Книги, научные публикации
Экономические Математические и инструментальные 9(58) 345 науки методы экономики 2009 Выбор инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих альтернатив й 2009 О.В. Павлов Самарский
государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева Выбор инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих альтернатив рассматрива ется как задача оптимального управления дискретной системой. С использованием дискретного принципа максимума Понтрягина найдена структура оптимального управления. На основе по лученного решения предложен численный алгоритм выбора инвестиционного проекта. Сфор мулированы условия для выбора наилучшего проекта.
Ключевые слова: выбор инвестиционного проекта, взаимоисключающие альтернативы, дискрет ный принцип максимума Понтрягина, условия выбора инвестиционного проекта.
где ni горизонт планирования i го проекта, изме 1. Постановка задачи выбора ряемый количеством периодов.
инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих альтернатив На управление инвестициями i го проекта Рассматривается задача выбора наилучшего наложено ограничение:
по критерию максимального приведенного до 0 it 1, t = 0, ni. (3) хода инвестиционного проекта из m взаимоиск Так как проекты взаимоисключающие, дол лючающих альтернатив, имеющих разный гори жно выполняться еще одно ограничение:
зонт планирования ni. Для решения задачи вы m бора инвестиционного проекта применяется тео it 1, t = 0, n.
рия оптимального управления дискретными про (4) i = цессами1.
Выражение для чистого приведенного дохо Инвестирование всех проектов начинается в да предприятия в результате принятия одного период t = 0. Для решения задачи достаточно из проектов определится:
найти оптимальное управление инвестициями в начальный период t=0, так как имеется возмож n m FCFit ность осуществления только одного проекта.
NPV = (5) (1 + ri )t, t =0 i = Динамика изменения основных средств FAit где FCFit свободный денежный поток i го инвести i го проекта описывается системой дискретных ционного проекта (Free Cash Flow) в периоде t;
уравнений:
ri ставка дисконтирования для i го проекта, it INVit учитывающая различную степень риска инвес FAit 1 - kit +, если t = 0, ni i = 1, m, ( ) FAit +1 = 1 +it тиций.
0, если t > ni (1) Предполагается, что все инвестиционные где it процент от финансового ресурса предпри проекты осуществляются за счет финансовых ресурсов предприятия. Экономическая эффектив ятия INVit, необходимый для капиталовложения ность проектов оценивается в целом, и схема в i й проект.
финансирования не учитывается. Рассматрива Если весь финансовый ресурс INVit инвес ются денежные потоки от операционной (про тируется в i й проект в период t, то it = 1, если изводственной) и инвестиционной деятельнос ти2. Количество производимой продукции пред не инвестируется, то it = 0.
приятием равно прогнозируемому объему про Заданы начальные условия для каждого ин даж. Рассматриваются рынки сбыта, на которых вестиционного проекта:
См.: Брейли Р., Майерс С. Принципы корпора (2) FAi 0 = 0, i = 1, m.
тивных финансов. М., 1997;
Бирман Г., Шмидт С. Капи Максимальный горизонт планирования оп таловложения: Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 2003;
Бригхем Ю., Гасперски Л. Финансо ределится:
вый менеджмент: Полный курс: В 2 т. СПб., 1998;
Хел n = max(n1,Kni K, nm ), ферт Э. Техника финансового анализа. СПб., 2003;
Ви См.: Болтянский В.Г. Оптимальное управление ленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффек дискретными системами. М., 1973;
Лагоша Б.А. Опти тивности инвестиционных проектов: Теория и практика:
мальное управление в экономике. М., 2003. Учеб. пособие. М., 2004.
n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 9(58) науки методы экономики где Cit себестоимость продукции (затраты на еди объемы продаж не уменьшаются. Считается, что ницу продукции), рассчитывается по формуле денежный поток, генерируемый инвестиционным проектом, имеет место в конце периода, т.е. яв wit ляется постнумерандо. Cit = Cmit + (1 + w ).
(15) lit Свободный денежный поток i го инвести ционного проекта FCFit в конце периода t опре Налог на прибыль вычисляется:
деляется как разница денежных потоков от опе PTit = c REVit - NOCit - DEPit, ( ) (16) рационной деятельности (Operating Cash Flow) где c ставка налога на прибыль;
OCFit и инвестиционной (Investment Cash Flow) DEPit амортизационные начисления ICFit:
(Depreciation).
FCFit = OCFit - ICFit, t = 0, ni.
(6) Для расчета износа основных средств (вне Денежный поток от операционной деятель оборотных активов) предприятия (Fixed Assets) ности рассчитывается (здесь и далее предполага FAt используется метод равномерного начисле ется t=0,ni;
i=1,m):
ния амортизации:
(7) OCFit = REVit - NOCit - PTit, DEPit = FAit, (17) где REVi выручка (Revenue) от реализации произве где норма амортизации;
денной продукции;
FAit стоимость основных средств предприятия NOCi чистые операционные издержки (Net в начале периода t до новых капиталовложений.
Operating Costs);
Процесс производственной деятельности PTi налог на прибыль (Profit Tax).
i го проекта описывается производственной фун Выручка i го проекта определяется:
кцией Леонтьева REVit = PitQit, (8) PitQit = fi FAit, (18) где Pit цена продукции;
где PitQit стоимость прогнозируемого объема про Qit прогноз объема продаж продукции.
даж продукции (выручка) i го проекта;
Чистые операционные издержки включают:
fi фондоотдача основных средств, характеризу материальные затраты (Material Costs) MCit, за ющая производственный процесс i го проекта.
работную плату (Wages and Salary) WSit, начис Подставим формулы (8) (14) и (16) (18) ления на заработную плату (Wages Charges) WCit:
в выражение для денежного потока от операци онной деятельности (7) i го инвестиционного NOCit = MCit +WSit +WCit.
(9) проекта:
Материальные затраты i го инвестиционно го проекта рассчитываются:
Pit - Cit OCFit = 1 - c fi + c FAit.
( )Pit MCit = СmitQit, (10) где Cmit материальные затраты на единицу продукции.
Выражение в скобках является рентабельно Фонд заработной платы определяется:
стью основных средств (внеоборотных активов) WSit = wit Lit, (11) i го инвестиционного проекта в форме денеж ного потока (cash flow Return On Fixed Assets) где wit средняя ставка заработной платы персонала;
Lit численность производственного персонала. ROFAit или CFROFAit, введенное в3:
Численность персонала рассчитывается по Pit - Cit ROFAit = 1 - c fi + c. (19) ( )Pit формуле Qit С учетом (19) операционный денежный по Lit =, (12) lit ток запишется:
где lit норматив выпуска продукции средним ра (20) OCFit = ROFAit FAit.
ботником за период t.
Инвестиционный денежный поток ICFit рас Начисления на заработную плату определя ходуется на капиталовложения в основные сред ются:
ства INVit и изменение оборотного капитала WCit = wWSit, NWCt :
(13) Павлов О.В. Аналитическое решение задачи опти где w ставка единого социального налога.
мального управления инвестициями предприятия в дис Подставим (12) в (11), а (10), (11), (13) в кретной постановке // Экон. науки. 2009. № 8(57).
(9), получим формулу для чистых операцион См.: Брейли Р., Майерс С. Указ. соч.;
Бирман Г., Шмидт С. Указ. соч.;
Бригхем Ю., Гасперски Л. Указ. соч.;
ных издержек в следующем виде:
Хелферт Э. Указ. соч.;
Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смо (14) NOCit = QitCit, ляк С.А. Указ. соч.
n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 9(58) науки методы экономики (21) ICFit = it INVit + NWCit, m Согласно рекомендациям5, чистый оборот H = it it t it + - 1 + it INV + (1 + ri )t ный капитал (Net Working Capital) может быть i = рассчитан как процент от выручки:
NWCit = it REVit. (ROFA + it kit )FAit it, + it +1FAit (1 - kit )+ Процент it характеризует эффективность (1 + ri )t управления оборотным капиталом i го проекта в t = 0, n.
периоде t. Изменение потребности в финанси Гамильтониан линейно зависит от управле ровании оборотного капитала возникает при из менении объемов продаж:
ния t.
В соответствии с принципом максимума в NWCit = it REVit +1 - REVit.
( ) каждой точке оптимальной траектории функция С учетом (8) и (18) изменение оборотного Гамильтона Ht достигает максимума относитель капитала определится:
но управления. Из условия максимума гамиль (22) NWCit = it fi FAit +1 - FAit = it FAit.
( ) тониана найдем оптимальное управление в на чальный период t = 0, определяющее выбор наи Экономическим смыслом коэффициента it лучшего i го проекта:
является количество денежных средств, инвес тируемое в оборотный капитал i го проекта в 1, если R = max Ri j i период t при увеличении стоимости основных iopt = i = 1, m, j 0 средств i го проекта на одну денежную единицу. 0, если R max Ri i (27) Изменение основных средств определится из где значение Ri0 определяется:
системы (1):
(28) Ri 0 = [i1 - (1 + i 0 )]INV.
i (23) FAit = it INVit - kit FAit, t = 0, ni.
Таким образом, наилучшим проектом будет Подставим (23) в формулу (22):
проект, у которого максимальное значение Ri0.
(24) NWC = it (it INV - kit FAit ).
it it Сопряженная система запишется:
С учетом (24) инвестиционный денежный H t поток (21) запишется:
it = = FAi (25) ICF = it INV (1 + it )- it kit FAit.
it Выражение для чистого приведенного дохо ROFA + it kit it да инвестиционного проекта (5) с учетом (6), (1 - kit )it +1 +, если t = ni, (20) и (25) примет вид: = (1 + ri )t 0, n m если t > ni it it NPV =.
(ROFA + it kit )FAit - it INV (1 + it ) (1 + ri )t t = 0 i = (26) i = 1, m.
(29) Сформулируем задачу оптимального управ Для сопряженных переменных на правом кон ления: зная начальное состояние основных це должно выполняться условие трансверсальности:
средств для каждого инвестиционного проекта ini +1 = 0, i = 1, m. (30) (2), необходимо выбрать такое допустимое уп Сформулируем численный алгоритм выбора равление инвестициями (3) (4) в начальный пе наилучшего инвестиционного проекта из m взаи риод t = 0 для дискретной системы (1), чтобы моисключающих альтернатив в начальный период:
чистый приведенный доход (26) принял макси 1) подготавливаются исходные данные для мальное значение.
m проектов: прогнозируемые цены и объем про даж продукции, удельные материальные затра 2. Решение задачи выбора ты, количество и средняя зарплата сотрудников инвестиционного проекта из нескольких для периодов t = 0, ni;
взаимоисключающих альтернатив 2) рассчитывается по формуле (10) себесто Применим для решения задачи дискретный имость продукции Сit каждого i го проекта для принцип максимума Понтрягина6. Запишем га периодов t = 0, ni;
мильтониан:
5 3) рассчитывается по формуле (19) рента Брейли Р., Майерс С. Указ. соч.
См.: Болтянский В.Г. Указ. соч.;
Лагоша Б.А. Указ. бельность основных средств ROFAit каждого i го соч.
проекта, t = 0, ni;
n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 9(58) науки методы экономики 4) рассчитываются по формуле (29) сопря В случае, если все проекты требуют одина кового количества финансовых ресурсов:
женные переменные it +1 для каждого i го про INV = INV = INV = INV, екта, для периодов t= ni, 1;
10 20 i 0 5) вычисляются по формуле (28) значения не учитывается выбытие основных средств ki = 0, Ri0 для каждого i го проекта;
изменение оборотного капитала i = 0, перемен 6) выбирается по формуле (27) наилучший ные Ri0 вычисляются:
проект с максимальным значением Ri0.
В частном случае, когда для i го инвестици 1 ROFA i 1 Ri 0 = - 1INV = онного проекта рентабельность основных средств, ri i ri (1 + ri )n коэффициент выбытия основных средств, коэф фициент изменения оборотного капитала явля = [ROFA B(ni,ri ) - 1]INV, (32) i ются постоянными: ROFAit=ROFAi=const, kit = где B(ni,ri) коэффициент аннуитета.
= ki = const, it = i = const, возможно аналити В данном случае максимум Ri0 достигается ческое решение дискретной задачи. В нашей ра при максимизации произведения рентабельнос боте7 получено аналитическое выражение для со ти основных средств ROFAi и коэффициента ан пряженной переменной:
(31) i i ROFA + i ki (1 + ri )n -t - (1 - ki )n -t нуитета B(ni,ri).
i it +1 =. У наилучшего проекта произведение рента ri + ki i (1 + ri )n бельности основных средств на коэффициент аннуитета будет максимальное. При рассмотре С учетом формулы (31) значение Ri0 опреде нии проектов с бесконечным горизонтом плани лится:
рования у наилучшего проекта произведение рен ni ROFA + i ki 1 - ki табельности основных средств и ставки дискон i 1 - Ri 0 = тирования будет максимальное. Из формулы (32) ri + ki 1 + ri следует, что в случае равенства горизонтов пла нирования ni=n и рисков проектов ri=r наилуч шим будет проект с максимальной рентабельно стью основных средств ROFAi.
- (1 + i )INV.
i Поступила в редакцию 06.08.2009 г.
Павлов О.В. Указ. соч.
n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!
m w o w c.
.
d k o c c a r u t
Книги, научные публикации