й Иван Яковлевич Депман МИР ЧИСЕЛ, 1966 й Im Werden Verlag. Некоммерческое электронное издание. Мюнхен. 2004 Когда речь идёт о чём-нибудь ры, они не могли обойтись без счёта и очень простом,

понятном, мы час- меры.

то говорим: Дело ясно, как дважды О том, как люди учились считать два Ч четыре! и мерять, расскажет вам эта книжка.

А ведь прежде чем додуматься до Из неё вы узнаете, что многие пра того, что дважды два Ч четыре, лю- вила из ваших школьных учебников дям пришлось учиться много, много арифметики и геометрии были из тысяч лет. вестны древним грекам две с лишним Конечно, это учение шло не за тысячи лет назад. Другие древние партой. Человек постепенно учил- народы Ч египтяне, вавилоняне, ся жить: строить жилища, находить китайцы, народы Индии Ч в третьем дорогу в дальних походах, обрабаты- тысячелетии до нашего летосчисле вать землю. И одновременно он учил- ния имели сведения по геометрии и ся считать. Потому что даже в самые арифметике, которых не хватает не далёкие времена, когда люди жили в которым ученикам пятого или шес пещерах и одевались в звериные шку- того класса.

И вот эта книжка расскажет об исто рии математики Ч той самой науки о числах, величинах и фигурах, без кото рой... Впрочем, что было бы с людьми без математики, даже представить себе трудно!

...КАК СВОИ ПЯТЬ ПАЛЬЦЕВ Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой.

На крупного зверя Ч бизона или лося Ч приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Командовал обла вой обычно самый старый и опытный охотник. Чтобы добыча не ушла, её надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдёшься! И вождь первобытно го племени справлялся с этой первой задачей. Даже в те времена, когда че ловек не знал таких слов, как пять или семь, он мог показать числа на пальцах рук.

Есть и сейчас на земле племена, которые при счёте не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят рука, десять Ч две руки, а двадцать Ч весь че ловек, Ч тут уж присчитываются и пальцы ног.

Лет двадцать пять Ч тридцать назад и в нашей стране были ещё народности, которые умели считать только на пальцах. Вот как рассказы- семьи из пяти человек, и пришлось вает об этом писатель Сёмушкин: пригласить ещё двух человек из со Проезжая однажды мимо стой- седней яранги... бища чукчей, я заметил на склоне Так люди начинали учиться счи небольшое стадо оленей. Я насчитал тать, пользуясь тем, что дала им сама 128 оленей. Когда я спросил хозяина, природа, Ч собственной пятернёй.

сколько у него оленей, он ответил: Часто говорят: Знаю, как свои пять Ч Мы не считали. Но если хоть пальцев. Не с того ли далёкого вре один олень пропадёт из стада, глаза мени пошло это выражение, когда мои узнают сразу. знать, что пальцев пять, значило то Ч А можешь ты посчитать? же, что уметь считать?

Ч Если тебе нужно, посчитаю.

Долго буду считать. Поезжай пока в ярангу, а потом я принесу счёт.

В яранге мы успели попить чаю, закусить, переговорить с хозяином обо всём, а часа через два пришёл наш подсчётчик. Он назвал чис ло Ч 128. Старик хозяин крайне уди вился такому множеству оленей.

Ч Наверно, ты ошибся. Так мно го оленей никогда у нас не было.

Старик решил проверить... Для этого он разулся и через три часа сообщил, что подсчёт произведён правильно (он помнил каждого оле ня). Для подсчёта не хватило своей КАК ИЗМЕРЯТЬ И СЧИТАТЬ ВРЕМЯ?

Предметы считать просто: один, два, три, четыре... Измерить неболь шое расстояние тоже несложно. Надо только иметь какую-нибудь мерку.

Даже теперь мы нередко меряем рас стояние по способу первобытных лю дей Ч считаем шаги.

Гораздо труднее найти мерку для времени. Тут ни пальцы, ни шаги не помогут: время можно измерять толь ко временем. А мерка? Мерку надо было искать в природе.

Самыми древними часами, которые к тому же никогда не ос танавливались и не ломались, ока залось Солнце. Утро, день, вечер, ночь. Не очень уж точные мерки, но поначалу первобытному чело веку этого было достаточно. Потом люди научились определять время более точно: днём Ч по Солнцу, а ночью Ч по звёздам. Люди заме тили, что звёзды на небе медленно двигаются. Все они как бы привяза ны невидимыми ниточками к яркой звёздочке, которая всегда находится на одном и том же месте. Наверное, поэтому у некоторых народов она называется Гвоздём Неба. Мы же называем эту звезду Полярной;

она показывает направление на север, на Северный полюс. Неподалёку от Полярной звезды на небе всегда можно найти семь звёзд, располо женных в виде ковша или кастрюль ки с длинной ручкой. Это созвездие исправно работает и посейчас, помо Большая Медведица. За сутки Боль- гая выбраться из леса грибникам или шая Медведица обходит вокруг По- охотникам.

лярной звезды полный круг, за ночь Названия стран света Ч восток полкруга. Вот и получается, что на и запад Ч как раз и означают сторо небе есть настоящие ночные часы со ны, где Солнце восходит, востекает звёздной стрелкой. на небо и западает за горизонт.

Звёзды были для людей не толь- По Солнцу и звёздам удобно ко первыми часами, но и первым определять время суток. Но ведь компасом. людям были нужны и большие меры В поисках пищи первобытные времени. Надо было знать, когда люди большую часть времени коче- следует перекочевать в лес за озе вали, бродили с места на место. В ром, где начали поспевать орехи, а знакомых местах дорогу можно было когда перебраться к верховьям реки найти по приметам: холмам, озёрам, в которой рыба мечет икру. В приро рекам. А при дальних походах? Но- де нашлись и такие мерки времени.

чью направление на север указыва ла Полярная звезда, а днём помогало находить дорогу Солнце. Этот компас Люди давным-давно заметили, что дарь, который без ошибки показывал дни становятся то короче Ч зимой, начало года. Этот календарь отлично то длиннее Ч летом. Промежуток сохранился до наших дней. Он нахо времени от одного лета до друго- дится в Англии и называется Стаун го Ч вот удобная большая мера. хендж.

Ею пользуемся и мы с вами. Мы её Представьте себе круглый за называем Ч год. Только в древнос- бор из огромных камней, в середине ти год начинали не зимой, как у нас, которого вкопан в землю один ка а летом. Началом года люди счи- мень. На круглую площадку внутри тали самый длинный в году летний ограды ведёт построенный из таких день, Ч по-нашему, 21 июня. же, как забор, огромных камней Интересно, что ещё три или узкий коридор без крыши. Он на даже четыре тысячи лет назад люди правлен к тому месту, где в самый не только точно знали этот день, но длинный день года лучи восходяще и сумели построить каменный кален- го солнца освещают камень. Во все остальные дни года утром на камень падает тень от ограды.

А как разделить год? Весь год Ч это целых 365 дней, очень большая и не всегда удобная мера времени. На помощь пришла Луна. Люди заме тили, что от полнолуния до полнолу ния проходит почти ровно тридцать суток. Так появилась ещё одна мера времени Ч месяц. Понятно, почему и по-русски и на многих других язы ках слово месяц означает и Луну и отрезок времени. Потом месяц стали делить ещё на четыре части. Из этих четвертушек месяца родились наши недели.

Выходит, что все главные меры времени Ч сутки, месяц и год Ч люди позаимствовали у природы ещё в доисторические времена, мно го тысяч лет назад. Правда, с этими мерами долго происходила путани ца: например, считали, что в году не Когда первый луч восходящего солнца 365, как на самом деле, а 360 суток.

падал на священный камень внутри Первый настоящий, похожий на те круга, это означало, что наступило перешний, календарь появился не так начало нового года.

уж давно Ч две с небольшим тысячи логов. Потом палочку раскалывали лет назад. Но об этом потом. вдоль на две половинки. Одна оста Для того чтобы считать дни, тре- валась у крестьянина и служила рас бовались большие числа: десятки, пиской, а другую вместо квитанции сотни и даже тысячи. Тут, конечно, забирал с собой сборщик налогов.

никаких пальцев для счёта хватить не Так простая палочка с зарубками не могло! Да и считая предметы, их мож- только помогала считать, но и слу но было перекладывать, пересчиты- жила документом Ч квитанцией или вать несколько раз. А в счёте времени распиской. Эти палочки-документы ошибаться нельзя. Прошедший день назывались бирками и хранились так исчез, его не вернёшь, не присоеди- же, как мы теперь храним квитанции нишь к другим. об уплате денег за электричество или Как же считали дни люди в те вре- за квартиру.

мена, когда они и писать не умели? Некоторые народы Ч например, Додумались. Ведь можно было индейцы в Северной Америке Ч каждый день делать зарубку на пал- вместо зарубок на палке завязывали ке и потом зарубки эти сосчитать. узлы на шнуре или верёвке. Это, ко Так началась первая на земле запись нечно, то же самое.

прожитых дней. Только делали её не Так люди постепенно учились пером, а топором. Именно таким де- считать до сотен и тысяч и даже за ревянным календарём пользовался на писывать эти числа с помощью пал необитаемом острове Робинзон Кру- ки или верёвки.

зо. Через каждые тридцать дней, то есть каждое новолуние, он делал на своём календаре зарубку подлиннее.

Получалась отметка месяца. Из ме сяцев складывался год.

Интересно, что зарубками на палках Ч вроде робинзоновского календаря Ч пользовались для счё та ещё совсем недавно: каких-нибудь полтораста лет назад. Только на них записывали не дни, а... подати, на логи и долги. Большинство крестьян в те времена были неграмотными.

Поэтому, когда приходилось платить подать или оброк, крестьянин де лал на специальной палочке столько надрезов, сколько мешков или мер зерна забирал у него сборщик на ЧИСЛА И ЦИФРЫ Проходили многие-многие годы.

Менялась жизнь человека. Люди при ручали диких животных, и на земле появились первые скотоводы, затем и земледельцы.

Первыми земледельцами были женщины, которые пересаживали съедобные растения поближе к свое му жилью. Раньше, чтобы набрать для семьи съедобных корней, женщине приходилось проходить по лесу мно гие километры, а тут они выращива ли растения под боком, и всё в одном месте. Удобно!

Постепенно росли знания лю дей, и чем дальше, тем больше уве личивалась потребность в умении считать и мерить. Скотоводам прихо дилось пересчитывать свои стада, а при этом счёт мог идти уже сотнями и тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли засеять, чтобы прокормиться до следующего урожая.

А время посева? Ведь, если посеять не вовремя, урожая не получишь. И счёт времени по лунным месяцам уже не годился. Нужен был более точный календарь. К тому же людям всё чаще приходилось сталкиваться с больши ми числами, запомнить которые труд но или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.

Мы с вами уже знаем, что пер вым способом записи чисел были зарубки на палке. Хорошо, если число думаем об этом. Оказывается, каж небольшое Ч десятки или, в крайнем дое число состоит из ступенек: еди случае, сотни. А если тысячи? Пока ниц, десятков, сотен, тысяч Ч и так сосчитаешь зарубки, чтобы прочи- далее. Математики называют такие тать число, пройдёт больше часа. ступеньки разрядами. Мы с вами счи Очень неудобная запись! И вот таем десятичными ступеньками Ч примерно пять тысяч лет назад почти десятками: единицы, десятки, сотни одновременно в разных странах Ч (десятки десятков), тысячи (десят Вавилонии, Египте, Китае Ч родился ки сотен). Но мы могли бы считать новый способ записи чисел. и иначе: например, дюжинами или Только, прежде чем говорить об парами Ч двойками.

этом, давайте разберёмся, как мы за- Так вот, около пяти тысяч лет писываем числа сейчас. назад люди додумались до того, что Мы пользуемся всего десятью числа можно записывать не просто цифрами, но с помощью этих десяти зарубками-единицами, а по разрядам:

значков Ч цифр Ч можем записать отдельно единицы, отдельно десятки, любое число. Как это получается? отдельно сотни. Это было очень важ Возьмём какое-нибудь число, напри- ным открытием. Считать и записывать мер 189. Чтобы получить это число, числа теперь стало гораздо легче.

надо сложить: Древние египтяне так же, как и мы сейчас, считали десятками. Но специальные значки-цифры у них 1 сотню + 8 десятков + 9 единиц = 189.

были только для разрядов: единиц, десятков, сотен, тысяч. Чтобы запи Мы с вами такое сложение про- сать нашу цифру 7, египтянину при делываем в уме и обычно даже не ходилось рисовать 7 палочек:

А, например, число 1873 египтя- Вавилонская запись чисел была не писали так: не очень удобной. Скучное заня тие Ч рисовать много клинышков или уголков подряд, чтобы записать число двумя знаками. А если число было большое, то нередко происходи ла путаница, потому что специального В Древнем Вавилоне считали значка для обозначения разряда 60 не не десятками, а шестидесятками. было. И, например, число 3600 изоб Математик сказал бы, что система ражалось, как и единица, вертикаль счёта была там не десятичная, как ным клином. Вот тут и разберись!

у нас, а шестидесятеричная. Число Интересно, что до сих пор мы шестьдесят играло у них такую же иногда пользуемся вавилонской сис роль, как у нас десять. Например, темой счёта. Как вы думаете, почему число 137 вавилонский учёный пред- в нашем часе 60 минут, а в минуте ставлял себе так: 2 шестидесятки + секунд? Наверное, это осталось в на 17 единиц = 137. следство от вавилонян!

Конечно, записывал он это чис- Очень интересная система счё ло не так, как мы. Вавилоняне поль- та была у народа майя, который жил зовались всего двумя цифрами. Вер- в Средней Америке (там, где сейчас тикальная чёрточка обозначала одну государство Мексика). Около двух тысяч лет назад индейцы Ч майя Ч были гораздо культурнее, чем наро ды, жившие в то время в Европе.

Майя считали двадцатками, Ч у них была двадцатеричная система единицу, а угол из двух лежачих чёр- счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точек Ч десять. Эти чёрточки у них точками и чёрточками. Если под чис получались в виде клиньев, потому лом был нарисован особый значок в что вавилоняне писали острой палоч- виде глаза, это значило, что число кой на сырых глиняных дощечках, ко- надо увеличить в двадцать раз. Полу торые потом сушили и обжигали. чались уже не единицы, а двадцатки, второй разряд. Например, число 45 Как же в древности пользова майя записывали так: лись люди своим умением считать?

Для чего им была нужна математика?

В те далёкие времена людей на земле было ещё мало, гораздо мень ше, чем сейчас.

В степях, где росло много травы, Если глаз был нарисован дваж- жили редкие племена кочевников ды, то число надо было дважды ум- скотоводов. Каждый раз, когда стада ножить на двадцать. Это был третий съедали и вытаптывали траву в бли разряд Ч четырёхсотки. Выходит, что жайшей округе, им приходилось пе изображение глаза играло у майя ту ребираться, перекочёвывать на новое же роль, что у нас цифра нуль. Только место.

они рисовали глаз не рядом с числом, Домов кочевники не строили, а под ним. жили в палатках из шкур, или юртах, которые возили за собой.

Китайцы, как и египтяне, поль- В долинах рек Чна самых пло зовались десятичной системой счёта. дородных местах Ч люди обрабаты Вот здесь нарисованы китайские ие- вали землю.

роглифы Ч цифры: Народы-земледельцы уже не ко чевали с места на место, а жили боль шими селениями, из которых потом Вы видите, что, кроме цифр от 1 выросли первые города.

до 9, там есть ещё значки для 10, 100 Собрать хороший урожай, ко и 1000. Если справа от цифры стоит нечно, не просто. Надо уметь обра значок л10, Ч значит, цифру надо ботать землю, выбрать и вовремя по умножить на 10. Получаются десятки, сеять семена, выпалывать сорняки, второй разряд. Например, число 1492 поливать. Земледельцам приходилось по-китайски надо записать так: отводить воду из рек на поля, проры вать каналы, да так, чтобы вода тек ла туда, куда нужно. В тех местах, где поля были выше реки, надо было под нимать воду наверх.

Приходилось ломать голову над тем, как облегчить эту тяжёлую ра боту.

Народам-земледельцам, для того чтобы прожить и прокормиться, нуж но было знать гораздо больше, чем ко чевникам-скотоводам. Жизнь застав ляла их учиться быстрее. Поэтому у земледельческих народов математика из набора отдельных простейших пра вил постепенно стала превращаться в науку.

СТРОИТЕЛИ ПИРАМИД Больше чем на шесть тысяч ки лометров протянулась по Африке мо гучая река Нил. Она надвое разрезает выжженную солнцем пустыню. Вдоль реки тянется узкая полоса очень пло дородной земли. Каждый год в середи не лета Нил разливается. Когда вода спадает, на полях остаётся слой ила, который служит отличным удобрени ем. На такой земле можно снимать два и даже три урожая в год Ч только не ленись поливать посевы.

В долине Нила с незапамятных времён люди занимались земледели ем. Пять с лишним тысяч лет назад там образовалось одно из первых на земле государств Ч Египет.

Древние египтяне были замеча тельными математиками и инженера ми. Вы, наверное, слышали о египетс ких пирамидах Ч огромных гробницах египетских царей Ч фараонов. Слов но из кубиков, они сложены из громадных Ч в десятки тонн ве сом Ч обтёсанных каменных глыб.

Самая большая пирамида Ч пира мида Хеопса (или Хуфу) Ч выше сорокаэтажного дома. Даже сейчас поднять на такую высоту и расставить вплотную друг к другу тысячи много тонных каменных кубиков было бы не простым делом. А ведь у египтян не было ни подъёмных кранов, ни мощ ных домкратов.

Все пирамиды имеют совершен- Кроме замечательных построек но одинаковую правильную форму. пирамид, храмов и дворцов,Ч до нас И стоят они не как попало: одна сто- дошли многие записи и даже большие рона пирамиды всегда смотрит точ- рукописи, сделанные древними егип но на восток, другие Чна север, юг тянами. Некоторые из них высечены и запад. Но ведь построить (хотя бы на камне, а большая часть написана на бумаге) правильную пирамиду сов- чернилами на папирусе Ч плотной сем не так просто. Даже сейчас люди бумаге, которую египтяне делали из учатся этому только в средней школе. тростника. Учёные историки научи А египтяне умели строить пирамиды лись читать древнеегипетские руко уже пять тысяч лет назад! писи. Поэтому мы представляем, как О замечательных постройках жили древние египтяне: чем они зани древних египтян можно рассказывать мались, что знали, во что верили.

без конца. Некоторые секреты еги- Некоторые из найденных учё петских строителей не раскрыты до ными египетских рукописей специ сих пор. ально посвящены математике. Это Ясно, что строители пирамид что-то вроде учебников, или, вернее, должны были и знать и уметь очень задачников, где даны решения разных много! практических задач.

И, несмотря на это, египтяне свободно производили арифметичес кие действия не только над целыми числами, но и над дробями. Правда, они употребляли при счёте только доли единицы, такие дроби, у которых в числителе единица:,, и так да лее. Однако это не мешало им решать задачи, которые имеют дробный от вет.

Например, в папирусе Ахмеса есть такая задача: Разделить поров ну 7 хлебов между восемью людьми.

Снимок кусочка папируса Ахмеса.

Мы с вами прямо сказали бы, что каждому должно достаться по хле Древнейшая математическая ру- ба. У египтян числа не было, и ответ копись египтян написана около 4000 задачи они записывали так:

лет назад. Она хранится в Москве Ч в Музее изобразительных искусств - - - - имени А. С. Пушкина, и называется + [= + ].

Московским папирусом.

Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста поз- Если бы пришлось решать та днее Московского, хранится в Лон- кую задачу не на бумаге, а на самом доне. Он называется: Наставление, деле, мы с вами просто отрезали бы как достигнуть знания всех тёмных от каждого из хлебов по восьмушке и рещей, всех тайн, которые скрывают получили бы 8 одинаковых порций. А в себе вещи... По старым памятникам египтянин поступил бы иначе: четыре писец Ахмес написал это. Рукопись хлеба он разрезал бы на половинки, так и называют папирусом Ахмеса, два Ч на четвертушки, один Ч на или папирусом Райнда Ч по имени восьмушки, а потом сложил бы 8 оди англичанина, который разыскал и ку- наковых кучек:

пил этот папирус в Египте.

- - - В папирусе Ахмеса даётся реше- +.

+ ние 84 задач на различные вычисле ния, которые могут понадобиться на Большая часть задач папируса практике. Некоторые из этих задач Ахмеса относится к арифметике: за показались бы довольно сложными дачи на четыре действия арифмети даже ученику-старшекласснику на- ки, на пропорциональное деление, на шей школы. Представляете себе, как предположение. Это почти такие же трудно было их решить 4000 лет на- задачи, которые вы решаете (или бу зад? Ведь у древних египтян не было дете решать) по школьному арифме ни удобного способа записи чисел, ни тическому задачнику. Но некоторые наших правил арифметических дейс- из задач папируса Ахмеса это уже не твий, ни таблицы умножения. арифметика, а скорее алгебра.

Например, такая задача: В доме гие документы, да и сами замечатель 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мы- ные египетские постройки.

шей, каждая мышь съедает 7 коло- Самое слово геометрия по сьев, каждый колос даёт 7 растений, гречески означает землемерие.

на каждом растении вырастает 7 мер Учёные считают, что эта наука заро зерна, Ч сколько всех вместе? Тут дилась ещё у самых древних египет интересно, что в задаче надо ответить ских земледельцев. После каждого на вопрос: сколько всех вместе? Авто- разлива Нила им приходилось заново ра задачи не интересует, о каких вещах разбивать поля на участки, находить или предметах идёт речь, важно толь- их границы. А для этого надо было ко их общее количество. Значит, три уметь измерять площади различных с лишним тысячи лет назад египтяне фигур: ведь поле может иметь какую уже представляли себе отвлечённое угодно форму. Особенно тщательно число. Не число кошек, или колось- поля измеряли чиновники фараонов, ев, или мышей, а именно само по себе которые собирали с земледельцев число. Но ведь это совсем не так прос- налоги.

то. Даже сейчас некоторые народы не Чем же и как мерили землю древ знают отвлечённых чисел. Для того ние египтяне?

чтобы сложить, скажем, 2 и 3, им обя- Главной мерой длины у егип зательно надо знать, чего 2 и чего 3: тян служил локоть. Локоть делился деревьев, камней или чего-нибудь дру- на семь ладоней, ладонь Ч на гого. Иначе задача им не понятна. четыре пальца. Как и многие дру В папирусе Ахмеса почти нет за- гие народы, в качестве мерок длины дач по геометрии. Но о том, что егип- египтяне использовали части че тяне отлично, для своего времени, ловеческого тела. Но люди бывают знали геометрию, рассказывают дру- разного роста, и локти у них не оди сложное. Надо измерить длину и ши рину поля, а потом их перемножить.

Например, длина десять локтей, а ши рина восемь. Значит, на этом участке можно уложить 80 квадратов со сто Происхождение мер.

3 3 = 9 3 5 = наковые. Египтяне это, конечно, по- роной в локоть. Его площадь Ч во нимали. Для того чтобы измерения семьдесят квадратных локтей.

получались точными и не происходи- Но участки могут иметь разную ло никакой путаницы, они придумали форму. Не всякий участок можно раз образцовые меры: локоть, ладонь и делить на прямоугольники. А вот на палец, общие для всего Египта. Те- треугольники можно разбить любой перь было уже неважно, какой дли- участок, Ч если только он ограничен ны руки у человека, который хотел прямыми линиями.

что-нибудь измерить. Он мерил не Посмотрите в ваш учебник гео своим, а лобщим локтем. метрии. В нём изучению треугольни А площадь поля Ч как её изме- ков отведено гораздо больше места, рить? чем изучению любой другой прямо Если участок земли квадратный линейной фигуры. Причина этого за или прямоугольный, то это дело не- ключается в том, что изучение дру Ну, а если получается такой треугольник, у которого нет прямого угла? Как рассчитать?

Надо провести линию под пря мым углом к одной из сторон тре угольника так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и образовала со стороною прямой угол. В геометрии такую линию называют высотой, а ту сторону, с которой она пересека ется, Ч основанием треугольника.

Видно, что высота делит треуголь ник опять же на два, но уже прямо угольных треугольника, вычислить гих фигур основывается на знании площадь которых просто. Площадь свойств треугольников.

Вычисление площади треугольника.

И египетские землемеры на- любого треугольника равна поло учились измерять площадь треу- вине произведения основания на гольника. высоту.

Они рассуждали примерно так. Египетским математикам удалось Если в прямоугольнике провести решить и другую, гораздо более труд прямую линию через два противопо- ную задачу. Они нашли способ, хоть и ложных угла, то получится два оди- приблизительно, вычислить площадь наковых треугольника с прямыми уг- круга по его поперечнику (диамет лами. Площадь каждого из них вдвое ру): за величину площади круга брали меньше площади прямоугольника, площадь квадрата поперечника круга.

из которого они получились. Зна- Проверка показывает, что правило чит, для того чтобы узнать площадь египтян даёт недостаточно точный для прямоугольного треугольника, надо практики результат. Египтяне это зна измерить те его стороны, которые ли и установили другое, более точное образуют прямой угол, перемножить правило: площадь круга равна площа длину их и от того, что получится, ди такого квадрата, сторона которого взять половину. есть поперечника круга.

Но давайте мысленно перенесём ся на 4000 лет назад и представим себе, что мы с вами египетские мас тера, которые собираются строить пирамиду. С чего начинать?

Возьмём кусок папируса и нари суем на нём чертёж нашей постройки.

Чертёж в уменьшенном виде точно изображает все части будущей пира миды.

Теперь надо выбрать место для постройки и наметить на нём основание, фундамент пирамиды. Сделать это надо так, чтобы пирамида не получилась ко собокой и чтобы стороны её смотрели на север, юг, восток и запад.

Поступим так, как это делали все египетские строители. Воткнём в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста будет короче все го, она покажет нам направление се вер Ч юг. Наметим на земле линию север Ч юг. Теперь проведём линию восток Ч запад. Для этого нужно взять верёвку с двумя колышками и провести на земле дуги так, как это показано на нашем рисунке. Через точки пересечения дуг натянем верёв ку. Это и будет направление с востока на запад.

Линии север Ч юг и запад Ч восток пересекаются под прямым углом.

Значит, теперь мы можем из планок сделать себе угольник. Ког да нам в следующий раз понадобит ся прямой угол, будем прикладывать этот угольник.

Впрочем, можно сделать иначе.

Давайте возьмём верёвку и отмерим на ней сначала пять локтей, потом че тыре, потом три. На концах участков верёвки завяжем узелки с колечками, а свободные концы верёвки аккурат но свяжем. Теперь вставим в колечки острые колышки и воткнём их в землю А надсмотрщик с кнутом в руке не так, чтобы вся верёвка натянулась. У преминет наказать рабочих не только нас получился треугольник с прямым за каждую неправильность в укладке, углом, который лежит как раз против но и за леность!

большей стороны. Он и сейчас так Египтяне умели довольно точно называется Ч египетским. измерять и вычислять не только длину Теперь надо наметить на земле или площадь, но и время. Как и другим основание пирамиды. По форме оно народам, здесь им помогали наблюде такое же, как на чертеже. Только, конечно, во много раз увеличенное.

Можно начинать строить!

Для того чтобы каменные куби ки, из которых складывается пирами да, ставились правильно, а не вкривь и вкось, пользуются отвесом Ч верё вочкой с гирькой. На первый слой кубиков, отступя от краёв, уклады вают второй, потом третий... И так до верха, пока в слое не останется всего один кубик.

Всё это не так просто. Правда?

ния за Солнцем, Луной и звёздами. Для того чтобы точнее измерять Они заметили, что разлив Нила на- маленькие промежутки времени, чинается сразу после того, как над го- египетские учёные изобрели часы.

ризонтом впервые покажется одна из Первые часы были солнечные, они самых ярких на небе звёзд Ч Сириус. работали только днём. Вы видите на Представляете, как важно было для рисунке две сколоченные уголком земледельцев заранее знать, через планки? Это и есть египетские сол сколько дней их поля зальёт вода? нечные часы.

Египтяне изобрели один из са- Утром, когда солнце только вста мых удачных древних календарей. Они вало, место тени на длинной планке уже понимали, что год нельзя разде- отмечали зарубкой. Считалось, что лить на целое число лунных месяцев. прошёл час, когда тень доходила от од В египетском году было 365 суток. ной отметки до другой. В полдень часы Это очень близко к тому, что есть на переворачивали другим концом, и те самом деле. перь тень, увеличиваясь, опять шла по Египетский календарь оказался отметкам. Получалось шесть утренних таким удачным, что потом им стали часов и шесть вечерних Ч всего две пользоваться и другие народы. Рим- надцать дневных часов.

ский император Юлий Цезарь ещё в 46 году до начала нашего летосчис ления ввёл египетский календарь в Древнем Риме;

с тех пор этот кален дарь стали называть юлианским. По юлианскому календарю, по старому стилю, до Великой Октябрьской социалистической революции жила и наша страна. Всего только сорок с лишним лет назад люди ещё пользо вались замечательным изобретением египетских астрономов, живших ты сячи лет назад.

Позднее египтяне изобрели водя- В Египте было сделано и много ные часы, которые могли показывать других замечательных изобретений.

время и ночью. Они так и назывались Только не надо думать, что все егип ночные часы. Вы видите на рисун- тяне были изобретателями, хорошо ке, что водяные часы это просто сосуд, знали арифметику и геометрию.

из которого через дырочку постепен- В Египте, как и во всех других но вытекает вода. Дырочка такая, что древних странах, самыми учёными вся вода вытечет ровно за час. Потом людьми были жрецы. У жрецов было нужно снова наполнять сосуд водой. время для того, чтобы наблюдать Это, конечно, не очень удобный, но небо, изучать свойства чисел и фигур, довольно точный способ измерения думать, соображать. А простым лю времени. Мы до сих пор часто гово- дям Древнего Египта Ч крестьянам рим: время истекло. Это выражение и ремесленникам, Ч для того чтобы возникло при употреблении водяных прокормиться, приходилось с утра до часов. ночи ходить за плугом или работать в мастерских. Тут уж не до науки! К тому же жрецы тщательно скрывали от на рода свои знания. Чем меньше люди знают, тем легче заставить их верить в богов, тем проще держать народ в покорности. Это жрецы отлично по нимали. Поэтому простые египтяне не знали и сотой доли того, что было известно египетским жрецам.

ВАВИЛОН На востоке от Аравийского полу острова с севера на юг текут две боль шие реки Ч Евфрат и Тигр. Между ними тянется узкая длинная полоса земли. В древности она называлась Месопотамией, что значит Между речье. Самым известным государс твом Месопотамии был Вавилон.

Во время разливов Тигра и Ев фрата землю Междуречья покрывал плодородный ил. Вавилоняне, как и жители Египта, тоже были земле дельцами. Только им приходилось труднее, чем египтянам. Тигр и Ев фрат разливаются очень бурно. Для защиты от наводнений приходилось строить дамбы, обносить поля и се ления насыпями. А для строитель ства всяких больших сооружений нужны знания. Не удивительно, что вавилоняне тоже стали хорошими математиками.

Земля в Междуречье плодород ная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить дома.

Всё это вавилонянам приходилось покупать у других народов. Поэтому Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. И, как это всегда бывает, вместе с товарами ва вилонские купцы привозили и знания других народов.

Торговля помогала науке.

В математике вавилонские учё ные добились ещё большего, чем египтяне.

Позднее шестидесятые доли еди ницы стали называть минутами, а шес тидесятые доли минут Ч секундами.

Выходит, что мы до сих пор пользу емся вавилонскими дробями, когда смотрим на часы!

Таблица умножения вавилонян.

Для того чтобы было удобнее решать задачи, вавилонские учёные составили большую (6060) табли цу умножения. По виду она, конечно, сильно отличалась от нашей, но смысл в ней был тот же самый. Вавилоняне Вавилоняне Ч вы уже знаете Ч пользовались и другими таблицами, считали шестидесятками. Нам такой которые помогали им решать задачи.

счёт кажется неудобным, а вавилоня- Например, у них были таблицы квад не отлично решали сложные задачи ратов и кубов чисел. В теперешних по математике. Кроме того, вавилон- справочниках по математике тоже ские учёные изобрели дроби, которые есть такие таблицы.

совершенно сходны с нашими десяти- Вавилонские учёные знали не чными дробями. только арифметику, но и геометрию и Десятичные дроби, как вы знае- алгебру.

те, пишутся без знаменателя. Знаме- Некоторые учёные полагают, что натели 10, 100, 1000... определяются самое слово лалгебра является ва местом, которое занимает числитель, вилонским.

считая от запятой. В широкое употребление оно Вавилонские дроби были не де- вошло много позднее через книги сятичными, а шестидесятеричными. среднеазиатского математика аль Хо Действия с ними производились так резми, имя которого происходит от же, как над десятичными дробями.

Арифметика вавилонян усложнялась тем, что они не употребляли никакого 1 2 3 4 5 6 знака (запятой) для отделения целой части числа от дробной. 1 1 2 3 4 5 6 Изображались вавилонские дро 2 2 4 6 8 10 12 би так.

3 3 6 9 12 15 18 Сначала писали число це лых единиц. На втором месте Ч 4 4 8 12 16 20 24 число шестидесятых долей, на 5 5 10 15 20 25 30 третьем Ч шестидесятые доли от предыдущих, и так далее. Записи по 6 6 12 18 24 30 36 лучались сложными, длинными. Но 7 7 14 21 28 35 42 всё-таки вавилоняне умели записы вать любые дроби, любые части цело го. Египтяне этого делать не умели.

Это было бы настоящей катаст рофой!

Остановятся автомобили и по езда, замрут заводы и фабрики, пере станут давать ток электростанции.

Словом, всё пойдёт кувырком!

Потому что в каждой машине Ч от карманных часов до космической ракеты Ч работают десятки и сотни самых разнообразных колёс.

Выходит, что неизвестный ва вилонский изобретатель первого ко леса действительно сделал великое открытие.

Вавилонские воины на боевых названия местности Хорезм (Узбекс- колесницах, запряжённых лошадьми, кая республика). легко побеждали пеших врагов.

Около шести тысяч лет назад Вавилонские инженеры и мас в Вавилоне было сделано замеча- тера стали пользоваться блоками и тельное открытие: люди изобрели катками. Они поднимали и перетас колесо. кивали такие тяжести, справиться с Колесо? Что же тут замечатель- которыми без колеса было бы не под ного? Ч подумаете вы. силу.

Но так кажется только на пер- Колесо и рычаг были первыми вый взгляд. мощными помощниками человека в Представьте себе на секунду, что работе с большими тяжестями.

вдруг случилось чудо и на земле ис- Выполненные при помощи их чезли все колёса. работы величайшего учёного всех времён Архимеда, о котором речь впереди, вызвали удивление, которое приписало Архимеду слова:

Дайте мне точку опоры, и я пе реверну Землю! Вавилонские горшечники стали делать посуду на гончарном круге.

Красивую круглую посуду с тонки ми стенками охотно покупали не только в Вавилоне, но и в других странах.

Так изобретение колеса сыгра ло очень большую роль в истории Вавилона.

Не удивительно, что вавилонские учёные старательно изучали свойства окружности Ч колёсного обвода.

Прежде всего надо было на учиться измерять длину окружности.

Дело это не такое простое: ведь ли нейку с делениями к окружности при ложить нельзя. Вот как приходилось поступать. Чертили окружность и два квадрата: один Ч так, чтобы его углы упирались в окружность изнутри, вто рой квадрат, побольше, рисовали так, чтобы окружность как раз в нём по мещалась. Получалось, что больший квадрат как бы надет на окружность вилоняне чертили шести- или даже и упирается в неё серединами своих двенадцатиугольники. Видите Ч сто сторон. Посмотрите на рисунок. роны шестиугольников ближе подхо Потом измеряли длину всех сто- дят к окружности, а значит, и изме рон большего и меньшего квадратов, рение длины окружности будет более это легко сделать простой линейкой. точным. В некоторых вавилонских Получившиеся числа они складывали задачах отношение длины окружнос и потом делили пополам. Считалось, ти к диаметру почти совпадало с тем что это и есть длина окружности. же числом, которым люди пользуются Она получалась в три с лишним раза для вычислений и сейчас.

больше, чем диаметр. Конечно, это не Как и в Египте, самыми учёны очень точный способ, но чаще всего ми людьми в Вавилоне были жрецы.

этого было достаточно. Особенно прославились вавилонские Если же нужно было решить за- жрецы своими знаниями по астро дачу точнее, то вместо квадратов ва- номии. И действительно, для своего Для вычисления длины окружности по известной длине диаметра нужно знать, скольно раз окруж ность длиннее диаметра.

Отношение этих длин обозначается гречесной буквой Ч (пи), первой буквой слова периферия.

Вавилонские учёные принимали Ч равным 3, (более точное значение Ч 3,14159...).

времени они были замечательными астрономами.

Наблюдая небо, вавилоняне за метили, что некоторые яркие звёзды по-особенному движутся среди дру гих звёзд. Теперь мы их называем планетами. Вавилоняне не только знали планеты Ч Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер, Сатурн, Ч но даже пытались вычислять, предугадывать наперёд пути их движения на небе.

Особенно интересовались жре цы затмениями Солнца и Луны. Пять с лишним тысяч лет назад по своим летописям они составили список всех затмений, которые были до этого.

Оказалось, что солнечные затмения происходят через один и тот же про Вавилонснив астрономы-трецы межуток времени. Значит, затмения наблюдают затмение.

можно предсказывать? Жрецам это было очень важно. Жрец, который заранее знал и мог предсказать, что Для того чтобы ещё больше под разгневанные боги погасят Солнце, чинить себе простой народ, вавилон был в глазах тёмных людей великим ские жрецы придумали специальную волшебником. Разве можно в чём науку Ч астрологию. Они убеждали нибудь ослушаться такого могучего людей, что расположение звёзд на небе колдуна?

влияет на судьбу человека, что по звёз дам можно предсказывать будущее.

Конечно, предсказывать по звёздам могли только сами жрецы. Простой народ верил в предсказания. Пред сказания затмений подкрепляли веру в могущество жрецов. Для этого и нуж но знание астрономии.

Ясно, что астрология была вовсе не наукой, а обыкновенным жульни чеством! Но в астрономии и матема тике вавилоняне много сделали и для настоящей науки.

НАУКУ РАЗВИВАЮТ МОРЕПЛАВАТЕЛИ Примерно на полпути между Египтом и Вавилоном, на восточном берегу Средиземного моря, лежала небольшая страна, которая называ лась Финикией.

У финикиян не было ни плодо родной земли, ни богатых пастбищ.

Жителей Финикии издавна кормило море и морская торговля. На своих скорлупках-кораблях финикийские купцы не только смело плавали по всему Средиземному морю, но и вы ходили через пролив в Атлантический океан. На севере они доплывали до Британских островов Ч современной Англии.

Из Англии финикияне везли оло во, без которого нельзя приготовить бронзу. А бронза в те времена была самым важным для людей металлом:

ведь железа они ещё не знали. Фи никийские купцы плавали и далеко на юг Ч вдоль берегов Африки. Из Африки купцы привозили слоновую кость, золото, драгоценные камни.

Море для финикиян было не только кормильцем, но и учителем.

Раньше всех других народов финики яне поняли, что Земля круглая. Ведь каждый раз, когда корабль прибли жался к берегу, сначала были видны Когда финикияне плыли на юг, верхушки мачт, потом паруса, и толь- в Африку, всё происходило наобо ко в последнюю очередь из-за гор- рот. Северные звёзды склонялись всё ба моря показывалось всё судно.

ниже и ниже, а из-за южного горизон Финикияне плавали не только та показывались новые, незнакомые вдоль берегов, но и в открытом море.

созвездия, которые не были видны в Поэтому финикийские моряки хоро- родной Финикии. Наконец Полярная шо изучили звёздное небо. Они зна ли, что звёзды на небе не везде одни и те же.

Отправляясь из Средиземного моря к Британским островам, моряки видели, что Полярная звезда и другие звёзды северной половины неба под нимаются всё выше, а южные звёзды прячутся за горизонт.

Скала, наблюдаемая с различных рас стояний, и приближающийся корабль.

Левый рисунок: Правый рисунок:

длина тени зависит от высоты Солнца Солнце находится на таком большом на небе. от Земли расстоянии, что лучи солн ца считаются параллельными для всех точек земной поверхности.

звезда совсем скрывалась за горизон- На юге происходили удивитель том. Вы, наверное, уже догадались, ные вещи не только со звёздами, но и что это означало: финикийские кораб- с Солнцем. Близ экватора в полдень ли пересекли экватор и переходили в Солнце стояло прямо над головой. Че южное полушарие. ловек стоит на солнце, а тени от него никакой нет! Разве это не удивитель но? Ещё дальше к югу солнце начи нало двигаться не слева направо, как мы привыкли, а, наоборот Ч справа налево.

Для народов, которые жили на одном месте, например египтян, всё это было бы совершенно непонятны ми чудесами.

А финикияне не только пови дали все эти чудеса своими глазами, но и научились по звёздам и Солнцу находить в открытом море дорогу для своих кораблей. Недаром долгое вре мя они считались лучшими знатоками мореплавания и астрономами.

Финикияне сделали ещё одно Финикияне догадались, что мож очень важное открытие, которое по но записывать значками не слова, а наследству досталось и нам. Они пер- звуки, из которых состоят эти слова.

вые стали писать буквами. Тогда малым числом значков можно До этого все другие народы пи- записать любое слово.

сали специальными значками-иерог- Такие значки мы и называем бук лифами. Каждый такой значок Ч по- вами.

лубуква-полукартинка Ч обозначал По примеру финикиян, буквами целое слово. Поэтому иероглифов стали писать и другие народы, на было очень много Ч сотни и даже ты- пример греки и наши предки Ч сла сячи: на каждое слово Ч свой знак. вяне.

Научиться писать иероглифами, ко- Выходит, что буквы, которыми нечно, было очень трудно. Попробуй- написана эта книга, родились три ты те-ка запомнить алфавит из несколь- сячи лет назад, на берегу Средизем ких тысяч букв! ного моря!

Вы, вероятно, слышали выска- Числа финикияне тоже стали за зывания о трудности китайской гра- писывать буквами.

моты. Это было гораздо удобнее и, Китайцы в течение тысячеле- главное, скорее, чем египетский и ва тий пользовались иероглифическим вилонский способ записи. Способ за письмом. Только в последние годы писи чисел буквами перешёл позднее в Китае поднят вопрос о переходе на к грекам и к другим народам.

алфавитное письмо.

Видимое положение Полярной звезды при пере движении наблюдателя с севера на юг. На правом рисунке видим, что лучи от Солнца или звезды образуют углы равной величины с горизонтальной плоскостью.

КАК МАТЕМАТИКА СТАЛА НАСТОЯЩЕЙ НАУКОЙ Ч А разве у египтян и вавило нян математика не была наукой? Ч спросите вы. Ч Ведь они знали по математике уже немало и к тому же очень умело пользовались своими знаниями.

В том-то и дело, что знания были, а настоящей науки ещё не было. По тому что математика, как и всякая другая наука, прежде всего должна отвечать на вопрос почему. Почему площадь треугольника равна полови не произведения основания на высо ту? Почему два любых числа всегда можно точно сложить друг с другом, а вот разделить друг на друга без остат ка можно не всякие числа?

Египтяне знали, что у треуголь ника со сторонами в 3, 4 и 5 локтей один угол прямой. Но почему так по лучается, они не объясняли. Такой вопрос, может быть, и не приходил им в голову. Как и многие другие народы, египтяне просто пользовались гото выми правилами, которые лощупью находили на опыте и запоминали. В решениях их задач часто встречается совет: Делай как делается.

Настоящей наукой математика стала только у древних греков. Это был маленький, но удивительно та лантливый народ, у которого учат Греческие мастера строили уди ся многому даже сейчас, тысячи лет вительной красоты дворцы и храмы, спустя.

Греческие племена стали се- которые потом тысячи лет служи литься на северных и восточных бе- ли образцом для архитекторов всех стран. Греческие скульпторы созда регах Средиземного моря более трёх тысяч лет назад. Большая часть гре- вали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только ков осела на Балканском полуострове настоящая математика, но и очень там, где и сейчас государство Греция.

многие другие науки, которые вы про Остальные расселились по большим ходите в школе.

и маленьким островам Средиземного А знаете, почему греки обог моря и по берегу Малой Азии.

Как и финикияне, греки были от- нали в математике все другие наро личными моряками. Их лёгкие остро- ды? Потому что они хорошо умели...

спорить.

носые корабли во всех направлениях Чем же споры могут помочь на бороздили Средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавило- уке?

на, бронзовое оружие из Египта, шку ры зверей с берегов Чёрного моря.

И, конечно, как и у других народов, вместе с товарами корабли привози ли в Грецию знания.

Но греки не просто учились у дру гих народов. Очень скоро они обогна ли своих учителей.

В древние времена Греция состо- они были хорошими спорщиками: на яла из многих маленьких государств. таких собраниях приходилось опро Чуть не каждый город с окрестными вергать противников, рассуждать, деревнями был отдельным государ- доказывать свою правоту. Греки счи ством. Каждый раз, когда приходи- тали, что спор помогает найти самое лось решать какой-нибудь важный лучшее, самое правильное решение.

государственный вопрос, горожане Они даже изречение придумали: В собирались на площадь, обсуждали споре рождается истина.

его, спорили о том, как сделать луч- И в науке греки стали поступать ше, а потом голосовали. Понятно, что так же, как на народном собрании.

Они не просто заучивали правила, а нику. Вы заметили, что 3, 4 и 5 Ч не доискивались причины: почему пра- случайные числа? Смотрите-ка:

вильно делать так, а не иначе.

Каждое правило греческие ма- 33 = 9;

44 = 16;

55 = 25.

тематики старались объяснить, дока зать, что оно действительно верное. А если теперь сложить два пер Для этого они спорили друг с другом, вых числа? Ведь тоже получается 25.

рассуждали, старались найти в рас- Оказывается, стороны египетско суждениях ошибки. Докажут одно го треугольника обладают каким-то правило Ч рассуждения ведут к дру- особым свойством. Это видно на кар гому, более сложному, потом Ч к тинке. К каждой стороне треуголь третьему, к четвёртому. Из правил ника там пририсовано по квадрату.

складывались законы, а из зако- В маленьком квадрате 9 клеток, в нов Ч наука математика. среднем Ч16, а в большом, который Едва родившись, греческая ма- лежит против прямого угла, Ч тематика сразу семимильными ша- клеток. Выходит, что в двух меньших гами пошла вперёд. Ей помогали чу- квадратах столько же клеток, сколько десные сапоги-скороходы, которых в большем. Египтяне на это не обра раньше у других народов не было. щали внимания.

Они назывались рассуждение и Греческие учёные не случайно доказательство. так много занимались математикой.

Давайте ещё раз вернёмся к на- Математика есть ключ ко всем на шему старому знакомому Ч пря- укам, Ч говорил один из них. И моугольному египетскому треуголь- он, конечно, был прав. Ведь всё, что 33 44 55 1212 55 a+b=c Греки же не только заметили это свойство легипетского треугольника, но и сделали интереснейшее открытие.

Две с половиной тысячи лет назад гре ческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике стороны обладают тем же свойством, что в легипетском. Это знаменитая те орема Пифагора, которая теперь есть в каждом школьном учебнике геометрии.

Теорема Пифагора Ч уже не правило, а закон, потому что она верна не для од ного или нескольких, а для всех на све те прямоугольных треугольников.

можно измерить, выразить числами, становится материалом для приме нения математики. Наверное, поэто му другой знаменитый учёный Пла тон Ч над дверью дома, в котором он занимался со своими учениками, велел сделать такую надпись:

Не обучавшийся геометрии пусть не входит в эту дверь.

В надписи Платона не случайно говорится о геометрии, а не о матема тике вообще. Геометрию греки счита ли особенно важной наукой.

Примерно 2200 лет назад жил знаменитый греческий геометр Евк Платон и греческая надпись на двери лид, имя которого сейчас знает весь его академии.

мир. Евклид написал книгу Нача ла, которую мы с вами назвали бы учебником геометрии. В неё вошла и 2000 лет спустя! Для построения вся геометрия того времени. Каждое фигур Евклид пользовался только свойство фигур Евклид доказывал и линейкой и циркулем Ч других ин делал это так замечательно, что наш струментов он не допускал. Самым нынешний школьный учебник гео- важным линструментом у Евкли метрии больше чем половину берёт да были рассуждения, правильные прямо от Евклида.

и точные рассуждения, которыми он Представляете себе, каким ге- доказывал всё то, что писал.

ниальным человеком был этот учё Теперь у наших математиков есть ный, если его книга приносит людям много разных инструментов и прибо большую пользу даже сейчас, более ров, которые помогают им работать.

Папирусные свитки Ч книги древних.

В математике часто бывает важ но определить, простое или составное получившееся в задаче число.

Если такое число маленькое, как в наших примерах, для этого до статочно таблицы умножения. А вот когда число большое Ч приходится пользоваться правилом Эратосфе на. В учебниках арифметики оно на зывается решетом Эратосфена.

Другого способа математики так и не придумали.

Греки обозначали числа буквами.

Греческие учёные много занима Так же поступали и славяне.

лись задачей: найти длину ребра куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба (лудвоение куба). За дача эта украшена многими предани Однако и сейчас самое важное в ма ями. Греки стремились решить её при тематике Ч это рассуждение и дока помощи только циркуля и линейки.

зательство.

Ныне доказано, что это невозможно.

Греки много занимались и наукою Эратосфен построил прибор для ре о числах, которая у них называлась, шения этой знаменитой задачи. Вот как и у нас, арифметикой.

этот прибор.

В школьном учебнике арифме Между рейками АВ и СD располо тики вы находите правило греческого жены три равных прямоугольных тре учёного Эратосфена, которое служит угольника 1, 2, 3. Первый закреплён, людям две с лишним тысячи лет.

2 и 3 могут передвигаться. Если К Ч Люди давно заметили, что чис середина отрезка DВ и треугольники ла бывают двух разных сортов. На и 3 передвинуты так, что точки пересе пример, число 12 можно без остатка чения сторон треугольника L и N на разделить на 2, 3, 4 и 6. А следующее ходятся на прямой АК, то куб с ребром за ним число 13 делится без остатка МL имеет объём вдвое больший, чем только само на себя:

куб с ребром DК.

13:13 = 1.

Кроме того, каждое число де лится на 1.

Такие числа, как 12 или 15, кото рые можно разделить на какое-нибудь другое, меньшее число, называют ся составными. Те, которые делятся только сами на себя, например 7, 11, 13, называются простыми.

Греческие музыкальные инструменты.

Греки открыли и много других Дело в том, что греки создали и важных свойств чисел и правил вы- научную теорию музыки. Они знали, числения. И всё, что они делали, они чем длиннее натянутая струна, тем не только объясняли, показывали, но ниже, толще получается звук, ко и обязательно доказывали. торый она издаёт. Они знали, что ко Кроме арифметики и геометрии, роткая струна издаёт высокий звук.

в греческую математику входила... Но у всякого музыкального инстру музыка. Музыкой греки называли ту мента не одна, а несколько струн. Для часть нашей арифметики, в которой того чтобы все струны при игре звуча говорится об отношениях и пропор- ли согласно, приятно для уха, дли циях. ны звучащих частей их должны быть Почему такое странное название? в определённом отношении. Поэтому они использовали свойства пря моугольного треугольника с двумя одинаковыми сторонами Ч равно бедренного треугольника. У такого треугольника каждый из двух одина ковых углов равен 45 градусам, по ловине прямого угла.

Выходит, что если мысленно построить такой прямоугольный тре угольник, то расстояние по берегу от вершины прямого угла, где вбит шест, до человека с угольником как раз рав но расстоянию от шеста до корабля.

учение об отношениях, о дробях и ста- Измерить расстояние до шеста по бе регу, конечно, легче, чем по воде!

ло называться музыкой.

Греческий математик Фалес До сих пор мы с вами говорили научил египтян определять высоту о греческих учёных, которые изучали свойства числа, свойства фигур, от- пирамиды по длине её тени. Как это делалось, понятно из картинки. Вы крывали законы математики. Таких учёных сейчас называют теоретика- сота пирамиды во столько раз меньше длины тени, во сколько тень от палки ми. Но математика всегда решала длиннее палки.

те задачи, какие ставила перед ней Очень интересную задачу решил жизнь, практика. Поэтому греческие учёные решили и множество прак- математик Эратосфен. Он впервые определил размеры земного шара.

тических задач, которые до них люди Эратосфен жил около 2000 лет решать не умели.

Например, греки первыми на- назад, не в Греции, а в Египте, в городе учились издали определять рассто- Александрии. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Асуан. Это яние до корабля в море или другого название вы, может быть, слышали.

недоступного предмета. Для этого Сейчас в Асуане наши инженеры по могают египтянам строить огромную плотину на Ниле и электростанцию.

Эратосфен знал, что в день летне го солнцестояния Ч самый длинный день года Ч в Асуане солнце загля дывает на дно самых глубоких колод цев. А в Александрии в этот день дно колодцев остаётся в тени. Там солнеч ные лучи падают на землю не отвесно, как в Асуане, а под углом, и освещают только стенку колодца. (Это видно на картинке.) Эратосфен измерил угол меж ду направлением солнечного луча и стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен 0 части полной ок ружности.

Наверное, Эратосфен рассуждал примерно так:

Солнечные лучи всюду парал лельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Асуане и Алек сандрии только потому, что Земля не плоская. Скорее всего она круглая, как шар. Но раз угол между солнеч ным лучом и отвесом в Александрии равен 0 части полной окружности, то расстояние между Александрией и Асуаном также равно 0 части окруж ности, которая опоясывает земной шар.

Расстояние от Александрии до Асуана Эратосфен приблизительно знал. Умножив это расстояние на 50, он определил длину окружности (ме ридиана), надетой на Землю. Если величину разделить на 3,14, то и по лучится диаметр земного шара.

Много практических задач по математике и физике решил гречес кий учёный и изобретатель Архимед, имя которого упоминается в каждом учебнике физики. Он нашёл, что при За свою жизнь Архимед сделал так много, что рассказывать об этом подробно надо в отдельной книжке.

Он впервые решил много труд ных задач по геометрии: нашёл пра вила вычисления площадей и объёмов различных тел, с большой точностью определил отношение длины окруж ности к её поперечнику.

Среди других задач была и та кая: найти отношение объёма шара, вставленного (математики говорят:

вписанного) в цилиндр.

Таким цилиндром может быть маленькая консервная банка, а ша ром Ч резиновый мяч, вставленный в неё так, чтобы он прилегал к стен кам и обеим крышкам.

Архимед определил, что объём вписанного шара равен объёма цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне выре зали чертёж этой задачи: шар в ци линдре.

взвешивании тела, погружённого в Потом, двести лет спустя, по жидкость (например, в воду), весы этому чертежу нашли могилу Архи показывают настолько меньше веса меда.

тела в воздухе, сколько весит вытес В арифметике Архимед особен ненная телом жидкость, Ч это один но интересовался очень большими из самых важных законов физики. По числами. Одна из его книг так и на этому закону плавают по воде тяжё лые железные суда, летают воздуш ные шары. По преданию, Архимед додумался до своего закона, когда ему поручили решить, не подмешал ли мастер в царскую корону из спла ва золота с серебром слишком много серебра.

Подозревали, что мастер ута ил часть золота. Архимед знал, что золото гораздо тяжелее серебра, и, взвесив корону сначала в воздухе, а потом в воде, он сумел ответить на этот вопрос.

зывается: Исчисление песчинок (наполняющих всё мировое про странство).

Но больше всего Архимед сла вился среди греков своими изобрете ниями. Некоторые его изобретения живут и по сей день.

Например, каждая хозяйка, сама того не зная, часто пользуется вин том Архимеда.

Главную часть мясорубки Ч винт, который вертится внутри труб ки и толкает мясо к ножам, Ч изоб рёл Архимед две с лишним тысячи лет назад. Он придумал его, конечно, не для мясорубки, а для насосов, кото рыми качали воду на поля.

Архимед жил не в самой Греции, а в греческой колонии Ч небольшом городе Сиракузы, на острове Сици лия. Когда Архимеду было около се мидесяти лет, в 212 году до нашей эры, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребова ли сдачи. Сиракузцы решили защи щаться.

Одним из руководителей оборо ны стал Архимед. Под руководством Архимеда горожане построили много военных машин для метания тяжёлых камней и брёвен.

Машины помогали им почти год отбиваться от многотысячных рим ских войск, но в конце концов рим ляне всё-таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был и Архимед.

Предание говорит, что, когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, он крикнул: Не метров, а черепаха опять уползёт трогай мои чертежи! на метр, и так Ч до бесконечности.

Несмотря на то, что греческие Выходит, что Ахиллес как будто ни учёные были замечательными масте- когда не только не перегонит злопо рами рассуждений и доказательств, лучную черепаху, но даже не сможет они встретили трудности в решении её догнать. Но ведь это явно невер некоторых задач. Одной из таких за- но! Для того чтобы догнать черепа дач, в которой как будто правильное ху, совсем не надо быть Ахиллесом.

рассуждение приводит к явно нелепо- Это ясно всем.

му результату, является знаменитая Попробуйте-ка найти ошибку задача про Ахиллеса и черепаху.

в рассуждении. Решите задачу про Герой греческих сказаний Ахил Ахиллеса и черепаху сами. Ответ у лес был самым быстрым на свете неё такой: для того чтобы догнать че бегуном. А черепаха Ч представля репаху, Ахиллес должен пробежать ете, с какой скоростью она ползает!

1 часть расстояния, которое было Условия задачи были такие: Ахиллес между ними вначале.

и черепаха стоят на одной и той же Кроме замечательных матема дороге, черепаха на одну меру пути тических рукописей, греки оставили впереди Ахиллеса. Они одновре нам в наследство одно важное мате менно пускаются в путь в одном и матическое изобретение.

том же направлении. Пусть Ахиллес Это изобретение Ч счётный двигается в 10 раз быстрее черепа столик, абак. Наши счёты, которы хи. Догонит ли Ахиллес черепаху и ми пользуется каждый бухгалтер или когда?

счетовод, Ч очень близкий родствен Рассуждали так. Когда Ахиллес ник греческого абака.

пробежит до того места, где стояла Мы уже знаем, что греки запи черепаха, скажем, километр, чере сывали числа буквами. Это был не паха уползёт вперёд на 100 метров.

очень удобный способ. Мы при сло Ахиллес пробежит оставшиеся жении, например, пишем слагаемые метров, но черепаха опять уползёт одно под другим и складываем стол на 10 метров. Ахиллес пробежит биками. Изобретение такого способа сложения было важным шагом впе- дения и были привезены в Россию рёд в развитии арифметики. при Петре I в начале XVIII века. Это При обозначении чисел буквами мнение ошибочное. Китайцы, правда, сложение столбиками невозможно. также изобрели счёты, но они отлича Для облегчения производства ариф- ются от наших.

метических действий люди изобрели В них на каждой проволоке име счётный столик Ч абак (полагают, ется не по десяти шариков, как в на что им пользовались уже вавилоняне, ших счётах, а семь. Последние два греки, римляне). Потом он получил шарика отделены от первых, и каж такой вид. дый из них обозначает пять. Когда при Доска абака разделена на верти- расчётах набирается пять шариков, кальные полоски. Каждая полоска на- вместо них откладывают один шарик значена для откладывания отдельных второго отделения счётов.

разрядов чисел: в первую полоску Такое устройство китайских счё ставили столько камушков или бобов, тов уменьшает необходимое число сколько в числе единиц;

во вторую шариков.

полоску Ч сколько в числе десятков;

Китайские счёты изобретены в в третью Ч сколько в числе сотен, и то отдалённое время, когда пользова так далее. Полоски соединены дуж- лись не десятичной системой счисле ками по три в классы: единиц, тысяч, ния, а пятеричной. Десятичная систе миллионов. На картинке на абаке от- ма счисления является дальнейшей, ложено число 510 742. более поздней, ступенью развития в Наши счёты представляют также пользовании числами.

абак, в котором место полосок зани- Пятеричное счисление сохрани мают проволоки для единиц, десятков лось до нашего времени у некоторых и так далее. народов, например у чукчей, о чём В некоторых книгах пишут, что рассказывает писатель Т. Сёмушкин наши счёты китайского происхож- в книге На Чукотке.

НАУКЕ НУЖНЫ НЕ СОЛДАТЫ, А УЧЁНЫЕ Незадолго до начала нашего ле тосчисления Ч две с небольшим ты сячи лет назад Ч все страны, о кото рых мы говорили, да и многие другие страны были покорены древними рим лянами. Могущественное Римское государство сначала захватило всю Италию, а потом Ч шаг за шагом Ч почти всю Западную Европу и многие страны Азии. Ни одна из тогдашних стран не могла долго сопротивляться натиску закованных в броню римских полков.

Римляне приносили в завоёван ные страны свой язык, свои порядки и законы. Они строили дороги, мос ты, водопроводы. Развалины древне римских построек во многих местах сохранились и до наших дней. Латин ский язык, на котором говорили древ ние римляне, надолго стал междуна родным языком учёных, писателей, врачей. Ещё двести лет назад боль шая часть научных книг писалась на латинском языке. А врачи и сейчас, пишут свои рецепты по-латыни. Ка залось бы, в таком огромном и могу чем государстве, как Древний Рим, и науки должны были развиваться особенно быстро. А получилось на оборот.

Карта Римской империи.

Римляне не только не продви- А вот хорошими математика нули математику вперёд, но даже не ми они так никогда и не стали: науке сумели как следует усвоить замеча- нужны не солдаты, а учёные.

тельные достижения греческих учё- Много веков у римлян происхо ных. Римские землемеры и строители дила путаница с календарём. Только владели лишь скудными обрывками в 46 году до нашего летосчисления греческой математики. И это было Юлий Цезарь ввёл в Риме более не случайно. В Древнем Риме любой или менее точный календарь. Но невежественный, но храбрый вояка ведь этот люлианский календарь стоял гораздо выше, чем самый та- выдумали не сами римляне, а егип лантливый учёный. Убить великого тяне, и на много столетий раньше.

Архимеда римляне сумели. Помните?

Единственным наследством, которое Древний Рим оставил пос ле себя в математике, был ещё один способ записи чисел Ч римские циф ры. Сейчас мы пользуемся другим, го раздо более удобным способом, но и римские цифры иногда находят себе применение. Их можно увидеть на ци ферблатах часов, на корешках книг, на праздничных лозунгах.

Римские цифры вам знакомы:

1..... I 6..... VI 11..... XI 50..... L 2..... II 7..... VII 12..... XII 60..... LX 3..... III 8..... VIII 20..... XX 90..... XC 4..... IV 9..... IX 30..... XXX 100..... C 5..... V 10..... X 40..... XXXX 500..... D 1000.... M На картинке показано умноже ние каждой цифры числа СХХШ на V, X, L, С, Ч а потом произведения сложены.

Насколько римские цифры не удобны для вычислений, показывает картинка, изображающая умножение 123 на 165.

Шло время.

Всё чаще покорённые римля нами страны поднимались на борьбу против своих угнетателей. Один на род за другим стал сбрасывать вла дычество Рима.

Могущество Римской империи пошло на убыль.

К пятисотому году нашего лето счисления Римское государство было разгромлено племенами, которые пришли с севера Европы, и перестало существовать.

Начался тысячелетний период средних веков.

Это время по праву можно на звать тёмными веками. У науки появился злейший враг Ч христи анство, христианская церковь. Книги древних учёных невежественные мо нахи сжигали на кострах.

Считалось, что это опасные са танинские книги, Ч ведь древние греки не были христианами. Нередко вместе с книгами на костёр попадал и тот, кто их читал. Наука древних была прочно забыта. Церковники застав ляли людей слепо верить каждому слову, написанному в священных христианских книгах.

Вместо изучения законов приро ды они проповедовали слепую веру.

Вместо размышлений, рассуждений и споров древних греков людей застав ляли бояться бога и молиться. Цер ковь жестоко преследовала всякую научную мысль.

Лишь кое-где в монастырях от дельные смелые люди потихоньку чи тали и переписывали сочинения древ них учёных.

Европа надолго сошла с большой дороги науки.

СВЕТ С ВОСТОКА Убить науку нельзя. Никакие го нения и преследования не могут оста новить стремление людей к знанию.

Поэтому в средние века, когда цер ковники всеми силами боролись про тив науки в Европе, она не погибла и даже не остановилась в своём раз витии. Просто она переменила мес тожительство, и центром научной мысли стали страны Азии.

Особенно много для развития математики в средние века сделали арабы, вернее, народы, говорившие и писавшие на арабском языке. Воз никшее на Аравийском полуостро ве в VII веке государство арабов за каких-нибудь двести лет подчинило себе всю Западную и часть Средней Азии, Северную Африку и даже ку сочек Европы Ч Испанию и Порту галию.

Столицей этого огромного му сульманского государства стал город Багдад на реке Тигр.

Арабы понимали значение науки.

Они тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык книги древ негреческих учёных по математике, астрономии, медицине. В арабских странах жили и работали последние из учёных-греков, которые бежа ли туда из Европы от преследования христианских попов и монахов. Арабы восприняли и сберегли науку и лите В Багдад стекаются товары и знания со всех концов тогдашнего мира:

Читая, Индии, Египта, Греции.

ратуру древних греков. Многие труды греческих учёных дошли до нас только потому, что сохранились их арабские переводы.

Однако, кроме греческой науки, в распоряжении арабских учёных ока зался ещё один богатейший источник знаний по математике. Таким источ ником была наука Индии.

В Индии и Китае математика за родилась примерно тогда же, когда и в Египте, Ч пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летосчисле ния индийцы уже были замечатель ными математиками. Кое в чём они обогнали даже древних греков. Од нако Индия была оторвана от других стран, Ч на пути лежали тысячи ки лометров расстояния и высокие горы.

Арабы были первым чужим наро дом, которому посчастливилось по- Что же такое позиционная сис учиться у индийских математиков. А в тема счёта?

Индии было чему поучиться! Вы знаете уже, что с незапамят Индийские учёные сделали одно ных времён люди стали записывать из важнейших в математике откры- числа по разрядам: отдельно единицы, тий. Они изобрели позиционную сис- потом десятки, сотни и так далее. Ин тему счисления Ч тот способ записи дийцы тоже пользовались разрядами.

и чтения чисел, которым теперь поль- Только названий разрядов у них было зуется весь мир. гораздо больше, чем у нас, и каждый разряд обозначался отдельным сло- во. Слово лцифра по наследству от вом. Мы, например, говорим: Де- арабов досталось и нам.

сятки тысяч, а на языке хинди десят- Правда, сейчас цифрами назы ки тысяч обозначаются специальным ваются все десять значков для запи названием. Для сотен тысяч имеется си чисел, которыми мы пользуемся:

своё название, для десятков милли- 0, 1, 2, 3... Но ещё двести лет назад онов Ч другое. цифрой и в русском языке назывался Чтобы назвать большое число, один-единственный значок Ч нуль.

индийцам приходилось после каждой Современное слово нуль ро цифры произносить название разря- дилось сравнительно недавно Ч го да. Сколько цифр Ч столько слов. раздо позже, чем лцифра. Оно Это было громоздко, неудобно, и ин- происходит от латинского слова дийцы стали поступать иначе. Мы nulla Ч никакая.

теперь, называя номер телефона, Ч Почему же изобретение нуля например, 42 752, Ч произносим не считается одним из важнейших ма сорок две тысячи семьсот пятьдесят тематических открытий? На первый два, а говорим: Четыре, два, семь, взгляд кажется, что это самая не пять, два. Мы перечисляем под ряд все цифры телефонного номера.

Именно так делали индийцы. Получа лось удобнее, короче.

А если в числе не было какого нибудь разряда, как например в чис лах 101 или 1024, то индийцы вмес то названия цифры говорили слово пусто. Чтобы не получалось пута ницы, при записи на месте пусто солидная цифра. Пустое место Ч го разряда ставили точку. Позднее и всё.

вместо точки стали рисовать кружок.

Дело в том, что при новом спо Такой кружок назывался сунья. На собе записи чисел значение каждой языке хинди сунья значит пусто, написанной цифры стало зависеть от пустое место.

её позиции, места в числе. Например, Арабские математики перевели одна и та же цифра 4 в числе 405 обоз это слово по смыслу на свой язык.

начает четыре сотни, в числе 41 Ч че Вместо сунья они стали говорить тыре десятка, а в числе 4181 Ч четы сифр, а это уже знакомое нам сло Индийские цифры IX века......................

Арабские цифры X века..........................

Испанские цифры 976 г..........................

Французские цифры XVIII века..............

Готические цифры 1400 г.......................

Цифры эпохи Возрождения....................

Современные цифры...............................

Постепенное превращение первоначальных индийских цифр (смотри предыдущую страницу) в наши современные цифры. Нынешняя форма цифр установилась только после изобретения книгопечатания Ч в XV веке.

ре тысячи. Выходит, что при помощи Самые цифры, которыми мы всего лишь десяти цифр можно за- пользуемся, Ч тоже изобретение писать любое, даже самое большое математиков Древней Индии. Их не число, и сразу ясно, какая цифра что редко называют арабскими, но это не означает. Индийский позиционный верно. Хотя народы Европы получили способ записи чисел оказался таким позиционную систему счёта и совре удобным для вычислений, что теперь менные цифры от арабов, но изобре весь мир пользуется только им. Нам ли их индийцы. Таким же путём, через даже трудно себе представить, что арабов, вошли в европейскую науку и можно писать и считать числа как-то многие другие замечательные откры иначе. тия, сделанные математиками Древ ней Индии.

Однако не следует думать, что арабские математики были толь ко прилежными учениками древних греков и индийцев. Учёные арабских стран много сделали для науки и сами.

Особенно больших успехов они доби лись в математике и астрономии.

Многие из арабских учёных жили на территории нашей страны: ведь в те времена вся Средняя Азия Ч Уз бекистан, Туркмения, Таджикис тан Ч входила в состав арабского Халифата.

В IX веке нашего летосчисления в городе Хорезме на Аму-Дарье жил и работал математик Мухаммед бен Муса аль Хорезми. Он написал кни- рая по тому времени была лучшей в гу об общих правилах решения ариф- мире. Развалины этой обсерватории метических задач и уравнений. Она сохранились до наших дней. В том называлась Китаб аль Джебр. Эта же Самарканде математик Гияседдин книга дала имя науке алгебре. Очень Дмемшид аль Каши впервые в мире большую роль сыграла ещё одна кни- изобрёл десятичные дроби. В Евро га аль Хорезми, в которой он подроб- пе до десятичных дробей додумались но описал индийскую арифметику. почти на 200 лет позже.

Триста лет спустя эту книгу перевели Индийцы, китайцы, арабы и дру на латинский язык, и она стала пер- гие народы Востока сделали так много вым учебником линдийской (то есть замечательных открытий в математи нашей современной) арифметики для ке и астрономии, что для того, чтобы всех европейских народов. их только перечислить, понадобилась В Средней Азии работали и мно- бы толстая книга.

гие другие знаменитые математики и Учёные стран Востока как бы астрономы арабского средневековья. приняли математическую эстафету Один из них Ч эмир Улугбек Ч пос- от древних греков, пронесли её через троил в Самарканде большую аст- все средние века и потом, тысячу лет рономическую обсерваторию, кото- спустя, передали народам Европы.

МАТЕМАТИКА В ДРЕВНЕЙ РУСИ Предки русского народа Чсла вяне Ч с незапамятных времён жили на землях Средней и Восточной Ев ропы. Первые письменные упомина ния о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и други ми народами и храбро воевали с ино земцами, которые пытались их поко рить. В X веке нашего летосчисления у славян появилась письменность. С этого времени начинается писаная история Древней Руси.

У славян, как и у всех других на родов, первым учителем математики была жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счёта, правила измерения: ведь без этого нельзя было бы ни торговать, ни даже обмениваться продуктами.

В первом тысячелетии у славян поя вилась денежная единица Ч рубль, название которой сохранилось до на ших дней. Слово рубль происходит от глагола рубить. Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отруба ли от полосы серебра или меди. Для того чтобы разрубить металлическую 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 40 50 60 70 80 100 200 300 400 500 600 700 800 Славянские цифровые знаки Ч буквы с титлами.

полосу на равные части, нужно было сел;

и долго считалось, что нет труд знать простейшие дроби: нее четырёх действий арифметики над целыми числами. По-видимому, математические знания славян около - - Ц,,, 1000-го года были не ниже, чем у за падных народов.

уметь складывать и вычитать числа. Однако несколько десятилетий При измерении полей славяне упот- спустя большая часть русских кня ребляли и более сложные дроби:, жеств была захвачена ордами полу и даже 2. В раскопках славянских се лений учёные находили изображения циркуля. Значит, древним славянам были известны некоторые свойства окружности. Основу своего алфавита славяне вместе с христианской рели гией позаимствовали от средневеко вых греков Ч византийцев. Способ записи цифр буквами со специаль ными значками Ч титлами Ч они тоже взяли от греков. С появлением письменности на Древней Руси стали появляться переводы греческих книг.

Поначалу это были только священ ные книги, но и в них нет-нет да и встречались обрывки замечательной Оригинальный способ сла математики древних греков. Знания вян для обозначения боль ших чисел без введения славян по математике постепенно новых цифровых знаков.

росли.

Известно, что в Англии в VII веке чудом учёности считался монах, который мог выполнить деление чи диких кочевников Ч монголов. Стон лет. Это самый древний дошедший стоял над Русской землёй. Горели го- до нас письменный памятник славян рода, лилась кровь. Жизнь замерла;

ской математики. В своей рукописи приостановилась и древнерусская об- Кирик подробно вычисляет, сколько разованность. лет, месяцев, недель и дней прошло Почти триста лет длилось мон- от сотворения мира до года, в ко гольское иго. За это время наука За- тором он, Кирик, писал свой труд.

падной Европы сделала большой шаг Главная священная книга хрис вперёд: народы Европы ознакомились тиан Ч библия Ч дала церковни с замечательной математикой арабов кам основание утверждать, что мир и индийцев. А в задавленной захватчи- был сотворен богом ровно за ками и отрезанной от всего культур- лет до начала нашего летосчисления.

ного мира России математика стала Кирик, по-видимому, где-то ошиб отставать от науки Западной Европы. ся: число месяцев у него получилось Для того чтобы потом, после сверже- больше, чем должно быть, но это, ния монгольского ига, снова выйти в конечно, никому не повредило. Ведь ряды мировой науки, ей понадобилось вычисления Кирика никому, кроме несколько столетий. него самого, не были нужны;

они не В XVI веке, при Иоанне Гроз- могли принести никакой практичес ном, на Руси появляются первые ру- кой пользы людям. Видимо, Кирик кописные учебники по математике, а был числолюбцем, ему доставлял немного позже Ч печатные книги о удовольствие сам процесс вычисле применении математики для разных ния. А вот для нас рукопись Кирика практических нужд;

таковы, напри- очень важна. Она ясно показывает, мер, Книга сошного письма и Ус- что славяне без малого тысячу лет тав ратных, пушечных и иных дел, ка- назад отлично владели четырьмя сающихся до воинской науки. действиями арифметики, свободно В 1134 году новгородский мо- обращались с очень большими це нах Кирик написал сочинение л...о лыми числами и с очень маленькими том, как узнать человеку числа всех дробями.

Что усвоение этого умения пред ставляло большие трудности, можно видеть из того, что в немецком языке имеется поговорка: Попал в дроби.

Так говорят про человека, который оказался в трудном положении, или, по-нашему, который попал в пере плёт. Ещё в XVIII веке английский учебник арифметики говорит, что дроби приводят учащихся в уныние и к восклицанию: В эти дебри мы не пойдём! Выходит, что в это время на Руси математика не только не отста вала, но, пожалуй, шла даже немно го впереди науки народов Западной Европы.

В 1682 году в Москве вышла книга: Считание удобное, которым всякий человек, купующий и прода ющий, зело удобно изыскати может число всякия вещи. Это была первая в России не рукописная, а напечатан ная в типографии книга по матема тике, которая должна была помогать решению разных практических задач.

Была в ней таблица умножения (до 100100), записанная славянскими цифрами.

Особенно важную роль в раз витии русской науки сыграла книга Арифметика, или наука числитель Начало первого рукописного учебника ная, написанная Леонтием Филип геометрии Ивашки Елизарьева сына повичем Магницким. Арифметика 1625 года.

Магницкого была издана при Петре I, в 1703 году, и долгое время была на стольной книгой всех образованных русских людей. Великий русский учё ный Михаил Васильевич Ломоносов знал её наизусть и называл её вмес те с учебником грамматики вратами своей учёности.

Арифметика Книга Магницкого называлась Магницкого 1703 года.

Арифметика, но, кроме арифмети ки, там были начала алгебры, геомет рии, тригонометрии и даже немного мореходной астрономии. Это была настоящая энциклопедия по матема тике, в которой каждое правило, каж дый приём подробно разъяснялся и подкреплялся решением примеров и практических задач.

Замечательной книгой Магниц кого закончилась многовековая исто рия древнерусской математики.

А для того, чтобы повести разго вор о современной математике, нам придётся вернуться на два столетия назад Ч в XVI век Ч и из России пе ренестись в Западную Европу.

КАК МАТЕМАТИКА СТАЛА ВСЕМОГУЩЕЙ В 1492 году корабли Христофо ра Колумба открыли Америку. Шесть лет спустя португалец Васко да Гама обогнул Африку и проложил морской путь в Индию. Ещё через двадцать лет эскадра капитана Магеллана совер шила первое кругосветное плавание.

Эти годы так и называются Ч веком великих открытий.

А вскоре за великими открытия ми на географической карте началась эпоха великих открытий в науке. И это было, конечно, не случайно. Ев ропа просыпалась после тысячелет него сна средних веков. Росли горо да, ширилась торговля, всё новые и новые корабли отправлялись в далё кие плавания. В городах стали появ ляться первые фабрики, для большой торговли нужно было изготовлять много товаров. Но вручную работа шла медленно. Для того чтобы её ус корить, люди стали изобретать себе помощников: разные машины и стан ки. Изобретения делались, конечно, и раньше, но теперь нужда в них была гораздо больше, чем в прежние вре мена, и новые машины стали появ ляться одна за другой.

Сначала это были самые про- льзя. Её обязательно надо сначала стые машины: например, кузнечный рассчитать. И появилась новая на молот, соединённый с водяным ко- ука Ч механика, наука о движении, лесом, который сам бьёт по на- которая помогала рассчитывать ма ковальне, или простейший ткацкий шины. Но ведь всякие расчёты и вы станок. Но с каждым десятилетием числения Ч это наша старая знако машины становились всё лумнее мая математика!

и сложнее. А сложную машину по И физика, и небесная механика, старинке, на глаз, строить не- и другие точные науки, которые стали появляться одна за другой, Ч все они в конце концов широко пользовались математикой.

Первый ткацкий станок.

Морякам, которые стали плавать по всем морям и океанам, нужно было как мож но точнее определять по Солнцу и звёздам место своего корабля. Поэтому астрономы взялись за составление подробных звёздных карт и мореходных таблиц. Но это опять вы числения и, значит, опять математика.

Ведь всюду, где надо что-то счи- Вы, конечно, знаете по опыту, тать, измерять, сравнивать, без ма- что умножать и делить большие числа тематики не обойтись. А чем дальше, гораздо сложнее, чем складывать или тем больше и точнее нужно было вычитать. А если надо возвести число считать. в степень Чнесколько раз умножить Одна за другой появлялись но- само на себя, Ч то это ещё сложнее вые, всё более сложные математи- и дольше.

ческие задачи, которые ждали своего Так вот оказалось, что, вместо решения. И математика гигантскими того чтобы перемножать два каких-то шагами пошла вперёд. Началась но- числа, можно сложить два других чис вая история математики, эпоха ве- ла Ч их логарифмы.

ликих математических открытий, Вместо деления двух чисел мож которая продолжается и посейчас, в но вычесть их логарифмы.

наши дни. Словом, с помощью логарифмов К сожалению, по-настоящему сложные действия можно заменить поговорить о математике нового вре- более простыми. С логарифмами мени нам с вами не придётся, потому расчёты пошли в десятки раз скорее что почти все математические задачи и легче.

стали очень сложными. Просто Ч без Недаром великий французский формул Ч о них не расскажешь. математик Лаплас говорил, что изо А главное, в новое время мате- бретение логарифмов удлинило жизнь матики сделали так много замеча- людей.

тельных открытий, что если бы их Вскоре после логарифмов изо только перечислить, то нашу книж- брели счётную логарифмическую ку пришлось бы сделать в несколько линейку. Такую линейку Ч с движ раз толще. ком посередине и стёклышком, С каждым десятилетием матема- нониусом, Ч вы, наверное, уже ви тика становилась всё нужнее людям. дели. Без неё теперь не обходится Теперь расчётами и вычислениями ни один инженер, конструктор или приходилось заниматься не только самим математикам: и инженеры, и моряки, и строители на каждом шагу сталкивались с вычислениями. Было очень нужно придумать средство для того, чтобы упростить и ускорить расчёты.

Такое средство придумали шот ландец Непир и швейцарец Бюрги. В XVII веке, почти одновременно друг с другом, они изобрели логарифмы, вы изучите их в школе.

рабочий-изобретатель. Пользовать- на каком расстоянии от Земли будет ся логарифмической линейкой очень наш снаряд через десятую долю се просто и удобно. Для этого даже не кунды, через полсекунды и через се обязательно знать, что такое лога- кунду после выстрела. Ответить на рифм: надо только запомнить не- этот вопрос совсем не просто.

сколько правил. Во-первых, снаряд летит не по В том же XVII веке в математи- прямой. Его притягивает к себе Земля, ке произошло ещё одно очень важное и направление полёта всё время изме событие: она научилась обращать- няется. Во-вторых, снаряду мешает ся не только с постоянными величи- воздух. Снаряд как бы трётся о воздух, нами, Ч например, с числами, Ч но тормозится, и поэтому скорость его и с величинами, которые всё время полёта тоже всё время меняется.

меняются. Ни арифметика, ни алгебра, ни Представьте себе, что мы с вами геометрия тут не помогут. Зато ма выстрелили из пушки и хотим знать, тематика переменных величин, ко торую чаще называют высшей ма тематикой, легко справится с нашей задачей.

Верхний рисунок показывает направление движения ядра (красная стрела), которое получило толчок в направлении зелёной стрелы и которое притягивается Землёю в направлении чёрной стрелы.

Нижний рисунок изображает путь движе ния снаряда.

До недавнего времени люди начинали изучать высшую математику только после окончания школы, в институте. Но с каж дым годом у нас появляется всё больше и больше замечательных машин: сложных станков, различных автоматов. Для того чтобы хорошо работать на таких машинах, надо очень много знаний.

СЕЙЧАС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НУЖ НА НЕ ТОЛЬКО УЧЁНОМУ ИЛИ ИНЖЕНЕРУ, НО И МАСТЕРУ, И РАБОЧЕМУ НА ЗАВОДЕ.

ВЧЕРА, СЕГОДНЯ, ЗАВТРА Что может математика? Астро ному она помогает определить пути далёких звёзд. Инженер с помощью математики рассчитывает реактивный самолёт, корабль или новую электро станцию. Учёному-физику математи ка открывает законы атомного ядра, а моряку указывает путь корабля в океане. Словом, математика может всё или почти всё там, где нужно что либо вычислять.

Однако ещё лет 15-20 назад встречалось немало таких задач, ре шить которые было практически не возможно, хотя математики и знали, как их нужно решать.

Бывало, что для решения одной единственной задачи десятки людей работали несколько лет. Вычисления шли медленно. Главные линструмен ты математика были те же, что во времена древних греков Ч собствен ная голова и чистый лист бумаги с ка рандашом.

И вот совсем недавно у мате матики появился новый могучий по мощник, который называется элек тронно-вычислительной машиной.

С изобретением электронно-вычис лительных машин началась новая эпоха в математике и многих других науках.

Представьте себе, что вам нуж но сложить тысячу больших чисел.

Как вы думаете, сколько времени это займёт? Если складывать числа на бумаге столбиком, то, вероятно, часа четыре. Опытный бухгалтер на счё тах сложит тысячу чисел примерно за час. А электронно-вычислительной машине понадобится для этой ра боты... доля секунды. К тому же для проверки она проделает вычисление несколько раз.

Существующие быстродейству ющие машины работают в сотни ты сяч раз быстрее человека.

Нуждается ли практика в та кой быстроте вычислений? Судите сами.

Для предсказания завтраш ней погоды требовалось проделать 2 700 000 арифметических действий.

При ручном счёте два специалиста потратили бы на эти вычисления пять Математика помогает взглянуть внутрь моле лет, а машина выполнила работу за кулы и атома.

час. Вы легко решаете систему двух и трёх уравнений. Решение системы из четырёх, пяти или шести уравне Быстродействующая электронная счётная машина.

ний требует уже порядочного време- Задачи, над которыми люди ни. А дальнейшее увеличение числа раньше сидели месяцами, электрон уравнений? Вы, быть может, скаже- но-вычислительная машина решает те, нужно ли решать такие системы за несколько часов. А ведь с каждым уравнений? годом такие машины становятся всё Нужно. Для составления новых лумнее и работают всё точнее и карт в Москве была решена система быстрее!

восьмисот уравнений. Для её реше- Сначала электронно-вычисли ния вручную потребовались бы мно- тельные машины служили учёным гие-многие годы. Машина решила за- для решения таких же математичес дачу в несколько часов. ких задач, которые можно решать и Вместо человека-диспетчера в аэропорту распоряжается электронная машина.

на бумаге. Однако вскоре вычисли тельные машины научились мно гим таким вещам, которые раньше вообще казались невозможными.

Например, во многих больших аэро портах электронно-вычислительные машины вместо человека-диспет чера управляют взлётом и посадкой самолётов. Машина оказывается гораздо лучшим диспетчером, чем человек: она быстрее думает, ни когда не волнуется, не устаёт и почти никогда не ошибается. Выходит, что с помощью электронно-вычисли Спутниками управляют машины.

тельной машины математика может управлять самолётами! Другие вы числительные машины управляют Поезда водят машины.

поездами, метро, искусственными спутниками Земли, заводами и даже переводят книги с одного языка на другой. Каждая такая машина рабо- вается сейчас так стремительно, так тает по законам математики. Никог- часто делаются в ней новые откры да ещё математика не была настоль- тия, что гадать о том, что будет, пожа ко всеобъемлющей и такой нужной луй, бесполезно. Одно можно сказать людям наукой, как сегодня.

наверняка: завтра математика станет О том, какой будет математика ещё могущественнее, ещё важнее и завтра, говорить трудно. Она разви- нужнее людям, чем сегодня.

Книги, научные публикации

Blog