Экономические Математические и инструментальные 8(69) 234 науки методы экономики 2010 Моделирование систем коллективного материального стимулирования й 2010 Д.Ю. Иванов кандидат экономических наук,

доцент Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева E-mail: ssau_ivanov Рассмотрены экономико-математические модели систем коллективного материального стимулирования работников. Разработана система материального стимулирования, учитывающая неоднородность трудового коллектива. Исследована эффективность распределения премиального фонда на основе предложенной системы материального стимулирования.

Ключевые слова: материальное стимулирование коллектива, экономико-математическая модель, премиальный фонд, эффективность распределения.

Различные подходы к построению механиз- Процедура же определения КТУ может быть мов стимулирования в подразделениях можно различной, а именно:

показать на примере исследования способов рас- формирование КТУ пропорционально та пределения премии внутри трудового коллекти- рифным разрядам (квалификации) членов тру ва подразделения предприятия.

дового коллектива;

Предположим, что все члены трудового кол формирование КТУ пропорционально тру лектива подразделения выполняют производ довому вкладу каждого работника.

ственное задание, делая при этом некоторые виды При формировании КТУ пропорционально работ. По результатам своей деятельности кол тарифным разрядам имеется в виду следующее.

лектив получает некоторый премиальный фонд.

Считается, что тарифный разряд характеризует Этот фонд может образовываться за счет эконо деятельность каждого работника: чем больше та мии материальных и энергоресурсов, за счет со рифный разряд, тем выше квалификация работ кращения брака выпускаемой продукции, за счет ника. Поэтому тарифный разряд, отражая эф сокращения сроков выполнения работ и т.д.1 фективность работы каждого члена трудового Процедура распределения фонда премирова коллектива, может быть использован для оцен ния между членами трудового коллектива долж ки его деятельности.

на решать главную задачу - повышать эффек При формировании КТУ пропорционально тивность работы коллектива. В частности, эта трудовому вкладу учитывается вклад каждого процедура должна стимулировать увеличение работника в зависимости от индивидуальной объема выпуска продукции, повышение качества производительности труда и качества работы в продукции, снижение издержек производства, сокращение сроков выполнения работ и т.д.2 общую работу всего трудового коллектива.

Итак, в трудовом коллективе руководство Основная идея, которая учитывается при имеет свои цели и формирует условия функцио рассмотрении систем стимулирования трудово нирования, чтобы достичь этих целей. Соответ го коллектива, состоит в том, что каждый член ственно, члены трудового коллектива тоже име коллектива стремится заработать как можно ют свои цели и, выбирая соответствующую стра больше денег. Причем, если условия оплаты его тегию, стремятся их достигнуть.

полностью удовлетворяют, он работает более ин Модель трудового коллектива представляет тенсивно (выполняет больший объем работ или ся в виде двухуровневой системы, состоящей из делает работу более высокого качества и т.п.).

центра (руководителя коллектива) и элементов Поэтому в основу процедур стимулирования нижнего уровня. Предполагается, что по резуль коллектива положено распределение фонда пре татам своей деятельности коллектив получает пре мирования на основе коэффициентов трудово миальный фонд, который распределяется между го участия (КТУ).

элементами в зависимости от выбранной проце Задачей руководителей трудового коллекти дуры стимулирования. Фонд остается неизмен ва является выбор такой системы стимулирова ным на протяжении нескольких периодов функ ния, которая побуждает подчиненных работать с наибольшей интенсивностью (например, выпол- ционирования. Фонд премирования в коллекти нять работу более высокого уровня качества). ве распределяется полностью.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(69) науки методы экономики Будем считать, что ri, i=1,...,n - показатель, ci pi xi который характеризует квалификацию i-го эле- yi.

ri мента (соответственно, отражает установленный тарифный разряд i-го элемента). Чем больше зна ci pi чение ri, тем выше квалификация i-го элемента.

Обозначив величину через ki, получа ri Обозначим через xi показатель эффективности выполняемой работы i-го элемента (это может ем yi = kixi. В случае k1=k2=...=k =k будем счи n быть объем выпускаемой продукции, показатель тать, что коллектив однородный. Случай kikj, качества выпускаемой продукции, снижение из- ij соответствует неоднородному коллективу.

держек производства, сокращение сроков выпол- При исследовании модели стимулирования нения работ и т.д.). коллектива подразделения предполагается, что Полученный фонд Ф распределяется между каждый элемент стремится увеличить значение элементами на основе коэффициента трудового своей целевой функции. Значение суммарного участия (КТУ). Пусть i - КТУ i-го элемента, n причем i>0. Так как фонд Ф распределяется пол- * j x показателя эффективности в ситуации рав ностью, то очевидно выполняется условие j n новесия по Нэшу характеризует эффективность j. Таким образом, премия i-го элемента всей процедуры распределения фонда Ф.

j Для неоднородного коллектива целевая фун определяется выражением Пi=iФ. кция i-го элемента записывается в виде Предположим, что каждый элемент оцени- I = iФ - kixi.

вает результат своей деятельности не по размеру Естественный и простейший способ опреде полученной премии, а путем сравнения этой пре- ления КТУ и, соответственно, вклада i-го эле мии с возможным упущенным заработком. Здесь мента в результаты деятельности всего коллек возможный упущенный заработок - это та сум- тива - пропорционально показателю эффектив ма денег, которую мог бы получить элемент, если ности xi. В данном случае бы он направил свои усилия не на повышение xi эффективности работы, а на получение заработ-.

n i ка (например, на другом месте работы).

j x Физические, умственные, эмоциональные, j временные и прочие затраты zi, которые расхо дует i-й элемент, зависят от показателя эффек- При этом целевая функция i-го элемента тивности xi и показателя квалификации ri, имеет вид zi=zi(xi,ri). Рассмотрим линейную зависимость xi затрат i-го элемента от его показателя эффек Ф ki xi.

i n (1) x i j x тивности, т.е. zi. Здесь также предполага ri j ется, что, чем выше квалификация элемента, тем В каждом периоде функционирования эле меньше затрат от него требуется на повышение менты стремятся достичь таких показателей эф показателя эффективности.

фективности работы, чтобы увеличить значение Возможный упущенный заработок yi может своей целевой функции. Нетрудно показать, что быть определен следующим образом. Если бы для функции вида (1) существует ситуация рав затраты zi были направлены не на достижение новесия по Нэшу.

показателя xi, а на выполнение некой работы Аi, Решая систему уравнений то можно было бы считать, что объем этой рабо ты пропорционален затратам, т.е. n j x xi pi xi i j A i, Ф ki 0, i = 1,...n, ri xi n где pi - коэффициент пропорциональности.

j x Если через сi обозначить стоимость едини- j цы работы Ai, то возможный упущенный зарабо ток можно представить в виде получаем n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(69) науки методы экономики ров и (n-p) рядовых (т.е. не снизился), то значе n Ф(n 1) ние целевой функции рядовых элементов умень x*. (2) j n шилось бы еще больше.

j А из (3) получаем, что если количество ли j k деров в коллективе таково, что j p л Отсюда показатель эффективности i-го эле k k p p, или мента определяется выражением p л p л k k k k n то рядовым элементам вообще невыгодно уве личивать показатель эффективности работы. При j k ki (n 1) этом (4) принимает вид j xi* Ф(n 1), i = 1,...,n.

n Ф(p 1) л ( k )2 x j.

p2k j Однако при p=1, т.е. если в коллективе есть Предположим, что коллектив состоит из p только один лидер, рядовым элементам всегда лидеров и (n-p) рядовых элементов.

выгодно увеличивать показатели эффективнос Пусть kл - коэффициент затрат лидера, kp ти работы.

коэффициент затрат рядового элемента, соответ В то же время легко показать, что появле ственно;

причем kл < kp.

ние в коллективе лидеров приводит к повыше Полагаем, что k1=k2=...=k =kл и p нию суммарного показателя эффективности ра k =k =...=k =kp. Тогда p+1 p+2 n бот всего коллектива, несмотря на снижение по казателей эффективности работ рядовыми эле n p n л p ментами, т.е. справедливо неравенство j i j k k k pk (n p)k.

j 1 i 1 j p Ф(n 1) Ф(n 1) (6).

Найдем показатель эффективности рядово- л p p pk (n p)k k n го элемента xp в равновесной ситуации:

Действительно, из (6) следует, что p л p Ф(n 1) n p k n pk (n p)k x 1 kл.(3) p p pk (n p)kл pk (n p)kл или p л Соответственно, показатель эффективности p(k k ) 0.

лидера xл определяется выражением Так как kp > kл, то отсюда и следует справед ливость неравенства (6).

Ф(n 1) n p (4) xл 1 k Определим минимальный размер премиаль.

p л p л pk (n p)k pk (n p)k ного фонда Ф, который будет стимулировать min все элементы максимально повышать показате Используя выражение (2), найдем суммар ли эффективности работ.

ный показатель эффективности коллектива Если коллектив однороден, то все элементы Ф(n 1) л p имеют одинаковый коэффициент затрат k.

px (n p)x (5).

л p pk (n p)k Определим Ф, при котором xp = xmax.

min Если в (2) положить ki = kр, то, сравнив (3) Фmin(n 1) max x, p и (2), нетрудно показать, что, т.е. по x xi* kn явление в коллективе лидеров (более квалифи- откуда цированных) вынуждает рядовых (менее квали kn2xmax фицированных) элементов снижать показатель Фmin.

n эффективности работ.

Понятно, что снижение показателя эффек- Предположим, что предел физических воз можностей как рядового элемента, так и лидера тивности рядовыми элементами влечет за собой одинаков, т.е. максимальный показатель эффек и уменьшение значения их целевой функции.

Но, кроме того, если бы показатель эффектив- тивности работ равен xmax.

ности рядовых элементов остался таким же, ка- Из сравнения (3) и (4) следует, что xл > xp.

ким он был до разбиения коллектива на p лиде- Поэтому для того, чтобы лидеры вышли на пре n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t Экономические Математические и инструментальные 8(69) науки методы экономики дел своих физических возможностей, требуется Соответственно, общий показатель эффектив меньший фонд стимулирования. ности всего коллектива из n элементов равен:

Пусть Ф таково, что xл = xmax, а xp < xmax. В л p Ф (p 1) Ф (n p 1) этом случае из (1) целевая функция рядового px1л (n p)x2p.

л p элемента может быть представлена в виде k p k (n p) Выше было показано, что разбиение одно xi p i n p Ф k xi.

родного коллектива на несколько подколлекти max вов не приводит к увеличению суммарного по j x px казателя эффективности. Для неоднородного кол j лектива это не так.

Тогда в равновесной ситуации по Нэшу пока Пусть затель эффективности рядового элемента равен л p p л Ф (p 1) Ф (n p 1) (Ф Ф )(n 1) p (n p 1)Ф (n p 1)2Ф2 4pxmaxФ(n p)kp p.

xmax л p л p.

x k p k (n p) pk (n p)k n p 2(n p)2kp В результате ряда преобразований получаем Теперь можно определить значение Ф, при min котором рядовой элемент неоднородного коллек л л л тива выходит на максимум своих физических k k k p2 (n p)(1 ) возможностей. В этом случае p p p л k k k Ф p (8) (n p 1)Фmin (n p 1)2Фmin 4pxmaxФmin(n p)kp max p л л.

Ф xmax k k.

x n p (n p)2 p(1 ) 2(n p)2kp p p k k Из этого выражения нетрудно получить p Таким образом, разбиение неоднородного k n2xmax Фmin.

(7) коллектива на два подколлектива приводит к уве n личению их суммарного показателя эффектив Дальнейшее увеличение размера фонда не ности работы, если справедливо (8).

дает никакого эффекта, поскольку выше своих Неравенство (8) приобретает более простой возможностей элементы работать не могут.

n Покажем, возможно, ли дальнейшее увели p вид, если, т.е. в коллективе находится чение показателей эффективности работ в кол- лективе в рамках того же премиального фонда Ф. половина лидеров и половина рядовых. Тогда Разобьем неоднородный коллектив на два неравенство (8) может быть записано в виде подколлектива. Пусть первый состоит из p лиде л л Ф k ров, а второй состоит из (n-p) рядовых элемен.

p p тов. То есть при этом мы получили два одно Ф k родных коллектива. Соответственно, разобьем л премиальный фонд Ф всего коллектива, именно:

k А так как, то разбиение фонда Ф Ф = Фл + Фp. Тогда в положении равновесия по p k Нэшу суммарный показатель эффективности пополам приводит к увеличению суммарного по первого подколлектива равен:

казателя эффективности работ.

л Ф (p 1) px1л.

См.: Волгин Н.А. Современные модели оплаты л k p труда: методика и рекомендации по внедрению. М., Суммарный показатель эффективности вто- 1992;

Динова Н.И. Бригадные формы оплаты труда // Механизмы управления социально-экономичес рого подколлектива равен:

кими системами. М., 1988.

p Модели и методы материального стимулиро Ф (n p 1) (n p)x2p.

вания: Теория и практика / О.Н. Васильева. М., 2007.

p k (n p) Поступила в редакцию 01.07.2010 г.

n g a e h V C i X e w F e D r P w Click to buy NOW!

m w o w c.

.

d k o c c a r u t    Книги, научные публикации