Книги, научные публикации
273 Математические и инструментальные методы в экономике и праве. Информационное право МОНИТОРИНГ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН НА БЕНЗИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО й 2011 Е.В. Семенычев
кандидат экономических наук, доцент й 2011 Е.И. Куркин, П.А. Молостова Самарская академия государственного и муниципального управления E-mail: semen05 eugene.kurkin milenium-love Предложен метод моделирования временных рядов динамики с полиномиальным трендом и адди тивно-мультипликативной колебательной компонентой на коротких выборках с использованием мо делей авторегрессии - скользящего среднего и метода Упараметрической итерационной декомпози цииФ. Рассмотрены примеры моделирования показателей макро- и мезоуровня как российской, так и зарубежной статистики - динамики изменения средних потребительских цен на бензин.
Ключевые слова: временной ряд, авторегрессия скользящего среднего, параметрическая итерацион ная декомпозиция, цены на бензин.
При анализе динамики современных эконо- - аддитивная колебательная компонента;
мических показателей известные методы модели- - стохастическая компонента, которую обычно считают отвечающей условиям Гаусса-Маркова рования и прогнозирования не обеспечивают дос (центрированности, гомоскедастичности, отсут таточно высокой точности, учитывая возможность ствия автокорреляции и нормального закона рас вхождения в структуру ряда, кроме тренда, лишь пределения) для обеспечения оптимальных (несме одной-двух аддитивных гармонических колеба щенных, эффективных и состоятельных) оценок тельных компонент. Для идентификации подоб параметров при применении сглаживания методом ных моделей известными методами с удовлетво наименьших квадратов (МНК), k = 1,..., N-наблю рительной точностью требуются довольно боль дения;
шие выборки: от 40 до 120 наблюдений1, что де N - объем анализируемой выборки.
лает невозможным мониторинг эволюции пара Рассматриваемый вид пропорционального метров, видов и структур взаимодействия компо мультипликативного взаимодействия является ча нент модели внутри интервала наблюдения. Тако стным, но, как показала экономическая практи го объема выборки порой просто не бывает для ка, наиболее распространенным: чаще всего ам УмолодыхФ экономических процессов и явлений.
плитуда колебаний пропорциональна тренду.
Актуален такой анализ при принятии управ Полиномиальный тренд в (1), по сути, явля ленческих и маркетинговых решений для рядов ется разложением нелинейности общего вида в динамики потребительских цен на бензин, кото ряд Тейлора, ограниченный членом NT:
рые содержат нелинейный тренд и колебатель ную компоненту.
(2) Для решения данной проблемы рассмотрим Моделирование динамики на относительно модель в виде нелинейного полиномиального трен небольших выборках реализуем посредством да, а колебательную компоненту будем описывать обобщенных параметрических моделей авторег не только аддитивными (независимыми от тренда), рессии - скользящего среднего (ARMA-моделей)2.
но и пропорционально-мультипликативными (зави симыми от уровней тренда) гармониками:
Параметры входят в (2) линей (1) но, поэтому их поиск легко реализует МНК.
где - тренд;
Колебательные компоненты опишем следу - мультипликативная колебательная компо- ющим набором гармоник и с частотами нента, ;
и и амплитудами, Вопросы экономики и права. 2011. № q Q - сумма степеней переменных, r. Здесь k (3) стохастическая компонента, образованная линей ной формой из k,k 1,...,k NMaxRegr, автокорреля (4) цию которой компенсируют указанным выше про реживанием для получения близких к оптималь При идентификации модели (1) используем q,r ным МНК-оценок параметров (затем расче метод Упараметрической итерационной декомпо q,r зицииФ тренд-колебательной компоненты3, в со- та через них гармоник колебательных ком ответствии с которым на первой итерации осу- понент).
ществляется параметрическая идентификация Уравнение (6) - полином относительно сте тренда, затем выделяется колебательная компо q,r пеней, поэтому в соответствующие МНК нента, осуществляется ее параметрическая иден системы нормальных уравнений входят полино тификация и т.д., т.е. идентифицируются парамет q,r миальные уравнения относительно. В слу ры следующей модели:
q,r чае кратных частот переменные могут быть выражены алгебраически через косинус основ ной частоты 1, а система алгебраических урав нений МНК будет сведена к одному полиноми альному уравнению, нахождение корней которо. (5) го общеизвестно.
Второй этап идентификации модели колеба тельной компоненты заключается в идентифика Определить частоты колебательной компо ции амплитуд соответствующих гармоник ненты (5) помогает соответствующая ей ARMA Aq, Bq, Er, Fr. Зная оценки и, идентифи Dj q, r модель, имеющая вид кацию амплитуд Aq, Bq, Er, Fr входящих в модель NT, m1,m2,...,mNM, p1, p2,..., pN A колебательной компоненты линейно, можно про p1, p2,..., pNA 0 m1,m2,...,mNM вести с помощью МНК.
NM N A mq pr В качестве примера применения модели (1) k 0, q r q 1 r1 и предложенного метода идентификации рас смотрим еженедельную динамику изменения средних потребительских цен на бензин (руб./л) m1,m2,...,mNM, p1, p2,..., pN A на территории Краснодарского края за период с NM Q 1 mq 15 июня 2010 г. по 21 марта 2011 г.
1 2Q CNT q 1 Для идентификации модели (5) используем программу УZ_identФ4. При выборе модели (оп 1 NMaxRegr Q 2 l S ределении степени и параметров полинома, ко (6) C Y Q 2l, k NMaxRegr NMaxRegr Q l личества аддитивных и мультипликативных ко лебательных компонент, параметров их ампли туд, кратности их частот) используем метод пе NM N A ребора. Критерием выбора модели будут слу где Q pr ;
mq q 1 r жить получаемые оценки точности моделирова ния (коэффициента детерминации) и прогнози NMaxRegr 2 NT 1 NM NA ;
рования (MAPE - оценки ошибки прогноза), со Ci - биномиальные коэффициенты, искомые коэф- ответственно5.
j Результаты описания динамики изменения q cos q, фициенты r cos ;
r средних потребительских цен на бензин моделью (5) представлены на рис. 1.
NMaxRegr - порядок ARMA-модели;
Математические и инструментальные методы в экономике и праве. Информационное право Рис. 1. Полиномиальная модель с аддитивно-мультипликативными колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин а) б) Рис. 2. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивно-мультипликативными колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин:
а) период с 15 июня 2010 г. по 25 октября 2010 г.;
б) период с 1ноября 2010 г. по 21 марта 2011 г.
Вопросы экономики и права. 2011. № Наиболее точная модель состоит из полино- колебательной компоненты, изменилась крат ма 3-й степени, 2 гармоник аддитивной колеба- ность частот.
тельной компоненты и 1 гармоники мультипли- Точность моделирования и прогнозирования кативной колебательной компоненты, коэффици- на выделенных отрезках повысилась по сравне ент детерминации которой равен 0,98266. MAPE - нию с соответствующими характеристиками на оценка ошибки прогноза - оказалась при этом всей выборке: коэффициент детерминации увели равной 1,22 %. чился с 0,98266 на всей выборке до 0,98687 на Попытаемся увеличить точность моделиро- первом отрезке и до 0,98911 - на втором, а MAPE вания и прогнозирования за счет учета эволюции оценка также улучшила свои значения с 1,22 % до модели. Визуально определяя точку структурной 0,58 % на первом отрезке и до 1,19 % - на втором.
эволюции, в нашем случае - 20-я неделя (из 40) Модель (5) может быть успешно использо исследуемой выборки, составим модели для каж- вана и для динамики показателей макроуровня, дого из двух выделенных отрезков интервала на- например, еженедельных изменений цен на бен блюдения. зин на территории РФ за период с 15 июня 2010 г.
На рис. 2 видно, что в наиболее точной мо- по 21 марта 2011 г. (руб./л) (рис. 3).
дели, после точки структурной эволюции, пони- Наиболее точная модель, описывающая весь зилась степень полинома с 3-й до 2-й, а также интервал наблюдения, имеет вид полинома 1-й увеличилось количество гармоник аддитивной степени с 2 аддитивными и 1 мультипликатив Рис. 3. Полиномиальная модель с аддитивно-мультипликативными колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории РФ а) Рис. 4. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории РФ (начало):
а) период с 15 июня 2010 г. по 25 октября 2010 г.
Математические и инструментальные методы в экономике и праве. Информационное право б) Рис. 4. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории РФ (окончание):
б) период с 1 ноября 2010 г. по 21 марта 2011 г.
ной гармониками. Вновь находим точку струк- степени, изменяя при этом лишь кратности час турной эволюции (рис. 4). Анализируя первый тот тех же гармоник.
отрезок, видим, что модели соответствует поли- Можно заключить, что разбиение интервала ном 1-й степени с 1 аддитивной и 2 мультипли- наблюдения и идентификация 2 моделей оправда кативными гармониками, на 2-м отрезке модель ло себя за счет значительного увеличения точнос эволюционирует и принимает вид полинома 2-й ти моделирования и прогнозирования (табл. 1).
Таблица Оценки моделирования и прогнозирования полиномиальными моделями с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории РФ Период 15.06.2010 г. - 15.06.2010 г. - 1.11.2010 г. - Оценка 21.03.2011 г. 25.10.2010 г. 21.03.2011 г.
Коэффициент детерминации 0,9831 0,9968 0, MAPE-оценка 0,903 % 0,138 % 0,835 % Рис. 5. Полиномиальная модель с аддитивно-мультипликативными колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории США Вопросы экономики и права. 2011. № а) б) Рис. 6. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории США:
а) период с 15 июня 2010 г. по 25 октября 2010 г.;
б) период с 1 ноября 2010 г. по 21 марта 2011 г.
Таблица Оценки моделирования и прогнозирования полиномиальными моделями с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин на территории США Период 15.06.2010 г. - 21.03.2011 г. 15.06.2010 г. - 25.10.2010 г. 1.11.2010 г. - 21.03.2011 г.
Территория США 0,990 3,29 % 0,996 3,18 % 0,997 1,65 % Округ Колумбия, США 0,985 1,99 % 0,995 1,87 % 0,992 1,89 % R2 MAPE R2 MAPE R2 MAPE Математические и инструментальные методы в экономике и праве. Информационное право Модель (5) применима не только к российс- Предложенные модели и методы их иденти кой статистике, но и к зарубежным показателям фикации могут быть применены и для других как макро-, так и мезоуровня. Примером может показателей социально-экономических систем служить идентификация модели, описывающей при моделировании и прогнозировании их зна динамику изменения средних потребительских чения для принятия управленческих и маркетин цен на бензин на территории США за период с говых решений.
15 июня 2010 г. по 21 марта 2011 г. (долл./галлон).
Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы Результаты моделирования, а также мониторинга эконометрики. М., 2001.
эволюции модели представлены на рис. 5 и 6.
Семенычев В.К. Идентификация экономической Точность моделирования и прогнозирования динамики на основе моделей авторегрессии. Самара, увеличивается при учете эволюции модели 2004.
(табл. 2). Исследования относительно мезоуров Семенычев В.К., Коробецкая А.Н, Семенычев Е.В.
ня в США дали схожие результаты.
Метод параметрической итерационной декомпозиции Обобщая представленные результаты, мож тренд-сезонных рядов аддитивной структуры // Вестн.
но сделать вывод о том, что предложенные пара Самар. муницип. ин-та управления. 2010. № 1 (12).
метрические модели, методы их идентификации Программа моделирования рядов экономичес обеспечивают высокую точность моделирования кой динамики полиномиальным трендом и одновре и прогнозирования на коротких выборках, допус- менным вхождением аддитивной и мультипликатив ной колебательных компонент УZ_identФ. Свидетель кают возможность одновременного вхождения в ство о государственной регистрации программы для структуру модели аддитивной и мультипликатив ЭВМ № 2011610065 от 11 января 2011 г. Правообла ной колебательных компонент, позволяют осуще датель АМОУ ВПО УСамарская академия государ ствлять мониторинг эволюции моделей: измене ственного и муниципального управленияФ.
ние ее параметров и структуры.
Айвазян С.А. Указ. соч.
Поступила в редакцию 08.01.2011 г.