решению задачи.
При этом точность аппроксимации выше по методу интегрального, чем ло кального однородно-анизотропного эквивалентирования. Кроме того, точ ность метода однородно-анизотропного эквивалентирования тем выше, чем большая часть линий тока поля почти ортогональна (или, наоборот, почти параллельна) границам раздела изотропных слоев, составляющих слоистую среду. В проанализированных в 3-ей главе примерах, относящихся к абсо лютно различным ситуациям, погрешность при оценке интегральных харак теристик поля в слоистой среде, моделируемой анизотропной, не превышала 5% при широком диапазоне изменения коэффициента анизотропии (0,1 мин / макс < 1), если a/L0,03.
В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в ПЗС - влияние на дебит скважины: скачка проницаемости в ПЗС;
конструктивных особенно стей скважинных фильтров;
наличие трещин гидроразрыва. Для изучения пе речисленных проблем автором предложены удобные для практического при менения методы, пополняющие арсенал инженерной математики.
В з1 по литературным данным (монографий Ю.М. Басарыгина, А.И. Булатова, Ю.М. Проселкова и В.М. Гаврилко и В.С. Алексеева) кратко описываются типовые конструкции промышленных фильтров скважин.
В з2 исследуется вопрос о погрешности расчёта дебита одиночной кру говой скважины, у которой режим фильтрации в ПЗС может стать нелиней ным. Погрешности появляются из-за того, что точных значений критических чисел Рейнольдса, устанавливающих границы для линейного закона Дарси, не существует. Выведены уравнения для расчёта в ПЗС радиуса r0 перехода от линейного к нелинейному режиму фильтрации и соответствующие фор мулы для дебита Q. По выведенным формулам проведены вычислительные эксперименты, показавшие, что 1) относительные погрешности в расчётах де битов газодобывающих скважин не превзойдут 6%, если переход к нелинейному режиму учесть по любому конкретному критерию, 2) неучёт ПЗС с нелинейным режимом фильтрации приводит к заниженному значению дебита газодобываю щих скважин со значимыми погрешностями (до 14%), 3) радиусы призабойных зон газодобывающих скважин с нелинейным режимом фильтрации могут дости гать 50-60rскв, 4) для нефтедобывающих скважин фильтрация в ПЗС в большин стве случаев подчиняется линейному закону.
Другая причина, заставляющая проводить специальные исследования фильтрации в ПЗС, связана с тем, что в действительности течение в ней все гда является осесимметричным, тогда как в классических постановках задач его считают плоскопараллельным. Вопрос, можно ли пренебрегать осесим метричностью течения, исследуется в зз 3 и 4 на примере работы скважины с гравийным фильтром. В з 3 дано качественное решение задачи о фильтрации к скважине с гравийным фильтром, а в з4 - её точное решение. Анализ полу ченного приближенного решения привёл к выводам: 1). Если безразмерный b 2k параметр x =, (где k1, k2, R, rc, b - соответственно проницаемости rc R k2 ln rc пласта и гравийного фильтра, радиус кругового контура питания, радиус ствола скважины, мощность пласта) принимает значение х 0,5, то тогда:
приведенное давление вдоль ствола скважины можно считать постоянным, равным Рс;
дебит центральной скважины можно вычислять по классической формуле Дюпюи;
скорость фильтрации имеет равномерное распределение по всей длине ствола скважины. 2). Если х > 0,5, то приток флюида в скважину происходит неравномерно: у подошвы пласта скорости фильтрации ничтож но малы, а при приближении к кровле пласта они резко возрастают и могут приводить к вымыву частиц породы возле кровли в скважину. Приведённое давление вдоль ствола может изменяться в широких пределах, включая край ние от РП до РС. Расчёт дебита по формуле Дюпюи в этих случаях даёт силь но завышенные значения. Анализ в з4 точного решения этой задачи приво дит к таким же выводам, но с непринципиальными количественными уточ нениями по всем перечисленным позициям.
Учёт конструктивных особен y С ностей применяемых в про B E мышленности скважинных опорные пояса A D фильтров (каркасно x rc R стержневого - рис.4, кольча стержни фильтра того - рис.5, перфорационного Рис. 4. Схема каркасно-стержневого фильтра, - рис.6) требует детального используемого в вододобывающих скважинах. rc, радиус скважины, - половина раствора угла щели, исследования пространствен R - половина раствора угла непроницаемой стенки, - радиус невозмущённой круговой эквипотенциали.
ной фильтрации в ПЗС.
z R Строгое гидродинами кольца фильтра rc z ческое исследование про B C lc странственных течений к крепежные E F стержни фильтрам скважин очень lщ сложно. Ранее подобные A D r исследования чаще на элек Рис. 5 Схема кольчатого фильтра, используемого в тролитических моделях rc lщ вододобывающих скважинах. - радиус скважины;
lc половина высоты щели;
- половина высоты проводились М.Н. Тихо R непроницаемой стенки;
- радиус невозмущённой z0 lщ lc эквипотенциали;
= +.
вым, В.И. Щуровым, Дод соном и Кардуэллом и др. В R O диссертации для прибли B B1 C жённого аналитического ис A C1 h B C следования пространствен D ных течений в ПЗС, в том O B числе к скважинным фильт rc A рам, предложен единый под C D ход - метод средневзвешен Рис. 6. Схема фрагмента фильтра перфорационной конструкции с рядным ного потенциала (СВП), час расположением перфорационных отверстий. Слева сегмент фильтра элементарной области притока жидкости, BB1C1C - область D поверхности фильтра, OO1 - ось симметрии ствола скважины, h - высота сегмента, 0 то применяемый в теорети угол раствора сегмента ческой электротехнике и известный в ней как метод Хоу. Для скважин с фильтрами высоты H для всех перечисленных конструкций решение по ме тоду СВП привело к однотипным выражениям для дебита kH PП - Pc Q = 2, (15) R ln + rc отличающимся в (15) лишь коэффициентами дополнительного сопротивления.
Для каркасно-стержневой конструкции известно точное решение В.П. Пилатовского, которое тоже приводит к формуле (15), но с иным коэффи циентом. Сопоставительные с формулой В.П. Пилатовского расчёты показали удовлетворительную точность метода СВП. Его погрешность не превышает 5 7%, но всегда приводит к заниженному значению дебита. По формулам (15) проведены вычислительные эксперименты для выявления зависимости дебита от типа конструкции скважинного фильтра. Данные вычислительных экспери ментов на рис. 0, показывают, что 0, 1 в промышлен 0, ности целесооб 0, Радиус скважины 100 мм, радиус эквипотенциали 2 мм.
0,5 разнее исполь 1)Фильтр перфорационной конструкции, количество перфорационных отверстий по окружности 0, зовать перфора отверстий, угол раствора отверстия 2,87 градуса, высота отверстия 115 мм, количество отверстий по 0, вертикали от 1 до 8.
ционную конст 2)Фильтр кольчатой конструкции, высота щели 1, 0, мм, количество щелей от 1 до 666.
рукцию, для 3)Фильтр каркасно-стержневой конструкции, угол 0, раствора щели 25 градусов, количество щелей от 1 до 14.
которой харак 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Скважность терна высокая Рис. 7. Сопоставление фильтров различных конструкций. (Q0 - дебит совершенной скважины, скважность - отношение суммарной площади щелей (отверстий) к площади ствола скважины).
пропускная спо собность при малой (20-25%) скважности, что позволяет обеспечить фильтру необходимые прочностные качества.
В з9 исследуется влияние скачка проницаемости призабойной зоны на дебит скважины. Решение этих задач автор строит с помощью доказанной им y теоремы о подобии фильтрационных по M лей в грунтах со специальными законами k k изменения проницаемости. На рис.8 и r l приведены скважины, работающие в об M1 = П ласти с прямолинейной и круговой гра x Рис. 8 ницами контура питания, круговая приза бойная зона которых имеет проницаемость k1, отличающуюся от проницае мости k0 остальной части пласта. С помощью теоремы о подобии найдены верхняя и нижняя оценки Q1 и Q2 дебита скважин, позволившие действи тельное значение определить с высокой точностью. Кроме теоремы о подо бии, разработан ещё один приближённый способ учёта скачка проницаемо сти в ПЗС одиночной скважины, основанный на том, что течение в ПЗС можно принять как плоскорадиальное. Исходя из этого, автор свёл задачу к Относительный дебит Q Q конформному отображению области фильтрации с выброшенной круговой y частью ПЗС с радиусом r1 на круговое кольцо. Если это конформное отображение t = t(z) найдено, то де l k бит Q скважины со скачком проницаемости в ПЗС m1 m можно вычислить по формуле r1 k x R 2k0k1(PП - PС ) Q =, (16) t(zП ) r k1 ln + k0 ln t(zC ) r = П где zП и zС - комплексные координаты точек контура Рис. питания П и круговой границы ПЗС, а r0- радиус скважины. Задачи, представленные на рис. 8 и 9, решены и вторым способом.
Сопоставительные расчёты дали практически совпадающие результаты, по казавшие, что, повышая проницаемость ПЗС, можно заметно увеличить де бит. Пониженная по сравнению с пластом проницаемость ПЗС приводит к резкому сокращению дебита скважины.
В зз 10 и 11 исследуется вопрос о дебите скважины, в призабойной зо не которой сделан вертикальный (рис. 10) либо горизонтальный (рис.11) гид y роразрыв пласта. Исследование эффектив ности вертикального гидроразрыва изуча лось в работах В.М. Ентова и В.В. Мурзенко, К.М. Донцова с соавтора rc x ми, В.В. Кадета и В.И. Селякова, r Р.Д. Каневской и Р.М. Кац, Kщ - количество R А.Ф. Зазовского и Г.Т. Тодуа, щелей А.В. Доманского и др. Эффективность го Рис. ризонтального гидроразрыва пласта иссле довалась методом электролитического моделирования С.А. Христиановичем и Ю.П. Желтовым. Приближённое решение о притоке к скважине с одной се рединной горизонтальной трещиной методом ЭГДА получено Ю.Н. Васильевым и А.И. Башкировым.
В диссертации для выявления главных фильтрационных эффектов, вы званных гидроразрывом пласта, применён метод СВП. Для дебита Q скважи- ны с вертикальными щелями на рис. 10 методом СВП получено выражение n n R r1 rc + ln rc rc r Q 16 n =, где =, а n = КЩ +. (17) 2 n= Q0 r1 n rc n R ln + (2n +1)3 - r1 Kщ rc r 2 (Щ - П) b Через Q0 в формуле (17) обозначена базисная величина Q0 =.
ln R rC Случай, когда в ПЗС только две вертикальные трещины, расположенные на одной прямой, позволяет воспользоваться известным точным решением для электростатического аналога задачи. Это точное решение применялось для оценки погрешности формулы (17) при Kщ = 2 и r1 300rС и показало, что формула (17) даёт всегда заниженное на 5-7% значение дебита Q. Формула (17) применялась для анализа эффективности вертикального гидроразрыва пласта. По результатам расчётов сделаны выводы: 1). Дебит скважины суще ственно зависит от радиусов вертикальных трещин. Вначале с ростом радиу са трещин дебит растёт, а затем его рост замедляется. 2). С ростом числа ще лей дебит растёт, но быстро из-за интерференции щелей достигает асимпто тического значения. Оптимальное число вертикальных трещин при гидрораз рыве пласта от 2 до 4. 3).
z Выгоднее создавать не большое количество Q 2 зона v0 = l 2l(r0 + r1) 2 = 0 крупных по размерам b трещин, чем большое ко 1 зона Q b - l v1 = личество мелких.
1 = l 2(b - )(r0 + r1) Для гирлянды из N R r r0 r горизонтальных трещин, Рис. 11. Расчётная схема течения к горизонтальной трещине равномерно распреде по комбинированному методу фрагментов и СВП лённых вдоль непрони цаемого вертикального ствола скважины, поверхность каждой из которых моделировалась как эквипотенциальная, по методу СВП получена следую щая формула для дебита Q:
Q ln(R0) b0 Wn(x, y) ~ =, где S = Sx,, S(x, y) =, (18) ~ Q0 R0 8 S b0 2 N (2n + 1) wn(x, y) n= ln + x 3 N x и R0 = R rC ;
b0 = b rC ;
x = 1 + r1 rC ;
y1 = (b - ) rC ;
y2 = rC, I0(n );
- K0(n ) I1(n );
K1(n ) (2n + 1) x Wn(x, y) = wn(x, y) = ;
n = ;
I1(qn );
K1(qn );
I1(qn );
K1(qn ) 2y (2n + 1) qn =. В (18) через Q0 обозначен дебит совершенной скважины с ра 2y диусом r0 и вычисляемый по формуле Дюпюи. Вычислительные эксперимен ты, выполненные с помощью (18), показали: 1) для повышения производи тельности скважины выгоднее создавать одну крупную ГТ в середине пласта, чем множество мелких трещин в гирлянде, 2) для одной трещины гидрораз рыва максимальный дебит достигается при её расположении в середине пла ста и 3) если размер этой единственной трещины больше мощности пласта (r1 > b), то её расположение вдоль ствола скважины практически не играет роли. К таким же выводам приводят исследования, полученные методом электролитического моделирования (Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев).
Основные результаты главы 4: 1) автор доказал, что классическая поста новка задачи о течении к скважине, когда поверхность её ствола принимается за эквипотенциальную, может приводить к заметным ошибкам в расчёте де бита, если не учесть по приведённому в диссертации критерию возможность перехода в ПЗС плоскорадиального течения в осесимметричное;
2) доказана необходимость учёта при расчёте дебитов скважин возможного перехода в ПЗС линейного режима фильтрации к нелинейному;
3) доказано, что расчёт сложных трёхмерных фильтрационных течений в ПЗС с приемлемой точно стью можно выполнить методом СВП;
4) проведены расчёты и даны практи ческие рекомендации по оптимальному соотношению проницаемостей ПЗС и пласта, по техническим параметрам применяемых фильтров и по количеству и размерам искусственно создаваемых трещин гидроразрыва.
В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков прони цаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нели нейному.
з1 носит вспомогательный характер. В нём описывается метод функций Грина для расчёта плоскопараллельной фильтрации к одиночной скважине, эксплуатирующей при линейном напорном режиме неоднородный изотроп ный пласт с проницаемостью K(x,y) = k0k(x,y), где k0 - размерная константа, а k(x,y) - такая безразмерная функция, что для эллиптического уравнения k L[(x, y)] (x, y) + (x, y) = 0 (19) k y x x y с коэффициентом k(x,y) известно фундаментальное решение g(x,y,x0,y0). Ма тематическая постановка сводится к краевой задаче для уравнения (19) отно k0 P сительно потенциала = - с граничными условиями = П = const и = C = const, (20) П C где П Цконтур питания в области фильтрации D, а С Цконтур скважины. Для расчёта потенциала течения к скважине предварительно строится функция Грина 0(x,y) = g(x,y,x0,y0) + f(x,y), где f(x,y) - регулярное в области D ре шение уравнения (19), удовлетворяющая однородным условиям Дирихле 0(x, y) = 0 и описывающая точечный сток в точке (x0,y0) с нормированным П удельным дебитом 2. После этого потенциал течения к скважине с удель ным дебитом Q найдём по формуле Q (x, y) = 0(x, y)+ A, (21) постоянные Q и A в которой определяем из граничных условий (20). В ре зультате из (20) и (21) для удельного дебита получаем формулу 2 (C - П ) Q =, (22) 0(xC, yC) где (xC,yC) - точка контура скважины.
В зз 2 и 3 рассматриваются задачи расчёта дебита одиночной круговой скважины 1) в неоднородных анизотропных пластах с линейным режимом фильтрации и 2) в изотропных пластах - с нелинейным. Здесь предложены вариационные методы (пробных эквипотенциалей и пробных линий тока) для расчёта в аналитической форме верхних и нижних оценок дебита скважины.
В з4 исследуется интерференция n скважин, эксплуатирующих неод нородный изотропный пласт. Область фильтрации D ограничена контуром питания П и круговыми контурами скважин Сk с радиусами rk (k = 1,2, Е,n ), = k = const на которых заданы значения. Потенциал (x,y) течения от n Ck скважин ищется в виде суперпозиции функций Грина k(x,y) = g(x,y,xk,yk) + fk(x,y), описывающих отдельные точечные стоки:
n (x, y) = k(x, y)+ П, (23) k k= где k - неопределённые множители, связанные с дебитами Qk равенствами Qk k = ;
(k = 1,2,..., n). Постоянные k находим из граничных условий на конту рах питания и скважин, которые приводят к системе линейных алгебраиче ских уравнений (СЛАУ) n ' i i(xk, yk )+ k k(xk + xk, yk + yk ) = k - П.
(24) i= k = 1,2,..., n Знак УштрихФ у суммы здесь и далее означает, что индекс суммирования i k. Приращения xk и yk определяют точку на контуре Ck.
В з5 предложена математическая модель взаимодействия n скважин, в призабойных зонах которых свои индивидуальные проницаемости, не равные проницаемости пласта. Призабойная зона каждой скважины с центром в точ ке (xm,ym) и с радиусом r0m принимается за круговую с радиусом rm и с посто янной проницаемостью km. Течение в ПЗС рассматривается как радиальное.
Радиусы rm ПЗС считаются достаточно малыми по сравнению с другими рас стояниями в области фильтрации. Предполагая перечисленные допущения выполненными, для дебитов скважин Qm = 2m приходим к СЛАУ * * n ' i i(xm, ym )+ m m(xm + xm, ym + ym ) = k0 (PП - Pm) i= km (Pm * = * - P0m). (25) m rm ln r0m m = 1, 2,..., n Отношение скачка проницаемости k1/k 0.1 0.2 0.5 1 5 20 369 12 15 18 К о л и ч е с т в о с к в а ж и н n Рис. 12 Ч Зависимость суммарного дебита центральной круговой батареи от числа скважин n и от отношения проницаемостей k1/k0. Радиус контура питания R = 10 км, радиус ПЗС Ч 10 м, радиус скважин Ч 0,1 м. (k1 - проницаемость ПЗС, k 0 - проницае мость пласта). Радиус батареи - r1=1 км. Q0 - базисная величина, дебит фиктивной круговой скважины в центре пласта.
В частном случае, когда n скважин расположены равномерно в круговой батарее с радиусом r1 и с центром, совпадающим с центром однородного изо тропного кругового с радиусом R пласта, а радиусы rC всех скважин, их при забойных зон r0 и давления PC на скважинах одинаковы, получено решение:
2n 2k0k1(PП - PC ) R2n - (r1) Q =, где B =. (26) n- n n r0 R (r1) r k0 ln + k1 ln(B) rC Здесь Q - удельный дебит одной скважины в батарее, k1 - проницаемость ПЗС Отношение Q Q скважин, k0 - проницаемость пласта. Суммарный дебит Q батареи равен Q = nQ. Формула (26) обобщает формулу В.Н. Щелкачёва и переходит в неё при k0=k1 или при r0 = rC. Она применялась в вычислительном эксперименте k по исследованию зависимости Q от отношения проницаемостей. Резуль k таты расчётов, представленные на рис. 12, показывают, что повышение про ницаемости ПЗС более чем в 20 раз неоправданно, в промысловой практике достаточно увеличивать проницаемость ПЗС в 5 раз. Ухудшение проницае мости ПЗС сильнее сказывается на суммарном дебите батареи, чем её увели чение. Поэтому необходимо предусматривать защитные меры, предотвра щающие понижение проницаемости ПЗС.
В з6 предложена математическая модель интерференции скважин с не v линейным режимом фильтрации grad P = - f (v) в призабойных зонах с зара v нее неизвестными радиусами rm. Для расчёта дебитов скважин Qm = 2m выведена система нелинейных алгебраических уравнений n ' i(xm,ym)+m m(xm + xm,ym + ym)= k0 (PП - Pm) i i= m r m m f r dr = Pm - P0m r0m. (27) km m f(m,C1m,m)= Reкр rm m =1,2,...,n;
i m Система (27) из 3n уравнений замкнутая, число неизвестных в ней 1, 2, Е.,n, P1, P2, Е,Pn, r1, r2, Е, rn соответствует числу уравнений.
Основные результаты 5-ой главы: 1) разработаны общие математиче ские модели, описывающие работу в изотропном неоднородном пласте а) одиночной скважины, б) группы скважин, в) группы скважин со скачками проницаемостей в ПЗС, г) группы скважин с нелинейным режимом фильт рации в ПЗС;
2) предложен метод построения серии точных решений (в по становке для двухсвязных областей) задач фильтрации к круговой скважине с конечным радиусом;
3) предложены вариационные методы расчёта верхних и нижних оценок дебита одиночной скважины;
4) по предложенным математи ческим моделям выполнены вычислительные эксперименты и сделаны выво ды.
В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтра ционных течений в многослойной области G в виде криволинейного четы рехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изотермической системы координат P, Q. Расчётная область заполнена мно гослойной неоднородной анизотропной средой (МС-средой), границы от дельных слоёв которой совпадают с линиями P = const (или Q = const).
y BE ~ i y i i,, i, f i (x), i (y)......
~ i x d 1 d 2 d i - 1 d i d i+1 d n - 1 d n 1 2 i-1 i i+1 n-1 n l x0=0 x n= M x 1 x 2 x i - 2 x i - 1 xi x i+1 x n - 2 x n - 1 D x i n i ~ k k y Рис. 13. xi = ;
xn = l ;
di = xi - xi-1 ;
безразмерная посто = i d d i ~ x k=1 k= i i i i i ~ ~ янная, коэффициент анизотропии i-го слоя;
x = i f (x);
y = i i f (x) ;
f (x) - без размерная функция, характеризующая закон неоднородности i-го слоя.;
i i f (xi-1) = 1;
f (xi ) = i. Постоянная i - коэффициент неоднородности i-го слоя.
i - размерная постоянная (проницаемость). di - ширина i-го слоя. Функция i(y) - плот ность распределения источников в i-ом слое.
В изотермических P, Q и в декартовых (для прямоугольной области) ко ординатах x, y расчёт поля в МС-среде осуществляется по алгоритмам, кото рые отличаются лишь непринципиальными деталями. Поэтому без ограниче ния общности далее рассматривается область G = {0 x l;
0 y h} в виде прямоугольника MBED (рис. 13), заполненного средой с прямолинейной ани зотропией. Её физические характеристики претерпевают конечные разрывы во внутренних точках 0 = х0 < х1 < х2 < х3 <... < хn-1 < xn = l. ГНА всюду сов падают с осями x и y, а собственные значения Г1(х) и Г2 (х) тензора прони цаемости среды на отрезках i = [xi-1, xi] задаются равенствами ~ ~ и Г1 хi = 1i = fi (x) Г2 хi = 2i = i i fi (x), i=1,2,Е,n. Поле скоростей i r r r фильтрации (x, y) = x (x, y) i + y (x, y) j в такой среде описывается 1) законом Дарси х = -Г1, у = -Г2, в котором потенциал, как обычно, связан с х у приведённым давлением P формулой (х, у) = P(x, y) и 2) уравнением не ) ) разрывности div = -(у). В последнем (y) задаёт плотность источников, определяемых в каждом i-ом слое по заданным кусочно-непрерывным функ ) циям i(y) по формуле (у) = i i (у), i = 1, n. После подстановки x и х[хi-1,хi ] y в уравнение неразрывности для потенциала = (х,у) получаем неодно родное уравнение эллиптического типа ) ) F(х) L[(х, у), F(х)] + F(х) = (у) (28) х х у ) с кусочно-непрерывными коэффициентами |х = i ;
F(х) = fi (х);
i хii (у) = i (у), которое для послойно перенумерованных значений потенциа- хi ла i(х, у) эквивалентно системе уравнений эллиптического типа L[i(х, у) i,fi(х)]= i(у);
i = 1,n. (29) Уравнение (28) и соответствующая система (29) решаются совместно с гра ничными условиями: на сторонах ВЕ и MD задаются условия Дирихле:
i (х,0) = Ф1(х);
i (х, h) = Ф2 (х);
i = 1, n, (30) хii хii где Ф1(х) и Ф2(х) - непрерывные на [0, l] функции. На сторонах МВ и DE за даются граничные условия n а 1 + b1 * * = F1(у);
n + b* = F2 (у), (31) а* 1 2 х х х=0 х=l где a1*, a2*, b1*, b2* - заданные постоянные, а F1(y) и F2(y) - заданные функции.
На границах контакта слоёв выполняются условия сопряжения, выражающие непрерывность давления и нормальных составляющих vn, т.е.
i-1 i при х = хi-1 : i-1 = i и i-1 i-1 = i, i = 2, n. (32) х х Расчёты потенциальных полей для задач электротехники с частными случаями кусочно-однородных сред (когда все fi(x) 1) и с однородными граничными условиями (30) ранее выполнял В.Н. Острейко. В диссертации сформулированная задача решается для кусочно-неоднородных сред с гра ничными условиями (30) общего вида. Для этого автор разработал метод пе рехода к модельной задаче с помощью построения в областях gi = {xi-1 < x < xi ;
0 < y < h} передаточных функций i(x,y), удовлетворяющих однородному уравнению (29) и принимающих в вершинах gi заданные значения i (хi-1,0) = iM;
i (хi-1, h) = iB;
i (хi,0) = iD;
i (хi, h) = iE, (i = 1,n). Такие частные решения имеют вид х х dx у dx fi (х) h fi (х) ~ у ~ хi-1 хi- ~ ~ i (х, у) = аi + bi + сi + di, (33) хi хi h dx dx fi (х) fi (х) хi-1 хi- ~ ~ ~ ~ где аi = iM, bi = iD - iM, сi = iB - iM, di = iE + iM - iB - iD. Если значения i(х,у) в вершинах gi задавать по формулам iM = Ф1(хi-1);
iB = Ф2(хi-1);
iD = Ф1(хi);
iЕ = Ф2(хi), то i(х,у) на границах у = 0 и y = h в точках хi, i = 0,n примут значения граничных условий Ф1(х) и Ф2(х). Поэтому, разбивая MD на достаточно мелкие частичные отрезки i = [xi-1, xi], с помощью функ ций i(х,у) удастся сравнительно точно удовлетворить граничным условиям (30). Решения уравнений (29), удовлетворяющие условиям (30), получены в виде i(x,y) = i(x,y) + wi(x,y), в котором wi(x,y) представлены рядами Фурье k wi(x, y) = (x) sin(ky), где k =. (34) U ik h k= Функции Uik(x) в рядах Фурье (34) автор представляет в специальном, ориен тированном на многослойные задачи виде Aik Uik (x) = Cik gik (x) + Dik pik (x) -, (35) 2 i fi (x) k i sh[ik (x - xi-1)];
d = xi - xi-1;
ai = ;
sh[ik (xi - x)] ln i где gik (x) = ;
pik (x) = i 2di fi (x) sh (ik di ) fi (x) sh (ik di ) h 2 k ik = 2 i + ai ;
Aik = i (y) sin ydy ;
а Cik и Dik - произвольные посто k h h янные. Законы изменения неоднородности fi(x) в каждом слое в (35) выбира ются отдельно по любому из трёх перечисляемых вариантов: 1). Однородно - анизотропный слой, когда fi(x) = 1;
(i = 1). 2). Анизотропный слой с квадра i (x - xi-1)+ (xi - x) тичным законом изменения неоднородности: fi(x) =.
xi - xi- - xi- x 3). Анизотропный слой с экспоненциальным законом: fi (x) = exp ln i xi - xi- В случае произвольного закона f(x) отрезок MD на рис.13 разбивается на час тичные отрезки, на которых f(x) аппроксимируется перечисленными выра жениями. Для окончательного решения задачи, как это следует из формул (34) и (35), остаётся вычислить коэффициенты разложений Cik и Dik в рядах Фурье для wi(x,y). Разработанный алгоритм расчёта этих коэффициентов из граничных условий (31) и (32) сведён к применению метода прогонки.
Кроме изложенного первого, в диссертации подробно рассмотрен вто ) рой случай, когда источники поля в МС-среде отсутствуют, (y) = 0, а грани цы MD и BE для фильтрационного потока непроницаемы, т.е. vi = 0, или y i i = = 0 ;
(i = 1,2,K, n). (36) y y y=0 y=h Граничные условия на сторонах MB и ED и на границах контакта слоёв во втором случае тоже записываются в виде (31) и (32).
Разработанная теория применялась к исследованию на конкретных при мерах точности расчётов фильтрации в слоистых средах методом интеграль ного однородно-анизотропного эквивалентирования.
Основные результаты главы 6: 1) разработан математический аппарат расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных сре дах в областях, топологически эквивалентных прямоугольнику;
2) с помо щью развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального одно родно-анизотропного эквивалентирования;
3) на примере разработанной тео рии указаны общие подходы к расчётам полей в многослойных средах в дру гих областях - полосе, полуполосе, круге и н. др., а также в топологических аналогах этих областей в изотермических системах координат.
В приложении 1 приведены справочные сведения по законам ортого нального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2, 3 и рангов.
В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для линейной фильтрации в средах с конкретными законами распределения ГНА.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое круп ное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах.
Основные результаты работы, полученные лично автором:
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей тех анизо тропных сред, главные направления анизотропии которых известны априори (к ним относятся распространённые в естественных условиях трансверсаль но-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещинова тые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пла стах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрацион ных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиноч ным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая мо дель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций про мышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в мно гослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами коорди натных линий изотермических систем координат.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая мо дель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом. // Из вестия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естест венные науки. 1996. № 1. С.36-41.
2. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета гидротехнических сооружений. // Известия ВННИГ им. Б.Е. Веденеева, Т.
239, Санкт-Петербург, 2001. С. 98-109.
3. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грун тах с обобщенной анизотропией. // Известия ВУЗОВ. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000, № 2. С.33-36.
4. ТОЛПАЕВ В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. 2003.
№ 12. С.3-11.
5. ТОЛПАЕВ В.А. О построении точных решений задач напорной фильтра ции в некоторой серии анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естествен ные науки. 1979. №4. С. 33-36.
6. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки.
1984. №3. С.32-35.
7. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом вир туальных трубок тока. // Сборник материалов Всероссийской научной конференции 27-30 сентября 2000 г. Математическое моделирование в научных исследованиях. Ч. 1. Ставрополь, СГУ, 2000. С.160-164.
8. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной области. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1990, № 7. С.5-14.
9. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных сре дах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1999. № 4.
С.39-43.
10. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач со смешанными краевыми усло виями в прямоугольной многослойной области. // Известия вузов. Северо Кавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 4. С.47-55.
11. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах / / Изв. Северо - Кавказ. науч. центра высш. шк. Естеств. науки. 1984. № 2. С.45-49.
12. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных сре дах. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.
Приложение. №7, 2003. С. 7-18.
13. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов оди ночных и групповых скважин в неоднородных средах. // Известия ВУЗОВ.
Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 1, 2000. С.53-57.
14. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.
1988, № 4. С.80-87.
15. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1989, №6. С.5-12.
16. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В., ПЕТУХОВ А.А. Комплексные потен циалы фильтрационных течений в прямолинейно анизотропных средах с произвольной ориентацией осей тензора проницаемости //Мат. IY Между народной научно-практической конференции Методы и алгоритмы при кладной математики в технике, медицине и экономике. ЮРГТУ (НПИ) - (Новочеркасск, 23 января 2004 г.) - Ч.2.- С.39-42.
17. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференци альных уравнений модифицированным методом исключения. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 3. С.107-110.
18. ТОЛПАЕВ В.А., КРЫМИН Л.Г. О приближенном расчете электротехни ческих характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике. // Известия вузов. Элек тромеханика, №4. 1987. С.11-17.
19. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Расчёт коэффициентов проводимости для изотропных пластов вращения постоянной толщины //Мат. IY Меж дународной научно-практической конференции Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. ЮРГТУ (НПИ) - (Новочеркасск, 23 января 2004 г.) - Ч.2.- С.43-46.
20. ТОЛПАЕВ В.А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых урав нений гиперболического типа методом перехода. // Сборник научно методических статей по математике. Выпуск 11, М.: Высшая школа, 1983. С.98-107.
21. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчёт тензора проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения главных направлений анизо тропии. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский реги он. Естественные науки. 1997. № 2. С.41-42.
22. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницае мости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном за коне Дарси. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №3, 2003. С. 36-41.
23. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плос ко-параллельных электрических и магнитных полей в анизотропных сре дах. // Изв. Вузов. Электромеханика. 1984. №3. С. 5-9.
24. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. О точности моделирования в ста тических расчётах мелкослойчатых сред анизотропными. // Известия ву зов СССР. Электромеханика. 1988. № 6. С.13-18.
25. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИН Л.Г. Об аппроксима ции в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными.
// Известия вузов, Электромеханика, №11, 1985. С.23-32.
Во всех совместных работах автору принадлежит теоретическая часть, разработка вычислительных алгоритмов и подготовка тестовых примеров.
Программную реализацию и конкретные вычисления проводили соавторы.
Книги, научные публикации