Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2002. Том 43, № 5 УДК 517.957 КОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ОТВЕЧАЮЩИЕ МНОГОМЕРНЫМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ МНОГООБРАЗИЯМ А. Е. Миронов

Аннотация: Построены новые примеры многомерных матричных коммутирую щих дифференциальных операторов, а также построен многомерный аналог иерар хии Кадомцева Петвиашвили.

Ключевые слова: коммутирующие дифференциальные операторы 1. Введение В статье мы построим коммутативные кольца многомерных N N-матрич ных дифференциальных операторов, чьи совместные собственные вектор-функ ции и собственные числа параметризуются точками спектрального k многообразия Y, которое является пересечением гладких гиперповерхностей Ya Ya в главно поляризованном абелевом многообразии Xg размерно 1 k сти g, k < g - 1. Гиперповерхность Ya является сдвигом на элемент aj Xg j тэта-дивизора Y Xg. Число N равно rdg, где dg индекс g-кратного само j пересечения гиперповерхности Y. Через Qj обозначим многообразие Y Y.

j Далее будем предполагать, что многообразие Y трансверсально пересекается j с Ya и с Y, j + s k. Пусть Y и Qj являются гладкими, неприводимыми, и j+s пусть также набор a1,..., ak находится в общем положении (т. е. принадлежит некоторому открытому всюду плотному множеству в Xg Xg).

С этими коммутативными кольцами связан аналог иерархии Кадомцева Петвиашвили, который мы укажем в этой работе.

Основной результат это следующая Теорема 1. Существует вложение Lk кольца мероморфных функций на k многообразии Y с полюсом на Qk в кольцо N N-матричных дифференци альных операторов по g - k переменным с аналитическими в окрестности коэффициентами Lk : Ak Mat(N, g - k).

Образом вложения является коммутативное кольцо (g - k)-мерных матричных дифференциальных операторов.

Используя теорему Римана Роха Хирцебруха, можно показать, что число dg, а значит, и N, кратно g!.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис следований (коды проектов 00Ц01Ц00915, 00Ц15Ц99252 и 01Ц01Ц06017).

й 2002 Миронов А. Е.

Коммутативные кольца дифференциальных операторов Операторы Lk(Ak) являются операторами ранга r. Это означает, что каж k дой точке многообразия Y отвечает r линейно независимых собственных век тор-функций.

Двумерные операторы Lk(Ak) с двоякопериодическими коэффициентами являются конечнозонными на любом уровне энергии E, т. е. блоховские вектор функции (собственные одновременно для оператора Lk(), Ak, и для опера торов сдвига на периоды) параметризуются римановой поверхностью конечного рода, заданной в спектральной поверхности уравнением = E.

k Если размерность Y равна 2, то, используя формулу присоединения и тео рему Лефшеца о вложении, можно показать, что размерность Кодаиры спек k тральной поверхности Y равна 2, т. е. эта поверхность является поверхностью общего типа.

Теорему 1 докажем, учитывая результаты Накаяшики [1] (см. также [2]), который построил вложение кольца мероморфных функций на Xg с полюсом на Y в кольцо g-мерных N N-матричных дифференциальных операторов. Дву мерные 2 2-матричные такие операторы (операторы Накаяшики) изучались в работах автора [3, 4]. В частности, в [4] доказано, что не существует двумерных вещественных операторов Накаяшики, конечнозонных на любом уровне энер гии, с гладкими двоякопериодическими коэффициентами, но существуют дву мерные вещественные конечнозонные на любом уровне энергии операторы На каяшики с сингулярными двоякопериодическими коэффициентами. В [4] также указаны гладкие вещественные операторы Накаяшики, среди которых имеется оператор второго порядка H, по диагонали которого стоят операторы Шре дингера в двоякопериодических магнитных полях и с двоякопериодическими потенциалами вида (y - A1)2 + (y - A2)2 + u(y), y = (y1, y2).

1 Магнитно-блоховские вектор-функции оператора H (собственные одновременно для H и для операторов магнитных трансляций Tj, Tj (y) = (y+ej) exp(2yj), j = 1, 2, ej периоды) на каждом уровне энергии параметризуются римановой поверхностью конечного рода. Это свойство является аналогом конечнозонно сти на любом уровне энергии для операторов с двоякопериодическими коэффи циентами.

В частном случае, когда g = 3, r = 1, а в качестве спектральной поверхно сти служит тэта-дивизор, теорема 1 была доказана А. Накаяшики [1].

М. Ротштейн в [5] построил другой пример коммутирующих матричных дифференциальных операторов. В этом примере g = 5, r = 1, размерность матриц N равна 5, а в качестве спектральной поверхности служит поверхность Фано.

Напомним конструкцию И. М. Кричевера [6] построения коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга 1. Пусть риманова поверхность рода g, P = p1 + + pg неспециальный положительный диви зор на, точка на, отличная от точек дивизора P, k-1 локальный параметр в, k-1() = 0. Существует функция Бейкера Ахиезера (p, x), p, которая мероморфна на \, множество ее полюсов совпадает с P и не зависит от x, в окрестности функция exp(-kx) аналитична. Для лю бой мероморфной функции f(p) на с единственным полюсом в существует единственный дифференциальный оператор L(f) такой, что L(f) = f.

1104 А. Е. Миронов Для различных f операторы L(f) попарно коммутируют. Отсюда вытекает сопоставление спектральных данных коммутирующих операторов Берчналла Чаунди Кричевера и спектральных данных операторов Lk(Ak):

k {,, P, f} Y, Qk, Qk,, c k где Qk = Y Yc, c Xg, некоторый ненулевой элемент.

c Как и в одномерном случае, можно построить операторы L, коэффициен ты которых зависят от времени и удовлетворяют эволюционным уравнениям.

Справедлива Теорема 2. Существует многомерный аналог иерархии Кадомцева Пет виашвили [t - L, t - L] = 0, где L и L N N-матричные дифференциальные операторы по g-k перемен ным, коэффициенты которых зависят от t и t, и принадлежат счетному множеству индексов.

Как уже отмечалось в [4], коэффициенты операторов Накаяшики не могут удовлетворять эволюционным уравнениям типа иерархии Кадомцева Петви ашвили.

В разд. 2 мы введем векторные тэта-функции, которые задают сечения го ломорфных векторных расслоений ранга r над абелевым многообразием Xg.

При r = 1 векторные тэта-функции совпадают с классическими тэта-функция ми Римана. С помощью векторных тэта-функций можно выписывать в явном виде сечения голоморфных векторных расслоений над римановыми поверхно стями. Если Xg является многообразием Якоби римановой поверхности Xg, то ограничение векторной тэта-функции на будет сечением векторного рас слоения над ранга r степени rsg, где s некоторое натуральное число, g род.

В разд. 3, используя преобразование Фурье Мукаи [7], мы введем модуль Бейкера Ахиезера над кольцом дифференциальных операторов, элементы которого выражаются через векторные тэта-функции. Теоремы 1 и 2 вытекают из теоремы 3 о свободности модуля Бейкера Ахиезера.

Автор благодарит И. А. Тайманова за полезные обсуждения и замечания.

2. Векторные тэта-функции В этом разделе мы укажем коэффициенты разложения в ряд Фурье век торных тэта-функций. В лемме 1 будет найдена размерность пространства век торных тэта-функций.

Обозначим через Xg = Cg/{Zg + Zg} главно поляризованное комплексное абелево многообразие, где симметричная g g-матрица с Im > 0. Для невырожденных попарно коммутирующих матриц Aj, j = 1,..., g, размера r r введем множество матричных функций (мультипликаторов) на Cg:

1 g en+m(z) = exp(-si m, m - 2si m, z )Am... Am, 1 g где m, n Zg, m, z = m1z1 + + mgzg, s некоторое натуральное число.

Нетрудно убедиться, что эти функции удовлетворяют равенствам e(z + )e (z) = e (z + )e(z) = e+ (z),, Zg + Zg.

Коммутативные кольца дифференциальных операторов Любой набор матричных функций, удовлетворяющий этим равенствам, задает векторное расслоение ранга r на Xg, которое получается факторизацией Cg Cr по действию решетки Zg + Zg:

(z, v) (z +, e(z)v), v Cr.

Глобальные сечения задаются вектор-функциями на Cg со свойствами перио дичности f(z + ) = ef(z).

Векторной тэта-функцией ранга r степени s назовем вектор-функцию s s r,s(z) = 1(z),..., r(z), z Cg, с целыми компонентами, обладающую свойством 1 g r,s(z + m + n) = exp(-si m, m - 2si m, z )Am... Am r,s(z).

1 g В силу периодичности r,s разлагается в ряд r,s = exp(2i l, z )al, al = a1,..., ar Cr.

l l lZg Найдем рекуррентные соотношения на коэффициенты al:

r,s(z + ej) = exp(2i l, ej ) exp(2i l, z )al lZg = exp(-sijj) exp(2i l - sej, z )Ajal, lZg следовательно, al+se = exp(sijj + 2i l, ej )A-1al, j j ej = (0,..., 1,..., 0) (1 на j-м месте). Из последней формулы вытекает, что r,s определяется заданием коэффициентов al, где компоненты l находятся в пределах 0 l s - 1, стало быть, размерность пространства векторных тэта функций не превышает rsg. Покажем, что при любом выборе al, 0 l s - 1, ряд для векторной тэта-функции r,s сходится. Для этого перепишем его в следующем виде:

r,s(z) = exp(2i l0 + sl, z )al +sl, l0 lZg где компоненты l0 находятся в пределах от 0 до s - 1. Полученные выше ре куррентные соотношения разрешимы в явном виде 1 g al +sl = exp(si l, l + 2i l0, l )A-l... A-l al.

0 1 g Пусть r,s 1 g a = exp(si l, l + 2i l0, l + 2i l0 + sl, z )A-l... A-l al, 1 g l lZg тогда r,s r,s = a.

l l A- Обозначим через Cj наибольшее из двух чисел и Aj, тогда норма каж j r,s дого слагаемого в ряде для a не превосходит l |l1| |lg| | exp(si l, l + 2i l0, l + 2i l0 + sl, z )|C1... Cg al, следовательно, в силу положительной определенности Im этот ряд сходится абсолютно. Мы получили следующий результат.

1106 А. Е. Миронов Лемма 1. Размерность пространства векторных тэта-функций степени s ранга r равна rsg.

Укажем пример матриц Aj. В качестве A1 возьмем матрицу с недиагональ ной жордановой формой, в качестве остальных Aj можно взять многочлены от A1. Если же жордановы формы матриц Aj диагональны, то расслоение, отве чающее набору Aj, является прямой суммой линейных расслоений.

3. Коммутирующие операторы В этом разделе сформулируем теорему Накаяшики [1] в нужном для нас частном случае голоморфных векторных расслоений ранга r 1, инвариант ных относительно сдвигов на элементы Xg. Используя преобразование Фурье j Мукаи этих расслоений, введем модули Бейкера Ахиезера Mc над кольцами дифференциальных операторов Dj. В следствии 2 будет показано, что отобра j j+1 j жение ограничения функций из Mc на подмногообразие Y Y задает эпи j j+1 j морфизм Mc Mc. В теореме 3 будет доказана свободность Dj-модуля Mc.

В следствии 3 покажем, что коэффициенты операторов Lk(Ak) удовлетворяют эволюционным уравнениям.

Через Pic0(Xg) обозначим многообразие Пикара Xg. В нашем случае Xg и Pic0(Xg) изоморфны. Обозначим через P расслоение Пуанкаре над Xg Pic0(Xg). Сечения P при подъеме на Cg Cg задаются функциями f(z, x) такими, что f(z + m1 + n1, x + m2 + n2) = exp(-2i( m1, x + m2, z ))f(z, x), где mj, nj Zg.

Пусть Y является нулями некоторой тэта-функции (ранга 1) степени s, (z + m + n) = exp(-si m, m - 2si m, z )(z).

Через Lc обозначим голоморфное векторное расслоение над Xg, сечения кото рого задаются вектор-функциями f(z) ранга r на Cg со свойством 1 g f(z + m + n) = exp(-2i m, c )Am... Am f(z), m, n Zg, c Cg. (1) 1 g Отметим, что расслоение Lc инвариантно относительно сдвигов на элемен ты Xg. Пусть L пространство глобальных сечений расслоения L0 с по люсом на Y, проекция Xg Pic0(Xg) Xg. Обозначим через F (Y, L0)(U) пространство мероморфных сечений расслоения L0 P над Xg U с полю сом на Y U, где U открытое подмножество в Pic0(Xg). При фиксированном x U пространство F (Y, L0)(U) совпадает с пространством H0(Xg, Lx(jY )).

j= Через Lx(jY ) будем иногда обозначать расслоение Lx [jY ], где [jY ] линей ное расслоение, ассоциированное с дивизором jY. Векторные расслоения и со ответствующие им пучки аналитических сечений мы для простоты обозначаем одним и тем же символом. Пространство H0(Xg, Lx(jY )) можно отождествить с пространством глобальных сечений расслоения Lx с полюсом на Y, причем порядок полюса не превышает j.

Пространство F (Y, L0)(U) называется преобразованием Фурье Мукаи над U пространства L.

Коммутативные кольца дифференциальных операторов На F (Y, L0)(U) действуют операторы ковариантного дифференцирования j = x - z log (z) : F (Y, L0)(U) F (Y, L0)(U), j j s kj = jk, k, j = 1,..., g, которые снабжают F (Y, L0)(U) структурой модуля над кольцом OU [1,..., g], где OU кольцо аналитических функций на U. Из построения следует, что F (Y, L0)(U) является также модулем над кольцом мероморфных функций A на Xg с полюсом на Y.

Обозначим через Dg кольцо дифференциальных операторов Og[x,..., x ], где Og кольцо аналитических функций по переменным x1,..., xg, опре g деленных в окрестности 0 Cg. В [1] введен модуль Бейкера Ахиезера Mc = Mc(n) n= над кольцом дифференциальных операторов Dg, где g xj Mc(n) = f(z, x) exp - z log (z), f(z, x) H0(X, Lc+x(nY )).

j s j= Нам понадобится еще один Dg-модуль DgMc(n) = d, d Dg, Mc(n).

Элементы Mc можно выразить через векторные тэта-функции. Любая вектор функция из Mc представляется в виде суммы вектор-функций вида g x+c r,sn(z + ) xj sn g(x) exp - z log (z), j n(z) s j= где g(x) Og, r,sn некоторая векторная тэта-функция.

В [1] доказана Теорема Накаяшики. Для c общего положения Mc свободный Dg модуль ранга N. Справедливо равенство Mc = DgMc(g).

Равенство Mc = DgMc(g) означает, что Dg-модуль Mc порождается элемен тами из Mc(g).

Зафиксируем базис c = (1,c(z, x),..., N,c(z, x)) в Dg-модуле Mc. Иног да, как и в следующем следствии, мы под c будем понимать матричную функ цию, в которой N строк и r столбцов, поскольку каждая компонента j,c(z, x) сама является вектор-функцией размера r.

Следствие 1 [1]. Существует кольцевое вложение L0 : A0 Mat(N, g), определенное равенством L0()c = c, A0.

Образом вложения является коммутативное кольцо g-мерных матричных диф ференциальных операторов.

Перейдем к нашей конструкции. На самом деле мы докажем теорему в более сильном варианте. Будем считать, что гиперповерхность Ya может j 1108 А. Е. Миронов быть не только сдвигом Y, но и сдвигом некоторой гладкой гиперповерхности, линейно эквивалентной Y, т. е. Ya является нулями некоторой тэта-функции j степени s со сдвигом Ya = {z Xg, j(z - aj) = 0}.

j k Через Lck обозначим линейное расслоение над Y, сечения которого задаются k функциями f(z) на Y Cg со свойством (1).

Введем модуль Бейкера Ахиезера k k Mc = Mc (n) n= над Dg-k, где g xj k k k Mc (n) = f(z, x) exp - z log (z), f(z, x) H0 Y, Lc+x(nQk).

j s j= Справедлива k Теорема 3. Для c общего положения Mc является свободным Dg-k-моду лем ранга N.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится Лемма 2. Отображение ограничения j j+ j j+ j : H0 Y, Lc+x(nQj) H0 Y, Lc+x (nQj+1), j() = |Y j+1, n 1, j 0, является эпиморфизмом для x в общем положении.

Через Y, Lc0 и Q0 мы обозначаем соответственно Xg, Lc и Y.

Доказательство. Пусть F расслоение ранга r над Xg, инвариантное относительно сдвигов. Через Fc обозначим расслоение F Pc, где Pc огра ничение расслоения Пуанкаре на Xg {c}. В [1] (см. пример 5.8 и предложе ние 5.10) доказано, что Hi(Xg, Fc(nY )) = 0, i 1, n 1, (2) Hi(Xg, Fc(nY )) = 0, i = g, n -1, (3) и для точки c в общем положении при i 0 выполнено равенство Hi(Xg, Fc) = 0. (4) Отметим, что расслоение Lc [sY ] [-Ya ] [-Ya ] 1 s инвариантно относительно сдвигов, где 1 s k, поскольку таковыми явля ются Lc и [Y ] [-Ya ]. Значит, j Hi(Xg, Lc [nY ] [-Ya ] [-Ya ]) = 0, (5) 1 s где 1 i < g, n Z. Имеется точная последовательность пучков j+ 0 Lcj [nQj] [-Y ] Lcj [nQj] Lcj+1 [nQj+1] 0. (6) Коммутативные кольца дифференциальных операторов Из длинной точной когомологической последовательности, отвечающей этой последовательности пучков, следует, что для доказательства сюръективности j достаточно установить равенство j j+ Hi Y, Lcj [nQj] [-Y ] = 0. (7) Из (5) немедленно вытекает сюръективность 0. Для доказательства (7) рас смотрим следующую точную последовательность:

j j 0 Lcj [nQj] [-(Y Ya )] [-(Y Ya )] j+1 j+s j j Lcj [nQj] [-(Y Ya )] [-(Y Ya )] j+2 j+s j+1 j+ Lcj+1 [nQj+1] [-(Y Ya )] [-(Y Ya )] 0, (8) j+2 j+s где j + s k. Из длинных точных когомологических последовательностей, отвечающих (6) и (8), используя (2)Ц(4), индукцией по j получаем j j j Hi Y, Lcj [nQj] [-(Y Ya )] [-(Y Ya )] = 0, (9) j+1 j+s где 1 i < g - j, j + s k. Следовательно, отображение j сюръективно.

Лемма доказана.

Отметим также, что, если n > g, то равенство (9) выполнено при i 1.

Из леммы 2 выводим Следствие 2. Отображение ограничения j j+ j : Mc Mc, j() = |Y j+1, является эпиморфизмом для c в общем положении.

Нам также понадобится Лемма 3. Линейная оболочка множества j+1(z - b), H0(Xg, Lc+sb((n - 1)Y ), b Cg, (z) b, где n > g и объединение берется по всем b и, совпадает с H0(Xg, Lc(nY )).

Доказательство. Рассмотрим последовательность отображений 0 1 0 - H0(Xg, Lc(nY )) - H0 Y, Lc1(nQ1) -...

g-2 g-... - H0 Y, Lcg-1(nQg-1) - 0.

g-1 g- Через Y мы обозначили риманову поверхность Y Ya, где ag- g- некоторый элемент Xg. Отображения 0,..., g-3 являются сюръективными по лемме 2. Так как (9) выполнено при n > g, то g-2 является также сюръек тивным. Следовательно, для доказательства леммы достаточно показать, что g- линейная оболочка ограничения вектор-функций, указанных в лемме, на Y g- совпадает с H0 Y, Lcg-1(nQg-1). Выберем b1 и b2 Cg так, чтобы дивизо g-1 g- ры B1 = Yb Y и B1 = Yb Y не пересекались. Заметим, что из (6), (8) 1 и (9) следуют равенства H1 Lcg-1 [nQg-1] = 0, g- H1 Y, Lcg-1 [nQg-1] [-Bi] = 0, 1110 А. Е. Миронов g- H1 Y, Lcg-1 [nQg-1] [-B1] [-B2] = 0.

Тогда по теореме Римана Роха имеем g- h0 Lcg-1 [nQg-1] = deg Lcg-1 [nQg-1] - (g(Y ) - 1)r, g- h0 Lcg-1 [nQg-1] [-Bi] = deg Lcg-1 [nQg-1] [-Bi] - (g(Y ) - 1)r, h0 Lcg-1 [nQg-1] [-B1] [-B2] g- = deg Lcg-1 [nQg-1] [-B1] [-B2] - (g(Y ) - 1)r, g-1 g- где h0 размерность H0, g(Y ) род Y. Так как дивизоры B1 и B2 не пересекаются, то g-1 g- dim H0(Y, Lcg-1(nQg-1) [-B1] H0 Y, Lcg-1(nQg-1) [-B2] = h0 Lcg-1(nQg-1) [-B1] [-B2].

g- Напомним, что H0 Y, Lcg-1(nQg-1) [-Bj] мы отождествляем с простран ством глобальных сечений Lcg-1(nQg-1), имеющих нули в точках дивизора Bj.

Отсюда следует равенство h0 Lcg-1 [nQg-1] = h0 Lcg-1 [nQg-1] [-B1] + h0 Lcg-1 [nQg-1] [-B2] - h0 Lcg-1 [nQg-1] [-B1] [-B2], g- которое означает, что линейная оболочка ограничения W (b1) W (b2) на Y совпадает с H0 Lcg-1 [nQg-1], где j+1(z - b) W (b) =, H0(Xg, Lc+sb((n - 1)Y ).

(z) Это завершает доказательство леммы.

Заметим, что мы доказали даже большее. В условии леммы 3 можно брать объединение не по всем b, а достаточно взять множество W (a1) W (ag-2) W (b1) W (b2).

g Обозначим через Sn размерность пространства дифференциальных опера торов по g переменным с постоянными коэффициентами, степень которых не превышает n - 1. Нетрудно проверить, что n(n + 1)... (n + g - 1) g n- Sn = Cn+g-1 =.

g!

Введем еще одно обозначение j Fj(n) = dim H0 Y, Lcj(nQj), 0 j < g - 1.

Доказательство теоремы 2. Выберем однородный базис c в Dg-моду j ле Mc так, чтобы его ограничение на подмногообразие Y порождало Dj-модуль j Mc, т. е.

j Mc = {d11,c|Y j + + dN N,c|Y j, di Dg}.

Это возможно сделать в силу следствия 2. Под однородностью базиса мы по нимаем следующее. Во-первых, все элементы базиса c содержатся в Mc(g) (это требование выполнимо по теореме Накаяшики). И, во-вторых, если 1,c,..., 1,K Коммутативные кольца дифференциальных операторов элементы базиса, которые принадлежат Mc(n), n g, то они порожда ют Mc(n). Иными словами, {d11,c + + dKK,c, dj Dg} Mc(n) = Mc(n).

Обозначим через ag число элементов базиса c, принадлежащих Mc(n), но не n принадлежащих Mc(n - 1). В силу однородности базиса и свободности Dg модуля Mc справедливо равенство g g agSn + + agSn-g+1 = F0(n), n > g.

1 g j Через Dg-jj Mc обозначим Dg-j-модуль c {|Y j, = d11,c + + dN N,c, ds Dg-j}.

Докажем индукцией по k, что Dg-kk является свободным Dg-k-модулем ран c j j га N. Затем, вычислив размерности пространств Mc (n) и Dg-jj Mc (n) (при c фиксированном x), мы установим, что эти Dg-k-модули совпадают.

Начальный шаг индукции это теорема Накаяшики. Пусть при k = j j утверждение доказано. Из свободности Dg-j-модуля Mc вытекает равенство g-j g-j agSn + + agSn-g+1 = Fj(n), n > g. (10) 1 g Предположим, что Dg-j-1-модуль Dg-j-1j+1 не является свободным при k = c j + 1 < g. Тогда существуют операторы di Dg-j-1 такие, что = d11,c + + dN N,c, |Y j+1 = 0.

j Это эквивалентно тому, что найдется элемент из Mc (n) (можно считать, что n > g) вида j(z - aj+1) j, Mc-a (n - 1), j+ (z) для которого справедливо равенство j+1(z - aj+1) j d11,c + + dN N,c =, z Y. (11) (z) j j Введем подпространство в H0 Y, Lc+x(nQj) :

j j j Vc+x(n) =, = d11,c + + dN,cN, di Dg-j-1 H0 Y, Lc+x(nQj), e j Y где g xj e = exp - z log (z).

j s j= j Найдем размерность пространства Vc+x(n). Из (10) вытекают равенства g-j g-j g-j g-j- g-j g-j- ag Sn - Sn-1 + + ag Sn-g+1 - Sn-g = agSn + + agSn-g+ 1 g 1 g = Fj(n) - Fj(n - 1) = Fj+1(n), следовательно, j dim Vc+x(n) = Fj(n) - Fj(n - 1). (12) 1112 А. Е. Миронов j j Введем еще одно подпространство в H0 Y, Lc+x(nQj), зависящее от элемента aj+1:

j+1(z - aj+1) j j j j Wc+x(n) =, H0 Y, Lc+x+sa ((n - 1)Qj, z Y.

j+ (z) Ясно, что j dim Wc+x(n) = Fj(n - 1), j j так как dim H0 Y, Lc+x+sa ((n - 1)Qj) = Fj(n - 1).

j+ Из лемм 2 и 3 вытекает, что существует элемент aj+1, для которого равен ство вида (11) невозможно. Поскольку j j j j dim Vc+x(n) + dim Wc+x(n) = dim H0 Y, Lc+x(nQj), равенство вида (11) невозможно для элементов из некоторой малой окрестно j сти aj+1. В силу аналитической зависимости пространства Wc+x(n) от aj+ равенство вида (11) не выполняется для открытого всюду плотного множества таких aj+1. Следовательно, так как по нашему предположению набор a1,..., ak находится в общем положении, Dg-j-1-модуль Dg-j-1j+1 является свободным c ранга N.

j+ Докажем, что Dg-j-1-модули Dg-j-1j+1 и Mc совпадают.

c j(z) Из того, что является мероморфной функцией, и из точности после (z) довательности (6) вытекают равенства j+ j+ dim H0 Y, Lc+x (nQj+1) j j j j j+ = dim H0 Y, Lc+x(nQj) - dim H0 Y, Lc+x((n)Qj) [-Y ] j j j j = dim H0 Y, Lc+x(nQj) - dim H0 Y, Lc+x((n - 1)Qj) = Fj(n) - Fj(n - 1).

j+ Так как справедливо включение Dg-j-1j+1 Mc и из (12) следует, что c j+1 j j+ dim H0 Y, Lc+x (nQj+1) = dim Vc+x(n) = Fj+1(n), j+ то Dg-j-1-модули Dg-j-1j+1 и Mc совпадают. Теорема 3 доказана.

c Покажем, как из теоремы 3 вывести теоремы 1 и 2. Обозначим через c = (1,c(z, x),..., N,c(z, x)) k базис в Dg-k-модуле Mc. Тогда по теореме 3 для Ak существует единствен ный оператор Lk() Mat(N, g - k) такой, что Lk()c = c.

Для различных операторы Lk() попарно коммутируют. Теорема 1 доказана.

Обозначим через Tj Mat(N, g - k) оператор порядка g, определенный равенством Tjc = t c, j время tj, 1 j k, мы отождествляем с переменной xg-k. Справедливы равенства [Lk(), Tj - t ] = 0, [Tm - t, Tn - t ] = 0.

j m n Тогда из теоремы 3 вытекает Коммутативные кольца дифференциальных операторов Следствие 3. Справедливы эволюционные уравнения Lk() = [Lk(), Tj], Ak, tj Tm Tn - = [Tn, Tm].

tn tm Перейдем к доказательству теоремы 2. Разделим каждую вектор-функцию j,c(z, x) на g xj exp - z log (z), j s j=g-k+ затем заменим x = (x1,..., xg) на (x, t) = x1,..., xg-k, t1,m,..., tk,m, m m где m = (m1,..., mg) Zg, m1 + + mg 2, mi 0, и, наконец, умножим на k tj,m m exp - z log (z) + z log (z), g-k+j s j=1 m где m m1 mg z log (z) = z... z log (z).

1 g Получим вектор-функцию j,c(z, x, t), которая представляется в виде суммы вектор-функций:

g-k (x,t)+c r,sn z + xj sn g(x, t) exp - z log (z) j n(z) s j= k tj,m m - z log (z) + z log (z).

g-k+j s j=1 m Тогда для = (1,c(z, x, t),..., N,c(z, x, t)) справедливо равенство Lj,m = t.

j,m По теореме 3 имеет место равенство [t - Lj,m, t - Li,n] = 0.

j,m i,n Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Nakayashiki A. Commuting partial differential operators and vector bundles over Abelian varieties // Amer. J. Math. 1994. V. 116. P. 65Ц100.

.

2. Nakayashiki A. Structure of Baker Akhiezer modules of principally polarized Abelian va rieties, commuting partial differential operators and associated integrable systems // Duke Math. J. 1991. V. 42, N 2. P. 315Ц358.

.

3. Миронов А. Е. Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с дву мерными абелевыми многообразиями // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1389Ц1403.

.

1114 А. Е. Миронов 4. Миронов А. Е. Вещественные коммутирующие дифференциальные операторы, связан ные с двумерными абелевыми многообразиями // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 1.

.

С. 126Ц143.

5. Rothstein M. Sheaves with connection on abelian varieties // Duke Math. J. 1996. V. 84, N 3.

.

P. 565Ц598.

6. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, № 6. С. 183Ц208.

7. Mukai S. Duality between D(X) and D(X) with its application to Picard sheaves // Nagoya Math. J. 1981. V. 81. P. 153Ц175.

.

Статья поступила 6 декабря 2001 г.

Миронов Андрей Евгеньевич Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск mironov@math.nsc.ru    Книги, научные публикации