Книги по разным темам Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 10 Оптимизация режимов работы термоэлементов с учетом нелинейности температурного распределения й С.В. Ордин Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 24 декабря 1996 г. Принята к печати 17 января 1997 г.) Показано, что в уравнении баланса тепловых потоков в объеме образца (упрощенное уравнение ИоффеЦСтильбанса) необходимо учитывать теплоту Пельтье, которую раньше рассматривали как чисто контактную характеристику. В результате самосогласованного расчета с учетом температурной зависимости теплоты Пельтье получены аналитические выражения для распределения температуры в нагруженном термоэлементе, описывающие основные отклонения от линейного распределения. Получены формулы кпд термоэлемента, обобщающие формулы Иоффе на случай больших перепадов температуры и больших потоков тепла.

Введение. тока j и плотности потока тепла q в изотропной среде в отсутствие магнитного поля получим следующую систеФеноменологический анализ му уравнений:

термоэлектрических процессов Активные исследования в области термоэлектричеj = E + (-T), ства и в последующем широкое использование термоэлектрических преобразователей начались с получеq = j + (-T ), (2) ния А.Ф. Иоффе в 1950 г. теоретических оценок кпд термоэлемента [1] и определения параметра Z, харакгде T Ч температура, E Ч напряженность электритеризующего термоэлектрическую добротность матеческого поля, = T. Коэффициенты, входящие в риалов:

уравнения (2), являются характеристиками макроскопи2 Z =, (1) ческих областей материала. Ввиду того что в общем случае нет никаких оснований полагать перекрестные где Ч термоэдс, и Ч удельные электро- и члены равными 0, теплоту Пельтье и термоэдс теплопроводность материала соответственно. В работе также необходимо учитывать для нахождения темпеИоффе [1] анализ тепловых потоков в термоэлеменратурного распределения в объеме термоэлемента, как те базировался на принятом представлении о контакт и. Использование в работе [2] параметров теном характере теплоты Пельтье, что соответствуплоты Томсона и теплоты Джоуля, считавшихся ет предположению о линейном распределении темпеи ранее объемными, являлось введением в уравнение ратуры в термоэлементе. Отклонение температурного для плотности теплового потока [2] и в неявном распределения от линейного пытались описать, в простейшем случае, для независящих от температуры тер- виде. Действительно, тепловыделения Томсона и Джоуля моэлектрических параметров, учитывая объемные те- являются компонентами div(j), и использование их пловыделения за счет эффектов Томсона и Джоуля- в уравнении баланса тепловых потоков [2,3] является Ленца [2]. В рамках этого подхода была предпри- ни чем иным, как приближенным восстановлением из нята попытка получения уточненных выражений для div(j) теплового потока j.

кпд [3]. Однако полученные в работе [3] поправки Объемность теплоты Пельтье следует и из статистик формулам Иоффе оказались пренебрежимо малы и чески микроскопического ее определения как теплоты, вопрос об уточнении формул для кпд термоэлемента переносимой в объеме образца одним электроном [10].

полагали закрытым. Решение теплофизических задач Контактные эффекты могут быть существенны как для с учетом термоэлектрических эффектов в тех случа и, так и для и, но феноменологически должны ях, когда они не малы (холодильный режим и ребыть учтены при рассмотрении граничных условий. Исжим теплового насоса), базировалось на модели, предключением являются лишь те случаи, когда влиянием ложенной в работе [2], что нашло свое отражение границы (контакта) нельзя пренебречь во всем объпрактически во всех монографиях по термоэлектричееме термоэлемента. Проведенный феноменологический ству [4Ц7].

анализ показывает, что для решения теплофизических С другой стороны, термоэлектрические эффекты описываются обобщенными кинетическими уравнения- задач с учетом термоэлектрических эффектов необходимо учитывать объемность теплоты Пельтье, используя ми [8Ц10]. Если выразить кинетические коэффициенты через термоэлектрические параметры, то для плотности уравнения неравновесной термодинамики (2).

1270 С.В. Ордин КПД термоэлектрического термоэлемента тепловой энергии между электронной и фононной подсистемами, что и определяет параметр в преобразования с учетом каждой макроскопически локальной области материала.

распределения температуры В генераторном режиме термоэлемент может рабов термоэлементе тать либо в режиме постоянного потока тепла q, протекающего через него, либо в режиме фиксированного Рассмотрим распределение температуры в теплоизоперепада температуры на нем. Данные условия задают лированном с боковых сторон термоэлементе единич2-е граничное условие, необходимое для получения реного сечения длиною L, работающем в генераторном шения уравнения (3).

режиме, по которому протекает тепловой поток q и ток В режиме с фиксированным потоком q = q = const, j (рисунок). При этом используем то же допущение, температурное распределение T(x) задается формулой что и в работе [2], Ч независимость от температуры (4), в которой q заменяется на q. Используя получентермоэлектрических параметров,,. Ввиду того что ное выражение T (x), можно записать соотношение для материалы для термоэлементов должны иметь высокую перепада температуры на термоэлементе:

эффективность во всем рабочем интервале температур, данное допущение не сильно сужает область примени(-T) =T (0) -T (L) мости искомых решений, но позволяет получить их в аналитическом виде. При заданных условиях темпераq j = -T0 1-exp - L. (5) тура в термоэлементе будет зависеть только от одной j координаты x, параллельной оси термоэлемента, а уравнением баланса тепловых потоков является уравнение Используя уравнение для тока (2), найдем еще одно для теплового потока (2), переписанное в скалярном уравнение связи j и T:

виде (-T) dT j =, (6) q = jT -. (3) (1 + m)L dx Таким образом, для нахождения температурного расгде параметр m равен отношению сопротивления напределения в термоэлементе необходимо решить дифгрузки Rl к внутреннему сопротивлению термоэлемента ференциальное уравнение 1-й степени с постоянными Ri = L/.

коэффициентами. Учитывая, что в генераторном режиме Подставляя в (6) выражение для (-T), получаем работы обычно стабилизируется температура холодного уравнение для тока вида конца термоэлемента, зададим 1-е граничное условие T (L) = T0 и получим следующее выражение для тем- j = F( j), (7) пературного распределения T (x):

которое опеределяет ток как функцию заданных параме j тров q, Rl,,,. Уравнение для тока (7) можно T (x) =T0 exp - (L - x) приближенно решить графически, аппроксимируя функ ционал F( j) прямой линией, проходящей через точки q j + 1 - exp (L - x). (4) q q j, 0 и 0,.

(1 + m) TПолученный явно нелинейный вид функции T(x) связан с тем, что при протекании тока в генераторном режи- Находя точку пересечения выбранной аппроксимации с величиной j, получим выражение для тока:

ме электроны, переходя из горячей области в холодную, рассеиваются, понижая теплоту Пельтье и увеличивая q ZTтем самым тепловую нагрузку (градиент) на член, опреj =. (8) T0 (1 + m + ZT0) деляемый теплопроводностью. Таким образом, рассеяние электронов приводит к перераспределению в объеме Это выражение для тока получается и при использовании разложения в ряд экспоненты в выражении (5), если ограничиться членом 1-й степени. Подставляя найденное выражение для тока (8) в соотношение для кпд в режиме фиксированного потока тепла j2Rl =, (9) q получим кпд термоэлемента при произвольной нагрузке qRT mZT =, (10) Схематическое изображение термоэлемента и ориентации наT0 (1 + m + ZT0)правления распространения в нем теплового потока q.

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Оптимизация режимов работы термоэлементов с учетом нелинейности... где RT = L/ Ч тепловое сопротивление термоэлемен- связано с тем, что учет нелинейности температурного та. Дифференцируя полученное выражение по m, нахо- распределения заменен качественным предположением дим условие максимума : m = 1+ZT0 и само выражение о равнораспределении джоулева тепла между горячим max, соответствующее оптимальной нагрузке: и холодным концами термоэлемента. Дифференцируя выражение (15) по m, получим условие максимума :

1 qRT ZTmax =. (11) m =(1 +ZT0)1/2, 4 T0 (1 + ZT0) Как видно из полученного выражения для max, чем а также само выражение для max при соответствующей оптимальной нагрузке в режиме фиксированного перепабольше тепловое сопротивление RT, тем выше кпд max, кроме того параметр, определяющий термоэлектриче- да температуры:

скую добротность материала 2/2, отличается от Z.

(-T) ZTОднако естественным ограничением для рассмотренноmax =. (16) T1 (1 + 1 + ZT0)го режима работы является максимально допустимый перепад температуры, при котором в соответствии с Выражения для max (11), (16) получены строго в 1-м циклом Карно достигается максимальный кпд. Поэтому приближении и могут быть использованы при реально рассмотрим также режим работы термоэлемента с фикиспользуемых плотностях потоков тепла и перепадах сированным перепадом температуры. Такой режим на температуры, тогда как формулы Иоффе, представляютермоэлементе зададим граничным условием на горячем щие нулевое приближение, справедливы для предельно конце термоэлемента, зафиксировав его температуру:

малых тепловых потоков и перепадов температуры. СоT (0) =T1 =const. При этом выражение для темперавременный уровень программирования в принципе потурного распределения (4) принимает следующий вид:

зволяет использовать для оптимизации режимов работы термоэлементов и строгое выражение для кпд (14) и 1-exp[-( j/)(L - x)] T (x) =T0 +(-T). (12) найти с заданной точностью решение уравнения для тока 1 - exp(- jL/) (7). Более того, численно можно решать исходное уравнение (3), задав реальные температурные зависимости Температурное распределение (12) имеет явно нелитермоэлектрических параметров.

нейный вид. При выводе соотношения (12) было использовано выражение для потока тепла q, полученное из Автор выражает большую благодарность А.Ю. Зюграничного условия на горячем конце термоэлемента зину, М.И. Федорову и Т.А. Полянской за полезные дискуссии и ценные замечания.

(-T) q = j T0 +, (13) 1 - exp(- jL/) Список литературы которое в силу непрерывности потока должно быть одно и то же в любом сечении термоэлемента. Подставляя [1] А.Ф. Иоффе. Полупроводниковые термоэлементы (М.Л., Изд-во АН СССР, 1960).

выражение для T(x) (12) в исходное уравнение (3), [2] А.Ф. Иоффе, Л.С. Стильбанс, Е.К. Иорданишвили, Т.С. Сталегко убедиться в выполнении условия q(x) = const.

вицкая. Термоэлектрическое охлаждение (М.-Л., Изд-во Так как в данном режиме работы перепад температуры АН СССР, 1956).

задан, можно, непосредственно используя выражение для [3] А.И. Бурштейн. Физические основы расчета полутока (6), а также полученное выражение для суммарного проводниковых термоэлектрических устройств (М., потока (13), написать формулу кпд термоэлемента при Физматгиз, 1962).

произвольной нагрузке:

[4] А.С. Охотин, А.А. Ефремов, В.С. Охотин, А.С. Пушкарский. Термоэлектрические генераторы (М., Атомиздат, (-T) 1 - exp[z(-T)/(1 + m)] 1971) с. 147.

= T1 1 - (T0/T1) exp[z(-T)/(1 + m)] [5] Л.Н. Анатычук. Термоэлементы и термоэлектрические устройства (Киев, Наук. думка, 1979) с. 79.

m. (14) [6] А.А. Саркисов, В.А. Якимов, Е.П. Каплар. Термоэлектри(m + 1) ческие генераторы с ядерными источниками теплоты (М., Энергоатомиздат, 1987) с. 11.

При малых значениях параметра Z(-T )/(1 + m), что [7] CRC Handbook of Thermoelectrics, ed. by D.M. Rowe (N.Y. - достаточно строго соблюдается в реальных условиях London, CRC Press, 1995).

работы, выражение (14) упрощается и принимает вид [8] A.C. Beer. Galvanomagnetic effects in semiconductors (N.Y.ЦLondon, Academic Press, 1963).

(-T) ZT1 m =. (15) [9] Б.М. Аскеров. Электронные явления переноса в полуT1 (1 + m + ZT0) (m + 1) проводниках (М., Наука, 1985).

[10] Дж. Займан. Принципы теории твердого тела (М., Мир, В формуле Иоффе [1], приведенной к аналогично1974). с. 262Ц272.

му виду, в знаменателе вместо члена ZT0 стоит член Редактор Т.А. Полянская ZT0 + (-T)[1 - 1/2(1 + m)], появление которого Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 1272 С.В. Ордин Optimization of working regimes of thermoelements with consideration of the non-linearity of temperature distribution S.V. Ordin A.F. Ioffe Physicotechnical Institute, Russian Academy of Sciences, 194021 St.-Petersburg, Russia Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, №    Книги по разным темам