Книги по разным темам Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 9 Гиперболические экситоны в полупроводниках й В.И. Белявский, Р.А. Кончаков Государственный педагогический университет, 394043 Воронеж, Россия E-mail:vib@vspu.ac.ru (Поступила в Редакцию 6 декабря 2000 г.) Энергия и затухание квазистационарного состояния, соответствующего гиперболическому экситону в полупроводниковом кристалле, рассчитаны в предположении, что взаимодействие между электроном и дыркой описывается экранированным кулоновским потенциалом. Определены условия возникновения резонанса, обусловленного гиперболическим экситоном.

Работа поддержана МНТП России ФФизика твердотельных наноструктурФ.

1. Особенности оптических спектров полупроводни- ными носителями ковых кристаллов в области собственного поглощения e2 U(r) =- exp(-kor), (1) связаны с сингулярностями Ван Хова комбинированной 0r плотности состояний электронов и дырок. Экситонные -1 где k0 r0 Ч радиус экранирования, 0 Ч статичеэффекты, обусловленные кулоновским взаимодействием, приводят к системе уровней в области энергий, мень- ская диэлектрическая проницаемость кристалла. Поэтому определяющий вклад в линейную комбинацию произших энергии минимума плотности состояний. Седловедений электронных и дырочных блоховских функций, вые точки закона дисперсии располагаются в глубиобразующую волновую функцию экситона, вносит огране разрешенной зоны энергий, так что в этом слуниченная область k-пространства k k0, существенно чае связанные состояния электрона и дырки опредеменьшая зоны Бриллюэна. В этом случае для качеленно попадают в область сплошного спектра и, таственного исследования КСС, возникающих в результате ким образом, являются квазистационарными состоянивзаимодействия электрона и дырки, можно воспользоями (КСС).

ваться методом [15,16], примененным при рассмотрении Концепция гиперболического экситона (экситона седэлектрон-электронных корреляций в сверхпроводниках.

овой точки), выдвинутая Дж. Филлипсом [1Ц4], предпоОграничимся рассмотрением простейшей двухзонной лагает наличие в оптических спектрах резонанса (или модели полупроводника. Если c(ke) и v(kh) Чзакон нескольких резонансов) вблизи энергии седловой точдисперсии электронов в зоне проводимости и валентной ки. Экспериментальные исследования гиперболических зоне, то энергия возбуждения свободной электронноэкситонов в полупроводниковых кристаллах [5Ц12] подырочной пары (ЭДП) с квазиимпульсом K = ke + kh, казывают, что соответствующие экситонные резонансы где ke и kh Ч квазиимпульсы электрона и дырки, может проявляются в виде четко выраженных полос в спектрах быть записана в виде поглощения и отражения. В окрестности седловой точки K K главные значения тензора обратных эффективных масс EEHP(K, k) =Eg + c + k - v - k. (2) 2 имеют неодинаковые знаки, так что изоэнергетические поверхности (в первом приближении) являются гиперЗдесь Eg Ч ширина (прямой) запрещенной зоны, болоидами. Гиперболическая метрика k-пространства не k =(ke - kh)/2 Ч квазиимпульс относительного движепозволяет получить точное решение для волновых функния ЭДП. Поскольку взаимодействие между электроном ций и энергетического спектра экситона седловой точки, и дыркой имеет характерный радиус действия r0 a, подобно тому, которое имеет место в случае экситогде a Ч межатомное расстояние, то в (2) оказываются на, связанного с минимумом плотности состояний [13].

существенными значения k, удовлетворяющие условию B случае предельно сильной анизотропии эффективных k < k0, и (2) можно приближенно представить как масс можно воспользоваться адиабатическим приближением, разделив ФбыстроеФ движение с малой массой и EEHP(K, k) =Eg + (-)(K)+ v(K)k + (K)kk, 2m ФмедленноеФ движение с большой массой [14]. Таким (3) образом можно найти приближенное решение, соответгде (K) =c(K/2) v(K/2), m Ч параметр размерствующее экситонному резонансу и существующее на ности массы, протяжении времени жизни экситонов. Вопрос о време1 (+)(K) 2m 2(-)(K) ни жизни экситона седловой точки при этом остается v(K) =, (K) = ; (4) k kk открытым.

2. Корреляционное взаимодействие электрона и дырки по повторяющимся тензорным индексам подразумеваетв непроводящем кристалле обычно экранируется свобод- ся суммирование.

Гиперболические экситоны в полупроводниках 3. Эквивалентный гамильтониан ЭДП в экситонном множитель r0 обеспечивает необходимую размерность представлении Ваннье принимает вид параметра U0, который естественно определить как 4e U0 = -. (12) K = - (K) - i v(K) + U(r), (5) 0r2m xx x Область обрезания Фурье-образа потенциала (1) опредепри этом энергия относительного движения ЭДП отсчилим условием |k| k0 и обозначим {Q}. Уравнение (11) тывается от значения Eg + (-)(K). Огибающая функция легко решается и приводит к ЭДП с квазиимпульсом K представляется в факторизованном виде w Kq(K) =-. (13) 1 + wBK(q2) k2 - q2 - i0 sgn qK(R, r) =K(r) exp(iKR), (6) Здесь w = 2mU0r0/, знаковая функция sgn q2 обеспечигде R Ч радиус-вектор ЭДП как целого, r Чрадиусвает необходимое асимптотическое поведение расходявектор относительного движения, K(r) Ч собственная щейся волны, функция гамильтониана (5), которую, чтобы устранить линейный по квазиимпульсу член в эквивалентном га1 d3k мильтониане, представим в виде BK(q2) = k2 - q2 - i0 sgn q2 (2){Q} K(r) =K(r) exp(ix), BK1(q2) +iBK2(q2). (14) m - (K) =- (K)v(K). (7) Вещественная и мнимая части (при вещественном аргументе q2) функции (14) записываются в виде Уравнение для огибающей функции K(r) принимает вид 2 1 d3k 2K(K) BK1(q2) =, - (K) + U(r)K(K) =KK(K), (8) k2 - q2 (2)2m xx {Q} здесь m d3k -K = E + v(K) (K)v(K). (9) BK2(q2) = (k2 - q2) sgn q2, (15) (2){Q} Для каждого K матрица тензора (K) может быть приведена к главным осям, тогда она принимает вид где интеграл, определяющий BK1(q2), понимается в смы(K) = ()(K), a уравнение (8) переписывается сле главного значения.

как 5. Знаменатель амплитуды рассеяния, 1 + wBK(q2), не обращается в нуль ни при каких вещественных q2. Ис 2K(r) ключением является случай, когда BK2(q2) обращается в - ()(K) +U(r)K(r) =KK(r). (10) 2m 2x нуль тождественно. Тогда полюсы амплитуды рассеяния, определяемые из уравнения 4. Относительное движение ЭДП, описываемое уравнением (10) инфинитно, как и должно быть в случае не1 + wBk1(q2) =0, (16) прерывного спектра. Это не исключает возможности возсоответствуют связанным состояниям. Для ЭДП такая никновения относительно долгоживущего КСС, харак(0) теризующегося комплексной энергией K = EK - iK ситуация возникает в области энергий, расположенной ниже минимума закона дисперсии (-1)(k). Если урави проявляющегося как полюс амплитуды рассеяния при нение (16) имеет решение при некотором значении энергии E = 0. Фурье-образ рассеянной волны, K(k), аргумента q2 = q2 и при этом BK2(q2) = 0, то в окрест 0 удовлетворяет интегральному уравнению [16] ности точки q2 функцию BK1(q2) можно представить как 0 d3k (штрихом обозначено дифференцирование по q2) q2 - k2 K(k) = (k-q) + (k-k )K(k ), 2m (2)Bk1(q2) BK1(q2) +B K1(q2) q2 - q2, (17) 0 0 2 k2 ()(K)k, K =( /2m) ()(K)q2 q2.

после чего амплитуда рассеяния записывается в виде (11) wK fK(q2) =Для качественного исследования характера решения 1+wKBK(q2) уравнения (11) можно воспользоваться оценкой интегра 1 ла по теореме о среднем. Заменим истинный потенциал -. (18) 3 (0) 2m B K1(q2) (1) сингулярным потенциалом U(r) U0r0(r), где E-EK +iK Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1560 В.И. Белявский, Р.А. Кончаков Рис. 1. График безразмерной функции F() (BK1(q2)=k0F(), где безразмерный аргумент = q2/k0) для случая седловойточкиSпри = 0.1, 0.5, 0.8. Слева вверху показан характер особенности F() в окрестности точки = 0.

(0) 2 Здесь EK = q2/2m Ч энергия КСС, E = q2/2m, ограничена как сверху, так и снизу. Кроме того, при сделанном выше определении закона дисперсии она облаa затухание КСС имеет вид 2 дает своеобразной симметрией: B(S1)(q2) =-B(S1)(-q2);

K K BK2(q2) здесь индекс сверху указывает, к какой именно седловой K =. (19) m B K1(q2) точке относится функция BK1(q2). С учетом этого обстоятельства рис. 1 позволяет проанализировать усло6. Далее, рассматривая закон дисперсии в окрестности вия возникновения КСС в окрестностях седловых точек седловой точки, будем предполагать его цилиндрически обоих типов.

симметричным. Именно в окрестности точки S1 поло- Притяжению между электроном и дыркой соответжим q2 = qt - q2, a в окрестности точки S2 пусть ствует w < 0, поэтому, как видно из рис. 1, решение 2 q2 = -qt + q2; здесь qt = q2 + q2, Ч безразмерный уравнения (16) может иметь место не при любых |w|, 3 1 параметр, характеризующий степень анизотропии закона a лишь начиная с некоторого минимального значедисперсии. Для простоты в качестве области интегриро- ния |wm|. B случае точки S2, рассмотрением которой вания {Q} выберем цилиндр kt k0, |k3| k0. Эта сначала мы и ограничимся, имеем область, как и шар k2 k0, имеет единстенный характер ный масштаб k0 в импульсном пространстве, при этом = BK1 -k(wm) интегралы (15) слабо зависят от формы области {Q}.

Наличие цилиндрической симметрии позволяет выразить k0 = 2 arctg + ln(1+). (20) BK1(q2) в виде комбинации элементарных функций. Не выписывая в явном виде это достаточно громоздкое выражение, приведем графики функции BK1(q2) при Так, при 1, когда состояния ЭДП можно рассматринекоторых значениях параметра в случае седловой вать как квазиодномерные (1D), ограничение на величи точки S2 (рис. 1).

ну |wm| фактически снимается: |wm|. КвазидвумерАсимптотическое при |q2| поведение функции ный (2D) случай, соответствующий, например, кристал(15) имеет вид BK1(q2) -Q3/(2)3q2, где Q3 Чобъем лу со слоистой структурой, можно рассмотреть аналообласти {Q}. Как видно из рис. 1, функция BK1(q2) гично, положив 1 при условии, что /m = const.

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Гиперболические экситоны в полупроводниках выраженной анизотропии (3D случай, 1) подобное условие приближенно можно записать как k0a 1. Таким образом, наличие анизотропии электронного закона дисперсии, соответствующей эффективному понижению размерности электронной системы, может существенно расширить диапазон значений k0, при которых может быть обеспечено возникновение КСС.

Как следует из рис. 1, наряду с решением уравнения (16), соответствующим КСС, имеется еще одно решение с отрицательным затуханием. Подобное решение как и в случае электронов и фононов в кристалле с точечным дефектом, может быть истолковано [17] как состояние, отвечающее резонансному рассеянию при относительном движении ЭДП. Отметим, что в случае седловой точки S1 и достаточно большой величины |w| Рис. 2. График безразмерной функции = K/(0) в заK уравнение (16) допускает резонансное решение и при висимости от безразмерного аргумента = q2/k0 для случаев q2 > 0.

седловых точек S1 и S2.

Список литературы И в этом случае ограничение на |wm| оказывается суще[1] J.C. Phillips. Phys. Rev. A136, 6, 1721 (1964).

ственно более слабым по сравнению с трехмерным (3D) [2] J.C. Phillips. Phys. Rev. A139, 4, 1291 (1965).

случаем: |wm| 1/ ln. [3] J.C. Phillips. The fundamental optical spectra of solids. Solid State Physics 18, 55 (1966) [Дж. Филлипс. Оптические Из определения (15), следует, что BK2(q2) > 0 при спектры твердых тел в области собственного поглощения.

q2 > 0 и BK2(q2) < 0 при q2 < 0. Поэтому решеМир, М. (1968)].

ние уравнения (16), соответствующее КСС, в случае [4] J.C. Phillips, B.O. Seraphin. Phys. Rev. Lett. 15, 3, 107 (1965).

седловой точки S2 имеет место при - < q2 < C, [5] В.К. Субашиев, Ле Хак Бин. Письма в ЖЭТФ 12, 2, где C Ч корень уравнения BK1(q2) = 0. Именно (1970).

в интервале - < q2 < C затухание КСС (19) [6] V.K. Subashiev. Sol. State Commun. 9, 6, 369 (1971).

положительно, поскольку B K1(q2) < 0. Кроме того, в [7] А.И. Савчук, Н.Л. Говалешко, Г.Д. Далевский, З.Д. Ковашироком диапазоне изменения параметра оно также люк. УФЖ 17, 10, 1548 (1972).

[8] V.I. Sokolov, V.K. Subashiev. Phys. Stat. Sol. (b) 65, 2, Kи мало: K/EK(0) = 2BK2(q2)/q2B K1(q2) 1. График 0 0 (0) (1974).

функции = K/EK в зависимости от = q2/k[9] Г.И. Абуталыпов, М.Л. Белле. ФТП 9, 7, 1330 (1975).

представлен на рис. 2.

[10] В.Т. Агекян, Ю.Ф. Соломонов, Ю.А. Степанов, В.К. СубаЭкситонные состояния, связанные с особенностью шиев. ФТП 10, 9, 1776 (1976).

электронно-дырочного спектра вблизи седловой точ[11] Г.Ф. Глинский, А.А. Копылов, А.А. Пихтин. ФТП 12, 7, ки S1, могут быть рассмотрены аналогичным обра1237 (1978).

зом. Решения в виде КСС имеют место в интервале [12] С.В. Вирко, М.П. Лисица, Ф.В. Моцный. ФТТ 42, 9, (2000).

C < q2 < 0, где C Ч корень уравнения B K1(q2) =0.

[13] Р. Нокс. Теория экситонов. Мир, М. (1966).

При этом, как видно из рис. 1, величина |w|, при которой [14] B. Velicky, I. Sak. Phys. Stat. Sol. 16, 1, 147 (1966).

возможно возникновение КСС, ограничена в отличие [15] В.И. Белявский, В.В. Капаев, Ю.В. Копаев. ЖЭТФ 118, 4, от S2-экситона как снизу, так и сверху. Поведение затуха941 (2000).

ния S1-экситона в зависимости от = q2/k0 cущественно [16] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. Нереляотличаются от случая S2-экситона (рис. 2).

тивистская теория. Наука, М. (1989).

7. Условие возникновения КСС в зависимости от ве[17] У. Харрисон. Теория твердого тела. Мир, М. (1972).

ичины параметра k0 непосредственно вытекает из (20).

Действительно, функция BK1(q2) может быть представлена в виде BK1(q2) = k0F(), где F() Ч безразмерная функция безразмерного аргумента = q2/k0.

   Книги по разным темам