Книги по разным темам Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 3 01;03 Нелинейные осцилляции заряженной капли в электростатическом подвесе й С.О. Ширяева Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: shir@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 2 августа 2005 г.) С помощью аналитических асимптотических методов найдено решение задачи о нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, в электростатическом подвесе, в квадратичном приближении по двум малым параметрам: амплитуде осцилляций и величине ревновесной деформации формы капли в электростатическом поле. Для аналитического решения задачи характерно разложение искомых величин по полуцелым степеням малого параметра. Выяснилось, что и заряд капли, и внешнее гравитационное поле вносят вклады как в форму капли, так и в нелинейные поправки к частотам осцилляций, и в критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к поверхностному заряду. При зарядах капли, близких к критическим, форма нелинейно-осциллирующей капли существенно отличается как от сферы, так и от сфероида, что необходимо учитывать при интерпретации экспериментальных данных.

PACS: 47.55.DНесмотря на обилие исследований нелинейных ос- сил тяжести g подвешена в однородном внешнем элекцилляций заряженных капель, выполненных за два по- тростатическом поле напряженностью E0, где g -E0.

следних десятилетия и продолжающихся в нестоящее Примем, что жидкость имеет плотность, коэффициент время [1Ц4], изучение осцилляций капли во внешнем поверхностного натяжения. В отсутствие электростаэлектростатическом поле только начинается. На сеготического и гравитационного полей капля имеет сферидняшний день проведены лишь два нелинейных аначескую форму с радиусом R. Согласно [16], равновесная литических асимптотических исследования осцилляций форма такой капли представляет собой вытянутый по и устойчивости: в квадратичном приближении по амполю сфероид с эксцентриситетом e в квадратичном плитуде осцилляций [5] и в приближении 5/2 [6].

по e приближении (а именно такое приближение обесЗа исключением [5,6] все работы по расчету осцилляций печивает необходиую строгость асимптотических раснезаряженных и заряженных капель во внешних силовых четов нелинейных осцилляций капли в приближении полях выполнены лишь в линейном приближении по e2 и 2, которое используется в настоящем исслеамплитуде осцилляций [7Ц9] вследствие громоздкости довании): e2 36w/(4 - W ); W Q2/4; w E0 /16.

задачи, содержащей два независимых малых параметра:

При записи выражений для эксцентриситета использоодин характеризует стационарную деформацию капли во ваны, как и во всей работе, безразмерные переменвнешних силовых полях, второй Ч амплитуду нелиные, в которых = = R = 1. Условие неподвижности нейных осцилляций. Тем не менее, в силу широкого центра масс капли в подвесе записывается в виде:

применения различного вида бесконтактных подвесов g = 3QE0/4.

для жидких капель (электростатических, электродинаПоскольку давление электрического поля на поверхмических, аэродинамических, акустических [10Ц15]), исность капли pE E0 приводит к сфероидальному использующихся как для получения сверхчистых веществ, кажению ее равновесной сферической формы то, слетак и для исследования закономерностей электростатидовательно, давление должно иметь тот же порядок ческого распада, анализ таких осцилляций необходим малости, что и вызванное им искажение. Но так как для корректной интерпретации результатов эксперипараметры e2 и имеют один порядок малости, то ментов.

pE E0 e2, или E0 1/2. Поскольку заряд не В связи с этим в настоящей работе проводится расчет нелинейных осцилляций заряженной капли в электро- нарушает сферичности равновесной формы капли, то статическом подвесе в суперпозиции коллинеарных гра- примем Q 0. Для гравитационного поля получится витационного поля и внешнего электростатического по- g QE0 1/2.

я в предположении, что оба малых параметра задачи Математическая формулировка задачи о расчете нелиимеют один порядок величины.

нейных осцилляций и используемый метод отыскания Пусть в вакууме капля электропроводной несжимае- аналитического решения аналогичны использованным мой идеальной жидкости, имеющей заряд Q (который ранее в [5,6], поэтому, не приводя их, запишем окондля определенности примем положительным), в поле чательное выражение для образующейся нелинейно94 С.О. Ширяева осциллирующей капли:

n2 n bn e2(n + 1) n2 + (2n - 1)(2n + 3) (n - 1)n er(, t) =1 + P2() + M(1)(t) n 9E0 2(n - 1)n(2n + 3) - 1 n= + + 4 2n + n-1 - n + 1/2M(3/2)(t) +M(2)(t) Pn() +O(5/2);

n n (n - 1)n3 3QE (2n - 3) - g (2n - 1)(2n + 1) (n 2); M(1)(t) =hii,n cos[(n - bn)t]; cos ;

n 1 (n + 1)3n + 1/2M(3/2) = - (hn-1n-1 + hn+1n+1) cos nt n n+1 - n (2n + 1)(2n + 3) + hn-1n-1 cos(n-1t) +hn+1n+1 cos(n+1t); 3QE0 (2n - 1) - g ;

4 2n hn M(2)(t) =- (2n + 3)(n + 1)(n+1)n 1 (kmn + mkn) km(kmn + mkn) n(2n + 1) () kmn = ;

2 n - (k m)n = n(n - 1)(n + 2 - W ). (1) +(2n - 1)(n - 1)(n-1)2 + hn+2 n+В представленных выражениях коэффициенты hm определяют парциальный вклад m-й моды в форму начальной (n + 1)(n + 2) 3QE - n+1 2 2 (2n + 1) - g деформации из спектра номеров, ее определяющих.

n+1 - n+2 (2n + 5) Коэффициенты j, явный вид которых не приводится из соображений экономии места, пропорциональны линей(n - 1)ной комбинации заряда капли и гравитационного поля.

+ hn-2 n-2 - n-1 2 n-1 - n-2 (2n - 3) В частности, коэффициенты n1 обращаются в ноль при Q 0, g 0. Коэффициенты kmn и kmn выражаются 3QEчерез коэффициенты КлебшаЦГордана [4Ц6].

(2n - 5) - g cos nt + hn+2n+2 cos n+2t В полученных выражениях Дбросаются в глазаУ следующие отличия от ранее разобранных задач о нелинейных (2n + 3)hnn+1 осцилляциях заряженной капли [1Ц5]:

+ hn-2n-2 cos n-2t + n-1(n + 1) 1) нелинейная поправка к частоте bn появляется в n(2n + 1) расчетах второго порядка малости, линейна по амплиту 3QEhn+2(n + 2) (2n + 1)-g де осцилляций, определяется формой стационарной де- cos n+1t 2 формации капли во внешних полях, зависит от величины n+1 - n+2 (2n + 5) заряда капли, наличия электрического и гравитационно(2n - 1) го полей и всегда отрицательна, что приводит к сни+ n-1(n - 1) hnn-n(2n + 1) жению критических условий реализации неустойчивости капли по отношению к суперпозиции собственного и hn-2 3QE0 (2n - 5) - g индуцированного заряда (см. рис. 1);

- cos n-1t 2 2) в выражении для образующей формы капли, в n-1 - n-2 (2n - 3) отличие от [1Ц5] и ситуации незаряженной капли во hihj (+) внешнем электростатическом поле [6,7], появляется сла+ i jn cos(i + j)t - cos nt 2 гаемое, пропорциональное амплитуде осцилляций в стеi j пени 3/2, обращающееся в ноль при Q 0, g 0. Сама (-) форма капли при зарядах, близких к критическому, по + i jn cos(i - j)t - cos nt ;

Рэлею, значению, т. е. когда электростатический подвес используется для проверки критерия Рэлея, существен2h2 2hi но отличается от сферической (см. рис. 2), что при2M(2)(t) =- (cos it)2 - e2 cos 2t;

2i + 1 водит к погрешностям, обсловленным использованием i электростатического подвеса, особенно при наличиии нелинейных осцилляций;

9ihi-1hi2M(2)(t) = - cos i-1t cos it 3) нелинейные поправки к амплитудам нулевой (2i - 1)(2i + 1) i M(2)(t) и первой (трансляционной) M(2)(t) мод содер0 жат слагаемые, пропорциональные косинусам основной 9h- e2 cos 3t;

и третьей мод соответственно, обращающиеся в ноль Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции заряженной капли в электростатическом подвесе Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 0301-00760.

Список литературы [1] Tsamopoulos J.A., Brown R.A. // J. Fluid Mech. 1984. V. 147.

P. 373Ц395.

[2] Feng Z. // J. Fluid Mech. 1997. V. 333. P. 1Ц21.

[3] Ширяева С.О. // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26. Вып. 22.

С. 76Ц83.

[4] Ширяева С.О. // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 17.

С. 28Ц35.

[5] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. // ЖТФ.

Рис. 1. Зависимость частоты основной моды от параметра 2005. Т. 75. Вып. 3. С. 36Ц44.

Рэлея W без учета нелинейной поправки (1) и с учетом (2), [6] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. // ЖТФ.

нелинейной поправки = 0.2.

2005. Т. 75. Вып. 7. С. 40Ц47.

[7] Cheng K.J. // Phys. Lett. 1985. V. A112. № 11. P. 392Ц396.

[8] Feng Z.C., Beard K.V. // J. Fluid Mech. 1991. V. 227.

P. 429Ц447.

[9] Ширяева С.О. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 4.

С. 84Ц88.

[10] Doyle A., Moffet D.R., Vonnegut B. // J. Colloid Sci. 1964.

V. 19. P. 136Ц143.

[11] Abbas M.A., Latham J. // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. № 4.

P. 663Ц670.

[12] Berg T.G.O., Trainor R.J., Vaughan U. // J. Atmosph. Sci.

1970. V. 27. № 11. P. 1173Ц1181.

[13] Schweizer J.W., Hanson D.N. // J. Cool. Int. Sci. 1971. V. 35.

№ 3. P. 417Ц423.

[14] Roulleau M., Desbois M. // J. Atmosph. Sci. 1972. V. 29. № 4.

P. 565Ц569.

[15] Duft D., Lebius H., Huber B.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002.

V. 89. №8. P. 1Ц4.

Рис. 2. Образующая формы нелинейно-осциллирующей капли, [16] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. // ЖТФ.

начальная деформация определена суперпозиций 2-й и 3-й мод, 1989. Т. 59. Вып. 6. С. 27Ц34.

в различные моменты времени, измеренные в долях периода 2-й моды, = 0.2, W = 3.7. t = 1 Ч0, 2 Ч1/2 T2; 3 Ч T2;

4 Ч37/16 T2.

при отсутствии номеров этих мод в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Появление этих слагамых связано с наличием стационарной деформации капли, которая совместно с зарядом и гравитационным полем приводит и к усложнению структуры спектра реализующихся нелинейных осцилляций. Количество и положения внутренних нелинейных резонансов, характе() ризующихся слагамыми в (1), kmn, в использованном порядке приближений на зависят от наличия внешних полей, определяются только зарядом капли и не отличаются от ранее проанализированной ситуации свободной заряженной капли [1Ц4].

Использование для проверки критерия Рэлея устойчивости капли по отношению к собственному заряду электростатического подвеса (как в чистом виде [10,11], так и в комбинации с другими силовыми полями [13]) приводит к погрешностям, обусловленным стационарными деформациями капель. Возможные нелинейные осцилляции капель в подвесе приводят к еще большему увеличению погрешностей.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.    Книги по разным темам