Книги по разным темам Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 3 Краткие сообщения 01;05 Кинетический кроссовер режимов коалесценции в пересыщенном однородном растворе й П.Ю. Губанов, Ю.В. Желтов, И.Л. Максимов, В.П. Морозов Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 603950 Нижний Новгород, Россия e-mail: ilmaks@phys.unn.ru (Поступило в Редакцию 16 июня 2004 г.) В рамках подхода, учитывающего конечность максимального размера зерна в процессе фазовых переходов, найдены новые режимы коалесценции, при которых асимптотическое поведение функции распределения существенно отличается от классического распределения Лифшица-Слезова (ЛС). Обнаружено, что в случае, когда кинетика роста зерен контролируется процессами диффузии мономеров и растворения зерен, может возникать промежуточно-асимптотический режим коалесценции, сменяющийся на конечной стадии диффузионным режимом типа ЛС. Указанная смена проявляется в эффекте кроссовера скейлинговых показателей, определяющих зависимость размера зерна от времени, имеющем место при смене доминирующего механизма роста зерна.

В процессе образования зерен новой фазы при распаде стью растворения (ранняя стадия коалесценции), либо пересыщенного твердого раствора следует различать диффузией мономеров (поздняя стадия коалесценции).

две стадии: флуктуационный режим роста зародышей Продемонстрирован переход к конечному распределеиз пересыщенного раствора и стадию коалесценции, нию через промежуточно-асимптотический режим копредставляющую собой рост крупных зерен за счет рас- алесценции, оценена длительность пребывания в этом творения более мелких. На сравнительно поздней стадии режиме.

фазового перехода флуктуационным процессом образо- Рассмотрим общую ситуацию, когда кинетика роста вания зародышей твердой фазы можно пренебречь, по- зерен определяется процессами диффузии и растворения зерен одновременно. В этом случае стандартным обраэтому на этой стадии доминирует процесс коалесценции, зом [5] обезразмеренное уравнение для скорости роста или оствальдовского созревания. Кинетика коалесценции зерна радиуса a имеет вид активно исследовалась начиная с классической работы Лифшица-Слезова (ЛС) [1], в которой найдена универda b0 1 сальная функция распределения (ФР) по размерам зерен = -, (1) dt b0a b a новой фазы, к которой в асимптотическом пределе при t эволюционирует любое начальное распределение где Ч скорость растворения, D Ч коэффициент (см. также монографии [2,3] и обзор [4]). Заметим, диффузии мономеров.

однако, что в работе ЛС неявно предполагалось, что Величины b = /(n0 - n00) и b0 = /(n0 - n00) в (1) зерна могут иметь бесконечный размер. В большинстве представляют собой выражения для критического радиработ, посвященных этой проблеме, рассматривается уса зерна ( = 2n00/(kT)), n00 и n0 Ч равновесные класс решений, удовлетворяющих условию типа ЛС.

значения концентрации мономеров над сферической и В недавней работе [5] рассмотрена кинетика коалесплоской поверхностью растворяемого вещества соответценции с учетом конечного значения максимального ственно, n0 Ч начальная концентрация мономеров в размера зерна. Авторами [5] было показано, что класс растворе, Ч поверхностная энергия, Чудельный ФР иного типа, обладающих степенным Ч порядка m объем мономера, T Ч температура, k Ч постоянная стремлением к нулю максимального размера, привоБольцмана. Здесь и ниже истинный (и критический) дит к принципиально иному асимптотическому поведеразмер зерна масштабирован величиной b0, а время нию ФР.

измеряется в единицах b2(D + b0)/(D ).

В данной работе проведено численное и аналити- В общем случае аналитическое решение кинетическоческое исследование кинетики коалесценции в одно- го уравнения коалесценции [1] совместно с (1) полуродном пересыщенном растворе с учетом конечного чить невозможно. Однако существует два предельных значения максимального размера зерна, теоретически режима, для которых оказывается возможным получить описана временная эволюция функции распределения асимптотическое описание. Для режима, когда про зерен новой фазы по размерам. Рассмотрены ситуации, цесс роста зерен контролируется диффузией мономеров, когда кинетика роста зерен контролируется либо скоро- асимптотическая ФР найдена в работе [5]. Рассмотрим 6 82 П.Ю. Губанов, Ю.В. Желтов, И.Л. Максимов, В.П. Морозов здесь другой режим, когда кинетика роста зерен контро- В случае, когда кинетика роста зерен контролируется лируется скоростью растворения (D a) (начальная диффузией мономеров (поздняя стадия коалесценции), стадия роста). В этом случае уравнение (1) сводится к ФР имеет более сложный вид [5] A1(m+1) da 1 1 3|V2|A (m+1)V1 (1 - V )mV = -. (2) P(V ) =, (6) dt b a 1 (V1 - V )A (m+1)+1(V - V2)A (m+1)+ Функция распределения в общем случае факторизуетгде =(2m + 5)/(m + 1), A = 0.5 ( - 1) 1 + 4 1,ся аналогично задаче ЛС ( + 1) / 1 + 4, V1,2 =( 1 + 4 1)/2, а зависящие от времени размеры зародышей следуют закону ЛС f (V, t ) =N(t )P(V ), 1 3 3 представляя собой автомодельную функцию распредеaL = t, b = t, ления только по размерам P(V ) (здесь переменная V есть отношение размера зерна к максимальному размеру 1 db (2m + 5)2(m + 1) зерна aL: V = a/aL), модулированную нестационарным = b2 =, (7) dt 27(m + 1)фактором N(t ) =N0 (a0)da0, равным числу частиц a определяя монотонное спадание плотности частиц новой новой фазы в единице объема. Для окончательной форфазы N(t ) =B/t. Асимптотическое распределение (6), мулировки задачи будем предполагать, что начальная возникающее на поздней стадии процесса коалесценции функция распределения при условии ограниченности максимального размера зерна, заметно отличается от классического распре (a0), 0 < a0 < C, деления Лифшица-Слезова [1]. Полученный результат объясняется отмеченным в [8] (см. также [9]) обстоя(a0) = (3) (C) тельством, что ДхвостыУ слишком медленно убывающих (L - a0)m, C < a0 < L (L - C)m распределений могут существенно изменить асимптотику ФР. Стоит отметить, что ФР (6) в пределе m имеет характерное степенное поведение вблизи макпереходит в распределение ЛС [1].

симально возможного начального размера зерна Сравнение показателей степени у выражений (5) и (7) aL(t = 0) L и равна нулю при a0 > L. Здесь (a0) Ч позволяет обнаружить эффект кроссовера кинетических произвольная функция; m Ч произвольное число индексов, возникающий при смене доминирующего ме(m > -1); C < L Ч промежуточный размер, опредеханизма роста зерна. Действительно, с течением времеляющий область локализации степенного ДхвостаУ нани корневой закон роста aL t1/2 и b t1/2 на раннем чальной ФР. Предположение (3) отражает реальную этапе (кинетика роста зерна контролируется скоростью экспериментальную ситуацию [6]. Действительно, в эксрастворения) сменяется классическим законом роста ЛС периментах [6,7], проведенных на расплавах Ni-Pb или типа aL t1/3 и b t1/3 на поздней стадии (кинетика Fe-Cu, наблюдалось распределение типа (3) с характерроста зерна контролируется диффузией мономеров).

ным размером L1 = 50 nm (система Ni-Pb), L2 = 30 nm Подчеркнем, что со временем отношение aL/b остается (система Fe-Cu).

постоянным, свидетельствуя об автомодельности найПрименяя аналогичный [5] способ решения кинетичеденной нами асимптотической функции распределения.

ского уравнения с учетом (2) и (3), получаем Заметим, что предсказанный здесь кроссовер должен иметь место и в рамках классической ЛС модели [1].

3V (1 - V )m(m+1) Результаты численного решения полной системы киP(V ) =, (4) ( - V )m+нетических уравнений [5] подтверждают выводы асимптотического анализа. Нами обнаружено, что в общем где =(m + 4)/(m + 1) находится из условия конечнослучае, когда кинетика роста зерен контролируется как сти объема новой фазы [5].

процессами диффузии мономеров, так и процессами Заметим, что временные зависимости характерных растворения зерен, может реализоваться промежуточноразмеров являются степенными с показателем, равасимптотический режим коалесценции. Время t1, за коным 0.5, торое ФР приближается к асимптотике (кривая 4), и время задержки t на ней (с уровнем девиации, не превы1 2 2 2 m + 4 шающим 10%) зависят от отношения = D/(b0) 1:

aL = t, b = t ; (5) с ростом значения t1 и t возрастают. На рисун 2m + ке, b эта ситуация продемонстрирована при значении аналогичный показатель для плотности частиц новой = 10: длительности первой и второй стадий составляфазы равен -1.5: N(t ) =B(2t /)-3/2. ют t1 212, t 188 шагов по времени соответственно.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Кинетический кроссовер режимов коалесценции в пересыщенном однородном растворе [5] Морозов В.П., Максимов И.Л. // Неорган. материалы. 1999.

Т. 35. № 8. С. 1021Ц1024.

[6] Желтов Ю.В., Морозов В.П., Дутышев В.Н. и др. // Изв.

РАН. Металлы. 1990. № 5. С. 31Ц37.

[7] Желтов Ю.В., Морозов В.П., Романцов А.А. и др. // Изв.

АН СССР. Металлы. 1988. № 3. С. 52.

[8] Кукушкин В.А., Осипов А.В. // ЖЭТФ. 1998. Т. 113. Вып. 6.

С. 2193Ц2208.

[9] Slezov V.V. // J. Phys. Chem. Solids. 1978. Vol. 39. P. 367.

Эволюция характерных размеров зерен (a) и функции распределения P(V ) (b) в процессе коалесценции однородного раствора ( = 10, m = 2, L = 2). a: aL(t) Ч максимальный размер зерна, b(t) Ч критический размер зерна; 1-4 Ч временная эволюция зерен новой фазы, параметризуемых значением начального размера зерна a0 = a(t = 0); b: A1 Ч ФР (4), A2 ЧФР (6), LS ЧФР ЛС [1]; 1-6 Ч временная эволюция численно рассчитанной ФР.

Время выхода на финальную асимптотику (6) (с уровнем девиации 15%) составляет порядка 50 000 шагов по времени. Сопоставление максимальных размеров (aL/b)theor = 1.333, (aL/b)num = 1.391 и параметров автомодельности theor = 3, num = 2.55 демонстрирует неплохое соответствие между теоретическими и расчетными данными.

Анализ данных экспериментов [6] позволяет оценить типичное значение для конкретной двухфазной системы. Так, 103 для системы Pb-Ni, для системы Fe-Cu 104. Это позволяет рассчитывать, что длительность промежуточной стадии в реальных условиях может достигать нескольких десятков секунд.

Предполагая, что t n (где n 1), нетрудно оценить длительность промежуточной стадии: t 2s для системы Pb-Ni и t 2 s для системы Fe-Cu.

Авторы признательны рецензентам статьи за полезные критические замечания.

Список литературы [1] Лившиц И.М., Слезов В.В. // ЖЭТФ. 1958. Т. 35. Вып. 2.

С. 479Ц492.

[2] Кукушкин В.А., Слезов В.В. Дисперсные системы на поверхности твердых тел: механизмы образования тонких пленок. СПб.: Наука, 1996.

[3] Slezov V.V. // Phys. Rev. 1995. Vol. 17. P. 1Ц214.

[4] Кукушкин В.А., Осипов А.В. // УФН. 1998. Т. 168. С. 1083.

6 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.    Книги по разным темам