Книги, научные публикации
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра микроэлектроники В. Е. БОРИСЕНКО УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ПО КУРСУ УНАНОЭЛЕКТРОНИКАФ для студентов специальности УМикроэлектроникаФ В 3-х частях Часть I ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ Минск 2001 УДК 621.382(075.8) ББК 32.852 я 73 Б82 Рецензент: кафедра физики БГУИР, д-р физ.-мат. наук, проф. Н. Т. Квасов Борисенко В. Е.
Б82 Учебное пособие по курсу УНаноэлектроникаФ для студентов специальности УМикроэлектроникаФ. В 3 ч. Ч.1: Основы наноэлектроники. - Мн.: БГУИР, 2001. - 47 с.:ил.
ISBN 985-444-288-8.
Учебное пособие составлено на основе курса лекций УНаноэлектроникаФ, читаемого студентам специальности УМикроэлектроникаФ дневной формы обучения. В части 1 даны основные определения, рассмотрены фундаментальные явления и типы структур, используемых в наноэлектронике.
УДК 621.382(075.8) ББК 32.852 я й В. Е. Борисенко, ISBN 985-444-288- ВВЕДЕНИЕ Низкоразмерные твердотельные структуры являются главным объектом исследования и применения в наноэлектронике. По крайней мере один размер в таких структурах предполагается равным нулю. Однако реальный физический мир состоит из трехмерных объектов. Так, например, когда мы конструируем плоскость, наименьшая толщина, которую можно реализовать, это не нуль, а толщина, соответствующая диаметру одного атома, что составляет порядка 10-10 м. Таким образом, реальные структуры с размерностью меньше трех не являются таковыми в прямом геометрическом смысле. Они называются так, поскольку имеют размер в одном, двух или трех направлениях меньше определенного критического значения, ниже которого физические свойства структуры становятся виртуально независимыми от этого размера. Свойства низкоразмерных структур существенно отличаются от объемных (трехмерных) свойств материала, из которого они изготовлены. Это происходит, когда размер структуры уменьшается до нанометровых размеров (1 нм = 10-9 м). Структуры, у которых по крайней мере один размер лежит в нанометровом диапазоне, называют наноструктурами. Квантово-механические явления и закономерности являются доминирующими в таких структурах, что определяет их электронные, оптические и другие свойства.
В данном учебном пособии рассмотрены фундаментальные физические явления, типично проявляющиеся в наноструктурах. Главный акцент сделан на роль пониженной размерности в таких структурах. Дана классификация элементарных и комбинированных низкоразмерных структур и приведены подходы, позволяющие формировать низкоразмерные структуры в полупроводниках.
1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Три группы фундаментальных явлений определяют поведение подвижных носителей заряда (электронов и дырок) в наноразмерных структурах. Это квантовое ограничение, баллистический транспорт и квантовая интерференция, туннелирование, которые по своему происхождению представляют собой типичные квантово-механические явления.
Квантовое ограничение возникает, как только свободное движение электронов в одном из направлений оказывается ограниченным потенциальными барьерами, образующими наноструктуру, в которой эти электроны находятся. Оно вносит новые закономерности в спектр разрешенных энергетических состояний и перенос носителей заряда через наноструктуры.
Что же касается транспорта носителей заряда, то, в принципе, он может осуществляться параллельно или перпендикулярно потенциальным барьерам. В случае движения вдоль потенциальных барьеров баллистический транспорт и квантовая интерференция оказываются доминирующими эффектами.
Прохождение же носителей заряда через потенциальные барьеры осуществляется исключительно посредством их туннелирования, что и обеспечивает их перенос из одной области наноэлектронного прибора в другую. В данном разделе рассмотрена физическая природа и основные закономерности проявления названных фундаментальных явлений.
1.1. Квантовое ограничение Свободный электрон, движущийся в трехмерной системе, имеет кинетическую энергию, величина которой в соответствии с пространственными компонентами его импульса px, py, pz составляет 2 2 E = (p + p + p ), x y z 2m или в волновом представлении 2 2 E = (kx + k + kz ), y 2m (1.1) где m (также обозначаемое как m*) - это эффективная масса электрона, которая в твердых телах обычно меньше, чем масса покоя электрона m0;
- редуцированная постоянная Планка ( = h/2);
kx, ky, kz - пространственные компоненты волнового вектора.
В низкоразмерной структуре свободное движение электрона ограничено, по крайней мере в одном направлении. В данном направлении, пусть это будет направление вдоль оси x, силы, удерживающие электрон, могут быть представлены бесконечно глубокой потенциальной ямой, как это показано на рис. 1.1. При геометрической ширине ямы a вдоль x электрон имеет нулевую потенциальную энергию в области 0 < x < a. Бесконечно высокий потенциальный барьер предотвращает нахождение электрона за границами этой области.
E n = Рис. 1.1. Потенциальная яма и Ux) ( E n = волновые функции электронов в ней E n = 0 a x Таким образом, волновая функция, соответствующая электрону, должна обращаться в нуль на границах потенциальной ямы, т. е. при x = 0 и x = a. Лишь ограниченный набор волновых функций отвечает такому условию. Это стоячие волны с длиной волны, определяемой соотношением (1.2) n = 2a/n (где n = 1,2,...).
Соответствующие разрешенные значения волнового вектора дискретны и имеют величину (1.3) kn = 2/n = n/a.
В результате разрешенные энергетические состояния электрона в яме оказываются тоже дискретными. Спектр этих состояний описывается как 2kn 2 n En = =.
(1.4) 2m 2ma Целое n является квантовым числом, обозначающим квантовое состояние. Из (1.4) очевидно, что электрон, помещенный в ограниченную область пространства, может занимать только дискретные энергетические уровни.
Самое низкое состояние имеет энергию E1 =, (1.5) 2ma которая всегда больше нуля. Ненулевая минимальная энергия отличает квантово-механическую систему от классической механической системы, для которой энергия частицы, находящейся на дне потенциальной ямы, тождественно равна нулю. Кроме того, разрешенные значения энергии для электрона оказываются квантованными пропорционально n2.
Для того чтобы удовлетворять принципу неопределенности px Ю/2 (в нашем случае x = a), электрон должен иметь неопределенность своего момента p Ю/2a. Это соответствует минимальному изменению энергии E = (p)2/2m = Ю2/8ma2, которое с точностью до сомножителя 2/ соответствует приведенному выражению для E1. Таким образом, и принцип неопределенности приводит к выводу о ненулевом значении минимальной энергии электрона, замкнутого в потенциальной яме.
Конечное (ненулевое) минимальное значение энергии электронов и дискретность разрешенных энергетических состояний для них в низкоразмерной структуре, возникающие как следствие квантово-волнового поведения электрона в замкнутом пространстве, называют эффектом квантового ограничения. Он характерен как для электронов, так и для дырок.
В твердых телах квантовое ограничение может быть реализовано в трех пространственных направлениях. Количество направлений в твердотельной структуре, в которых эффект квантового ограничения отсутствует, используется в качестве критерия для классификации элементарных низкоразмерных структур по трем группам. Это квантовые пленки, квантовые шнуры и квантовые точки. Схематически они показаны на рис. 1.2.
Квантовые пленки представляют собой двумерные (2D) структуры, в которых квантовое ограничение действует только в одном направлении, а именно по толщине пленки (направление z на рис. 1.2). Носители заряда в таких структурах свободно двигаются в плоскости xy. Их общая энергия складывается из квантованных значений, определяемых эффектом квантового ограничения в направлении z, и монотонных кинетических компонентов в направлениях x и y:
2k 2kx 2 n y E = + +.
(1.6) 2ma2 2m 2m В k-пространстве энергетическая диаграмма квантовой пленки представляет собой семейство параболических зон, которые, перекрываясь, образуют подзоны. Минимальная энергия, которую электрон может занимать в n-й подзоне, не осуществляя движения в плоскости пленки, задается соотношением (1.4).
bulk E E (3D) z ky y x kx NE) ( E E n = quantum film (2D) E n = n = E ky E kx NE) ( EE n = quantum wire (1D) E n = n = E E kx NE) ( EE quantum dot n = (0D) n = E n = NE) ( Рис. 1.2. Элементарные низкоразмерные структуры, их энергетические диаграммы E(k) и плотности состояния N(E) в сравнении с трехмерной структурой Плотность электронных состояний в квантовой пленке в зависимости от энергии имеет ступенчатый вид, который заменяет типичную параболическую зависимость для свободных электронов в трехмерных (3D) структурах.
Электроны в квантовых пленках обычно называют двумерным электронным газом. В англоязычной литературе это two-dimensional electron gas (2DEG).
Квантовые шнуры - это одномерные (1D) структуры. По сравнению с квантовыми пленками они малы еще в одном направлении настолько, чтобы в нем существовал эффект квантового ограничения. Носители заряда могут свободно двигаться в квантовом шнуре только в одном направлении - вдоль оси шнура. Таким образом, кинетическая составляющая только вдоль одного направления и квантованные значения энергии (1.4) вносят вклад в общую энергию носителя заряда. Как следствие этого, плотность состояний имеет зависимость от энергии вида E-1/2 для каждой дискретной пары состояний в направлении квантового ограничения.
Квантовые точки - это нуль-мерные (0D) структуры, в которых движение носителей заряда ограничено во всех трех направлениях. Энергетические состояния при этом оказываются также квантованными во всех трех направлениях, а плотность состояний представляет собой серию острых пиков, наподобие того, как это имеет место у атомов. Благодаря такому сходству с атомами квантовые точки иногда называют искусственными атомами.
Квантовые точки образуются из счетного количества атомов. Поэтому относительно проявления эффекта квантового ограничения основными свойствами квантовых точек обладают такие структурные образования, как атомные кластеры и нанокристаллиты (кристаллиты нанометровых размеров).
Рассмотренные элементарные низкоразмерные структуры в определенном смысле являются идеализированными объектами, представляющими фундаментальные следствия проявления эффекта квантового ограничения.
Очевидно, что низкоразмерные структуры, представляющие практический интерес, должны располагаться на какой-либо подложке и иметь контакт с другими структурами и функциональными элементами. Более того, приборные применения требуют комбинации элементарных структур. Вместе с этим, несмотря на значительное расширение гаммы квантово-механических эффектов, проявляющихся в сложных комбинированных структурах, отмеченные закономерности квантового ограничения остаются доминирующими.
Для практического создания низкоразмерных структур используют два принципиальных подхода, которые можно охарактеризовать как УгеометрическийФ и ФэлектронныйФ. Геометрический подход предполагает использование технологий, обеспечивающих формирование объектов с нанометровыми размерами. Для этого используются специальные нанотехнологические методы, которые будут рассмотрены в части II данного учебного пособия. Другой, электронный, подход базируется на возможности управления размерами областей с определенным типом и концентрацией носителей заряда в полупроводниках с помощью электрического поля. При этом используются как традиционные структуры металл/диэлектрик/полупроводник и металл/полупроводник, так и полупроводниковые гетероструктуры. Варианты создания областей с квантовым ограничением в полупроводниках за счет внутреннего встроенного электрического поля и с приложением внешнего электрического смещения рассмотрены далее в данном разделе.
1.2. Баллистический транспорт Закономерности транспорта носителей заряда в твердых телах в значительной степени зависят от рассеяния носителей во время их движения из одной области в другую. Электрон, сталкивающийся с другим электроном или испытывающий рассеяние на колебаниях решетки, на дефектах либо на границе раздела, неизбежно изменяет свое энергетическое состояние. Среднее расстояние, которое электрон проходит между двумя ближайшими актами рассеяния, называют средней длиной свободного пробега.
В макроскопических системах средняя длина свободного пробега электронов всегда намного меньше размера этих систем. Для них справедливы следующие допущения: 1) процессы рассеяния носителей заряда локальны, т. е. происходят в определенных точках пространства;
2) рассеяние непрерывно во времени;
3) и рассеяние, и поля, инициирующие движение носителей заряда, малы настолько, что оба эти фактора вызывают независимые отклонения в равновесии всей системы;
4) масштаб времени для наблюдения за системой выбран таким образом, что регистрируются только события, которые являются медленными по отношению к среднему времени между двумя ближайшими актами рассеяния. Такие допущения позволяют использовать кинетическое уравнение Больцмана для описания транспорта носителей заряда в макроскопических системах.
В наноструктурах условия для транспорта носителей заряда существенно отличаются от таковых в макросистемах. В структурах с размером менее длины свободного пробега носителей перенос носителей заряда происходит без их рассеяния. Такой перенос называют баллистическим транспортом. При этом допущения, позволяющие описывать транспорт носителей заряда с использованием кинетического уравнения Больцмана, теряют свою силу.
Основные эффекты, относящиеся к баллистическому транспорту, зависят от соотношения между размерами структуры, в которой рассматривается перенос носителей заряда, и характерными длинами свободного пробега. Ключевыми являются длины свободного пробега, характеризующие упругое и неупругое рассеяние носителей заряда.
Средняя длина свободного пробега при упругом рассеянии - это среднее расстояние, которое проходит носитель заряда между двумя ближайшими актами упругого рассеяния. Она определяется скоростью Ферми vF = (2EF/m)1/ (где EF - энергия Ферми) и временем рассеяния = Dd / vF (где D - sc коэффициент диффузии носителей и d - размерность структуры) как le = vFsc, когда электронная система вырождена при низкой температуре.
Средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии - это расстояние, на протяжении которого электронная волна изменяет свою фазу вследствие рассеяния. Численно это lin = vF, где - время релаксации фазы (или энергии). Имеется другой параметр, характеризующий неупругое рассеяние носителей заряда. Длина фазовой когерентности l = (D)1/2 - это расстояние, на протяжении которого электронная волна сохраняет свою фазу, или, как еще говорят, подвижный носитель сохраняет свою фазовую память.
Следует иметь в виду, что средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии и длина фазовой когерентности представляют собой различные характеристики. Длина фазовой когерентности меньше, чем средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии. Оба приведенных характеристических параметра важны при анализе условий фазовой интерференции электронных волн.
В твердых телах средняя длина свободного пробега для неупругого рассеяния больше, чем для упругого. Транспорт носителей заряда в структурах с размером между этими двумя характеристиками происходит квазибаллистически, т. е. со слабым рассеянием.
Одной из важных размерных характеристик для наноструктур является длина волны Ферми F = 2/kF (где kF - волновой вектор, соответствующий энергии Ферми). При температуре абсолютного нуля электроны находятся в состояниях, определяемых соотношением k kF, что эквивалентно электронным волнам с длиной волны F.
Сравнивая размер наноструктуры со средней длиной свободного пробега электронов и длиной волны Ферми, характеризующих материал, из которого данная структура изготовлена, возможно оценить основные особенности движения носителей заряда в этой наноструктуре. В металлах средняя длина свободного пробега электронов даже при низких температурах обычно не превышает 10 нм. Эта величина сравнима или меньше размеров типичных наноструктур. Вследствие этого баллистический транспорт в металлических наноструктурах реализуется с трудом. Более того, длина волны Ферми в них тоже очень мала - 0,1Ц0,2 нм. В результате квантование энергетических уровней в металлах не является существенным фактором, за исключением очень низких температур, когда расстояние между двумя соседними энергетическими уровнями становится сравнимым с тепловой энергией (kBT).
Поэтому наиболее существенное разделение энергетических уровней в квантовых точках из металлов связано с кулоновским взаимодействием.
Транспорт носителей заряда в полупроводниках характеризуется средней длиной свободного пробега электронов до нескольких микрометров. Некоторые важные параметры для Si и GaAs при низких температурах в качестве примера приведены в табл. 1.1. Следует иметь в виду, что приведенные параметры даны для носителей с энергией вблизи уровня Ферми и существует определенный диапазон их изменения. Для горячих носителей характеристики существенно иные.
Таблица 1. Параметры, характеризующие транспорт электронов в Si и GaAs при низких температурах (~ 4 K) Параметр, единица измерения Si GaAs Скорость Ферми, 107 см/с 0,97 2, Длина волны Ферми, нм 39 Время рассеяния, 10-12 с 1,1 3, Время релаксации фазы, 10-12 с 5,7 Коэффициент диффузии, 103 см2/с 0,52 1, Средняя длина свободного пробега при упругом рассеянии, нм 107 Средняя длина свободного пробега при упругом рассеянии, нм 500 Длина фазовой когерентности, нм 540 Эффективная масса, m0 0,19 0, Время релаксации спина, пс 5 - При комнатной температуре средняя длина свободного пробега электронов при неупругом рассеянии достигает 50Ц100 нм в Si и около120 нм в GaAs.
Очевидно, что баллистический транспорт легко реализуется в наноструктурах из полупроводников. Более того, длина волн Ферми в полупроводниках достигает 30Ц50 нм. Когда размер структур становится сравнимым с этими величинами, квантование энергии, связанное с эффектом квантового ограничения, становится существенным фактором, определяющим электронные свойства и транспорт носителей заряда в них.
Идеальный баллистический транспорт носителей заряда в наноструктурах характеризуется универсальной баллистической проводимостью, которая не зависит от материала и определяется лишь фундаментальными константами.
Наиболее простым прибором для иллюстрации этого является проводник с двумя контактами. Такой проводник схематически показан на рис. 1.3, где сужение между двумя резервуарами с электронами действует как проводящий квантовый шнур. Предполагается, что в этом канале нет никаких неоднородностей, приводящих к рассеянию носителей. Кроме того, полагается, что связь этого совершенного проводящего канала с резервуарами для электронов осуществляется посредствам безотражательных проводников, что предполагает неизбежное попадание в резервуар всех электронов, вышедших из канала.
reservoir reservoir 1 Рис. 1.3. Два резервуара с электронами, соединенные I совершенным проводящим 1 каналом Полагаем, что вся структура находится при температуре абсолютного нуля и резервуары заполнены электронами до уровней, характеризуемых электрохимическими потенциалами 1 и 2, причем 1 > 2. Если электронные состояния между 1 и 2 полностью заняты, между резервуарами протекает ток (1.7) I = (1 - 2)ev(dn/d), где e - заряд электрона;
v - составляющая скорости электронов на поверхности Ферми вдоль оси канала;
dn/d - плотность электронных состояний в канале с учетом вырождения по спину. В квантовом шнуре dn/d = 1/v. Подставляя (1 - 2) = e(V1 - V2), где V1 и V2 - электрические потенциалы, вызывающие разность электрохимических потенциалов в резервуарах, проводимость квантового шнура получаем в виде (1.8) G = I/(V1 - V2) = e2/ = 2e2/h.
Это проводимость идеального одномерного проводника, функционирующего в баллистическом режиме. Она определяется только фундаментальными константами - зарядом электрона и постоянной Планка.
Величину e2/h = 38,740 мкСм называют единицей квантовой проводимости.
Соответствующее сопротивление h/e2 = 25812,807 Ом.
Приведенные рассуждения могут быть обобщены на случай, когда проводящий канал имеет более одного энергетического состояния ниже уровня Ферми. Для канала с N разрешенными состояниями, или, что то же самое, с N передающими модами, получаем G = N(2e2/h). (1.9) Проводимость канала с переменным числом передающих мод должна квантоваться в единицах 2e2/h. Это наблюдается в квантовых точечных контактах, которые представляют собой узкие двумерные каналы, соединяющие широкие резервуары с электронами. Пример такой структуры и соответствующая зависимость, характеризующая его проводимость, показаны на рис. 1.4.
Vg current AlGaAs 2DEG GaAs -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1. Gate voltage Vg (V) Рис. 1.4. Изменение проводимости квантового контакта, индуцированного в скрытом слое двумерного электронного газа поверхностным электродом Короткое сужение в захороненном двумерном электронном газе (2DEG) контролируется находящимися на поверхности затворами в форме встречно направленных острых штырей. На затворы подается отрицательное смещение, чтобы вытеснить двумерный электронный газ из-под них и образовать узкий проводящий канал. Внешнее напряжение Vg задает ширину канала. При увеличении отрицательного смещения ширина канала постепенно уменьшается до полного исчезновения. При увеличении же ширины канала количество разрешенных состояний (ниже уровня Ферми) увеличивается. На кривой проводимости появляются ступеньки, соответствующие увеличенному количеству этих состояний Nr. Следует помнить, что в случае, когда канал проводимости не является идеальным и процессы рассеяния носителей заряда снижают общий ток, необходимо вводить вероятность переноса носителей заряда, которая для таких условий будет меньше единицы.
Conductance (2e /h) Как только движение электрона становится когерентным, в том смысле, что электрон проходит через всю структуру без рассеяния, его волновая функция будет сохранять определенную фазу. При этом электрон способен продемонстрировать разнообразные интерференционные эффекты. Эти эффекты наряду с другими особенностями транспорта носителей заряда в наноструктурах вдоль потенциальных барьеров рассматриваются в одном из последующих разделов данного учебного пособия.
1.3. Туннелирование Термин туннелирование относится к переносу частицы через и внутрь области, ограниченной потенциальным барьером выше полной энергии данной частицы, что невозможно с точки зрения классической механики. Это явление иллюстрирует рис. 1.5, где частица с энергией E приближается к прямоугольному барьеру высотой U > E. В классической механике такая частица должна просто отразиться от барьера. В квантовой механике картина иная.
step-like step-like rectangular tunnel potential barrier potential barrier potential barrier of height U0 of infinite height of height U U0 U EE E Energy a x x x Aexp(ik1x) Cexp(ik2x) Aexp(ik1x) Aexp(ik1x) Cexp(ik2x) Waves Bexp(-ik1x) Dexp(-ik2x) Bexp(-ik1x) Bexp(-ik1x) Wave function (x) x x x Probability density (x) x0 x0 x1 x x x x Рис. 1.5. Взаимодействие квантовой частицы с полной энергией E с потенциальным барьером конечной высоты U0 и бесконечной высоты Квантово-механически движение частицы вблизи ступенчатого потенциального барьера описывается уравнением Шредингера, которое в одномерном случае имеет вид 2 d (x).
- + U (x) = E (x) (1.10) 2m dx Полагая, что барьер имеет прямоугольную форму с конечной высотой U0, имеем 0 for x < x (1.11) U(x) =.
U for x x 0 В случае, когда 0 < U0, решением уравнения Шредингера являются волновые функции Aexp(ik x) + B exp(-ik x), для x < x 1 1 (1.12) (x) = C exp(ik x) + D exp(-ik x), для x x 2 2 с и. Поскольку и сама волновая функция (x), и ее k = 2mE k = 2m(U0 - E) 1 производная должны быть непрерывными в пространстве, условие сшивки на границе x = x0 дает соотношение между амплитудами A, B, C, и D A + B = C + D и k1(A - B) = k2(C - D). (1.13) Если амплитуды волн с левой стороны барьера A и B известны, то амплитуды волн справа от барьера есть C = 1/2(1 + k1/ k2)A + 1/2(1 - k1/ k2)B, D = 1/2(1 - k1/ k2)A + 1/2(1 + k1/ k2)B, (1.14) что дает коэффициенты пропускания (T) и отражения (R) в виде 4k k k - k 1 2 1 T = и R =, а их сумма R + T = 1.
(1.15) k + k (k + k ) 1 1 В результате очевидно, что волна Aexp(ik1x), представляющая квантовую частицу с массой m и энергией E, падающая на ступенчатый потенциальный барьер высотой U0, отражается как волна Bexp(-ik1x). Она также проникает в область за барьером. Это проникновение, характеризуемое коэффициентом пропускания, увеличивается по мере увеличения E и приближения к U0.
Функция (х)2, называемая плотностью вероятности и показанная на рис. 1.5, характеризует вероятность отыскания падающей квантовой частицы.
Она осциллирует перед барьером и экспоненциально затухает за ним. Если же потенциальный барьер бесконечно высок или по крайней мере U0/E >> 1, проникновение за барьер отсутствует. При этом коэффициент пропускания равен нулю, а коэффициент отражения равен единице. Имеет место идеальное отражение, сопровождаемое интерференцией падающей и отраженной волны с левой стороны барьера. Эта интерференция и приводит к осцилляции плотности вероятности отыскания частицы вблизи барьера. И проникновение квантовой частицы за потенциальный барьер, и осциллирующий характер вероятности ее нахождения вблизи барьера являются типичными проявлениями квантово-механических закономерностей, не имеющих аналогий в классической механике.
Мистические с точки зрения классической механики особенности возникают и при движении квантовой частицы над ступенчатым потенциальным барьером, т. е. при E > U0. Классическая механика не предполагает никакого отражения частицы от барьера в этих условиях.
Квантовая же механика дает коэффициент отражения, отличный от нуля. В результате длина волны, представляющей квантовую частицу, приближающуюся к барьеру, 1 = h/(2mE)1/2, превращается в 2 = h/[2m(E - U0)]1/2, когда частица пересекает границу x = x0 и движется над барьером.
Потенциальные барьеры ступенчатой формы важны для ограничения электронов в определенной области пространства. Однако барьеры определенной толщины, допускающие сквозное туннелирование электронов между разделенными таким барьером областями, наиболее часто используются в наноэлектронных приборах. Рассматривая прохождение электрона через прямоугольный потенциальный барьер (см. рис. 1.5), будем полагать, что он имеет конечную высоту U0 и толщину a = x2 - x1. Классическая частица с энергией E < U0 не может пройти через такой барьер. Она будет отражена в так называемых классических точках поворота. Классическая точка поворота - это точка с координатой x на границе потенциального барьера, в которой полная энергия частицы E равна потенциальной энергии барьера U(x). Скорость классической частицы в этой точке обращается в нуль, и она начинает двигаться в обратном направлении. Для прямоугольного туннельного барьера координаты точек поворота (x1 и x2 на рис. 1.5), совпадают с границами барьера.
Для квантовой частицы с аналогичным энергетическим соотношением существует ненулевая вероятность обнаружить ее на противоположной стороне потенциального, что называют туннельным эффектом. Важно отметить, что вероятность нахождения квантовой частицы остается постоянной за барьером и осциллирует перед ним. При этом в осциллирующей части значения вероятности в отдельных точках оказываются даже ниже, чем в области за барьером. Туннельная прозрачность симметричного прямоугольного потенциального барьера характеризуется коэффициентом пропускания в виде - U.
T = sin h2 (ak2 ) 1+ (1.16) 4E(U - E) Коэффициент отражения есть R = 1 - T. В большинстве практически важных для электронного туннелирования случаев произведение ak2 достаточно велико, чтобы сделать член с sinh2(ak2) преобладающим над 1, что позволяет получить упрощенное выражение для коэффициента пропускания U (1.17) a Т.
exp- 2m(U - E) 4E(U - E) Существует также полезное представление прямоугольного барьера в виде -функции. Это происходит, когда высота барьера U0 стремится к бесконечности, а толщина барьера a уменьшается до нуля, так что произведение S = aU0 остается постоянным. Коэффициент пропускания такого барьера есть - 2mS.
T = 1+ (1.18) 42E Туннельная прозрачность потенциального барьера произвольной формы U(x) может быть оценена с помощью выражения x Т exp 2 2m(U (x) - E)dx, - x (1.19) где x1 и x2 точки поворота, определяемые из условия U(x1) = U(x2) = E.
Рис. 1.6 качественно иллюстрирует изменение коэффициента пропускания барьеров различной формы в зависимости от отношения энергии падающего на барьер электрона E к высоте барьера U0.
Рис. 1.6. Коэффициент переноса в функции отношения энергии электрона и высоты symmetric rectangular barrier barrier потенциального барьера (E/U0) 0. for> U0, демонстрирует немонотонное, фактически резонансное поведение. Максимум надбарьерного переноса, соответствующий T = 1, имеет место только для электронов с определенными энергиями.
E = U + n,где n = 1,2,3,...
8ma (1.20) Таким образом, прямоугольный барьер не влияет на надбарьерное прохождение электронных волн только с длиной волны =а/2, а, 2а, 4а, Е. При других соотношениях падающие электронные волны частично отражаются барьером.
Надбарьерный резонанс имеет место и в других системах, например при распространении микроволн.
Электронное туннелирование является достаточно общим явлением для твердотельных структур. При этом в наноструктурах это явление приобретает специфические особенности, отличающие его от эффектов в объемных системах. Одна из таких особенностей связана с дискретной природой переносимого электронами заряда и обнаруживает себя в явлении, которое получило название Уодноэлектронное туннелированиеФ. Другая особенность определяется дискретностью энергетических состояний в полупроводниковой наноструктуре, связанной с эффектом квантового ограничения. Туннельный перенос носителей заряда через барьер с дискретного уровня в эмиттирующей ( ) Transmission coefficient TE области на энергетически эквивалентный ему уровень в коллекторной области происходит с сохранением энергии и момента электрона. Такое совпадение уровней приводит к резонансному возрастанию туннельного тока, известному как эффект резонансного туннелирования. Более того, в наноструктурах, содержащих магнитные и немагнитные материалы, определенная спиновая поляризация туннелирующих электронов приводит к дополнительным эффектам. Все эти явления находят широкое применение в наноэлектронных приборах. Их рассмотрение дано в последующих разделах данного пособия.
1.4. Спиновые эффекты Спин, будучи одной из фундаментальных характеристик электрона, привносит свои особенности в перенос носителей заряда через наноструктуры.
Спиновые эффекты возникают, как только в материале появляется спиновой дисбаланс в заселенности уровня Ферми. Такой дисбаланс обычно присутствует в ферромагнитных материалах, у которых плотности вакантных состояний для электронов с различными спинами практически идентичны, однако состояния с различными спинами существенно различаются по энергии, как это схематически показано на рис. 1.7. Такой энергетический сдвиг приводит к заполнению энергетических зон электронами с одним определенным спином и соответствующему появлению собственного магнитного момента (намагниченности) материала. Заселенность энергетических зон электронами с одним спином определяет как спиновую поляризацию инжектируемых из такого материала электронов, так и особенности транспорта носителей заряда через него.
E E Рис. 1.7. Плотности состояний EF EF электронов с различными спинами в ферромагнитном и немагнитном материале и обмен электронами между ними NE) NE) ( ( nonmagnetic ferromagnetic material material Собственную спиновую поляризацию электронов в материале (P) определяют как отношение разности в концентрациях электронов с различными спинами (n и n) к их общей концентрации:
(1.21) n - n P =.
n + n Наиболее яркое проявление спиновых эффектов резонно ожидать в материалах с наибольшей спиновой поляризацией электронов. Это стимулирует поиск материалов со 100 %-й спиновой поляризацией. Это должны быть материалы, у которых только один спиновой уровень занят вблизи уровня Ферми. На практике же пока используются материалы с частичной спиновой поляризацией. Это металлы и их сплавы, оксиды, магнитные полупроводники.
Их примеры приведены в табл. 1.2. Анализируя приведенные в таблице данные по спиновой поляризации, следует иметь в виду, что этот параметр чувствителен к технологии получения материала, к его структуре и присутствию примесей.
Таблица 1. Максимальная спиновая поляризация электронов проводимости в различных материалах Материал Co Fe Ni Ni80Fe20* CoFe NiMnSb CrO Поляризация, % 42 46 46 45 47 58 Материал La0.7Sr0.3MnO3 Be0.07Mn0.03Zn0.9Se Zn0.94Mn0.06Se Поляризация, % 78 90 (при ~5 K, 1.5 T) 70 (при 4.2 K, 4-5 T) * Сплав Ni80Fe20 называют пермаллой.
Электронный ток в твердотельных структурах, составленных из материалов с различной спиновой поляризацией, зависит от спиновой поляризации носителей заряда и спиновой поляризации областей, через которые эти носители движутся. Электроны, инжектированные с определенным спином, могут занять в коллекторе только вакантные места с такой же спиновой ориентацией. Электрон, первоначально спин-поляризованный в инжектирующем электроде, по мере движения изменяет свой момент в процессах рассеяния и неизбежно изменяет и свой спин. Для практических применений важно знать, как долго электрон УпомнитФ свою спиновую ориентацию. В качестве характеристики Успиновой памятиФ используют среднее расстояние, проходимое электроном до изменения своего спина, которое называют длиной спиновой релаксации (ls). В твердых телах ее величина превышает 100 нм и определяется спин-независимым средним свободным пробегом электронов, в качестве которого целесообразно рассматривать среднюю длину свободного пробега при неупругом рассеянии lin.
Тогда ls = (linvF)1/2, где vF - скорость Ферми, - время релаксации спина.
Длина спиновой релаксации определяется главным образом процессами спин орбитального и обменного рассеяния. При идентичном составе материала в кристаллах она больше, чем в аморфной фазе.
В спин-поляризованных материалах состояния с преобладающим спином контролируются их намагниченностью. Если намагниченность изменяется на противоположную, преобладающая ориентация спинов также меняется на противоположную. При инжекции спин-поляризованных электронов в материал с намагниченностью, а следовательно, и спиновой поляризацией, контролируемой внешним магнитным полем, этот материал может вести себя как проводник или как изолятор в зависимости от направления намагниченности и ориентации спинов инжектированных электронов. При одинаковой направленности спинов инжектированных электронов и электронных состояний в материале обеспечивается наивысшая проводимость материала. Противоположная направленность спинов препятствует прохождению электронов через материал.
Два основных эффекта, а именно гигантское магнитосопротивление и туннельное магнитосопротивление, являются типичным проявлением особенностей транспорта носителей заряда, контролируемого спином электронов в наноразмерных структурах. Они образуют основу нового направления в науке и технике, которое получило название спинтроника.
Целью этого направления является создание элементов электронной обработки информации с использованием как заряда электрона, так и его спина в качестве носителей информации. Возможности контролировать и управлять спиновыми состояниями в твердых телах представляют также значительный интерес для практической реализации идей квантовых вычислений, которые обещают революционный прогресс в развитии информационных систем. Детальное рассмотрение указанных спиновых эффектов и примеры спинтронных приборов даны в последующих разделах.
2. ЭЛЕМЕНТЫ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР Природа потенциальных барьеров, используемых для создания низкоразмерных структур, неизбежно влияет на свойства этих структур.
Реальные границы раздела привносят дополнительные квантовые эффекты, которые следует учитывать при конструировании наноэлектронных, оптоэлектронных и оптических приборов. Рассмотрим электронные свойства границ раздела и комбинированных структур, включающих низкоразмерные элементы.
2.1. Свободная поверхность и межфазные границы Практическая реализация квантового ограничения и связанных с ним эффектов требует пространственной локализации электронов. В твердых телах это может быть достигнуто с использованием свободных поверхностей и межфазных границ.
Свободная поверхность любого твердого тела образует естественный потенциальный барьер. Разрешенные энергетические состояния электронов изменяются скачкообразно над поверхностью. Высота и пространственная конфигурация такого барьера определяются расположением атомов твердого тела на поверхности и окружающей поверхность средой, в особенности чужеродными (примесными) атомами и молекулами, адсорбированными на ней. Поверхностные свойства кристаллов, находящихся в вакууме, задаются несколькими приповерхностными моноатомными слоями, которые по своей атомной конфигурации отличаются от объема кристалла. Поверхностный слой кристалла, свободный от адсорбированных частиц, обычно подвержен структурным изменениям, которые называют реконструкцией. В некоторых редких случаях, однако, он может оставаться нереконструированным.
Реконструкция поверхности является следствием перестройки оборванных связей поверхностных атомов. Поверхностные атомы с разорванными ковалентными или ионными связями могут сгруппироваться в ряды с межатомными расстояниями больше и меньше, чем в объеме. Ближайшие соседние поверхностные атомы сближаются для образования связей между своими незадействованными валентными электронами и таким образом понижают энергию системы. При этом происходит реконструкция поверхности, характеризуемая измененными по отношению к объему позициями атомов и образованием новой элементарной ячейки. Особенности реконструированной поверхности влияют на ее электронные свойства и на последующее эпитаксиальное осаждение материалов на нее.
На нереконструированных поверхностях расположение атомов сохраняется таким же, как и в объеме, хотя и изменяется расстояние между верхними моноатомными слоями. Это расстояние уменьшается, что находит свое объяснение в рамках представлений о двухатомной молекуле. Следуя этим представлениям, поверхностный слой атомов может быть рассмотрен как промежуточное состояние между объемом кристалла и свободной двухатомной молекулой, состоящей из тех же атомов, что и кристалл. Поскольку межатомные расстояния в двухатомной молекуле меньше, чем в кристалле, существует движущая сила для релаксации атомов на поверхности. В процессе такой релаксации в плоскости поверхности атомы сохраняют свое взаимное расположение таким, как оно проецируется из объема, но расстояние между атомными плоскостями уменьшается.
Адсорбированные атомы и молекулы образуют на поверхности связи, нетипичные для объема твердого тела. В результате атомная структура и соответственно электронные свойства приповерхностного слоя приобретают существенные отличия от свойств, типичных как для объема твердого тела, так и для его реконструированной или нереконструированной поверхности. Когда две свободные поверхности располагаются близко друг к другу, как, например, в квантовой пленке или квантовом шнуре, модифицированные приповерхностные слои могут перекрываться и кардинально менять свойства структур.
Точный контроль и управление потенциальным барьером у свободной поверхности затруднены из-за неконтролируемой адсорбции примесей. Более того, достаточно сложно реализовать инжекцию носителей заряда через такой барьер, что необходимо для приборных применений. Как следствие этого, свободные поверхности следует рассматривать в качестве одного из важнейших элементов низкоразмерных структур, хотя их непосредственное использование в приборных структурах обычно ограничено пассивными функциями.
Межфазные границы образуются между материалами с различными физическими свойствами. В случае полупроводников, среди всех возможных комбинаций сочетания монокристаллической, поликристаллической и аморфной фаз, граница между двумя монокристаллическими областями имеет наиболее управляемые и воспроизводимые свойства. Для того чтобы получить потенциальный барьер на такой границе, должно быть удовлетворено одно из следующих требований. Если контактирующие полупроводники имеют одинаковый химический состав, они должны отличаться типом основных носителей заряда, а при одинаковом типе основных носителей заряда их концентрации должны быть существенно разными. Полупроводники же различного химического состава должны иметь кристаллическую структуру с близкими, а в идеальном случае с совпадающими параметрами решеток.
Потенциальные барьеры, образованные на границе двух материалов одинакового химического состава, обычно широкие и плавные. Это результат диффузионного перераспределения примесей, придающих определенные донорные или акцепторные свойства контактирующим областям. Взаимная диффузия компонентов на границе материалов с различным химическим составом обычно ограничена несколькими монослоями (один монослой - это самый тонкий слой, содержащий полный стехиометрический набор атомов данного материала). Для таких границ характерны резкие, ступенчатые потенциальные барьеры. Они образуются в гетероэпитаксиальных структурах полупроводников, создаваемых из бинарных, тройных и четверных соединений групп AIIIBV и AIIBVI. Требование согласованности кристаллических решеток в данном случае определяет подходящие пары материалов. Формируются такие структуры в виде сверхрешеток.
2.2. Сверхрешетки Монокристаллическую пленку из одного материала, воспроизводящую постоянную решетки монокристаллической подложки из другого материала, называют сверхрешеткой. Когда оба материала имеют идентичные или очень близкие постоянные решеток, они образуют так называемые псевдоморфные сверхрешетки. Среди полупроводников таких материалов очень мало. Между тем идентичность постоянных решеток не является строго необходимым условием для псевдоморфного роста одного материала на другом.
film material strained film relaxed film substrate material substrate substrate Рис. 2.1. Образование напряженной и релаксированной эпитаксиальной пленки В пределах некоторой ограниченной толщины наносимой пленки возможно заставить осаждаемые атомы занимать позиции, соответствующие расположению атомов в подложке, даже если это расположение отличается от равновесного расположения атомов в объемном материале пленки. При этом образуется напряженная сверхрешетка, структура которой однако совершенна. Формирование напряженной сверхрешетки в случае, когда подложка имеет постоянную решетки меньше, чем постоянная решетки материала пленки, схематически показано на рис. 2.1. Напряжения в такой пленке возрастают по мере увеличения ее толщины. По достижении некоторой критической толщины они релаксируют посредством образования дислокаций несоответствия, высвобождая таким образом накопленную в напряженном состоянии энергию и понижая полную энергию системы. Кристаллическая решетка наносимого материала приобретает свой естественный вид, и при дальнейшем поступлении материала на подложку пленка растет с уже отрелаксированной решеткой. Критическая толщина пленки зависит от величины рассогласования постоянных решеток и параметров эластичности материала пленки и подложки при температуре осаждения. В принципе, не превышая критической толщины, можно сформировать напряженную сверхрешетку из любого полупроводника на подложке с тем же типом кристаллической решетки.
На практике для создания качественных потенциальных барьеров на сверхрешетках желательным является наименьшее рассогласование решеток пленки и подложки, а также наличие требуемой разницы в их электронных свойствах. Среди полупроводников имеется достаточный выбор материалов, отвечающих этим требованиям. На рис. 2.2 представлены данные по ширине запрещенной зоны полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки и постоянные их решеток. Затененные вертикальные области объединяют группы полупроводников с близкими постоянными решетки. Материалы внутри этих групп обеспечивают создание псевдоморфных сверхрешеток и гетеропереходов на их основе с потенциальным барьером на границе, определяемым отличиями в ширине запрещенной зоны. Полупроводники, соединенные сплошными линиями, образуют стабильные промежуточные соединения. Примером таких двойных соединений служит SiGe, тройных - AlGaAs, и четверных - GaInAsP.
AlN ZnS Zn0.5Mn0.5Se ZnSe GaN AlP CdS Cd0.5Mn0.5Te ZnTe AlAs GaP CdSe InN AlSb CdTe GaAs InP Si GaSb Ge InAs InSb HgS HgSe HgTe 0.45 0.50 0.55 0.60 0. Lattice constant (nm) Рис. 2.2. Ширина запрещенной зоны при низкой температуре и постоянная решетки для полупроводников со структурой цинковой обманки и алмаза.
(Гексагональные нитриды представлены для сравнения в параметрах решетки цинковой обманки) Ener gy gap ( eV) Среди представленных материалов выделяются полупроводниковые нитриды. Они имеют другой тип решетки - гексагональный и наименьшие постоянные решетки, что требует использования специальных подложек для их эпитаксиального выращивания.
Постоянная решетки промежуточного соединения a(x) линейно изменяется в интервале между постоянными решеток образующих их материалов a1 и a2.
Это правило Вегарда. Согласно ему a(x) = xa1 + (1 - x)a2, (2.1) где через x обозначена молярная доля материала 1 в материале 2.
Промежуточные полупроводниковые соединения расширяют выбор материалов для формирования согласованных сверхрешеток.
Так, например, постоянная решетки тройного соединения AlxGa1-xAs есть xaAlAs + (1 - x)aGaAs. Она изменяется в зависимости от x менее чем на 0,15 %. Это позволяет выращивать сверхрешетки из AlAs, GaAs или AlxGa1-xAs любого состава друг на друге практически без напряжений в них. Кроме того, ширина запрещенной зоны материалов, входящих в данную группу, изменяется до 0,8 эВ, что наряду со структурной совместимостью и определяет их широкое применение для зонной инженерии при создании нано- и оптоэлектронных приборов.
Как псевдоморфные, так и напряженные сверхрешетки, созданные многократным эпитаксиальным осаждением различных по составу полупроводников, используют для формирования встроенных квантовых колодцев, в которых электроны и/или дырки испытывают квантовое ограничение.
2.3. Моделирование атомных конфигураций Сравнимость размеров наноструктур с межатомными расстояниями приводит к тому, что расположение атомов в них подвержено значительному влиянию поверхности, границ раздела и внутренних точечных дефектов.
Экспериментальное определение связанной с таким влиянием релаксации кристаллической решетки крайне затруднено, поскольку требует методов анализа с разрешением на атомном уровне. Поэтому теоретическое моделирование атомных конфигураций наноразмерных структур с использованием современной вычислительной техники является эффективным методом их исследования и описания.
Отыскание оптимального расположения атомов в наноразмерной структуре с учетом их внутреннего взаимодействия и влияния внешних сил осуществляется путем нахождения такого их взаимного расположения, которое соответствует минимальной энергии всей структуры. Два принципиально отличающихся подхода могут быть использованы для решения этой задачи. В их основе лежат, соответственно, представления о твердом теле как о механической системе и как о квантово-химической системе. В первом случае используются методы молекулярной динамики и молекулярной механики, во втором - методы квантовой химии. В данном разделе мы ограничимся рассмотрением теоретических основ лишь первой группы.
Квантово-химические подходы будут представлены в последующих разделах, там где мы будем рассматривать фундаментальные электронные свойства наноразмерных структур. Именно для моделирования электронных свойств твердых тел они главным образом и разрабатывались.
В методе молекулярной динамики поиск оптимальной атомной конфигурации осуществляется путем пошагового движения атомов в позиции, обеспечивающие минимум потенциальной энергии анализируемой структуры.
Рассматривается конечная область кристалла - кристаллит. Движение атомов описывается уравнениями классической механики. Взаимодействие атомов у поверхности, границы раздела или дефекта имитируется с помощью направленных внутрь рассматриваемого объема постоянных сил, действующих только на атомы в этой граничной области. Расчет атомной конфигурации начинается с задания предполагаемых координат атомов. Меняя положение атомов, отыскивают конфигурацию, соответствующую минимуму потенциальной энергии. При этом решается система связанных уравнений движения для каждого атома d r (t) i = v (t), i (2.2) dt dv (t) i = F [r (t),...r (t);
v (t)], i 1 N i (2.3) dt M где r (t) - координата;
v (t) - скорость;
N - общее количество атомов;
M - масса i i атома. Сила F, действующая на i-й атом, является результирующей силой i взаимодействия этого атома с его соседями. Она определяется потенциалом многочастичного взаимодействия в системе, однако, если он неизвестен, используется потенциал парного взаимодействия между i-м атомом и всеми другими j-ми атомами:
(2.4) F = F.
i ij j Она зависит от положения всех атомов и от скорости i-го атома. Сила, действующая на i-й атом со стороны j-го атома, определяется потенциалом их парного взаимодействия ij :
d r ij ij F =, ij (2.5) dr r ij ij где r = r - r. Потенциал парного взаимодействия ij может быть задан в ij i j форме Ленарда-Джонса, Борна-Мейера, Томаса-Ферми, экранированного кулоновского потенциала или любой другой форме, адекватно описывающей особенности межатомного взаимодействия в моделируемой системе.
Решение системы уравнений (2.2), (2.3) с учетом (2.4) и (2.5) возможно только численным интегрированием. При этом следует учитывать следующие критические моменты:
1. Выбор метода интегрирования необходимо осуществлять с учетом размера моделируемой области, желаемой точности расчетов и вычислительной мощности используемого компьютера.
2. Выбор корректного описания для потенциала межатомного взаимодействия в конкретной моделируемой структуре важен для получения объективного результата.
3. Учет тепловых колебаний атомов позволяет оценить динамическую стабильность полученных равновесных атомных конфигураций.
4. "Сшивка" границ выделенного кристаллита с остальным объемом должна быть корректной. Для описания гетерофазных границ необходимо использовать периодические граничные условия.
Процедура динамической релаксации моделируемого ансамбля атомов контролируется действующими межатомными потенциалами и законами ньютоновской механики, что обеспечивает отыскание такого расположения атомов, которое соответствует состоянию с наименьшей потенциальной энергией.
В основе метода молекулярной механики лежит процедура статической релаксации. В этом методе анализируется полная потенциальная энергия системы, которая рассчитывается для ее различных атомных конфигураций.
Конфигурация с наименьшей потенциальной энергией считается равновесной.
Для анализа обычно выделяется часть исследуемой структуры кристаллит, если вычислительные возможности используемого компьютера не позволяют моделировать поведение структуры в целом. Атомы внутри кристаллита рассматриваются как взаимодействующие друг с другом частицы.
Между ними задается центральное парное взаимодействие, характеризуемое потенциалом ij. При этом учитываются соседи из ближайших координационных сфер.
Точность предсказания равновесной атомной конфигурации методом молекулярной механики во многом определяется интуицией и опытом исследователя, поскольку только выбор оптимального алгоритма изменения координат атомов позволит за разумное время компьютерных расчетов отыскать их расположение, характеризуемое глобальным (а не локальным) минимумом потенциальной энергии. Расчет потенциальной энергии может быть осуществлен как в рамках классической механики, так и с использованием квантово-механических расчетов полной энергии системы. При этом применение процедуры Монте-Карло делает результат статистически более надежным.
Одной из важнейших проблем практического применения методов молекулярной динамики и механики является ограничение на количество атомов в анализируемой структуре. Это ограничение связано с определенной вычислительной мощностью используемого компьютера. Анализ взаимодействия только одного атома со своими соседями в структуре, состоящей из N атомов, требует оценки N(N - 1)/2 парных взаимодействий.
Если для этого не применяется никакой специальный алгоритм, то время, необходимое для расчетов, пропорционально N2. Это не является большой проблемой для атомных кластеров (нуль-мерные структуры), включающих до нескольких тысяч атомов. Но в случае квантовых шнуров и квантовых пленок мощность используемого компьютера будет ограничивать максимальный размер структуры, для которой проводится моделирование.
Существуют приемы, позволяющие преодолевать указанные ограничения по размеру моделируемых структур. Один из них - использование периодических граничных условий. При этом из моделируемой структуры вырезается представительная область, а состояния на ее границах описываются периодическими граничными условиями. Это эквивалентно рассмотрению бесконечного пространства, заполненного идентичными копиями моделируемой области. Такая периодичность имеет два важных следствия. Во первых, любой атом, покидающий моделируемую область через границу, неизбежно входит в нее же с противоположной стороны. Во-вторых, атомы, расположенные на границе, взаимодействуют с атомами в соседней копии моделируемой области, что эквивалентно взаимодействию между атомами, находящимися у противоположных сторон самой моделируемой области - циклический эффект. Этот эффект необходимо учитывать при расчете взаимодействий и численном интегрировании уравнений движения.
Другой подход предполагает замену внешней пассивной области моделируемой структуры упругой средой с соответствующими интегральными свойствами. Деформация упругой среды и находящихся в ней атомов описывается сферически симметричным векторным полем r u = C, (2.6) r где C - параметр, характеризующий среду.
В таком приближении энергия кристаллита E складывается из следующих составляющих:
E = + aC + bC.
ij 2 i j (2.7) Член aC описывает работу против сил, удерживающих совершенную решетку в равновесии, а bC2 представляет собой энергию, запасенную упругим полем.
Член aC описывает работу против сил, удерживающих совершенную решетку в равновесии, а bC2 представляет собой энергию, запасенную упругим полем.
Параметры C, a и b отыскиваются из условия: результирующая сила F, действующая со стороны упругой среды на область внутри нее, должна быть равна нулю.
dE d r ik F = - = F ik - a - 2bC = 0.
(2.8) dC i k dC Индексы i и k относятся соответственно к атомам вне и внутри среды. После введения и описания внешней упругой среды к внутренней выделенной области можно применить процедуру динамической или статической релаксации.
Следует внимательно применять рассмотренные приемы, поскольку они не полностью исключают эффекты, связанные с конечными размерами моделируемой структуры.
Сравнивая процедуры динамической и статической релаксации, следует подчеркнуть, что динамическая модель дает возможность атомам практически сразу занимать позиции с наименьшей потенциальной энергией. Процедура же статической релаксации позволяет решить, какое взаимное расположение атомов имеет наименьшую энергию, а следовательно, является наиболее устойчивым, только вычислив энергии различных возможных метастабильных атомных конфигураций. Прогресс в использовании обоих подходов неразрывно связан с повышением вычислительной мощности используемых для этих целей компьютеров.
3. СТРУКТУРЫ С КВАНТОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ВНУТРЕННИМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ Донорные и акцепторные примеси в полупроводниках, так же как и гетеропереходы, образованные различными полупроводниками или полупроводником и диэлектриком, неизбежно индуцируют локальное перераспределение зарядов. Возникающее в результате этого внутреннее электрическое поле используют для создания потенциальных барьеров, ограничивающих распространение электронов в наноразмерных областях.
Поскольку для изготовления таких структур применяются специальные технологические приемы, данный подход может быть охарактеризован как УгеометрическоеФ формирование наноструктур. Среди структур с квантовым ограничением, создаваемым внутренним электрическим полем, наибольшее распространение получили квантовые колодцы, модуляционно-легированные структуры и дельта-легированные структуры.
3.1. Квантовые колодцы Структура, состоящая из полупроводников с различной шириной запрещенной зоны или полупроводника и диэлектрика, в которой наноразмерная область из материала с меньшей шириной запрещенной зоны находится между областями из материала с большей шириной запрещенной зоны, действует как квантовый колодец для подвижных носителей заряда.
Материал с меньшей шириной запрещенной зоны образует собственно колодец, а соседние области с большей запрещенной зоной создают потенциальные барьеры, играющие роль стенок для этого колодца. Повторение такой структуры в пространстве дает периодические квантовые колодцы.
Классическим примером твердотельных квантовых колодцев служат сверхрешетки, созданные из полупроводников с различными электронными свойствами. Однако свойствами квантовых колодцев обладают и наноструктуры из полупроводников, встроенных в диэлектрические матрицы даже при отсутствии согласования их кристаллических решеток. Пример таких структур - наноразмерные кластеры и слои кремния, встроенные в диоксид кремния.
Для построения энергетической диаграммы квантового колодца необходимо соответствующим образом соединить зоны проводимости и валентные зоны материала колодца и материала барьера. Алгоритм такого соединения дает правило Андерсона. В качестве критерия в нем используется такая характеристика материала, как сродство к электрону - энергия, необходимая для переноса электрона со дна зоны проводимости Ec в вакуум, где он может покинуть материал. Сродство к электрону практически не зависит от положения уровня Ферми, в отличие от работы выхода, которая отсчитывается от уровня Ферми и поэтому существенно зависит от уровня легирования материала. Рис. 3.1 показывает соединение зон на границе между узкозонным материалом A со сродством к электрону A и широкозонным материалом B со сродством к электрону B, полагая A > B.
A B vacuum level E A B conduction band EcB Рис. 3.1. Согласование Ec энергетических зон на границе EcA гетероперехода в соответствии с EgA правилом Андерсона EvA Ev EvB valence band Правило Андерсона устанавливает, что электронные состояния в вакууме для двух материалов, образующих гетеропереход, должны быть идентичными.
Это приводит к тому, что сдвиг между зонами проводимости должен быть равным Ec = EcB - EcA = A - B. Соответственно сдвиг между валентными зонами Ev может быть определен на основе приведенной диаграммы с учетом сродства к электрону и ширины запрещенной зоны в каждом материале. В табл. 3.1 приведены параметры некоторых полупроводников и диэлектриков, позволяющие конструировать зонные диаграммы образуемых ими гетеропереходов. При температурах выше абсолютного нуля рассогласование уровней Ферми в контактирующих материалах, если таковое имеет место, устраняется за счет перераспределения свободных носителей заряда вблизи границы раздела между областью колодца и областью, образующей барьер.
В общем случае энергетические границы зон проводимости и валентных зон материалов квантовых колодцев не совпадают. В зависимости от их взаимного расположения различают два основных типа периодических квантовых колодцев. Характерные энергетические соотношения для них показаны на рис. 3.2, где предполагается, что материал A имеет меньшую запрещенную зону, чем материал B.
Таблица 3. Ширина запрещенной зоны при комнатной температуре и сродство к электрону некоторых полупроводников и диэлектриков Материал Si Ge AlP AlAs AlSb GaP GaAs GaSb InP Eg, эВ 1,12 0,66 2,45 2,15 1,60 2,27 1,42 0,68 1,, эВ 4,05 4,13 3,44 3,51 3,65 3,08 4,07 4,06 4, Материал InAs InSb ZnS ZnSe ZnTe CdS CdSe CdTe Eg, эВ 0,35 0,18 3,58 2,67 2,26 2,42 1,7 1,, эВ 4,92 4,59 3,9 4,09 3,5 4,5 4,95 4, Материал AlN GaN InN SiO2 CaF2 Si3N4 Al2O Eg, эВ 6,2 3,42 1,9 8,8 12,2 ~5 ~, эВ 0.6 1.1 1. В периодических квантовых колодцах типа I дно зоны проводимости в области широкозонного полупроводника располагается энергетически выше дна зоны проводимости узкозонного полупроводника. Для потолка валентной зоны эти соотношения обратны, т. е. потолок валентной зоны широкозонного полупроводника лежит ниже потолка валентной зоны узкозонного полупроводника. Такие энергетические соотношения приводят к тому, что и электроны и дырки локализуются и испытывают квантовое ограничение геометрически в одной и той же области, а именно в области узкозонного полупроводника, т. е. в колодце. Такую структуру можно назвать пространственно прямозонной.
Тип II периодических квантовых колодцев отличается от типа I тем, что при таких же энергетических соотношениях для дна зоны проводимости потолок валентной зоны в области широкозонного полупроводника находится выше потолка валентной зоны в узкозонном полупроводнике. Это приводит к тому, что электроны и дырки пространственно локализуются и испытывают квантовое ограничение в разных областях. Такой тип структур является пространственно непрямозонным.
A BB A A Ec I EgB EgA Ev Ec EgB IIA EgA Ev EgB Ec IIB Ev EgA Рис. 3.2. Характер энергетических зон в квантовых колодцах, образованных узкозонным материалом A и широкозонным материалом B В типе II выделяют также специфический случай, относящийся к узкозонным полупроводникам и полуметаллам. На рис.3.2 он обозначен как тип IIB. Для него характерно наличие очень малого энергетического зазора между уровнем дырок и уровнем электронов в соседних областях. Упоминается также и тип III квантовых колодцев, который образуется обычными полупроводниками и бесщелевыми полупроводниками. Однако это достаточно редкий для практики случай.
Квантовые колодцы являются одним из наиболее важных элементов большинства наноэлектронных и оптоэлектронных приборов.
3.2. Модуляционно-легированные структуры Традиционный путь создания в полупроводниках областей с требуемым типом основных носителей заряда (электроны или дырки) предполагает легирование этих областей донорными или акцепторными примесями. Когда при температуре выше абсолютного нуля электроны или дырки покидают примесные атомы, они оставляют их в ионизированном состоянии. При этом по мере увеличения концентрации образующихся свободных носителей заряда их подвижность снижается из-за усиления рассеяния носителей заряда на ионизированной примеси за счет кулоновского взаимодействия. Так, необходимость высокой концентрации подвижных носителей заряда вступает в противоречие с возможностью обеспечить их высокую подвижность, хотя высокочастотные полупроводниковые приборы требуют высоких концентраций носителей заряда с максимально возможной подвижностью.
Эта проблема решается в модуляционно-легированных структурах, в которых область полупроводника, где генерируются носители заряда, и область, где осуществляется их перенос, пространственно разделены. Для этого используются гетероструктуры, образованные полупроводниками с различной шириной запрещенной зоны. Электронные процессы в модуляционно легированной структуре иллюстрируют энергетические диаграммы, приведенные на рис. 3.3.
material B material A EF Ec E EF x unstable configuration material B material A 2DEG Ec EF E EF E x thermal equilibrium Рис. 3.3. Характер зоны проводимости в окрестности гетероперехода, образованного полупроводником A с малой шириной запрещенной зоны и полупроводником B с большой шириной запрещенной зоны В модуляционно-легированной структуре донорная примесь обычно вводится в полупроводник с большей шириной запрещенной зоны. Структура сохраняет свою электрическую нейтральность до тех пор, пока электроны находятся у своих донорных атомов. Как только они покидают донорные атомы (вследствие тепловой активации при T > 0 K), они пересекают границу раздела и скатываются в соседнюю область - область с более низкой потенциальной энергией. Там они теряют свою энергию и оказываются захваченными в приграничной области, поскольку не имеют возможности преодолеть потенциальный барьер Ec и вернуться обратно. Так электроны оказываются пространственно отделенными от сильнолегированной донорной примесью области полупроводника, где они были произведены. Скатившиеся в потенциальную яму электроны индуцируют электростатический потенциал, толкающий их обратно. В результате у границы гетероперехода для них образуется квантовый колодец с примерно треугольным пространственным профилем распределения потенциала. Ширина этого колодца порядка нескольких нанометров. Энергетические уровни в нем для поперечного движения электронов (вдоль x) оказываются квантованными, так же как это имеет место в прямоугольных квантовых колодцах. Заняты только нижние энергетические уровни. Однако электроны на этих уровнях сохраняют свободу для движения в двух других направлениях, т. е. в плоскости, параллельной плоскости гетероперехода. Так, в слаболегированном узкозонном полупроводнике у границы гетероперехода образуется двумерный электронный газ.
Гетероструктура, созданная как сверхрешетка из n-AlGaAs (материал с большей шириной запрещенной зоны) и нелегированного GaAs, представляет классический пример модуляционно-легированной структуры. Подвижность электронов в ней увеличена на несколько порядков и при низких температурах достигает 2x107 см2В-1с-1, что является рекордом для GaAs. Между тем слоевая концентрация электронов в двумерном электронном газе остается не очень высокой - менее 5x1011 см-2.
Модуляционное легирование дает два важных преимущества. Во-первых, электроны оказываются отделенными от донорных атомов, что снижает их рассеяние ионизированной примесью. Во-вторых, у границы гетероперехода образуется двумерный электронный газ.
3.3. Дельта-легированные структуры Полупроводниковую структуру с существенно неравномерным профилем распределения примеси, характеризуемым локализацией примесных атомов в очень тонком внутреннем слое, идеально в пределах одного монослоя, называют дельта-легированной (-легированной) структурой.
Энергетическая диаграмма такой структуры представлена на рис. 3.4.
conduction band 2DEG E Рис. 3.4. Энергетические зоны EF E в дельта-легированной Ni полупроводниковой структуре E valence band x Носители заряда в сильнолегированной области вследствие сильного кулоновского взаимодействия с порождающими их атомами примеси ограничены в движении. Они не уходят далеко от области локализации примеси. Электрическое поле ионизированных примесных атомов экранируется полем произведенных свободных носителей заряда. Для подвижных носителей заряда образуется V-образный квантовый колодец с пространственным распределением потенциала, описываемым выражением - -1 / 4 me 15 2 2 x 2 U (x) = N a +, i B* (1.29) 2 15 a 8 B* где e - заряд электрона, - диэлектрическая проницаемость материала, Ni - слоевая концентрация примеси, aB* = 2 / me2 - эффективный боровский радиус.
Энергетические состояния в колодце квантуются в соответствии с закономерностями, контролируемыми эффектом квантового ограничения. Они содержат высокую плотность электронов, занимающих двумерные подзоны.
Одним из примеров дельта-легированных структур является структура, содержащая моноатомный слой кремния, нанесенного на монокристаллический GaAs и затем накрытый эпитаксиальным слоем GaAs. Донорные атомы кремния хотя и перераспределяются вследствие диффузии, но остаются в окрестности исходного моноатомного слоя. Область квантового ограничения для электронов простирается до 10 нм. Слоевая концентрация электронов в образовавшемся двумерном электронном газе достигает высоких значений - вплоть до 1014 см-2, но за счет уменьшения их подвижности.
Структуры с периодическим расположением дельта-легированных слоев с n-типом и p-типом проводимости в собственном материале известны как n-i-p-i структуры. Когда концентрация доноров в n-слое равна концентрации акцепторов в p-слое, свободные носители заряда не имеют возможности двигаться в равновесных условиях. Неравновесные же носители заряда, генерируемые, например, светом, оказываются разделенными встроенным внутренним полем. Их заряд изменяет энергетическую зонную диаграмму точно так же, как это происходит и в случае равновесных носителей заряда.
Такой же эффект достигается приложением внешнего смещения к n- и p-слоям.
Все это дает возможность эффективного управления энергетической диаграммой структуры, что важно для определенных приборных применений.
4. СТРУКТУРЫ С КВАНТОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ Электрическое смещение полупроводниковых структур внешним потенциалом, приложенным через металлический затвор, широко используется для управления потенциальными барьерами на границах металл/полупроводник и полупроводник/диэлектрик. Соответствующий выбор полярности внешнего потенциала позволяет формировать в полупроводнике области, обогащенные или обедненные носителями заряда у этих границ. Размер таких областей строго зависит от величины приложенного напряжения. Электроны или дырки в них могут испытывать квантовое ограничение. Эти структуры по сути являются электростатически индуцированными наноразмерными структурами.
Их примеры рассмотрены в данном разделе.
4.1. Структуры металл/диэлектрик/полупроводник Движение электронов в одном направлении может быть легко ограничено в обычных структурах метал/окисел/полупроводник (МОП) полевого транзистора, как это показано на рис. 4.1. Кремниевый полевой транзистор наилучшим образом подходит для этого.
2DEG gate E E F y source drain E SiO E n+ n+ F L Si-p E substrate x 2DEG semiconductor oxide metal x (Si) (SiO ) Рис. 4.1. Структура полевого транзистора металл/окисел/полупроводник и его энергетическая диаграмма, иллюстрирующая образование двумерного электронного газа в нем В МОП-структуре монокристаллическая кремниевая подложка р-типа проводимости, слой SiO2 на ней и верхний металлический электрод, называемый затвором, образуют параллельные обкладки конденсатора.
Положительное смещение, приложенное к затвору, отделенному от полупроводника диэлектрическим слоем, притягивает электроны, обедняя таким образом приграничный слой полупроводника дырками.
По мере увеличения внешнего приложенного напряжения образуется тонкий инверсионный слой, обогащенный электронами, что приводит к искривлению энергетических зон в области полупроводника, граничащей с диэлектриком. Инверсионный слой действует как квантовый колодец для электронов. Потенциальные стенки этого колодца с одной стороны образованы границей диэлектрик/полупроводник, а с другой стороны - электрическим полем, прижимающим электроны к этой границе. Ввиду малой ширины колодца в нем формируется двумерный электронный газ. Поскольку общий индуцированный заряд определяется величиной напряжения на затворе, количество электронов в двумерном газе легко регулируется внешним приложенным напряжением. В кремнии слоевая концентрация ограниченных таким образом электронов достигает 1013 см-2, а их подвижность находится в пределах 103 - 104 см2В-1с-1.
Следует отметить две важных особенности двумерного электронного газа, формируемого в МОП-структурах полевого транзистора. Во-первых, ширина образующегося квантового колодца зависит от величины приложенного напряжения;
как следствие, и энергетический зазор между квантованными уровнями в нем определяется этим же напряжением. Во-вторых, только один тип носителей заряд может быть подвержен эффекту квантового ограничения.
В рассмотренном примере это были электроны. Для другого типа носителей заряда потенциальный барьер отсутствует, и их энергетический спектр остается неизменным.
4.2. Структуры с расщепленным затвором Электростатический подход применяют также и для того, чтобы УвырезатьФ квантовые шнуры и квантовые точки из двумерного электронного газа, образуемого, например, модуляционным легированием и дельта-легированием. Для этого используют структуры с расщепленным затвором. Принцип их действия схематически показан на рис. 4.2.
split gate electrodes Vg 1D or 0D 2DEG Рис. 4.2. Структура с расщепленным электродом, обеспечивающая формирование одномерных и нуль-мерных элементов в скрытом слое двумерного электронного газа Металлические электроды затвора наносят на поверхность полупроводника со скрытым слоем двумерного электронного газа. При приложении к ним внешнего отрицательного смещения нижележащая область полупроводника обедняется электронами вследствие эффекта Шотки.
Свободные электроны остаются только в узкой не маскированной верхними затворами области.
Увеличение обратного смещения приводит к расширению обедненной электронами области в окрестности расщепленных электродов, что дает возможность управления геометрией индуцированной таким образом низкоразмерной структуры в пределах одного и того же прибора. Конструируя соответствующим образом расщепленные электроды, можно сформировать одномерные (полосковыми электродами) или нуль-мерные (кольцевыми электродами) структуры. Применение расщепленных электродов наиболее эффективно на модуляционно-легированных структурах и менее эффективно на дельта-легированных образцах. Это связано с тем, что для обеднения областей, имеющих высокую слоевую концентрацию электронов, а именно выше 1013 см-2, необходимо прикладывать напряжения, которые превышают пробивные напряжения барьера Шотки на границе металл/полупроводник.
ЛИТЕРАТУРА 1. Yu P. Y., Cardona M. Fundamentals of Semiconductors. Berlin: Springer, 1996.
2. Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures. Les Ulis: Les Editions de Physique, 1996.
3. Franciosi A., Van de Walle C. G. Heterojunction band offset engineering // Surf. Sci. Rep.1996, 25(1-4), 1-140.
4. Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. New York: Oxford University Press, 1997.
5. Shik A. Quantum wells: Physics and Electronics of two-dimensional systems.
Singapore: World Scientific, 1997.
6. Davies J. H. The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
7. Torrens I. M. Interatomic Potentials. New York: Academic Press, 1972.
8. Rapaport D. C. The Art of Molecular Dynamics Simulation Cambridge:
Cambridge University Press, 1995.
9. Frenkel D., Smit B. Understanding Molecular Simulation. San Diego:
Academic Press, 1996.
10. Ferry D. K., Goodnick S. M. Transport in Nanostructures. Cambridge:
Cambridge University Press, 1997.
11. Harrison P. Quantum Wells, Wires and Dots: Theoretical and Computational Physics. Chichester: John Wiley & Sons, 2000.
СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Фундаментальные явления 1.1. Квантовое ограничение 1.2. Баллистический транспорт 1.3. Туннелирование 1.4. Спиновые эффекты 2. Элементы низкоразмерных структур 2.1. Свободная поверхность и межфазные границы 2.2. Сверхрешетки 2.3. Моделирование атомных конфигураций 3. Структуры с квантовым ограничением внутренним электрическим полем 3.1. Квантовые колодцы 3.2. Модуляционно-легированные структуры 3.3. Дельта-легированные структуры 4. Структуры с квантовым ограничением внешним электрическим полем 4.1. Структуры металл/диэлектрик/полупроводник 4.2. Структуры с расщепленным затвором Литература Св. план 2002, поз. У ч е б н о е и з д а н и е Борисенко Виктор Евгеньевич УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу УНаноэлектроникаФ для студентов специальности УМикроэлектроникаФ В 3-х частях Часть ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ Редактор Т. А. Лейко Корректор Е. Н. Батурчик Подписано в печать Формат 60х84 1/16.
Бумага Печать Усл.печ.л.
Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ Издатель и полиграфическое исполнение:
Учреждение образования УБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиФ Лицензия ЛП N 156 от 05.02.2001.
Лицензия ЛП N 509 от 03.08.2001.
220013 Минск, П. Бровки 6.
Книги, научные публикации